6=2¹x3¹ மற்றும் 
20=2x2x5=2²x5¹
HCF (6,20)=2 மற்றும் LCM (6,20)
=2x2x3x5=60
HCF (6,20)=2²=2
​​​​​​LCM (6,20)=2²x3¹ ​​​​​​x5¹=60
(a) மற்றும் (b)=4க்கு வகுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்துவோம்.

முதல் உறுப்பு a என்க, (a ஒரு மிகை ஒற்றை எண்)
எனினும் 0≤r<4, அதனால் கிடைக்கும் மீதி 0,1,2, 3 ஆகும்.
∴ a ஆனது 4q, (அல்லது)4q+1, (அல்லது) 4q+2 (அல்லது)4q+3, இங்கு q ஈவு ஆகும்.
a ஒரு ஒற்றை என்பதால் 4q மற்றும் 4q+2 ஆக இருக்க முடியாது(∵அவை 2ஆல் வகுப்படும்).
எனவே எந்த ஒரு மிகை ஒற்றை குழுவும் 4q+1 அல்லது 4q+3 என்ற வடிவில் அமையும்.

தவணை முறையில் வாங்குவதால் அதிகமாக செலவாகும் தொகை
= ரூ 45750 - ரூ 40000 = 5750
அவர் ரூ 5750 அதிகமாக தவணை முறையில் செலுத்துவார்

13-வது உறுப்பு = 3 என்பதால் t₁₃ = a + 12d = 3   ....(1)
முதல் 13 உறுப்புகளின் கூடுதல் = 234 என்பதால்
S₁₃ = \(\frac { 13 }{ 2 } \)[2a + 12d] = 234
2a + 12d = 36   ....(2)
சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) ஐத் தீர்க்க நாம் பெறுவது, a = 33, d = \(\frac { -5 }{ 2 } \)
எனவே, பொது வித்தியாசம் \(\frac { -5 }{ 2 } \)
முதல் 21 உறுப்புகளின் கூடுதல் S₂₁ = \(\frac { 21 }{ 2 } \left[ 2\times 33+(21-1)\times \left( -\frac { 5 }{ 2 } \right) \right] =\frac { 21 }{ 2 } \)[66 - 50] = 168

இங்கு முதல் உறுப்பு a = 8, பொது வித்தியாசம்  \(d=7 \frac{1}{4}-8=-\frac{3}{4}\),
கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல் S_n = \(\frac { n }{ 2 } \left[ 2a+(n-1)d \right] \)
S₁₅ = \(\frac { 15 }{ 2 } \left[ 2\times 8+(15-1)\left( -\frac { 3 }{ 4 } \right) \right] \)
S₁₅ = \(\frac { 15 }{ 2 } \left[ 16-\frac { 21 }{ 2 } \right] =\frac { 165 }{ 4 } \)

இரு எண்களையும் வகுக்கும்போதும் கிடைக்கும் மீதி = 12
\(\therefore\) தேவையான எண் 1230 - 12 மற்றும் 1926 - 12 இன் மீ.பொ.வ ஆகும்.
அதாவது 1218 மற்றும் 1914 இன் மீ.பொ.வ ஆகும்.
யூக்ளிடின்‌ வகுத்தல்‌ வழிமுறையை மீதி பூச்சியம்‌ வரும்‌ வரை மீண்டும்‌ மீண்டும்‌ பயன்படுத்த நாம்‌ பெறுவது
1914 = 1218 x 1 + 696
1218 = 696 x 1 + 522
696 = 522 x 1 + 174
522 = 174 x 3 + 0
\(\therefore\) 1218,1914 இன் மீ.பொ.வ = 174
\(\therefore\) தேவையான எண் 174 .

800 என்ற எண்ணைக் காரணிப்படுத்தும்போது, நாம் பெறுவது
800 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5 =2⁵ x 5²
ஆகவே, a^b x b^a = 2⁵ x 5²
இதிலிருந்து நாம் பெறுவது. a = 2, b = 5 (அ) a = 5, b = 2

கீழிருந்து முதல் பெட்டியின் மதிப்பு = 5 x 2=10
n –யின் மதிப்பு = 5 x 10 = 50
கீழிருந்து இரண்டாம் பெட்டியின் மதிப்பு = 3 x 50 = 150
m –யின் மதிப்பு = 2 x 150 = 300
ஆகவே, தேவையான எண்கள் m = 300, n = 50

445 மற்றும் 572 ஐ வகுக்கும்போது கிடைக்கும் மீதி 4 மற்றும் 5 எனில், நமக்குத் தேவையான எண் 445 - 4 = 441, மற்றும் 572 - 5 = 567 ஆகியவற்றின் மீப்பெரு பொது வகுத்தியாகத்தான் இருக்கும்.
எனவே நாம் 441 மற்றும் 567 ஆகிய எண்களின் மீ.பொ.வ கண்டறிவோம். யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையின்படி நாம் பெறுவது
567 = 441 x 1 + 126
441 = 126 x 3 + 63
126 = 63 x 2 + 0
ஆகவே 441 மற்றும் 567 ஆகியவற்றின் மீ.பொ.வ 63 ஆகும். எனவே தேவையான எண் 63 ஆகும்.

யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்திக் கொடுக்கப்பட்ட எண்களுக்கு மீ.பொ.வ காண்போம்.
210 = 55 x 3 + 45
55 = 45 x 1 + 10
45 = 10 x 4 + 5
10 = 5 x 2 + 0
மீதி = 0
ஆகவே, கடைசி படிநிலையின் வகுத்தி 5 ஆனது 210 மற்றும் 55 –யின் மீப்பெரு பொது வகுத்தியாகும். மீப்பெரு பொது வகுத்தியை 55x - 325 = 5 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதால்,
55x = 330
x = 6

a₃=a+(3-1)d=a+2d=5 (1)
a₇=a+(7-1)d=a+6d=9 (2)
(1)-(2)⇒-4d=-4⇒d=1
d=1 என (1), ல் பிரதியிட 
a+2(1)=5
a=3
தேவையான  A.P=3,4,5,6,7.

-2,2,-2,2,-2
t₂-t₁=2-(-2)=4
t₃-t₂=-2-2=-4
t₄-t₃=2-(-2)=4
இது ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசை அல்ல.

15² + 16² + 17²+....+28² = (1² + 2² + 3²+...+28²) - (1² + 2² + 3²+...+14²)
= \(\frac { 28\times 29\times 57 }{ 6 } -\frac { 14\times 15\times 29 }{ 6 } \)= 7714 - 1015 = 6699

70000 ஆனது 7 ஆல் வகுபடும் என்பதால்
70000 ≡ 0 (மட்டு 7)
70000 + 4 ≡ 0 + 4 (மட்டு 7)
70004 ≡ 4 (மட்டு 7)
எனவே 70004 ஐ 7 ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் மீதி 4.
777 ஆனது 7 ஆல் வகுபடும் என்பதால்
777 ≡ 0 (மட்டு 7)
777 + 1 ≡ 0 + 1 (மட்டு 7)
778 ≡ 1 (மட்டு 7)
எனவே, 778 ஐ 7 ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் மீதி 1.

\(\left(1^3+2^3+3^3+\ldots+15^3\right)-(1+2+3+\ldots+15)   \)
\(=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2-\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]  \)
\(=\left[\frac{15 \times 16}{2}\right]^2-\left[\frac{15 \times 16}{2}\right]=(120)^2-120\)
= 14400 - 120 = 14280

\(A=2^{65} \)
\(B=2^{64}+2^{63}+2^{62}+\ldots+2^0\)
இங்கு \(a=2^{64} ; r=\frac{2^{63}}{2^{64}}=\frac{1}{2} ; n=65\)
\(\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1} \)
\(\mathrm{B}=\frac{2^{64}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{65}-1\right)}{-\frac{1}{2}}=2^{65}\left(\frac{1}{2^{65}}-1\right)(-1) \)
\(=\left(1-2^{65}\right)(-1) \) \(=2^{65}-1\)
\(\therefore B=\mathrm{A}-\mathrm{I} \)                  (\(\because\) \(\mathrm{A}=2^{65}\))
\(\mathrm{A}=\mathrm{B}+1\)

a = 1, d = 4 மற்றும் S_n = 120
\(\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]  \)
\(120 =\frac{n}{2}[2(1)+(n-1) 4]  \)
\(120 \times 2 =\mathrm{n}[2+4(\mathrm{n}-1)]  \)
\(240 =\mathrm{n}[2+4 \mathrm{n}-4]  \)
\(=\mathrm{n}[4 \mathrm{n}-2]  \)= 2n [2n - 1]
\(120 =\mathrm{n}[2 \mathrm{n}-1]  \)
\(2 \mathrm{n}^2-\mathrm{n}-120 =0  \)
\(2 \mathrm{n}^2-16 \mathrm{n}+15 \mathrm{n}-120 =0  \)
\(2 \mathrm{n}(\mathrm{n}-8)+15(\mathrm{n}-8) =0  \)
\((\mathrm{n}-8)(2 \mathrm{n}+15) =0  \)
n = 8 அல்லது \(\mathrm{n}=\frac{-15}{2} \)
உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை குறை எண்ணாக இருக்க முடியாது.
\(\therefore\)  n = 8

இங்கு 
S₁₄=1050
n=14
a=10
s_n=\(\frac{n}{2}\)(2a+(n-1)d)
1050=\(\frac{14}{2}\)(20+13d)
=140+91d
910=91d
d=10
a₂₀=10+(20-1)x10
=20
∴ 20 வது உறுப்பு =200.