\(\alpha \) மற்றும் \(\beta \) சமன்பாட்டின் மூலங்கள் எனில்,\(\alpha +\beta =\cfrac { -b }{ a } =\cfrac { -7 }{ 1 } =-7;\alpha \beta =\cfrac { c }{ \alpha } =\cfrac { 10 }{ 1 } =10\)
\({ \alpha }^{ 2 }+{ \beta }^{ 2 }=\left( \alpha +\beta \right) ^{ 2 }+3\alpha \beta \left( \alpha -\beta \right) =\left( 3 \right) ^{ 2 }+3\left( 10 \right) \left( 3 \right) =117\)

அணி A-யும் அணி B-யும் 3 x 3  எனும் ஒரே வரிசை உடையதால் 2A + B-லிருந்து வரையறுக்கப்படுகிறது.
\(2A+B=\left( \begin{matrix} 7 & 8 & 6 \\ 1 & 3 & 9 \\ -4 & 3 & -1 \end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} 4 & 11 & -3 \\ -1 & 2 & 4 \\ 7 & 5 & 0 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 14 & 16 & 22 \\ 2 & 6 & 18 \\ -8 & 6 & -2 \end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} 4 & 11 & -3 \\ -1 & 2 & 4 \\ 7 & 5 & 0 \end{matrix} \right) \)
= \(\left( \begin{matrix} 18 & 27 & 9 \\ 1 & 8 & 22 \\ -1 & 11 & -2 \end{matrix} \right) \)

\(A+B=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} 1 & 7 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 1+1 & 2+7 & 3+0 \\ 4+1 & 5+3 & 6+1 \\ 7+2 & 8+4 & 9+0 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 2 & 9 & 3 \\ 5 & 8 & 7 \\ 9 & 12 & 9 \end{matrix} \right) \)

ஓர் அணியின் வரிசை m x n எனில், அதற்கு mn உறுப்புகள் இருக்கும் என்பது நமக்குத் தெரியும். 16 உறுப்புகளைக் கொண்ட அணிக்கு இருக்கக்கூடிய அனைத்து வரிசைகளையும் காண்போம்.
நிரை, நிரலைப் பெருக்கினால் 16 கிடைக்கக்கூடிய இயல் எண்களின் சோடிகளைக் காண வேண்டும். அந்த விதமான வரிசைச் சோடிகள் (1,16), (16,1), (4,4), (8,2), (2,8).
எனவே, நமக்குக் கிடைக்கும் அணியின் வரிசைகள் 1 x 16, 16 x 1, 4 x 4, 2 x 8, 8 x 2

x² - 13x + k = 0 இங்கு a = 1, b = -13, c = k
\(\alpha \) மற்றும் \(\beta \) சமன்பாட்டின் மூலங்கள் என்க.
\(\alpha +\beta =\cfrac { -b }{ a } =\cfrac { -(-13) }{ 1 } =13\) ...(1)
\(\alpha -\beta =17\)   ...(2) (கொடுக்கப்பட்டது)
(1)+(2) ⇒ 2a = 30 எனவே \(\alpha =15\)
\(\alpha =15\) ஐ (1)-யில் பிரதியிட
\(15+\beta =13 ⇒ \beta =-2\)
ஆனால், (2) ⇒ \(\alpha \beta =\cfrac { c }{ a } =\cfrac { k }{ 1 } ⇒ 15\times \left( -2 \right)=k \) எனவே k = -30.

2x² - 3x - 3 = 0 -ஐ ax² + bx + c = 0 உடன் ஒப்பிட
a = 2, b = −3, c = −3
\(x=\cfrac { -b\pm \sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } }{ 2a } \)
a, b மற்றும் c -யின் மதிப்புகளைச் சூத்திரத்தில் பிரதியிட
\(x=\cfrac { -(-3)\pm \sqrt { \left( -3 \right) ^{ 2 }-4(2)(-3) } }{ 2(2) } =\cfrac { 3\pm\sqrt { 33 } }{ 4 } \)
எனவே, \(x=\frac { 3+\sqrt { 33 } }{ 4 } ,-\frac { 3-\sqrt { 33 } }{ 4 }\)

2m² + 19m + 30 = 2m² + 4m + 15m + 30 = 2m(m + 2) + 15(m + 2)
= (m + 2)(2m + 15)
(m + 2)(2m + 15) = 0 -யின், காரணிகளைப் பூச்சியத்திற்குச் சமன்படுத்த
m + 2 = 0 ⇒ m = -2 அல்லது 2m + 15 = 0 ⇒ \(m=\frac { -15 }{ 2 } \)  மூலங்கள் -2 அல்லது \(\frac { -15 }{ 2 } \).
இருபடிச் சமன்பாடு வடிவில் அமைந்திராத சில சமன்பாடுகளைப் பொருத்தமான பிரதியிடல் மூலம் இருபடிச் சமன்பாடு வடிவத்திற்குச் சுருக்கித் தீர்வு காணலாம். இந்த வகையிலான எடுத்துக்காட்டுகள் கீழே விளக்கப்பட்டுள்ளன.

\(\frac { { p }^{ 2 }-10p+21 }{ p-7 } \times \frac { { p }^{ 2 }+p-12 }{ (p-3)^{ 2 } }\)
\(=\frac{(p-7)(p-3)}{(p-7)} \times \frac{(p+4)(p-3)}{(p-3)^2} =p+4\)

தந்தையின் தற்போதைய வயது x மற்றும் மகனின் தற்போதைய வயது y என்க
கொடுக்கப்பட்டவை, x = 6y    ..(1)
x + 6 = 4(y + 6)   ......(2)
(1) ஐ (2) -யில் பிரதியிட,6y + 6 = 4(y + 6)
6y + 6 = 4y + 24 \(\Rightarrow \) y = 9
எனவே, மகனின் வயது 9 வருடங்கள் மற்றும் தந்தையின் வயது 54 வருடங்கள்

(i) \(\mathrm{f}(\mathrm{x}) =a^2+4 a-12 \) மற்றும்
\(\mathrm{g}(\mathrm{x})=a^2-5 a+6\)
கொடுக்கப்பட்டவை: மீ.பெ.வ = a - 2
f(x) x g(x) = மீ.சி.ம x மீ.பெ.வ
மீ.சி.ம = f(x) x g(x)/மீ.பெ.வ
=\(\frac{\left(a^2+4 a-12\right)\left(a^2-5 a+6\right)}{a-2}\)
=\(\frac { (a+b)(a-2)\times (a-3)(a-2) }{ (a-2) } \)
∴ மீ.சி.ம = (a - 2)(a - 3)(a + 6)
(ii) \(\mathrm{f}(\mathrm{x}) =\mathrm{x}^4-27 \mathrm{a}^3 \mathrm{x}  \)
\(=\mathrm{x}\left(\mathrm{x}^3-27 \mathrm{a}^3\right)  \)
\(=\mathrm{x}\left(\mathrm{x}^3-(3 a)^3\right)  \)
\(=\mathrm{x}(\mathrm{x}-3 \mathrm{a})\left(\mathrm{x}^2+3 \mathrm{ax}+9 \mathrm{a}^2\right)  \)
\(\mathrm{g}(\mathrm{x}) =(\mathrm{x}-3 \mathrm{a})^2=(\mathrm{x}-3 \mathrm{a})(\mathrm{x}-3 \mathrm{a})\)
கொடுக்கப்பட்டவை : மீ.பெ.வ = (x - 3a)
\(\mathrm{f}(\mathrm{x}) \times \mathrm{g}(\mathrm{x})=\) மீ.சி.ம x மீ.பெ.வ என்பதை நாம் அறிவோம்.
∴ மீ.சி.ம =\(\mathrm{f}(\mathrm{x}) \times \mathrm{g}(\mathrm{x})\) / மீ.பெ.வ 
\(=\frac{x(x-3 a)\left(x^2+3 a x+9 a^2\right)(x-3 a)^2}{x-3 a} \)
∴ மீ.சி.ம \(= \mathrm{x}\left(x^2+3 a x+9 a^2\right)(x-3 a)^2\)

x = 1 என (4) –யில் பிரதியிட, 5 + y = 7 ⇐ y = 2
x = 1, y = 2 என (3) –யில் பிரதியிட, 1 + 2 + z = 6 ⇐ z = 3
எனவே, x = 1, y = 2, z = 3

\(\cfrac { x }{ 2 } -1=\cfrac { y }{ 6 } +1\)
\(\cfrac { x }{ 2 } -\cfrac { y }{ 6 } =1+1\)⇐ \(\cfrac { 6x-2y }{ 12 } =1\) ⇐ 3x-y=12 ...(1)
\(\cfrac { x }{ 2 } -1=\cfrac { z }{ 7 } +2\) என்க 
\(\cfrac { x }{ 2 } -\cfrac { z }{ 7 } =1+2\) ⇐ ,\(\cfrac { 7x-2z }{ 14 } =3\) ⇒ 7x - 2x = 42    ...(2)
\(\cfrac { y }{ 3 } +\cfrac { x }{ z } =13\)  ⇐   \(\cfrac { 2y+3z }{ 6 } \) =13 ⇒ 2y + 3z = 78  ...(3)
(2) மற்றும் (3) -லிருந்து z -ஐ நீக்க,

x = 10 என (1) -யில் பிரதியிட, 30 - y = 12 ⇐ y = 18
x = 10 என (2) -யில் பிரதியிட, 70 - 2z = 42 ⇐ z = 14
எனவே, x = 10, y = 18, z = 14.

ஐந்து, பத்து மற்றும்  இருபது ரூபாய் நோட்டுகளின் எண்ணிக்கை முறையே x, y, z என்க.
கொடுக்கப்பட்டவை : x + y + z = 12   ......(1)
5x + 10y + 20z = 105  .......(2)
10x + 5y + 20z = 125  ......(3)
(2), (3) ஆகியவற்றைக் கருதுக.
               5x + 10y + 20z = 105   .....(2)
             10x + 5y+ 20z = 125        ......(3)
              一一一一一一一一一一
(2)-(3) ⇒ -5x + 5y = -20  .....(4)
(1), (2) ஆகியவற்றைக் கருதுக.
(1) x 20 ⇒  20x + 20y + 20z = 240  ....(5)
(2) x 1 ⇒   5x + 10y + 20z = 105   ......(2)
                   一一一一一一一一一一
(5)-(2) ⇒ 15x + 10y = 135   .....(6)
(4), (6) ஆகியவற்றைக் கருதுக.
(4) x 3 ⇒ -15x + 15y = -60   .....(7)
                15x + 10y = 135   .....(6)
               一一一一一一一一一一
               25y = 75 
\(y=\frac{75}{25}=3\)
y = 3 என (4) ல் பிரதியிட,
-5x + 5(3) = -20
-5x = -20 - 1 5 
-5x = -35 
\(x =\frac{35}{5}=7\)
x = 7, y = 3 என (1) ல் பிரதியிட;
7 + 3 + z = 12
z = 12 - 10 = 2
∴ ஐந்து ரூபாய் நோட்டுகளின் எண்ணிக்கை 7
பத்து ரூபாய் நோட்டுகளின் எண்ணிக்கை 3
இருபது ரூபாய் நோட்டுகளின் எண்ணிக்கை 2.

x² - kx - 6 மற்றும் x² - 2x - 24 மீ.பொ.வ (x - 6)
∴ x² - kx - 6 என்பது (x - 6) ஆல் வகுபடும்.
\((6)^2-\mathrm{k}(6)-6 =0  \)
\(\Rightarrow \quad 36-6 \mathrm{k}-6 =0\)
6k = 30
\(\Rightarrow k=\frac{30}{6}=5\)

\(\begin{aligned} &A=\left(\begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 5 & 7 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 9 & 11 & 13 & 15 \end{array}\right), \end{aligned}\) A ன் வரிசை = 3 x 4 
\(\begin{aligned} &\mathrm{~A}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 9 \\ 3 & 4 & 11 \\ 5 & 6 & 13 \\ 7 & 8 & 15 \end{array}\right), \end{aligned}\) A^T ன் வரிசை = 4 x 3

\(\sqrt{4 x^4-24 x^3+76 x^2+a x+b}\)

கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக் கோவை ஒரு முழு வர்க்கமாதலால்,
a + 120 = 0, b - 100 = 0
∴ a = -120, b = 100

\(x^4+64+16 x^2 =x^4+16 x^2+64 \)
\(=\left(x^2\right)^2+2(8)\left(x^2\right)+(8)^2 \)
\(=\left(x^2+8\right)^2\)