A = {0, 1, 2, 3},  B = {1, 3, 5, 7, 9}
f(x) = 2x +1
f(0) = 2(0) + 1 = 1
f(1) = 2(1) + 1 = 3
f(2) = 2(2) + 1 = 5
f(3) = 2(3) + 1 = 7
(i) வரிசைச் சோடி கணம் 
f = {(0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7)}
(ii) அட்டவணை

(iii) அம்புக்குறி படம்

(iv) வரைபடம் 
f = {(x, f(x)/ x ∈ A}
= {(0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7)}

R-ன் மதிப்பகம் = {1, 2, 3, 4}
R-ன் துணை மதிப்பகம் = B = {-1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
R-ன் வீச்சகம் = {3, 6, 10, 9} 

A = {-2,-1,0,1,2} மற்றும் f(x) = x² + x + 1 கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
f(-2) = (-2)² + (-2) + 1 = 3; f(-1) = (-1)² + (-1) + 1 = 1
f(0) = 0² + 0 + 1 = 1; f(1) = 1² + 1 + 1 = 3
f(2) = 2² + 2 + 1 = 7
எனவே, f –ன் வீச்சகம் B = {1,3,7}

படம் -(i) மற்றும் படம்-(iii) வரைபடங்களில், ஒரு குத்துக்கோடு, வரைபடத்தை P மற்றும் Q ஆகிய இரு புள்ளிகளில் வெட்டுவதால் இவை ஒரு சார்பினைக் குறிக்காது.
படம் (ii) மற்றும் படம் -(iv) வரைபடங்களில் அதிகபட்சமாக ஒரேயொரு புள்ளியில் வெட்டுவதால், இவை சார்பினைக் குறிக்கும்.

படம் -ல் R குறிக்கப்பட்டுள்ளது. ஒவ்வொரு x ∈ X -க்கும், ஒரே ஒரு y ∈ Y உறுப்பு மட்டும் கிடைக்கிறது. எனவே X-ன் எல்லா உறுப்புகளுக்கும் Y-ல் ஒரே ஒரு நிழல் உரு உள்ளது. எனவே R-ஆனது ஒரு சார்பு ஆகும்.
மதிப்பகம் X = {1,2,3,4}; துணை மதிப்பகம் Y = {2,4,6,8,10}, வீச்சகம் f = {2,4,6,8}

A x B = {(3,2), (3,4), (5,2), (5,4)}
A = {A x B-யின் முதல் ஆயத்தொலைவு உறுப்புகளின் கணம்}. எனவே A = {3,5}
B = {A x B-யின் இரண்டாம் ஆயத்தொலைவு உறுப்புகளின் கணம்}. எனவே B = {2,4} எனவே A = {3,5} மற்றும் B = {2,4}.

\(f(x)=\begin{cases} 1+x\quad \quad \quad :1\le x<2 \\ 2x-1\quad \quad \quad :2\le x<4 \\ { 3x }^{ 2 }-10\quad \quad :4\le x<6 \end{cases}\)
f (3) = 2x - 1
= 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5

A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {1, 2, 3, 4,....}|
f : A ⟶ B, f(x) = x²
∴ f (1) = 1² = 1
f (2) = 2² = 4
f (3) = 3² = 9
f (4) = 4² = 16
f (5) = 5² = 25
∴ f - ன் வீச்சகம் = {1, 4, 9, 16, 25}
வெவ்வேறான உறுப்புகள் வெவ்வேறு நிழல் உருக்களோடு தொடர்புபடுத்தப்பட்டுள்ளதால் இது ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பு ஆகும். மேலும் 3 ∈ B இருப்பினும் f(x) = x² = 3 என்பதிற்கிணங்க என்ற ஒரு உறுப்பும் x ∈ A -ல் இல்லாததால், இது மேல் சார்பு அல்ல.

A =  {x \(\in \) N| 1 < x < 4} = {2,3), B = {x \(\in \) W| 0 ≤ x < 2) = (0,1), C = {x \(\in \) N| x < 3} = (1,2)
(i)  A x (B U C) = (A x B) U (A x C)
B U C = (0,1) U (1,2) = {0,1,2}
A x (B U C) = {2,3) x {0,1,2} = {(2,0),(2,1)(2,2)(3,0)(3,1),(3,2)     ..(1)
A x B = {2,3} x {0,1} = {(2,0),(2,1),(3,0),(3,1)}
A x C = {2,3} x {1,2} = {(2,1),(2,2),(3,1)(3,2)}
(A x B) U (A x C) = {(2,0),(2,1),(3,0),(3,1)} U {(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)}
= {(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)}         ...(2)
(1) மற்றும் (2)-லிருந்து, A x (B U C) = (A x B) U (A x C) என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.
(ii) A x (B \(\cap\) C) = (A x B) \(\cap\) (A x C)
B ∩ C = {(0,1) ∩ {1,2} = {1}
A x (B ∩ C) = {2,3} x {1} = {(2,1),(3,1)}  .....(3)
A x B = {2,3} x {0,1} = {(2,0), (2,1), (3,0), (3,1)}
A x C = {2,3} x {1,2} = {(2,1), (2,2), (3,1), (3,2)}
(A x B) ∩ (A x C)= {(2,0), (2,1), (3,0), (3,1)} ∩ {(2,1), (2,2), (3,1), (3,2)}
= {(2,1), (3,1)}   .....(4)
(3) மற்றும் (4), A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C) என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.

\(f(x)=\begin{cases} { x }^{ 2 }+2x+1\quad : -7\le x<-5 \\ x+5\quad \quad \quad\quad: -5\le x\le 2 \\ x-1\quad \quad \quad \quad2<x\le 6 \end{cases}\)
f(-7) = x² + 2x +1
= (-7)² + 2(-7) + 1
= 49 - 14 + 1 = 36
f(3) = x + 5 = -3 + 5 = 2
f(-7) - f(-3) = 36 - 2 = 34

f: N ⟶ N என்ற சார்பானது f(x) = 3x + 2, என வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.
(i) x = 1 எனில், f(1) = 3(1) + 2 = 5
x = 2 எனில், f(2) = 3(2) + 2 = 8
x = 3 எனில், f(3) = 3(3) + 2 = 11
1, 2, 3 -யின் நிழல் உருக்கள் முறையே 5, 8, 11 ஆகும்.
(ii) 29-யின் முன் உரு x எனில் f(x) = 29. எனவே 3x + 2 = 29
3x = 27 ⇒ x = 9
இதைப்போலவே, 53-யின் முன் உரு x எனில், f(x) = 53. எனவே, 3x + 2 = 53
3x = 51 ⇒ x = 17
எனவே, 29 மற்றும் 53-யின் முன் உருக்கள் முறையே 9 மற்றும் 17 ஆகும்.
(iii) N -யின் வெவ்வேறு உறுப்புகளுக்குத் துணை மதிப்பகத்தில் வெவ்வேறு நிழல் உருக்கள் உள்ளன. எனவே, f ஆனது ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பாகும்.
f -யின் துணை மதிப்பகமானது N.
வீச்சகம் f = {5, 8, 11, 14, 17,....} ஆனது N-ன் தகு உட்கணமாகும்.
எனவே, f ஆனது மேல்சார்பு இல்லை.
அதாவது, f உட்சார்பு ஆகும்.
எனவே, f ஆனது ஒன்றுக்கு ஒன்றான மற்றும் உட்சார்பு ஆகும்.

(i) R யின் கணகட்டமைப்பு முறை {(x,y) | y = x-2, x ∈ P, y ∈ Q}
(ii) R யின் பட்டியல் முறை = {(5,3),(6,4),(7,5)}
(iii) R யின் மதிப்பகம் = {5,6,7}; R யின் வீச்சகம் = {3,4,5}

கொடுக்கப்பட்டது
\(\mathrm{A}=\{x \in \mathbb{W} \mid x<2\} \Rightarrow \mathrm{A}=\{0,1\} \)
B = {x ∈ N| 1 < x ≤ 4} B = {2, 3, 4}
\(\mathrm{C}=\{3,5\}\)
(i) \(A \times(B \cup C)=(A \times B) \cup(A \times C) \)
\(B \cup C=\{2,3,4,5\} \)
\(A \times(B \cup C)=\{0,1\} \times\{2,3,4,5\} \)
\(=\{(0,2),(0,3),(0,4),(0,5), (1,2),(1,3),(1,4),(1,5)\} \quad \ldots(1) \)
\(\mathrm{A} \times \mathrm{B}=\{0,1\} \times\{2,3,4\} \)
\(=\{(0,2),(0,3),(0,4), (1,2),(1,3),(1,4)\} \)
\(\mathrm{A} \times \mathrm{C}=\{0,1\} \times\{3,5\} \)
\(=\{(0,3),(0,5),(1,3),(1,5)\} \)
\((A \times B) \cup(A \times C)=\{(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5)\} \quad \ldots(2) \)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\(A \times(B \cup C)=(A \times B) \cup(A \times C)\) என்பது தெளிவாகிறது.
எனவே, சரிப்பார்க்கப்பட்டது.
(ii) \(A \times(B \cap C)=(A \times B) \cap(A \times C) \)
\(A=\{0,1\}, B=\{2,3,4\}, C=\{3,5\} \)
\(B \cap C=\{3\} \)
\(A \times(B \cap C)=\{0,1\} \times\{3\} \)
\(=\{(0,3),(1,3)\} \quad \dots (1) \)
\(A \times B=\{(0,2),(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4)\} \)
\(A \times C=\{(0,3),(0,5),(1,3),(1,5)\} \)
\((A \times B) \cap(A \times C)=\{(0,3),(1,3)\} \quad \dots (2)\)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\(A \times(B \cap C)=(A \times B) \cap(A \times C)\) என்பது தெளிவாகிறது.
எனவே சரிபார்க்கப்பட்டது.
(iii) \((A \cup B) \times C=(A \times C) \cup(B \times C)\)
\(A=\{0,1\}, B=\{2,3,4\}, C=\{3,5\} \)
\((A \cup B)=\{0,1,2,3,4\} \)
\((A \cup B) \times C=\{0,1,2,3,4\} \times\{3,5\} \)
\(=\{(0,3),(0,5),(1,3),(1,5),(2,3),(2,5),(3,3),(3,5),(4,3),(4,5)\} \quad \dots(1) \)
\(\mathrm{A} \times \mathrm{C}=\{0,1\} \times\{3,5\} \)
\(=\{(0,3),(0,5),(1,3),(1,5)\} \)
\(B \times C=\{2,3,4\} \times\{3,5\} \)
\(=\{(2,3),(2,5),(3,3),(3,5),(4,3),(4,5)\} \)
\((A \times C) \cup(B \times C)=\{(0,3),(0,5),(1,3),(1,5),(2,3),(2,5),(3,3),(3,5),(4,3),(4,5)\} \ldots(2)\)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\((A \cup B) \times C=(A \times C) \cup(B \times C)\) என்பது தெளிவாகிறது.
எனவே, சரிபார்க்கப்பட்டது.

\( \mathrm{A}=\{1,2,3\}, \mathrm{B}=\{2,3,5\}, \mathrm{C}=\{3,4\}, \mathrm{D}=\{1,3,5\}\)
\(A \cap C=\{3\} \)
\(B \cap D=\{3,5\}\)
\((A \cap C) \times(B \cap D)=\{3\} \times\{3,5\}\)
= {(3, 3), (3, 5)} ...(1)
\(\mathrm{A} \times \mathrm{B}=\{(1,2),(1,3),(1,5),(2,2)\), (2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 3), (3, 5)}
\(\mathrm{C} \times \mathrm{D}=\{(3,1),(3,3),(3,5),(4,1)(4,3),(4,5)\} \)
\((A \times B) \cap(C \times D)=\{(3,3),(3,5)\}\) ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
\((A \cap C) \times(B \cap D)=(A \times B) \cap(C \times D)\) என்பது தெளிவாகிறது.
இது உண்மை என நிறுவப்பட்டது.

13 -க்கு குறைவாக உள்ள பகா எண்களின் கணம் {2,3,5,7,11}
உறவு \(\mathrm{R}=\left\{\left(\mathrm{x}, \mathrm{x}^2\right) / \mathrm{x}\right.\) என்பது 13 -க்கும் குறைவான பகா எண்}
R = {(2,4),(3,9),(5,25),(7,49),(11,121)}
\(\therefore\) வீச்சகம் = {4,9,25,49,121}

\(A=\{a, b, p\}, \quad B=\{2,3\}, \quad C=\{p, q, r, s\} \)
\(A \cup C =\{a, b, p, q, r, s\} \)
\(n(A \cup C) =6 \)
\(n(B) =2 \)
\(\therefore n[(A \cup C) \times B] =6 \times 2=12\)

\(\mathrm{A}=\{1,2,3,4,5\}, \mathrm{n}(\mathrm{A})=5, \mathrm{n}(\mathrm{B})=?\)
A -யிலிருந்து B -க்கான உறவுகளின் எண்ணிக்கையானது 1024.
அதாவது, 'mn' என்பது A x B-ன் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை என்பதால் 2^mn = 1024.
\(2^{m n} =2^{10} \Rightarrow m n=10 \)
\(n(B) =\frac{n(A \times B)}{n(A)}=\frac{10}{5}=2\)

\(A=\{1,2\}, B=\{1,2,3,4\},\)
C = {5, 6}  மற்றும் D = {5,6,7,8}
\(\mathrm{A} \times \mathrm{C}=\{(1,5),(1,6),(2,5),(2,6)\} \)
\(\mathrm{B} \times \mathrm{D}=\{(1,5),(1,6),(1,7),(1,8), \)
\((2,5),(2,6),(2,7),(2,8), \)
\((3,5),(3,6),(3,7),(3,8), \)
\((4,5),(4,6),(4,7),(4,8)\} \)
எனவே, \((\mathrm{A} \times \mathrm{C}) \subset (\mathrm{B} \times \mathrm{D})\)

\(n(A \times B) =6 \)
\(A =\{1,3\} \Rightarrow n(A)=2 \)
\(n(B) =\frac{n(A \times B)}{n(A)}=\frac{6}{2}=3\)