B, D ஐ இணைப்பதால் ΔABD, ΔBCD கிடைக்கின்றன.
இப்பொழுது ΔABD - ன் பரப்பு
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [-5(- 5 - 5) + (-4) (5 - 7) + 4 (7 + 5 )]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) (50 + 8 + 48)
= \(\frac { 106 }{ 2 } \) = 53 சதுர அலகுகள்
மேலும் ΔBCD யின் பரப்பு
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [-4 (- 6 - 5) - 1 (5 + 5) + 4 (-5 + 6)]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) (44 - 10 + 4)
= 19 சதுர அலகுகள்
ஆகையால் நாற்கரம் ABCD-ன் பரப்பு
= 53 + 19 = 72 சதுர அலகுகள்

P(x, y) எனும் புள்ளி A(7, 1) மற்றும் B(3, 5) யிலிருந்து சமதூரத்தில் உள்ள புள்ளி. இங்கு AP = BP. ஆகையால் AP² = BP².
(x - 7)² + (y - 1)² = (x - 3)² + (y - 5)²
x² - 14x + 49 + y² - 2y + 1 = x² - 6x + 9 + y² - 10y + 25
x - y = 2
இதுவே தேவையான உறவு ஆகும்.

\(4 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}+12 =0 \)
\(\Rightarrow 4 \mathrm{x}+3 \mathrm{y} =-12 \)
\(\frac{4 x}{-12}+\frac{3 y}{-12} =1 \)
\(\Rightarrow \frac{x}{(-3)}+\frac{y}{(-4)} =1\) என்பது \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) என்ற வடிவில் உள்ளது.
\(\therefore\) x -வெட்டுத்துண்டு = a = -3
y-வெட்டுத்துண்டு = b = -4

3x - 7y -12 = 0 என்ற நேர்க்கோட்டிற்கு இணையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு 3x - 7y - k = 0.
இந்த நேர்க்கோடானது (6, 4) என்ற புள்ளி வழிச் செல்வதால்
3(6) - 7(4) + k = 0
k = 28 - 10 = 10
எனவே, தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு 3x - 7y + 10 = 0

நேர்க்கோடு r -யின் சாய்வு \({ m }_{ 1 }=\frac { 8-2 }{ 5+2 } =\frac { 6 }{ 7 } \)
நேர்க்கோடு s -யின் சாய்வு \({ m }_{ 2 }=\frac { 0-7 }{ -2+8 } =\frac { -7 }{ 6 } \)
சாய்வுகளின் பெருக்கல் = \(\frac { 6 }{ 7 } \times \frac { -7 }{ 6 } =-1\)
அதாவது, m₁m₂  = -1
எனவே, நேர்க்கோடு r ஆனது, நேர்க்கோடு s -க்கு செங்குத்தாக அமையும்.

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் (2, 3), (4, a) மற்றும் (6, -3)
புள்ளிகள் ஒரே கோட்டமைப்புள்ளிகள் என்பதால், முக்கோணத்தின் பரப்பு பூச்சியமாகும்.
அதாவது,
முக்கோணத்தின் பரப்பளவு = \(\frac{1}{2}\left[\mathrm{x}_1\left(\mathrm{y}_2-\mathrm{y}_3\right)+\mathrm{x}_2\left(\mathrm{y}_3-\mathrm{y}_1\right)+\mathrm{x}_3\left(\mathrm{y}_1-\mathrm{y}_2\right)\right] =0  \)
\(\Rightarrow 2(\mathrm{a}+3)+4(-3-3)+6(3-\mathrm{a}) =0  \)
\(2 \mathrm{a}+6-24+18-6 \mathrm{a} =0  \)
\(-4 \mathrm{a}+0 =0  \)
\(-4 \mathrm{a} =0  \)
\(\mathrm{a} =0\)

P(-1.5, 3), Q(6, -2) , R(-3, 4) ஆகியன கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஆகும்.
∆PQR - யின் பரப்பு = \(\frac 12\) {(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁) − (x₂y₁ + x₃y₂ + x₁y₃)} 
= \(\frac 12\) {(3 + 24 - 9) - (18 + 6 - 6)} = \(\frac 12\) {18 - 18} = 0
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமைந்துள்ளன.

A (1, -1), B(-4, 6), மற்றும் C(-3, -5) சூத்திரத்தை பயன்படுத்தி 
Δ = \(\frac { 1 }{ 2 } \) {x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)} சதுர அலகுகள்
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [1 (6 + 5 ) + (-4) (-5 + 1) + (-3) (- 1 - 6)]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [11 + 16 + 21] = 24 சதுர அலகுகள்
∴ முக்கோணத்தின் பரப்பு = 24 சதுர அலகுகள்

இணைகரத்தில் மூலைவிட்டங்கள் இருசமக்கூறிடும்.
∴ AC யின் மையப்புள்ளி = BD-ன் மையப்புள்ளி 
i.e., \(\left[ \frac { 6+9 }{ 2 } ,\frac { 1+4 }{ 2 } \right] =\left[ \frac { 8+p }{ 2 } ,\frac { 2+3 }{ 2 } \right] \)
\(\left[ \frac { 15 }{ 2 } ,\frac { 5 }{ 2 } \right] =\left[ \frac { 8+p }{ 2 } ,\frac { 5 }{ 2 } \right] \)
\(\frac { 15 }{ 2 } ,\frac { 8+p }{ 2 } \)
P = 7 

P, Q என்ற புள்ளிகள் AB கோட்டினை 
AP = PQ = QB எனப் பிரிப்பதாகக் கொள்வோம்.

எனவே P ஆனது AB ஐ உட்புறமாக 1:2 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கிறது. எனவே, P பிரிவு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி
\(P(x,y)=\left[ \frac { 1(-7)+2(2) }{ 1+2 } ,\frac { 1(7)+2(-2) }{ 1+2 } \right] \)  i.e., (-1, 0)
மேலும் Q ஆனது AB இன் உட்புறமாக 2:1 என்ற விகிதத்தில் Q பிரிக்கிறது.
\(\therefore Q(x,y)=\left[ \frac { 2(-7)+1(2) }{ 2+1 } ,\frac { 2(4)+(-2) }{ 2+1 } \right] \) i.e., (-4, 2)
∴ AB கோட்டினை P(-1, 0) மற்றும் (-4, 2) புள்ளிகள் மூன்றும் பிரிவுகளாகப் பிரிக்கின்றன. 

(a)  படத்திலிருந்து, சாய்வு =
\(=\frac { 68-32 }{ 20-0 } =\frac { 36 }{ 20 } =\frac { 9 }{ 5 } \) = 1.8
கோடானது y-அச்சினை (0, 32) –யில் சந்திக்கிறது.
ஆகையால் சாய்வு \(\frac 95\) மற்றும் y வெட்டுத்துண்டு 32 ஆகும்.

(b) சாய்வு மற்றும் y வெட்டுத்துண்டு வடிவத்தைப் பயன்படுத்தி, நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதலாம்.
நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு  y = \(\frac 95\)x + 32
(c) பூமியின் சராசரி வெப்பநிலை 25° செல்சியஸ் ஆக இருக்கும்போது y - ஐ பாரன்ஹீட் டிகிரியில் காண x = 25
y = \(\frac 95\)x + 32
y = \(\frac 95\) (25) + 32
y = 77
எனவே, பூமியின் சராசரி வெப்பநிலை 77° F ஆகும்.

நாற்கரத்தின் பரப்பைக் காண்பதற்கு முன்பாகக் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறிக்கவேண்டும்.
A(8,6), B(5,11), C(–5,12) மற்றும் D(–4,3) என்பன முனைப் புள்ளிகள் ஆகும்.
எனவே, நாற்கரம் ABCD - யின் பரப்பு
= \(\frac 12\) {(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₄ + x₄y₁) − (x₂y₁ + x₃y₂ + x₄y₃ + x₁y₄)}
= \(\frac 12\) {(88 + 60 - 15 - 24) - (30 - 55 - 48 + 24)}
= \(\frac 12\) {109 + 49}
= \(\frac 12\) {158} = 79 ச.அலகுகள்

(2,1) என்பதை சமன்பாடுகள் (2) ல் பிரதியிட, x + y = 3 மற்றும் 3 x +y = 7
இரண்டு சமன்பாடுகளும் (2,1) என்ற புள்ளியால் நிறைவு செய்யப்படுகிறது.

7x - 3y + 4 = 0 என்ற கோட்டின் சாய்வு
\(\frac{-a}{b}=\frac{-7}{-3}=\frac{7}{3}\)
செங்குத்துக் கோட்டின் சாய்வு \(=\frac{-3}{7}\)
(0,0) வழிச் செல்வதும் சாய்வு \(\frac{-3}{7}\) உடையதுமான கோட்டின் சமன்பாடு
\(y-y_1 =m\left(x-x_1\right) \)
\(y-0 =\frac{-3}{7}(x-0) \)
7y = -3x
3x + 7y = 0

புள்ளிகள் (-5, 0), (0, -5) மற்றும் (5, 0) முக்கோணத்தின் பரப்பளவு
\(=\frac{1}{2}\left[x_1\left(y_2-y_3\right)+x_2\left(y_3-y_1\right)+x_3\left(y_1-y_2\right)\right]\)
\(=\frac{1}{2}[-5(-5-0)+0(0-0)+5(0+5)] \)
\(=\frac{1}{2}[25+25]=\frac{50}{2}=25 \) சதுர அலகுகள்

Δ-ன் பரப்பு
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [2(k + 3) + 4(- 3 - 3) + 6 (3 - k)] = 0
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 } \) [-4k] = 0
⇒ k = 0
Δ ABC-யின் பரப்பு
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [2 (0 + 3) + 4(- 3 - 3) + 6(3 - 0)] = 0

இணைகரத்தில் மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றையொன்று இருசமக்கூறிடும். ∴ AC-ன் நடுப்புள்ளி = BD-ன் நடுப்புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள்
\(\left( \frac { -2+4 }{ 2 } ,\frac { -1+b }{ 2 } \right) =\left( \frac { a+1 }{ 2 } ,\frac { 0+2 }{ 2 } \right) \)
\(\Rightarrow \left( 1,\frac { b-1 }{ 2 } \right) =\left( \frac { a+1 }{ 2 } ,1 \right) \)
\(\Rightarrow \frac { a+1 }{ 2 } \) = 1 ⇒ a + 1 = 2 ⇒ a = 1
\(\Rightarrow \frac { b-1 }{ 2 } \) = 1 ⇒ b - 1 = 2 ⇒ b = 3