முதல் விமானம் O -வில் இருந்து புறப்பட்டு வடக்கு நோக்கி A என்ற இடத்திற்குச் செல்கிறது என்க. (தொலைவு = வேகம் × நேரம்)
எனவே \(OA=\left( 100\times \cfrac { 3 }{ 2 } \right) \)கி.மீ = 1500 கி.மீ
இரண்டாவது விமானம் O -வில் இருந்து புறப்பட்டு மேற்கு நோக்கி B என்ற இடத்திற்குச் செல்கிறது என்க
எனவே \(OB=\left( 1200\times \cfrac { 3 }{ 2 } \right) \)= 1800 கி.மீ
கணக்கிடப்பட வேண்டிய தேவையான தொலைவு BA ஆகும்.
செங்கோணம் AOB யில் AB² = OA² + OB²
AB² = (1500)² + (1800)² = 100²(15² + 18²)
= 100² x 549 = 100² x 9 x 61
\(AB=100\times 3\times \sqrt { 61 } =300\sqrt { 61 } \) கி.மீ.

\(\Delta \)AQC யில், C ஆனது, செங்கோணம் என்பதால், AQ² = AC² + QC²  ...(1)
\(\Delta \)BPC- யில் C ஆனது, செங்கோணம் என்பதால், BP² = BC² + CP² ...(2)
\(\triangle A B C\)-யில், C ஆனது, செங்கோணம் என்பதால், \(A B^2=A C^2+B C^2 \ldots3\)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, AQ² + BP² = AC² + QC² + BC² + CP²
4(AQ² + BP²) = 4AC² + 4QC² + 4BC² + 4CP²
= 4AC² + (2QC)² + 4BC² + (2CP)²
= 4AC² + BC² + 4BC² + AC² (P மற்றும் Q என்பது நடுப்புள்ளி என்பதால்)
= 5(AC² + BC²)  (சமன்பாடு (3)-லிருந்து)
4(AQ² + BP²) = 5AB²

ஒளி பிரதிபலிப்பு விதியின் படி ∠i = ∠r
∠i +∠ACB = ∠r + ∠ECD = 90^o
∠ECD = \(\angle A C B\) 
∠B = ∠D = 90^o
\(\triangle A B C \sim \triangle D B E\)  (AA விதியின் படி)
\(\frac{A B}{D B}=\frac{B C}{DC} \)
\(\frac{A B}{1.25}=\frac{66}{2.5} \)
\(\mathrm{AB}=1.25\times=\frac{66}{2.5}=3.3\) மீ
∴ விளக்குக்கம்பத்தின் உயரம் = 3.3 மீ.

\(\Delta CAB\) மற்றும் \(\Delta CED\) -யில், \(\angle C\) பொதுவானது,\(\angle A=\angle CED\)
எனவே, \(\Delta CAB\sim \Delta CED\) (AA விதிமுறைப்படி)
ஆகவே,\(\cfrac { CA }{ CE } =\cfrac { AB }{ DE } =\cfrac { CB }{ CD } \)
\(\cfrac { AB }{ DE } =\cfrac { CB }{ CD } \) ⇒ \(\cfrac { 9 }{ x } =\cfrac { 10+2 }{ 8 } \) எனவே, \(x=\cfrac { 8\times 9 }{ 12 } \)= 6 செ.மீ.

ஆரம், r = 3 செ.மீ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது
வரைமுறை
படி 1 : O -வை மையமாகக் கொண்டு 3 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டம் வரைக
படி 2 : வட்டத்தின் மேல் P என்ற புள்ளியைக் குறித்து OP -ஐ இணைக்கவும்
படி 3 : P என்ற புள்ளி வழியே OP -க்கு செங்குத்தாக TT' வரைக
படி 4 : TT' ஆனது தேவையான தொடுகோடு ஆகும்.

ΔPAC, ΔQBC இவை வடிவொத்த முக்கோணங்கள்
AP மற்றும் CR என்பன 6 மீ மற்றும் 3 மீ உயரமுடைய செங்குத்துத் தூண்கள் என்க BQ = y மீ
ΔCRA மற்றும் ΔBQA இல்
∠A = ∠A (பொதுக்கோணம்)
\(\angle A C R=\angle A B Q=90^{\circ}\)
∴ AA வடிவொப்புமை விதிமுறைப்படி,
\(\triangle C R A \sim \triangle B Q A\)
∴ அவற்றின் ஒத்த பக்கங்கள் விகிதசமம்.
\(\frac{A C}{A B}=\frac{C R}{B Q} \)
\(\frac{A C}{A B} =\frac{3}{y}  \)
\(A B =\frac{A C \times y}{3} \)   ....(1)
ΔCBQ மற்றும் ΔCAP இல்
\(\angle C B Q =\angle C A P=90^{\circ} \)
∠C = ∠C  [பொதுக்கோணம்] 
\(\therefore \triangle CB Q \sim \Delta C A P  \)
\(\frac{C B}{C A} =\frac{B Q}{A P}  \)
\(\frac{C B}{C A} =\frac{y}{6}  \)
\( \mathrm{BC}=\frac{y \times C A}{6} \)   ...(2)
\((1)+(2) \Rightarrow \mathrm{AB}+\mathrm{BC}=\frac{A C \times y}{3}+\frac{y \times C A}{6}\)
\(A C=y \times A C\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)  \)
\(\frac{A C}{A C} =y\left(\frac{2+1}{6}\right)  \)
\(1 =y\left(\frac{3}{6}\right)  \)
\(1 =\frac{1}{2} y \)
y = 2 மீ

P மீட்டர் இடைவெளியில் உள்ள AB மற்றும் CD என்ற இரு தூண்களின் உயரங்கள் முறையே ‘a’ மீட்டர், ‘b’ மீட்டர் என்க. அதாவது, AC = p மீட்டர். AD மற்றும் BC-யானது O-வில் சந்திக்கிறது எனில்,
OL = h மீட்டர்.
CL= x மற்றும் LA = y என்க.
எனவே, x + y = p
\(\Delta LOC\) மற்றும் \(\triangle A B C\)-லிருந்து,
\(\angle C A B=\angle C L O\) [ஒவ்வொன்றும் 90°-க்கு சமம்] 
\(\angle C=\angle C\) [C -பொதுவானது]
\(\Delta CAB\sim \Delta CLO\) [AA விதிமுறைப்படி]
\(\cfrac { CA }{ CL } =\cfrac { AB }{ LO } \) ⇒\(\cfrac { p }{ x } =\cfrac { a }{ h } \)
எனவே, \(x=\frac { ph }{ a } \)  .....(1)
\(\Delta ALO\) மற்றும் \(\Delta ACD\) ⇒ \(\angle ALO=\angle ACD\) [ஒவ்வொன்றும் 90°-க்கு சமம்]
\(\angle A=\angle A\) [A பொதுவானது]
\(\Delta ALO\sim \Delta ACD\) [AA -விதிமுறைப்படி]
\(\cfrac { AL }{ AC } =\cfrac { OL }{ DC } \) ⇒ \(\cfrac { y }{ p } =\cfrac { h }{ b } \) ஆகவே \(y=\cfrac { ph }{ b } \)  ...(2)
(1) + (2) ⇒ \(x+y=\cfrac { ph }{ a } +\cfrac { ph }{ b } \)
\(p=ph\left( \cfrac { 1 }{ a } +\cfrac { 1 }{ b } \right) \) (ஏனெனில் x + y = p)
\(1=h\left( \cfrac { a+b }{ ab } \right) \)
எனவே, \(h=\cfrac { ab }{ a+b } \)
எனவே, இரு தூண்களின் உச்சியிலிருந்து எதிரே உள்ள தூண்களின் அடிக்கு வரையப்படும் கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியின் உயரமானது \(\frac { ab }{ a+b } \) மீட்டர் ஆகும்.

(ii) \(\Delta PST\) மற்றும் \(\Delta PQR\) -யில்,
\(\cfrac { PS }{ PQ } =\cfrac { 2 }{ 2+3 } =\cfrac { 2 }{ 5 } ,\cfrac { PT }{ PR } =\cfrac { 2 }{ 2+3 } =\cfrac { 2 }{ 5 } \)
இதிலிருந்து,\(\cfrac { PS }{ PQ } =\cfrac { PT }{ PR } \) மற்றும்
\(\angle P\)  ஆனது பொதுக் கோணம். எனவே, SAS விதிமுறைப்படி, \(\Delta PST\sim \Delta PQR\)

கொடுக்கப்பட்டது OP = 5 செ.மீ, ஆரம் r = 3 செ.மீ
தொடுகோட்டின் நீளம் PT ஐ காண செங்கோண முக்கோணம் OTP -யில்
OP² = OT² + PT² (பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)
5² + 3² + PT² ⇒ PT² = 5² = 3² + PT²
தொடுகோட்டின் நீளம் PT = 4 செ.மீ

AB = 12 செ.மீ.
AD = 8 செ.மீ
AE = 12  செ.மீ
AC = 18 செ.மீ
அடிப்படை விகிதசம தேற்றத்தின்படி
\(\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C} \)
\(\frac{A D}{D B}=\frac{8}{A B-A D}=\frac{8}{12-8}  \)
\(\frac{A D}{D B}=\frac{8}{4}=2  \)
\(\frac{A E}{E C}=\frac{12}{A C-A E}  \)
\(\frac{A E}{E C}=\frac{12}{18-12}=\frac{12}{6}=2\)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
\(=\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}\)
DE || BC

\(\Delta ABC\) -யில் \(\angle A\) -யின் இருசமவெட்டி AD ஆகும்.
எனவே, கோண இருசமவெட்டித் தேற்றத்தின்படி,
\(\cfrac { BD }{ DC } =\cfrac { AB }{ AC } \)
\(\cfrac { 4 }{ 3 } =\cfrac { 6 }{ AC } \) ⇒ 4AC = 18, எனவே \(AC=\cfrac { 9 }{ 2 } \) = 4.5 செ.மீ.

AB = 5.6 செ.மீ. AD = 1.4 செ.மீ, AC = 7.2 செ.மீ மற்றும் AE = 1.8 செ.மீ.
BD = AB - AD = 5.6 - 1.4 = 4.2 செ.மீ
மற்றும் EC = AC - AE = 7.2 - 1.8 = 5.4 செ.மீ
\(\cfrac { AD }{ DB } =\cfrac { 1.4 }{ 4.2 } =\cfrac { 1 }{ 3 } \) மற்றும் \(\cfrac { AE }{ EC } =\cfrac { 1.8 }{ 5.4 } =\cfrac { 1 }{ 3 } \)
\(\cfrac { AD }{ DB } =\cfrac { AE }{ EC } \)
எனவே, அடிப்படை விகிதசம தேற்றத்தின் மறுதலையின்படி DE -யானது BC-க்கு இணை ஆகும்.

APBO என்ற நாற்கரத்தில்
\(70^{\circ}+90^{\circ}+90^{\circ}+\angle A O B =360^{\circ}  \)
\(\angle A O B =360^{\circ}-250^{\circ}=110^{\circ}\)

AC = 11 - 6 = 5 மீ 
செங்கோண ΔABC இல்
\(\mathrm{AB}^2 =\mathrm{BC}^2+\mathrm{AC}^2=12^2+5^2 \)
= 144 + 25 = 169 
AB = 13 மீ 

\(\triangle A B C \sim \triangle P Q R\) எனில்,
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}=\frac{A C}{P Q}=\) ΔABC இன் சுற்றளவு / ΔPQR இன் சுற்றளவு
AB + BC + CA = 36 செ. மீ 
\(\mathrm{PQ}+\mathrm{QR}+\mathrm{PR}=\) 24 செ.மீ 
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{36}{24} \Rightarrow \frac{A B}{10}=\frac{36}{24} \)
\(\mathrm{AB}=\frac{36 \times 10}{24}\)
AB = 15 செ.மீ

\(\triangle L M N \sim \triangle P Q R\) எனில்
\(\angle R =\angle N=180-(60+50)  \)
\(=180-110=70^{\circ}\)