\(\Delta ={ b }^{ 2 }-4ac\) 
\(\Rightarrow\)4(ac+bd)²-4(a²+b²)(c²+d²)
\(\Rightarrow\)4[(ac+bd)²-(a²+b²)(c²+d²)
\(\Rightarrow\)4(a²c²+b²d²+2acbd-a²c²b²c²-a²d²-b²d²]
\(\Rightarrow\)4[2acbd-a²d²-b²c²]
\(\Rightarrow\)4[a²d²+b²c²-2abc]
\(\Rightarrow\)-4[ad-bc]²
ஆனால் \(ad\neq bc\)
\(\Rightarrow\)(ad-bc)²>0
\(\Rightarrow\)-4(ad-bc)²<0\(\Rightarrow\)\(\Delta <0\)
இதற்கு மெய்யெண் தீர்வு இல்லை என நிரூபிக்கப்பட்டது.

\(\sqrt { 3 } \)=\(\frac {p}{q }\)
\(\sqrt { 3 } \)=\(\frac {p}{q }\)(q≠0) (p மற்றும் q  என்பன சார்பகா எண்கள்)
எனவே, \(\sqrt { 3 } \)=\(\frac {p}{q }\)
\(\sqrt { 3 } \)q =p 
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த,
(\(\sqrt { 3 } \)q)²=p²
3q2=p2    ....(1)
q2=\(\frac{p^2}{3}\)
எனவே, 3 ஆனது p²-யை வகுக்கும் 3 ஆனது p-யையும் வகுக்கும்.
எனவே, \(\frac{p}{q}\)=c என்க 
p=3c
நமக்குத் தெரியும் 
3q²=p²
p=3c என (1)-ல் பிரதியட
3q²=(3c)²
3q²=9c²
q²=\(\frac{1}{3}\)x9x2
q²=3c²
\(\frac{q^2}{3}=c^2\)
எனவே 3 ஆனது q2 ஐ வகுக்கும் 
அதனால், 3 ஆனது q ஐயும் வகுக்கும் ...(3)
முரண்பாட்டினால் \(\sqrt { 3 } \) ஆனது விகிதமுறா எண் 

\(f(x)=\begin{cases} { x }^{ 2 }+2x+1\quad : -7\le x<-5 \\ x+5\quad \quad \quad\quad: -5\le x\le 2 \\ x-1\quad \quad \quad \quad2<x\le 6 \end{cases}\)
f(-7) = x² + 2x +1
= (-7)² + 2(-7) + 1
= 49 - 14 + 1 = 36
f(3) = x + 5 = -3 + 5 = 2
f(-7) - f(-3) = 36 - 2 = 34

ΔADC யில்
AC² = AD² + CD²  ...(1)
(பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)
ΔADB யில்,
AB² = AD² + BD² ...(2)
(பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)
(1) ஐ (2) லிருந்து கழிக்க
AB² - AC² = BD² - CD²
AB² + CD² = BD² + AC²

கொடுக்கப்பட்ட  தொடர்வரிசையானது  கூட்டுத் தொடர்வரிசை என நிரூபிக்க வேண்டுமானால், அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் வித்தியாசங்கள் சமமாக உள்ளனவா என சோதித்தால் போதுமானது.
(i) t₂ - t₁ = (2x + 3) - (x + 2) = x + 1
t₃ - t₂ = (3x + 4) - (2x + 3) = x + 1
t₂ - t₁ = t₃ - t₂
இங்கு அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் வித்தியாசங்கள் சமமாக உள்ளது. எனவே , x + 2, 2x + 3, 3x + 4,... என்பது ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசை ஆகும்.
(ii) t₂ - t₁ = 4 - 2 = 2
t₃ - t₂ = 8 - 4 = 4
t₂ - t₁  ≠ t₃ - t₂
இங்கு அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் வித்தியாசங்கள் சமமாக இல்லை. எனவே, 2, 4, 8, 16, ... என்பது ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசை அல்ல.
(iii) t₂ - t₁ = \(5\sqrt { 2 } -3\sqrt { 2 } =2\sqrt { 2 } \)
t₃ - t₂= \(7\sqrt { 2 } -5\sqrt { 2 } =2\sqrt { 2 } \)
t₂ - t₁ = t₃ - t₂
இங்கு அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் வித்தியாசங்கள் சமமாக உள்ளது. எனவே, \(3\sqrt { 2 } ,5\sqrt { 2 } ,7\sqrt { 2 } ,9\sqrt { 2 } \),... என்பது ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசை ஆகும்.

(i) R யின் கணகட்டமைப்பு முறை {(x,y) | y = x-2, x ∈ P, y ∈ Q}
(ii) R யின் பட்டியல் முறை = {(5,3),(6,4),(7,5)}
(iii) R யின் மதிப்பகம் = {5,6,7}; R யின் வீச்சகம் = {3,4,5}

A = {5, 6}, B = {4, 5, 6}, C = {5, 6, 7}
LHS: A x A = {5, 6} x {5, 6}
= {(5, 5), (5, 6), (6, 5),(6, 6)}
RHS:
B x B = {4, 5, 6} x {4, 5, 6}
= {(4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5) (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
C x C = {5, 6, 7} x {5, 6, 7}
= {(5, 5), (5, 6), (5, 7), (6, 5), (6, 6), (6,7), (7, 5), (7, 6), (7, 7)}
\((B \times B) \cap(C \times C) =\{(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)\}\)
\(\therefore \text { LHS } =\text { RHS } \)
\(A \times A =(B \times B) \cap(C \times C) \) நிறுவப்பட்டது.

6=2¹x3¹ மற்றும் 
20=2x2x5=2²x5¹
HCF (6,20)=2 மற்றும் LCM (6,20)
=2x2x3x5=60
HCF (6,20)=2²=2
​​​​​​LCM (6,20)=2²x3¹ ​​​​​​x5¹=60
(a) மற்றும் (b)=4க்கு வகுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்துவோம்.

சார்பு அல்ல. குத்துக்கோடு வளைவரையை இரு புள்ளிகளில் சந்திக்கிறது.

2 + 4 + 6+...+80 = 2(1 + 2 + 3+....+40) = 2 x \(\frac { 40\times (40+1) }{ 2 } \) = 1640

(i) குத்துக்கோடானது வளைவரையை இரு புள்ளிகளில் வெட்டுவதால், இது ஒரு சார்பல்ல.
(ii) குத்துக்கோடு வளைவரையை ஒரேயொரு புள்ளியில் வெட்டுவதால், இது ஒரு சார்பாகும்.
(iii) குத்துக்கோடானது வளைவரையை இரு புள்ளிகளில் வெட்டுவதால், இது ஒரு சார்பல்ல.
(iv) குத்துக்கோடு வளைவரையை ஒரேயொரு புள்ளியில் வெட்டுவதால், இது ஒரு சார்பாகும்

படம் -ல் R குறிக்கப்பட்டுள்ளது. ஒவ்வொரு x ∈ X -க்கும், ஒரே ஒரு y ∈ Y உறுப்பு மட்டும் கிடைக்கிறது. எனவே X-ன் எல்லா உறுப்புகளுக்கும் Y-ல் ஒரே ஒரு நிழல் உரு உள்ளது. எனவே R-ஆனது ஒரு சார்பு ஆகும்.
மதிப்பகம் X = {1,2,3,4}; துணை மதிப்பகம் Y = {2,4,6,8,10}, வீச்சகம் f = {2,4,6,8}

\(\begin{aligned} &A=\left(\begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 5 & 7 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 9 & 11 & 13 & 15 \end{array}\right), \end{aligned}\) A ன் வரிசை = 3 x 4 
\(\begin{aligned} &\mathrm{~A}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 9 \\ 3 & 4 & 11 \\ 5 & 6 & 13 \\ 7 & 8 & 15 \end{array}\right), \end{aligned}\) A^T ன் வரிசை = 4 x 3

\(y^2+\frac{1}{y^2}\) என்பது \(\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\) க்கு சமமல்ல.
ஏனெனில், \(y^2+\frac{1}{y^2} \neq y^2+\frac{1}{y^2}+2\)

\(\mathrm{f}: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}\) என்பது இருபுறச் சார்பு மற்றும் n(B) = 7.
f என்பது இருபுறச் சார்பு. அதாவது, ஒன்றுக்கு ஒன்றான மேல்சார்பு.
\(\therefore\) A மற்றும் B ஆகியவற்றில் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை சமமாக இருக்க வேண்டும். n(A) = 7

\(n(A \times B) =6 \)
\(A =\{1,3\} \Rightarrow n(A)=2 \)
\(n(B) =\frac{n(A \times B)}{n(A)}=\frac{6}{2}=3\)

23,21,19,...5 என்பது 
1,2,3,...n வந்து வரிசையில் உள்ள ரோஜாச் செடிகளின் எண்ணிக்கை.
∴ a=23, d=21-23-23=-2, l=5
a_n=a+(n-1)d⇒ t_n=a+(n-1)d
5=23+(n-1)(-2)
-18=(n-1)(-2)
n=10
∴ எனவே அப்பூந்தோட்டத்தில் 10 வரிசைகளில் ரோஜாச் செடிகள் உள்ளன.

DB = 3 CD
BC = BD + DC
BC = 3CD + CD
BC = 4CD
CD = \(\frac 14\)BC
CD = \(\frac 14\) BC
BD = 3CD = \(\frac 34\) BC

ΔABD ஒரு செங்கோண முக்கோணம் D = 90°
AB² = AD² + BD²...(ii)
ΔACD ஒரு செங்கோண முக்கோணம் ㄥD = 90°
AC² = AD² + CD² ...(iii)
(ii) லிருந்து (iii) ஐக் கழிக்க.,
AB² - AC² = BD² - CD²
⇒ AB² - AC² = \({ AB }^{ 2 }-{ AC }^{ 2 }={ \left( \frac { 3 }{ 4 } BC \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 1 }{ 4 } BC \right) }^{ 2 }\) (i) லிருந்து
CD = \(\frac 14\)BC, BD = \(\frac 34\)BD
⇒ AB² - AC² = \(\frac {9}{16}\) BC²  - \(\frac {1}{16}\) BC²
⇒ AB² - AC² = \(\frac 12\) BC²
⇒ 2(AB² - AC²) = BC²
⇒2AB² = 2AC²+ BC²
என நிரூபிக்கப்பட்டது.