A(-2, 5), B(6, -1) மற்றும் C(2, 2) என்பன கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஆகும்.
AB - யின் சாய்வு = \(\frac { -1-5 }{ 6+2 } =\frac { -6 }{ 7 } =\frac { -3 }{ 4 } \)
BC -  யின் சாய்வு = \(\frac { 2+1 }{ 2-6 } =\frac { 3 }{ -4 } =\frac { -3 }{ 4 } \)
AB-யின் சாய்வு = BC -யின் சாய்வு
எனவே, A, B, C என்ற புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டின் மேல் அமைந்துள்ளன. ஆகவே,  A, B, C  என்பன ஒரே கோடமைந்த புள்ளிகள் ஆகும்.

(i) இங்கு θ = 30°
சாய்வு m = tan  θ
எனவே, சாய்வு m = tan 30° = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)
(ii) சாய்வு \(\sqrt 3\) ,  θ என்பது கோட்டின் சாய்வுக் கோணம் என்க.
tan  θ = \(\sqrt 3\)
⇒  θ = 60°

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் (2, 3), (4, a) மற்றும் (6, -3)
புள்ளிகள் ஒரே கோட்டமைப்புள்ளிகள் என்பதால், முக்கோணத்தின் பரப்பு பூச்சியமாகும்.
அதாவது,
முக்கோணத்தின் பரப்பளவு = \(\frac{1}{2}\left[\mathrm{x}_1\left(\mathrm{y}_2-\mathrm{y}_3\right)+\mathrm{x}_2\left(\mathrm{y}_3-\mathrm{y}_1\right)+\mathrm{x}_3\left(\mathrm{y}_1-\mathrm{y}_2\right)\right] =0  \)
\(\Rightarrow 2(\mathrm{a}+3)+4(-3-3)+6(3-\mathrm{a}) =0  \)
\(2 \mathrm{a}+6-24+18-6 \mathrm{a} =0  \)
\(-4 \mathrm{a}+0 =0  \)
\(-4 \mathrm{a} =0  \)
\(\mathrm{a} =0\)

படத்தில், கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளைக் கடிகார முள்ளின் எதிர் திசையில் அமையுமாறு குறிக்கவும்.

 
என்பன முக்கோணத்தின் முனைகள் என்க.
ΔABC - யின் பரப்பு
= \(\frac {1}{2}\) {(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁) - (x₂y₁ + x₃y₂ + x₁y₃)}
= \(\frac {1}{2}\) {(6 + 30 + 25) - (25 - 10 - 18)}
= \(\frac {1}{2}\) {61 + 3}
= \(\frac {1}{2}\)  (64) = 32 சதுர அலகுகள்

A(1, -4), B(2, -3) மற்றும் C(4, -7) ஆகியன முக்கோணத்தின் முனைப் புள்ளிகள் என்க
AB -யின் சாய்வு = \(\frac { -3+4 }{ 2-1 } =\frac { 1 }{ 1 } \) = 1
BC -யின் சாய்வு  = \(\frac { -7+3 }{ 4-2 } =\frac { -4 }{ 2 } \) = -2
AC -யின் சாய்வு = \(\frac { -7+4 }{ 4-1 } =\frac { -3 }{ 3 } \) = -1
AB-யின் சாய்வு × AC-யின் சாய்வு = (1)(-1) = -1
ஆகவே, AB ஆனது AC-க்கு செங்குத்தாகும். ㄥA = 90⁰
எனவே, ΔABC ஆனது செங்கோண முக்கோணம் ஆகும்.

P(-1, -4), Q(b, c) மற்றும் R(5, -1) என்ற புள்ளிகள் ஒரே நேர்கோட்டில் அமைவதால்
ΔPQR -யின் பரப்பு = 0
\(\frac 12\){(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁) − (x₂y₁ + x₃y₂ + x₁y₃)} = 0
\(\frac 12\){(−c − b − 20) − (−4b + 5c + 1)} = 0
− c − b − 20 + 4b − 5c − 1 = 0
b - 2c = 7 …(1)
மேலும் 2b + c = 4 …(2) (கொடுக்கப்பட்டது)
(1) மற்றும் (2) –ஐ தீர்ப்பதன் மூலம்  b = 3 , c = −2

3x - y = 4 மற்றும் x + y = 8 ஐத் தீர்க்க
                  3x - y = 4 ......(1)
                  x + y = 8 .....(2)
                ___________
\((1)+(2) \Rightarrow 4 x =12\)
x = 3
(2) -ல் பிரதியிட
3 + y = 8
y = 5
\(\therefore\) வெட்டும்புள்ளி (3,5)

புள்ளிகள் (-5, 0), (0, -5) மற்றும் (5, 0) முக்கோணத்தின் பரப்பளவு
\(=\frac{1}{2}\left[x_1\left(y_2-y_3\right)+x_2\left(y_3-y_1\right)+x_3\left(y_1-y_2\right)\right]\)
\(=\frac{1}{2}[-5(-5-0)+0(0-0)+5(0+5)] \)
\(=\frac{1}{2}[25+25]=\frac{50}{2}=25 \) சதுர அலகுகள்