அந்த எண்ணின் பத்தாம் இட =x என்க.
இலக்கங்களின் பெருக்கற்பலன் =12
ஒன்றுக்கான இலக்கம் = \(\cfrac { 12 }{ x } \)
அந்த எண் = \(10x+\cfrac { 12 }{ x } \)
இந்த எண்ணுடன் 36ஐக் கூட்டினால் இலக்கங்கள் இடமாறுகின்றன.
\(\therefore 10x+\cfrac { 12 }{ x } +36=10\times \cfrac { 12 }{ x } +x\)
\(\Rightarrow 10x+\cfrac { 12 }{ x } +36=\cfrac { 120 }{ x } +x\)
\(\Rightarrow 9x-\cfrac { 108 }{ x } +36=0\)
\(\Rightarrow 9{ x }^{ 2 }-108+36x=0\)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+4x-12=0\)
\(\Rightarrow (x+6)(x-2)=0\)
(\(\because\)(x+6)\(\neq 0\) ஏனெனில் x>0)
x=-6,2
பத்தாம் இட இலக்கம் குறை எண்ணாக இருக்க முடியாது.ஆகையால் x =2
அந்த எண் \(10\times 2+\cfrac { 12 }{ 2 } =26\)

இரு எண்கள் \(\alpha ,\beta \)  என்க
அவற்றின் கூடுதல் \(s=\alpha +\beta =15\)
அவற்றின் தலைகீழிகளின் கூடுதல் 
\(\cfrac { 1 }{ \alpha } +\cfrac { 1 }{ \beta } =\cfrac { 3 }{ 10 } \)
\(\cfrac { \beta +\alpha }{ \alpha \beta } =\cfrac { 3 }{ 10 } \)
\(10\left( \alpha +\beta \right) =3\alpha \beta \)
\(3\alpha \beta =10\times 15=150\)
மூலங்களின் பெருக்கல் பயன்  \(\alpha \beta =\cfrac { 150 }{ 3 } =50\)
\(\therefore\) (1) மற்றும்(4) லிருந்து 
x²-15x+50=0
(x-10)(x-5)=0\(\Rightarrow\)x=10,5
\(\therefore\) அந்த எண்கள் 10,5

\(\Delta ={ b }^{ 2 }-4ac\) 
\(\Rightarrow\)4(ac+bd)²-4(a²+b²)(c²+d²)
\(\Rightarrow\)4[(ac+bd)²-(a²+b²)(c²+d²)
\(\Rightarrow\)4(a²c²+b²d²+2acbd-a²c²b²c²-a²d²-b²d²]
\(\Rightarrow\)4[2acbd-a²d²-b²c²]
\(\Rightarrow\)4[a²d²+b²c²-2abc]
\(\Rightarrow\)-4[ad-bc]²
ஆனால் \(ad\neq bc\)
\(\Rightarrow\)(ad-bc)²>0
\(\Rightarrow\)-4(ad-bc)²<0\(\Rightarrow\)\(\Delta <0\)
இதற்கு மெய்யெண் தீர்வு இல்லை என நிரூபிக்கப்பட்டது.

(i) \(\mathrm{f}(\mathrm{x}) =a^2+4 a-12 \) மற்றும்
\(\mathrm{g}(\mathrm{x})=a^2-5 a+6\)
கொடுக்கப்பட்டவை: மீ.பெ.வ = a - 2
f(x) x g(x) = மீ.சி.ம x மீ.பெ.வ
மீ.சி.ம = f(x) x g(x)/மீ.பெ.வ
=\(\frac{\left(a^2+4 a-12\right)\left(a^2-5 a+6\right)}{a-2}\)
=\(\frac { (a+b)(a-2)\times (a-3)(a-2) }{ (a-2) } \)
∴ மீ.சி.ம = (a - 2)(a - 3)(a + 6)
(ii) \(\mathrm{f}(\mathrm{x}) =\mathrm{x}^4-27 \mathrm{a}^3 \mathrm{x}  \)
\(=\mathrm{x}\left(\mathrm{x}^3-27 \mathrm{a}^3\right)  \)
\(=\mathrm{x}\left(\mathrm{x}^3-(3 a)^3\right)  \)
\(=\mathrm{x}(\mathrm{x}-3 \mathrm{a})\left(\mathrm{x}^2+3 \mathrm{ax}+9 \mathrm{a}^2\right)  \)
\(\mathrm{g}(\mathrm{x}) =(\mathrm{x}-3 \mathrm{a})^2=(\mathrm{x}-3 \mathrm{a})(\mathrm{x}-3 \mathrm{a})\)
கொடுக்கப்பட்டவை : மீ.பெ.வ = (x - 3a)
\(\mathrm{f}(\mathrm{x}) \times \mathrm{g}(\mathrm{x})=\) மீ.சி.ம x மீ.பெ.வ என்பதை நாம் அறிவோம்.
∴ மீ.சி.ம =\(\mathrm{f}(\mathrm{x}) \times \mathrm{g}(\mathrm{x})\) / மீ.பெ.வ 
\(=\frac{x(x-3 a)\left(x^2+3 a x+9 a^2\right)(x-3 a)^2}{x-3 a} \)
∴ மீ.சி.ம \(= \mathrm{x}\left(x^2+3 a x+9 a^2\right)(x-3 a)^2\)

(i) \(\mathrm{f}(\mathrm{x}) =21 \mathrm{x}^2 \mathrm{y}\) மற்றும் 
\(\mathrm{g}(\mathrm{x}) =35 x \mathrm{y}^2\) என்க. 
மீ.சி.ம = 7 xy
மீ.சி.ம 21,35 = 105
மீ.சி.ம \(x^2 y, x y^2=x^2 y^2\)
∴ மீ.சி.ம \(=105 \mathrm{x}^2 \mathrm{y}^2\)
இப்போது, \(f(x) \times g(x)=\left(21 x^2 y\right)\left(35 x y^2\right)\)
\(=735 x^3 y^3\)
மீ.சி.ம x மீ.பெ.வ \(=\left(105 x^2 y^2\right)(7 x y)\)
\(=735 x^3 y^3\)
∴ f(x) x g(x) மீ.சி.ம x மீ.பெ.வ சரிபார்க்கப்பட்டது.
(ii) \(f(x) =\left(x^3-1\right)(x+1)  \)
\(=(x-1)\left(x^2+x+1\right)(x+1)  \)
\(g(x) =x^3+1=(x+1)\left(x^2-x+1\right)\)
மீ.பெ.வ = x + 1
மீ.சி.ம \(=(x+1)(x-1)\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\)
\(f(x) \times g(x)=\left(x^3-1\right)(x+1)\left(x^3+1\right) \)
\(=(x+1)\left(\left(x^3\right)^2-(1)^2\right)  \)
\(=(x+1)\left(x^6-1\right)\)
மீ.சி.ம x மீ.பெ.வ \(=(x+1)(x-1)\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)(x+1)\)
\(=(x+1)\left(x^2-x+1\right)(x-1) \left(x^2+x+1\right)(x+1)\)
\(=\left(x^3+1\right)\left(x^3-1\right)(x+1)  \)
\(=\left(x^6-1\right)(x+1)\)
\(\therefore \mathrm{f}(\mathrm{x}) \times \mathrm{g}(\mathrm{x})=\) மீ.சி.ம x மீ.பெ.வ சரிபார்க்கப்பட்டது.
(iii) \(f(x)=x^2 y+x y^2=x y(x+y)\)
\(g(x)=x^2+x y=x(x+y)\) என்க
மீ.பெ.வ = x(x + y)
மீ.சி.ம = xy(x + y)
\(f(x) \times g(x)=\left(x^2 y+x y^2\right)\left(x^2+x y\right) \)
\(=x y(x+y) x(x+y) \)
\(=x^2 y(x+y)^2\)
மீ.சி.ம x மீ.பெ.வ = xy(x + y) x (x + y)
\(=x^2 y(x+y)^2\)
∴ f(x) x g(x) = மீ.சி.ம x மீ.பெ.வ சரிபார்க்கப்பட்டது.

f(x) = 2x³ - 5x² + 5x - 3 மற்றும் g(x) = x³ + x² - x + 2

= 7(x² - x + 1)
-7(x² - x + 1) ≠ 0, -7 என்பது g(x) -யின் ஒரு வகுத்தி அல்ல
g(x) = x³ + x² - x + 2-ஐ மீதியால் வகுக்க (மாறிலிக் காரணியை விடுத்து), நாம் பெறுவது

இங்கு, மீதி பூச்சியம் ஆகும்.
எனவே, மீ.பெ.வ (2x³ - 5x² + 5x - 3, x³ + x²- x + 2) = x² - x + 1

3x + y - 3z = 1  ..(1)
-2x - y + 2z = 1 ...(2)
-x - y + z = 2 ...(3)

இங்கு நாம் 0 = -1 என்ற தவறான முடிவைப் பெறுகிறோம். எனவே இந்தத் தொகுப்பானது ஒருங்கமைவற்றது. மேலும் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டு தொகுப்பிற்குத் தீர்வு இல்லை.

x + 2y - z = 5 ...(1)
x - y + z = -2 ...(2)
-5x - 4y + z = -11 ...(3)

இங்கு 0 = 0 என்ற முற்றொருமை கிடைக்கிறது.
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட  சமன்பாட்டு தொகுப்பிற்கு எண்ணற்ற தீர்வுகள் உண்டு

முதலிடம் பெறுபவர்களின் எண்ணிக்கை x, இரண்டாமிடம் பெறுபவர்களின் எண்ணிக்கை y, மூன்றாமிடம் பெறுபவர்களின் எண்ணிக்கை z என்க.
மொத்த பரிசுகள் = 24; மொத்த புள்ளிகள் = 56.
எனவே, மூன்று மாறிகளில் அமைந்த நேரிய சமன்பாடு
x + y + z = 24  ...(1)
5x + 3y + z = 56 ...(2)
x + y = z   ...(3)
(3) ஐ (1) -யில் பிரதியிட, நாம் பெறுவது, z + z = 24 ⇐, z = 12

x = 4, z = 12 என (3) –யில் பிரதியிட நாம் பெறுவது, y = 12 - 4 = 8
எனவே, முதலிடம் பெற்றவர்களின் எண்ணிக்கை 4 ஆகும்;
இரண்டாமிடம் பெற்றவர்களின் எண்ணிக்கை 8 ஆகும்.
மூன்றாமிடம் பெற்றவர்களின் எண்ணிக்கை 12 ஆகும்;

\(\cfrac { (k-12) }{ a } { x }^{ 2 }+\cfrac { 2(k-12) }{ b } x+\cfrac { 2 }{ c } =0\)
\({ \Delta }^{ 2 }={ b }^{ 2 }-4ac=(2(k-12))^{ 2 }\)
= 4(k-12)[(k-12)-2]
= 4(k-12)(k- 14)
\(\Delta =0\)  ஏனெனில் மூலங்கள் சமமானவை 
\(\Rightarrow 4(k-12)(k-14)=0\)
k-12=0 அல்லது  k-14=0
k=12,14

9x²-9(a+b)x+(2a²+5ab+2b²)=0
ax²+bx+c=0
a=9
b=-9(a+b)
c=(2a²+5ab+2b²)
\(\therefore \Delta ={ B }^{ 2 }-4AC\)
\(\Rightarrow\)81(a+b)²-36(2a²+5ab+2b²)
\(\Rightarrow\)9a²+9b²-18ab
\(\Rightarrow\)9(a-b)²>0

2x² - 3x - 3 = 0 -ஐ ax² + bx + c = 0 உடன் ஒப்பிட
a = 2, b = −3, c = −3
\(x=\cfrac { -b\pm \sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } }{ 2a } \)
a, b மற்றும் c -யின் மதிப்புகளைச் சூத்திரத்தில் பிரதியிட
\(x=\cfrac { -(-3)\pm \sqrt { \left( -3 \right) ^{ 2 }-4(2)(-3) } }{ 2(2) } =\cfrac { 3\pm\sqrt { 33 } }{ 4 } \)
எனவே, \(x=\frac { 3+\sqrt { 33 } }{ 4 } ,-\frac { 3-\sqrt { 33 } }{ 4 }\)

α,β என்பன \(\mathrm{qx}^2+\mathrm{p} \dot{\mathrm{x}}+\mathrm{r}=0\) என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள் என்க.
மூலங்களின் கூடுதல் \(\alpha+\beta=\frac{-p}{q}\)
மூலங்களின் பெருக்கல் \(\alpha \beta=\frac{r}{q}\)
\(\alpha^2, \beta^2\) என்பன \(\mathrm{q}^2 \mathrm{x}^2+\mathrm{p}^2 \mathrm{x}+\mathrm{r}^2=0\) என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள்
∴ மூலங்களின் கூடுதல் \(\alpha^2+\beta^2=\frac{-p^2}{q^2}\)
ஆனால் \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2 \alpha \beta\)
\(\therefore\left(\frac{-p}{q}\right)^2-\frac{2 r}{q}=\frac{-p^2}{q^2} \)
\(\frac{p^2}{q^2}+\frac{p^2}{q^2}=\frac{2 r}{q} \)
\(\frac{2 p^2}{q^2}=\frac{2 r}{q} \Rightarrow \frac{p^2}{q^2}=\frac{r}{q}\)
p²=qr⇒p என்பது பெருக்குச் சராசரி மற்றும் q, p, r ஆகியன பெருக்குத் தொடர் வரிசையில் அமையும்.

\(\sqrt{4 x^4-24 x^3+76 x^2+a x+b}\)

கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக் கோவை ஒரு முழு வர்க்கமாதலால்,
a + 120 = 0, b - 100 = 0
∴ a = -120, b = 100

\((2 \mathrm{x}-1)^2  =9   \)
\(2 \mathrm{x}-1  =\pm 3  \)
\(2 \mathrm{x}-1  =3 \quad 2 \mathrm{x}-1  =-3 \)
\(2 \mathrm{x} =4  \quad 2 \mathrm{x} =-2\)
\(\mathrm{x} =2  \quad \mathrm{x}  =-1\)
தீர்வு x = -1,2

x + y - 3z = -6    .....(1)
-7y + 7z = 7  ........(2)
3z  = 9 ⇒ z = 3     ......(3)
(2) ⇒-7y + 7z = 7 (÷7)
-y + z = 1
-y + 3 = 1
y = 3- 1 = 2
(1) ல் பிரதியிட,
x + 2 - 3(3) = -6 
x + 2 - 9 = -6 
x = -6 + 7 = 1
∴ தீர்வு: x = 1, y = 2, z = 3

ஒரு எண்ணின் பத்தாம் இட இலக்கம் =x என்க
அதன் ஒன்றாம் இட இலக்கம் = \(\cfrac { 18 }{ x } \)
\(\therefore\) அந்த எண் = \(10x+\cfrac { 18 }{ x } \)
இலக்கங்கள் இடம் மாறுவதால் கிடைக்கும் எண்
= \(10\times \cfrac { 18 }{ x } +x\)
\(\therefore \left( 10x+\cfrac { 18 }{ x } \right) -\left( 10\times \cfrac { 18 }{ x } +x \right) =63\)
\(\Rightarrow 10x+\cfrac { 18 }{ x } -\cfrac { 180 }{ x } -x=0\)
\(\Rightarrow 9x-\cfrac { 162 }{ x } -63=0\)
\(\Rightarrow\) 9x²-63x-162=0
\(\Rightarrow\) x²-7x-18=0
10 இட இலக்கம் குறை எண்ணாக இருக்க முடியாது.x=9.
அந்த எண் = \(10\times 9+\cfrac { 18 }{ 9 } =92\)

ஒரு இயல் எண்=x என்க 
அடுத்த எண் =x+1
x(x+1)=20
x²+x-20=0
(x+5)(x-4)=0
x=-5,4
\(\therefore\) x=4
(\(\therefore\)x\(\neq \)-5,5 ஓர் இயல் எண்)
அடுத்த எண்=4+1=5
அந்த எண்கள்=4,5