கூம்பின் உயரம் மற்றும் ஆரம், h மற்றும் r என்க.
இங்கு, h = 24 செ.மீ, கன அளவு = 11088 க.செ.மீ
\(\frac { 1 }{ 3 } { \pi r }^{ 2 }h=11088\)
\(\frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 22 }{ 7 } \times { r }^{ 2 }\times 24=11088\)
\({ r }^{ 2 }=441\)
ஆகவே , கூம்பின் ஆரம் r = 21 செ.மீ.

இங்கு, தேவையான விகிதம் = கோளத்தின் வளைபரப்பு : உருளையின் வளைபரப்பு : கூம்பின் வளைபரப்பு 
\(4\pi { r }^{ 2 }:2\pi rh:\pi rl,(l=\sqrt { { r }^{ 2 }+{ h }^{ 2 } } =\sqrt { 2{ r }^{ 2 } } =\sqrt { 2r } )\)
\(=4\pi { r }^{ 2 }:2\pi { r }^{ 2 }:\pi r\sqrt { 2 } r\)
\(=4\pi { r }^{ 2 }:2\pi { r }^{ 2 }:\sqrt { 2 } \pi { r }^{ 2 }\)
\(=4:2:\sqrt { 2 } =2\sqrt { 2 } :\sqrt { 2 } :1\)

r என்பது அரைக்கோளத்தின் ஆரம் என்க.
இங்கு, அடிப்பரப்பு = \(\pi \)r²ச.அ = 1386 ச.மீ 
அரைக்கோளத்தின் மொத்தப் பரப்பு = 3\(\pi \)r²ச.அ 
= 3 x 1386 = 4158
ஆகவே, அரைக்கோளத்தின் மொத்தப் புறப்பரப்பு 4158 ச.மீ ஆகும்.

r₁ மற்றும் r₂ என்பன வளிக்கூண்டின் ஆரங்கள் என்க.
இங்கு, \(\\ \frac { { r }_{ 1 } }{ { r }_{ 2 } } =\frac { 12 }{ 16 } =\frac { 3 }{ 4 } \)
எனவே, புறப்பரப்புகளின் விகிதம் \(=\frac { 4\pi { r }_{ 1 }^{ 2 } }{ 4\pi { r }_{ 2 }^{ 2 } } =\frac { { r }_{ 1 }^{ 2 } }{ { r }_{ 2 }^{ 2 } } ={ \left( \frac { { r }_{ 1 } }{ { r }_{ 2 } } \right) }^{ 2 }={ \left( \frac { 3 }{ 4 } \right) }^{ 2 }=\frac { 9 }{ 16 } \)
ஆகவே, புறப்பரப்புகளின் விகிதம் 9:16 ஆகும்.

கோளத்தின் ஆரம் 'r' என்க 
கோளத்தின் புறப்பரப்பு = 154 ச.மீ 
4\(\pi\)r² = 154
\(4\times \frac { 22 }{ 7 } \times { r }^{ 2 }=154\)
\({ r }^{ 2 }=154\times \frac { 1 }{ 4 } \times \frac { 7 }{ 22 } \)
எனவே, r² = \(\frac{49}{4}\)⇒ r = \(\frac{7}{2}\)
ஆகவே, விட்டம் 7 மீ ஆகும்.

கூம்பின் ஆரம் r = 7 செ.மீ 
கூம்பின் மொத்தப் புறப்பரப்பு = \(\pi\)r (l + r) ச.அ
மொத்தப் புறப்பரப்பு = 704 ச.செ.மீ 
704 = \(\frac { 22 }{ 7 } \times 7(l+7)\)
32 = l + 7 ⇒  l = 25 செ.மீ 
ஆகவே, கூம்பின் சாயுயரம் 25 செ.மீ. ஆகும்.

r மற்றும் h என்பன முறையே கூம்பின் ஆரம் மற்றும் உயரம் என்க.
இங்கு, ஆரம் r = 7 மீ, உயரம் h = 24 மீ 
தற்போது, \(l=\sqrt { { r }^{ 2 }+{ h }^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { 49+576 } \)
\(l=\sqrt { 625 } =25\) மீ 
கூம்பின் வளைபரப்பு = \(\pi \)rl ச.அ
\(=\frac { 22 }{ 7 } \times 7\times 25=550\) மீ²
மேலும், கூம்பின் வளைபரப்பு = கித்தானின் பரப்பு 
=\(\frac{550}{4}\)= 137.5 மீ 
ஆகவே, கித்தானின் நீளம் 137.5 மீ ஆகும்.

h, r மற்றும் R என்பன முறையே உள்ளீடற்ற உருளையின் உயரம், உட்புற ஆரம் மற்றும் வெளிப்புற ஆரம் என்க.
இங்கு, உயரம் h = 25 மீ; தடிமன் = 2 மீ.
உட்புற ஆரம் r = 6 மீ 
தற்போது, வெளிப்புற ஆரம் R = 6 + 2 = 8 மீ 
சுரங்கப்பாதையின் வளைபரப்பு = உள்ளீடற்ற உருளையின் வளைபரப்பு 
= 2π(R + r)h ச.அ
\(=2\times \frac { 22 }{ 7 } (8+6)\times 25\)
எனவே, சுரங்கப்பாதையின் வளைபரப்பு = 2200 ச.மீ 
ஒரு லிட்டர் வர்ணம் பூசக்கூடிய பரப்பு = 10 ச.மீ
எனவே, தேவைப்படும் வர்ணம் =\(\frac{2200}{10}=220\) லி.
ஆகவே, சுரங்கப்பாதைக்கு வர்ணம் பூச 220 லிட்டர் வர்ணம் தேவைப்படும்.

கண்ணாடிக் குவளையின் விட்டம் = 20 செ.மீ
\(\therefore\) ஆரம் = 10 செ.மீ
தண்ணீர் உள்ள உயரம் = 9 செ.மீ
உலோக உருளையின் ஆரம் = 5 செ.மீ
உலோக உருளையின் உயரம் = 4 செ.மீ
வெளியேற்றப்பட்ட நீரின் கனஅளவு = உலோக உருளையின் கன அளவு
\(\pi r_1^2 h_1=\pi r_2^2 h_2 \)
\((10)^2 h_1=(5)^2(4) \)
\(\mathrm{h}_1=\frac{100}{100}=1\) செ.மீ
எனவே, நீரில் ஏற்படும் உயர்வு 1 செ.மீ

r, R என்பன முறையே உள்ளீடற்ற கோளத்தின் உள் ஆரம் மற்றும் வெளி ஆரம் என்க.
இங்கு, உள்விட்டம் d = 14 செ.மீ; உள் ஆரம் r = 7 செ.மீ; தடிமன் = 1மி.மீ =\(\frac{1}{10}\) செ.மீ 
வெளி ஆரம் R = 7+\(\frac{1}{10}=\frac {71}{10}=7.1\) செ.மீ
உள்ளீடற்ற கோளத்தின் கன அளவு \(=\frac { 4 }{ 3 } \pi \left( { r }^{ 3 }-{ r }^{ 3 } \right) \)க.அ 
\(=\frac { 4 }{ 3 } \times \frac { 22 }{ 7 } (357.91-343)=62.48\) க.செ.மீ
ஆனால், 1 க.செ.மீ பித்தளையின் அடர்த்தி = 17.3 கி  
மொத்த நிறை = 17.3 x  62.48 = 1080.90 கி 
எனவே, மொத்த நிறை 1080.90 கிராம் ஆகும்.

(i) உருளையின் கன அளவு = πr²h க.அ
உருளை A-ன் கன அளவு \(=\frac { 22 }{ 7 } \times \frac { 7 }{ 2 } \times \frac { 7 }{ 2 } \times 21\)
= 808.5 செ.மீ³
உருளை B-ன் கனஅளவு \(=\frac { 22 }{ 7 } \times \frac { 21 }{ 2 } \times \frac { 21 }{ 2 } \times 7\)
= 2425.5 செ.மீ³
ஆகவே, உருளை B-ன் கன அளவு உருளை A-ன் கன அளவை விட அதிகம் ஆகும்.
(ii) உருளையின் மொத்தப் புறப்பரப்பு = 2πr(h + r) ச.அ
உருளை A-ன் மொத்தப் புறப்பரப்பு \(=2\times \frac { 22 }{ 7 } \times \frac { 7 }{ 2 } \times (21+3.5)=539\) செ.மீ²
உருளை B-ன் மொத்தப் புறப்பரப்பு \(=2\times \frac { 22 }{ 7 } \times \frac { 21 }{ 7 } \times (7+10.5)=1155\) செ.மீ²
ஆகவே, கன அளவு அதிகம் கொண்ட உருளை B-ன் மொத்தப் புறப்பரப்பு அதிகமாக உள்ளது.
(iii) 
ஆகவே, உருளை A மற்றும் B-ன் கன அளவுகளின் விகிதம் 1:3

காகிதத்தாளின் பரப்பு = 5720 செ.மீ²
தொப்பியின் ஆரம் r = 5 செ.மீ
தொப்பியின் உயரம் h = 12 செ.மீ
\(\therefore\) சாயுயரம் \(l=\sqrt{h^2+r^2}\)
\(=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25} \)
\(=\sqrt{169} \quad=13\) செ.மீ
கூம்பு வடிவத் தொப்பியின் வளைபரப்பு = πrl ச.அ
\(=\frac{22}{7} \times 5 \times 13=\frac{1430}{7}\)
\(\therefore\) தொப்பிகளின் எண்ணிக்கை = காகிதத்தாளின் பரப்பு / கூம்பு வடிவத் தொப்பியின் வளைபரப்பு
\(=\frac{5720}{143 \dot{3} 0} \times 7=28\) தொப்பிகள்

உருளையின் விட்டம் = கூம்பின் விட்டம் = கோளத்தின் விட்டம்
உருளையின் உயரம் = கூம்பின் உயரம் = கோளத்தின் உயரம்
உருளையின் கனஅளவு \(=V_1=\pi r^2 h\)
கூம்பின் கன அளவு \(=V_2=\frac{1}{3} \pi r^2 h\)
கோளத்தின் கன அளவு  \(=V_3=\frac{4}{3} \pi r^3\)
கோளத்தின் ஆரம் = 'R', விட்டம் = 2R
கன அளவுகளின் விகிதம் \(\Rightarrow V_1: V_2: V_3\)
\(=\pi R^2(2 R): \frac{1}{3} \pi R^2(2 R): \frac{4}{3} \pi R^3 \)
\(=1: \frac{1}{3}: \frac{2}{3}=3: 1: 2\)

r₁ ஆரத்தைக் கொண்ட கோளப் பந்தின் கன அளவு \(=\frac{4}{3} \pi r_1^3\)
r₂ ஆரத்தைக் கொண்ட சம கோளப் பந்துகளின் கன அளவு
\(=8\left(\frac{4}{3} \pi r_2^3\right)\)
இப்போது, கோளத்தின் கன அளவு / புதிய 8 கோளங்களின் கன அளவு
\(=\frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{8\left(\frac{4}{3} \pi r_2^3\right)}=\frac{r_1^3}{8 r_2^3}=2: 1\)

அரைக்கோளத்தின் மொத்தப்பரப்பு = 3πr²
= 3π (ஆரத்தின் வர்க்கம்)
= 3π மடங்கு

கொ.ப r = 5 செ மீ, l = 13 செ மீ
\(\therefore\)  உயரம் \(h =\sqrt{F-r}=\sqrt{13-5} \)
\(=\sqrt{163-25}=\sqrt{144}=12\) செ மீ