கொடுக்கப்பட்டது XY||AC

ஆகையால் ∠BXY = ∠A மற்றும்
∠BYX = ∠C  (ஒத்த கோணங்கள்)
∴ ΔABC~ΔXBY (SAS விதிமுறைப்படி)
ஆகையால் \(\frac { ar(ABC) }{ ar(XBY) } ={ \left( \frac { AB }{ XB } \right) }^{ 2 }\) ...(1)
ar(ABC) = 2ar(XBY)
\(\frac { ar(ABC) }{ ar(XBY) } =\frac { 2 }{ 1 } \) ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\({ \left( \frac { AB }{ XB } \right) }^{ 2 }=\frac { 2 }{ 1 } \) i.e.  \(\frac { AB }{ XB } =\frac { \sqrt { 2 } }{ 1 } \)
\(\frac { XB }{ AB } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
\(1-\frac { XB }{ AB } =1-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
\(\frac { AB-XB }{ AB } =\frac { \sqrt { 2 } -1 }{ \sqrt { 2 } } \)
\(\frac { AX }{ AB } =\frac { \sqrt { 2 } -1 }{ \sqrt { 2 } } =\frac { 2-\sqrt { 2 } }{ 2 } \)

PQ||RS

அதனால், ∠P = ∠S (ஒன்றுவிட்ட கோணங்கள்)
∠Q = ∠R
∠PQR = ∠SOR(குத்தெதிர் கோணங்கள் சமம்)
∴ ΔPOQ∼ΔSOR (AAA  விதிமுறைப்படி)

BD = x செ.மீ என்க. DC = (6 – x) செ.மீ
∠A -யின் இருசமவெட்டி AD ஆகும்.
எனவே, கோண இருசமவெட்டி தேற்றத்தின்படி,.
\(\cfrac { AB }{ AC } =\cfrac { BD }{ DC } \)
\(\cfrac { 10 }{ 14 } =\cfrac { x }{ 6-x } \) ⇒ \(\cfrac { 5 }{ 7 } =\cfrac { x }{ 6-x } \)
12x = 30 எனவே, \(x=\cfrac { 30 }{ 12 } =2.5\) செ.மீ
ஆகவே, BD = 2.5 செ.மீ, DC = 6 - x = 6 - 2.5 = 3.5 செ.மீ

வடிவொத்த முக்கோணங்களின் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் அவற்றின் ஒத்த சுற்றளவுகளின் விகிதத்திற்குச் சமம்.
\(\Delta ABC\sim \Delta PQR\) ஆகையினால்,
\(\cfrac { AB }{ PQ } =\cfrac { BC }{ QR } =\cfrac { AC }{ PR } =\cfrac { 36 }{ 24 } \)
\(\cfrac { AB }{ PQ } =\cfrac { 36 }{ 24 } \)  ⇒ \(\cfrac { AB }{ 10 } =\cfrac { 36 }{ 24 } \)
\(AB=\cfrac { 36\times 10 }{ 24 } \) = 15 செ.மீ

\(\Delta ABC\) மற்றும் \(\Delta PQR\) -யில்,
\(\cfrac { PQ }{ AB } =\cfrac { 3 }{ 6 } =\cfrac { 1 }{ 2 } ;\cfrac { QR }{ BC } =\cfrac { 4 }{ 10 } =\cfrac { 2 }{ 5 } \)
\(\cfrac { 1 }{ 2 }\neq\cfrac { 2 }{ 5 } \) என்பதால் \(\cfrac { PQ }{ AB } \neq \cfrac { QR }{ BC } \)
ஒத்த பக்கங்கள் விகிதச் சமமாக இல்லை.
எனவே, \(\Delta ABC\) ஆனது \(\Delta PQR\) -க்கு வடிவொத்ததாக அமையாது.

நிரூபணம்:

ΔABC ஒரு செங்கோண முக்கோணம்
∠B செங்கோணம்
நிரூபிக்க வேண்டியது: AC² = AB² + BC²
அமைப்பு: BC 丄 AC
ΔABC = ΔABC
\(\frac { AD }{ AB } =\frac { AB }{ AC } \)
(பக்கங்களின் விகிதம்)
AD · AC = AB² ...(1)
மேலும், ΔBDC ~ ΔABC
\(\frac { CD }{ BC } =\frac { BC }{ AC } \)
CD · AC =BC² ...(2)
(1) மற்றும் (2) ஐக் கூட்ட
AD.AC+CD.AC = AB²+ BC²
AC(AD+CD) = AB² + BC²
AC.AC = AB²+ BC²
AC² = AB² + BC²

BL மற்றும் CM என்பன ΔABC யின் நடுக்கோடுகள்
A = ∠90°.
ΔABC யிலிருந்து
BC² = AB² + AC² ...(1)
(பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)

ΔABL லிருந்து,
BL² = AL² + AB²
\(BL^{ 2 }={ \left( \frac { AC }{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ AB }^{ 2 }\)....(1)
(L ஆனது BC யின் நடுப்புள்ளி)
\({ BL }^{ 2 }=\frac { { AC }^{ 2 } }{ 4 } +{ AB }^{ 2 }\)
4BL² = AC² + 4AB² ...(2)
ΔCMA லிருந்து,
CM² = AC² + AM²
\({ CM }^{ 2 }={ AC }^{ 2 }+{ \left( \frac { AB }{ 2 } \right) }^{ 2 }\)
(M ஆனது AB யின் நடுப்புள்ளி)
\({ CM }^{ 2 }={ AC }^{ 2 }+\frac { { AB }^{ 2 } }{ 4 } \) 
4CM² = 4AC² + AB² ...(3)
(2) மற்றும் (3) ஐ கூட்ட கிடைப்பது
4(BL² + CM²) = 5(AC² + AB²)
4(BL² + CM²) = 5BC² [(1) லிருந்து]

ΔADC யில்
AC² = AD² + CD²  ...(1)
(பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)
ΔADB யில்,
AB² = AD² + BD² ...(2)
(பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)
(1) ஐ (2) லிருந்து கழிக்க
AB² - AC² = BD² - CD²
AB² + CD² = BD² + AC²

\(\Delta ABC\) யில் DE || BC,
தேல்ஸ் தேற்றத்தின் மூலம் நாம் பெறுவது,\(\cfrac { AD }{ DB } =\cfrac { AE }{ EC } \) 
\(\cfrac { x }{ x-2 } =\cfrac { x+2 }{ x-1 } \) ⇒ x(x - 1) = (x - 2)(x + 2)
ஆகவே, x² - x = x² - 4 ⇒ x = 4
x = 4 எனில், AD = 4, DB = x - 2 = 2, AE = x + 2 = 6, EC = x - 1 = 3.
எனவே, AB = AD + DB = 4 + 2 = 6, AC = AE + EC = 6 + 3 = 9.
ஆகவே, AB = 6, AC = 9.

கணக்கின்படி, \(\angle Q S R=\angle Q P R=90^{\circ}\)
PR மற்றும் SQ வெட்டும் புள்ளி T.
ΔQPT மற்றும் ΔRST இல்
\(\angle Q S R=\angle Q P R=90^{\circ} \)
\(\angle P T Q=\angle S T R\)
[∵ குத்தெதிா்க் கோணங்கள்]
AA விதிமுறைப்படி,
\(\triangle PQT \sim \triangle S R T\)
∴ வடிவொத்த முக்கோணங்களில் ஒத்த பக்கங்கள் விகிதசமம்.
\(\therefore \frac{P T}{S T}=\frac{T Q}{T R} \)
\(\mathrm{PT} \times \mathrm{TR}=\mathrm{ST} \times \mathrm{TQ}\)
நிரூபிக்கப்பட்டது.

வேகம் = 1.2 மீ/வினாடி, என்பது கொடுக்கப்பட்டது.
நேரம் = 4 வினாடி,
தொலைவு = வேகம் × நேரம்
= 1.2 x 4 = 4.8 மீ
4 வினாடிகளுக்குப் பிறகு சிறுவனுடைய நிழலின் நீளம் x என்க
\(\Delta ABE\sim \Delta CDE\) ஆகையால்,\(\cfrac { BE }{ DE } =\cfrac { AB }{ CD } \) எனவே \(\cfrac { 4.8+x }{ x } =\cfrac { 3.6 }{ 0.9 } =4\) (90 செ.மீ = 0.9 மீ)
4.8 + x = 4x  ⇒ 3x = 4.8 ஆகவே, x = 1.6 மீ
சிறுவனுடைய நிழலின் நீளம் DE = 1.6 மீ

DB = 3 CD
BC = BD + DC
BC = 3CD + CD
BC = 4CD
CD = \(\frac 14\)BC
CD = \(\frac 14\) BC
BD = 3CD = \(\frac 34\) BC

ΔABD ஒரு செங்கோண முக்கோணம் D = 90°
AB² = AD² + BD²...(ii)
ΔACD ஒரு செங்கோண முக்கோணம் ㄥD = 90°
AC² = AD² + CD² ...(iii)
(ii) லிருந்து (iii) ஐக் கழிக்க.,
AB² - AC² = BD² - CD²
⇒ AB² - AC² = \({ AB }^{ 2 }-{ AC }^{ 2 }={ \left( \frac { 3 }{ 4 } BC \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 1 }{ 4 } BC \right) }^{ 2 }\) (i) லிருந்து
CD = \(\frac 14\)BC, BD = \(\frac 34\)BD
⇒ AB² - AC² = \(\frac {9}{16}\) BC²  - \(\frac {1}{16}\) BC²
⇒ AB² - AC² = \(\frac 12\) BC²
⇒ 2(AB² - AC²) = BC²
⇒2AB² = 2AC²+ BC²
என நிரூபிக்கப்பட்டது.

AB - ஏணி, CA - சுவர், A - ஜன்னல்,
மேலும், BC = 2.5 மீ மற்றும் CA = 6 மீ
பித்தாகரஸ் தேற்றத்தின்படி,

AB² = BC²+ CA²
= (2.5)² + (6)²
= 42.25
AB = 6.5
ஏணியின் நீளம் = 6.5 மீ.

(i) \(\triangle A B C\) மற்றும் \(\triangle A D E\) இல் \(\angle A\) பொதுவானது
\(\frac{A E}{E C}=\frac{2}{3 \frac{1}{2}}=\frac{2}{\frac{7}{2}}=\frac{2 \times 2}{7}=\frac{4}{7} \)
\(\frac{A D}{D B}=\frac{3}{5}\)
இங்கு \(\frac{4}{7} \neq \frac{3}{5}\)
\(\frac{A E}{E C} \neq \frac{A D}{D B}\)
ஒத்த பக்கங்களின் விகிதங்கள் சமமாக இல்லை.
\(\therefore \triangle ABC\) மற்றும் \(\triangle A D E\) வடிவொத்த முக்கோணங்கள் அல்ல.
(ii) \(\triangle C P Q\) மற்றும் \(\triangle C A B\) இல் \(\angle C\) பொதுவானது.
\(\angle P Q C=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}\)
[\( \because \angle P Q C\) மற்றும் \(\angle P Q B\) ஆகியவை நேரிய கோண இணை]
\(\angle A B C =70^{\circ}  \)
\(\therefore \angle B A C =\angle Q P C\)
[∵ முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல் 180^o]
\(\angle P C Q =180^{\circ}-\left(\angle Q P C+70^{\circ}\right)  \)
\(\therefore \angle A B C =\angle P Q C=70^{\circ}\)
\(\angle C\) பொதுவானது, \(\angle B A C=\angle Q P C\)
∴ AA விகிதமுறைப்படி, \(\triangle A B C \sim \triangle \angle P Q C\)
∴ ஒத்த பக்கங்கள் விகிதசமம்.
\(\frac{A B}{P Q} =\frac{B C}{Q C}  \)
\(\frac{5}{x} =\frac{6}{3}  \)
\({[\because \mathrm{BC}=\mathrm{BQ}} +\mathrm{QC}=3+3=6]  \)
\(\mathrm{x} =\frac{5}{6} \times 3=2.5 \quad \therefore \mathrm{x}=2.5\)

60 x 2 = 120^o

\(\frac{A B}{A C} =\frac{B D}{D C}  \)
\(\frac{8}{A C} =\frac{6}{3}  \)
\(A C =\frac{8}{6} \times 3=4\) செ.மீ 

\(\triangle A B C \sim \triangle P Q R\) எனில்,
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}=\frac{A C}{P Q}=\) ΔABC இன் சுற்றளவு / ΔPQR இன் சுற்றளவு
AB + BC + CA = 36 செ. மீ 
\(\mathrm{PQ}+\mathrm{QR}+\mathrm{PR}=\) 24 செ.மீ 
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{36}{24} \Rightarrow \frac{A B}{10}=\frac{36}{24} \)
\(\mathrm{AB}=\frac{36 \times 10}{24}\)
AB = 15 செ.மீ

\(\triangle L M N \sim \triangle P Q R\) எனில்
\(\angle R =\angle N=180-(60+50)  \)
\(=180-110=70^{\circ}\)