ஒரு கிடைமட்டக்கோடு, வரைபடம் 1.35(i) மற்றும் படம் 1.35(iii) ஆகியவற்றை அதிகபட்சமாக ஒரே ஒரு புள்ளியில் (P) வெட்டுவதால் இவை ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பினைக் குறிக்கும்.
வரைபடம் (1.35(ii))-ல் வரையப்பட்ட ஒரு கிடைமட்டக்கோடு P மற்றும் Q ஆகிய இரு புள்ளிகளில் வெட்டுவதால், கொடுக்கப்பட்ட வளைவரை ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பைக் குறிக்காது.

\( \mathrm{A}=\{1,2,3\}, \mathrm{B}=\{2,3,5\}, \mathrm{C}=\{3,4\}, \mathrm{D}=\{1,3,5\}\)
\(A \cap C=\{3\} \)
\(B \cap D=\{3,5\}\)
\((A \cap C) \times(B \cap D)=\{3\} \times\{3,5\}\)
= {(3, 3), (3, 5)} ...(1)
\(\mathrm{A} \times \mathrm{B}=\{(1,2),(1,3),(1,5),(2,2)\), (2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 3), (3, 5)}
\(\mathrm{C} \times \mathrm{D}=\{(3,1),(3,3),(3,5),(4,1)(4,3),(4,5)\} \)
\((A \times B) \cap(C \times D)=\{(3,3),(3,5)\}\) ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
\((A \cap C) \times(B \cap D)=(A \times B) \cap(C \times D)\) என்பது தெளிவாகிறது.
இது உண்மை என நிறுவப்பட்டது.

gff(x) = g[f{f(x)}]
= g[f(3x+1)] = g[3(3x + 1) + 1] = g(9x + 4)
g(9x + 4) = [(9x + 4) + 3] = 9x + 7
fgg(x) = f[g{g(x)}]
= f[g(x + 3)] = f[(x + 3) + 3] = f(x + 6)
f(x + 6) = [3(x + 6) + 1] = 3x + 19
gff(x) = fgg(x) எனவே, 9x + 7 = 3x + 19. இந்தச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க x = 2

f(x) = 2x + 3, g(x) = 1 - 2x, h(x) = 3x
இப்பொழுது, (f o g)(x) = f(g(x)) = f(1 - 2x) = 2(1 - 2x) + 3 = 5 - 4x
மேலும், (f o g) o h(x) = (f o g)(h(x)) = (f o g)(3x) = 5 - 4(3x) = 5 - 12x  .....(1)
(g o h)(x) = g(h(x)) = g(3x) = 1 - 2(3x) = 1 - 6x
மேலும், f o(g o h)(x) = f(1 - 6x) = 2(1 - 6x) + 3 = 5 - 12x   ....(2)
(1) மற்றும் (2) -லிருந்து  (f o g) o h = f o (g o h)

f o f(k) = f(f(k)) = 2(2k - 1) - 1 = 4k - 3
எனவே, f o f(k) =4k - 3
ஆனால் f o f(k) = 5 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
\(4 k-3=5 \Rightarrow k=2\)

f₂(x) = 2x² - 5x + 3 மற்றும் f₁(x) = \(\sqrt { x } \) என வரையறுப்போம்.
எனவே, f(x) - \(\sqrt { 2x^{ 2 }-5x+3 } =\sqrt { { f }_{ 2 }(x) } \)
= f₁|f₂(x)| = f₁f₂(x)

A = {1,2,3}, B = {4,5,6,7} f = {(1,4),(2,5)(3,6)}
A-லிருந்து B-க்கு ஆன சார்பு f -ல், A-யின் வெவ்வேறு உறுப்புகளுக்கு, B-ல் வெவ்வேறு நிழலுரு உள்ளது. எனவே, f ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பாகும். துணை மதிப்பகத்தில் உள்ள உறுப்பு 7-க்கு, மதிப்பகத்தில் முன் உரு இல்லை. எனவே, f ஆனது, மேல்சார்பு இல்லை. (படம்.1.36).
எனவே, f ஆனது ஒன்றுக்கு ஒன்றானது, ஆனால் மேல்சார்பு இல்லை.

\(f(x)=(x+1)^3-(x-1)^3 \)
\(=\left(x^3+3 x^2+3 x+1\right)-\left(x^3-3 x^2+3 x-1\right) \)
\(= 6 x^2+2\), இது ஒரு இருபடிச் சார்பு

\(g=\{(1,1),(2,3),(3,5),(4,7)\} \)
\(g(x)=\alpha x+\beta\)
\(\alpha\) = 2 மற்றும் \(\beta\) =-1 எனும் போது, g(x) = 2x - 1 என்பது 'g' யை நிறைவு செய்கிறது.

\(\mathrm{f}: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}\) என்பது இருபுறச் சார்பு மற்றும் n(B) = 7.
f என்பது இருபுறச் சார்பு. அதாவது, ஒன்றுக்கு ஒன்றான மேல்சார்பு.
\(\therefore\) A மற்றும் B ஆகியவற்றில் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை சமமாக இருக்க வேண்டும். n(A) = 7