10ஆம் வகுப்பு கணிதம் முக்கிய வினாவிடைகள் (10th Standard Maths Important Questions with Answerkey)

10ஆம் வகுப்பு Maths / கணிதம் தமிழ் மீடியம் | மாதிரி வினாத்தாள்கள் | முக்கிய வினாக்கள் | கேள்வி விடை தொகுப்பு | வினாத்தாள்கள் | பொதுத்தேர்வு மாதிரி வினாத்தாள்கள் , Maths / கணிதம் பாடத்திற்கான மாதிரி வினாத்தாள்கள், முக்கிய கேள்வி-விடைகள், ஒருமார்க் கேள்விகள், காலாண்டு & பொதுத்தேர்வு கேள்வித் தொகுப்புகள்

Questions:

Generic 2

25 x 2 = 50

பின்வரும் 3 மாறிகளில் அமைந்த நேரியல் சமன்பாடுகளின் தீர்வு காண்
x+y+z=6;2x+3y+4z=20;
3x+2y+5z=22

5,10,15,20,25 என்ற எண்களின் திட்டவிலக்கம் காண். மேலும் 3 என்ற எண்ணை ஒவ்வொரு தரவுடன் கூட்டக் கிடைக்கும் எண்களின் திட்ட விலக்கம் காண்.

பின்வருவனவற்றுள் எவை கூட்டுத் தொடர் வரிசை அமைக்கும்? கூட்டுத் தொடர் எனில் அடுத்த இரண்டு உறுப்புகளைக் காண்
4,10,16,22,....

குத்துக் கோடு சோதனையைப் பயன்படுத்தி மேற்கண்ட வரைபடம் ஓர் சார்பினைக் குறிக்குமா எனக் காண்க. உன் விடைக்கு காரணம் கூறு?

பின்வரும் முக்கோணங்களில் ㄥBAC - ஐ காண்க. (tan 69.4° = 2.6604)
(ii)

வரைபடமானது y அச்சில் பாரன்ஹீட் டிகிரி வெப்பநிலையையும் x அச்சில் செல்சியஸ் டிகிரி வெப்பநிலையையும் குறிக்கிறது எனில்,
கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதுக.

இரண்டு பொது மைய வட்டங்களின் ஆரங்கள் 4 செ.மீ, 5 செ.மீ ஆகும். ஒரு வட்டத்தின் நாணானது மற்றொரு வட்டத்திற்குத் தொடுகோடாக அமைந்தால் அவ்வட்டத்தின் நாணின் நீளம் காண்க.

ஒரு விளக்கு கம்பத்தின் உயரம் 6 மீ. அதன் அடியிலிருந்து 8 மீ தொலைவில் உள்ள ஒரு பூச்சி, கம்பத்தை நோக்கி ஒரு குறிப்பிட்ட தொலைவு நகர்கிறது. கம்பத்தின் உச்சிக்கும் தற்பொழுது பூச்சி இருக்கும் இடத்திற்கும் இடைப்பட்ட தொலைவு, பூச்சி கம்பத்தை நோக்கி நகர்ந்த தொலைவிற்குச் சமம் எனில், கம்பத்தின் அடியிலிருந்து பூச்சி தற்பொழுது எவ்வளவு தொலைவில் உள்ளது?

50\(\sqrt 3\) மீ உயரமுள்ள ஒரு பாறையின் உச்சியிலிருந்து 30° இறக்கக்கோணத்தில் தரையிலுள்ள மகிழுந்து ஒன்று பார்க்கப்படுகிறது எனில், மகிழுந்திற்கும் பாறைக்கும் இடையேயுள்ள தொலைவைக் காண்க.

10.

\(A=\left( \begin{matrix} 1 & 3 & -2 \\ 5 & -4 & 6 \\ -3 & 2 & 9 \end{matrix} \right) ,B=\left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 9 \end{matrix}\begin{matrix} 8 \\ 4 \\ 6 \end{matrix} \right) \) எனில், A + B -ஐக் காண்க

11.

5, 15, 45, …என்ற பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் முதல் 6 உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க.

12.

ஒரு சமவாய்ப்புச் சோதனையில் A, B ஆகியவை ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகள். மேலும் P(A இல்லை) = 0.45, P (A\(\cup \)B) = 0.65 எனில், P(B)-ஐக் காண்க.

13.

P(A) = 0.37, P(B) = 0.42, P(A\(\cap\)B) = 0.09 எனில், P(A\(\cup\)B) ஐக் காண்க.

14.

இரண்டு நாணயங்கள் ஒன்றாகச் சுண்டப்படுகின்றன. இரண்டு நாணயங்களிலும் வெவ்வேறு முகங்கள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

15.

சூத்திர முறையில் x²+ 2x - 2 = 0 -ஐத் தீர்க்கவும்.

16.

(6,7) மற்றும் (2,–3) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்க்கோட்டிற்குச் செங்குத்தானதும் (6,–2) என்ற புள்ளி வழி செல்வதுமான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

17.

ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் 7 -வது உறுப்பு −1 மற்றும் 16 -வது உறுப்பு 17 எனில், அதன் பொது உறுப்பைக் காண்க.

18.

மூலங்களின் கூடுதல் மற்றும் பெருக்கற்பலன் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இருபடிச் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
-9, 20

19.

கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள x, y வெட்டுத்துண்டுகளைக் கொண்ட நேர்க்கோடுகளின் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
4, –6

20.

r அலகுகள் ஆரம் கொண்ட ஒரு திண்ம அரைக் கோளத்திலிருந்து வெட்டி எடுக்கப்படும் கூம்பின் மீப்பெரு கனஅளவு என்ன?

21.

(3,-1) , (a,3) மற்றும் (1,-3) ஆகிய மூன்று புள்ளிகள் ஒரு கோடமைந்தவை எனில் a -யின் மதிப்பு காண்க?

22.

f(x) = \(\sqrt { 2x^{ 2 }-5x+3 } \) -ஐ இரு சார்புகளின் சேர்ப்பாகக் குறிக்க.

23.

ஒரு நேர் வட்டக் கூம்பின் கன அளவு 11088 க.செ.மீ ஆகும். கூம்பின் உயரம் 24 செ.மீ எனில், அதன் ஆரம் காண்க.

24.

ஒரு கூம்பின் இடைக்கண்டச் சாயுயரம் 5 செ.மீ ஆகும். அதன் இரு ஆரங்கள் 4 செ.மீ மற்றும் 1 செ.மீ எனில், இடைக்கண்டத்தின் வளைபரப்பைக் காண்க.

25.

If A x B = {(3,2), (3,4), (5,2), (5,4)} எனில் A மற்றும் B -ஐ காண்க.

Generic 5

17 x 5 = 85

26.

\(\Sigma x=99,n=9,\Sigma \left( x-10 \right) ^{ 2 }=79\) எனில்
(i) \({ \Sigma x }^{ 2 }\)
(ii) \(\Sigma \left( x-\bar { x } \right) \)

27.

\(\sqrt { 3 } \) ஒரு விகிதமுறா மூலம் என நிரூபி.

28.

சார்பு f: [-7, 6) ⟶ R கீழ்கண்டவாறு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.
\(f(x)=\begin{cases} { x }^{ 2 }+2x+1\quad -7\le x<-5 \\ x+5\quad \quad \quad \ -5\le x\le 2 \\ x-1\quad \quad \quad \quad 2<x\le 6 \end{cases}\)
பின்வருவனவற்றைக் காண்.
f(-7) - f(-3)

29.

\(\Delta \)ABC யின் பக்கங்கள் AB மற்றும் AC -யின் மீதுள்ள புள்ளிகள் முறையே D மற்றும் E ஆனது DE||BC என்றவாறு அமைந்துள்ளது. AD = 8x - 7, DB = 5x - 3, AE = 4x - 3 மற்றும் EC = 3x - 1 எனில், x -ன் மதிப்பு காண்க

30.

ஒரு பறவை A என்ற இடத்திலிருந்து 30 கி.மீ தொலைவில் B என்ற இடத்திற்கு 35° கோணத்தில் பறக்கிறது. B-ல் 48° கோணத்தைத் தாங்கி 32 கி.மீ தொலைவில் உள்ள C என்ற இடத்திற்குச் செல்கிறது, B -ன் கிழக்குப் புறமாக C-ன் தொலைவு எவ்வளவு?
(sin 55° = 0.8192, cos55° = 0.5736, sin 42° = 0.6691, cos42° = 0.7431)

31.

ΔABC-ல், D,E F ஆகிய புள்ளிகள் முறையே BC, CA, AB மீது உள்ளது. AB, AC மற்றும் BC ஆகியவற்றின் நீளங்கள் முறையே 13, 14 மற்றும் 15 ஆகும்.
\(\frac { AF }{ FB } =\frac { 2 }{ 5 } \)மற்றும் \(\frac { CE }{ EA } =\frac { 5 }{ 8 } \) எனில், BD மற்றும் DC காண்க.

32.

படத்தில் \(\angle QPR={ 90 }^{ o }\), PS ஆனது ∠P-யின் இருசமவெட்டி மேலும், ST\(\bot \) PR எனில், ST x (PQ + PR) = PQ x PR என நிறுவுக.

33.

QR ஐ அடிப்பக்கமாகக் கொண்ட இரு முக்கோணங்கள் QPR மற்றும் QSR –யின் புள்ளிகள் P மற்றும் S –யில் செங்கோணங்களாக அமைந்துள்ளன. இரு முக்கோணங்களும் QR-யின் ஒரே பக்கத்தில் அமைந்துள்ளன. PR மற்றும் SQ என்ற பக்கங்கள் T என்ற புள்ளியில் சந்திக்கின்றன எனில், PT × TR = ST × TQ என நிறுவுக.

34.

90 செ.மீ உயரமுள்ள ஒரு சிறுவன் விளக்கு கம்பத்தின் அடியிலிருந்து 1.2 மீ/வினாடி வேகத்தில் நடந்து செல்கிறான். தரையிலிருந்து விளக்கு கம்பத்தின் உயரம் 3.6 மீ எனில், 4 வினாடிகள் கழித்துச் சிறுவனுடைய நிழலின் நீளத்தைக் காண்க

35.

ஒரு பையில் 5 வெள்ளை மற்றும் சில கருப்பு பந்துகள் உள்ளன. பையிலிருந்து கருப்பு பந்து கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவானது வெள்ளைப் பந்து கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவைப்போல் இரு மடங்கு எனில், கருப்புப் பந்துகளின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.

36.

எல்லா மிகை முழுக்கள் n -க்கும் n²- n ஆனது 2-ஆல் வகுபடும் என நிறுவுக.

37.

(2, 5) மற்றும் (4, 7) என்ற புள்ளிகளைச் சேர்க்கும் நேர்க்கோட்டிற்குச் செங்குத்தாகவும், A(1, 4) என்ற புள்ளி வழி செல்லுவதுமான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

38.

வரைபடமானது y அச்சில் பாரன்ஹீட் டிகிரி வெப்பநிலையையும் x அச்சில் செல்சியஸ் டிகிரி வெப்பநிலையையும் குறிக்கிறது எனில், (a) கோட்டின் சாய்வு மற்றும் y வெட்டுத்துண்டு காண்க. (b) கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதுக. (c) பூமியின் சராசரி வெப்பநிலை 25° செல்சியஸாக இருக்கும்போது பூமியின் சராசரி வெப்பநிலையைப் பாரன்ஹீட்டில் காணவும

39.

ஒரு மருந்து குப்பி, ஓர் உருளையின் இருபுறமும் அரைக் கோளம் இணைந்த வடிவில் உள்ளது. குப்பியின் மொத்த நீளம் 12 மி.மீ மற்றும் விட்டம் 3 மி.மீ எனில், அதில் அடைக்கப்படும் மருந்தின் கனஅளவைக் காண்க?

40.

ஓர் உருளையின் மீது ஓர் இடைக்கண்டம் இணைந்தவாறு அமைந்த ஒரு புனலின் (funnel) மொத்த உயரம் 20 செ.மீ. உருளையின் உயரம் 12 செ.மீ மற்றும் விட்டம் 12 செ.மீ ஆகும். இடைக்கண்டத்தின் மேற்புற விட்டம் 24 செ.மீ எனில், புனலின் வெளிப்புறப் பரப்பைக் கணக்கிடுக

41.

விட்டம் 20 செ.மீ உள்ள ஓர் உருளை வடிவக் கண்ணாடிக் குவளையில் 9 செ.மீ உயரத்திற்கு நீர் உள்ளது. ஆரம் 5 செ.மீ மற்றும் உயரம் 4 செ.மீ உடைய ஓர் சிறிய உலோக உருளை, நீரில் முழுமையாக மூழ்கும்போது ஏற்படும் நீரின் உயர்வைக் கணக்கிடுக.

42.

சார்பு f:R ⟶ R ஆனது

(i) f(4)
(ii) f(-2)
(iii) f(4) + 2f(1)
(iv) \(\frac { f(1)-3f(4) }{ f(-3) } \)
ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.

Generic 8

10 x 8 = 80

43.

ஓர் ஈரிலக்க எண்ணின் இலக்கங்களின் பெருக்கற்பலன் 10.அந்த எண்ணிலிருந்து 63 ஐக் கழிப்பதால் அந்த எண்ணின் இலக்கங்கள் இடம் மாறுகின்றன எனில் அந்த எண்ணைக் காண்க.

44.

குழு A	50	20	10	30	30
குழு B	40	60	20	20	10

எந்த குழு அதிக சீர்மைத்தன்மை கொண்டுள்ளது.

45.

a_n=3+2n என்ற பொது உறுப்பைக் கொண்ட முதல் 24 உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க.

46.

கீழே கொடுக்கப்பட்ட அட்டவணையிலிருந்து A = {5, 6, 8, 10} -லிருந்து B = {19, 15, 9, 11}-க்கு f(x) = 2x - 1 என்றவாறு அமைந்த ஒரு சார்பு எனில் a, b மதிப்புகளைக் காண்க.

x	5	6	8	10
f (x)	a	11	b	19

47.

A யிலிருந்து வரையப்பட்ட செங்கோடு பக்கம் BCஐ D யில் DB = 3 CD எனுமாறு ΔABC யில் வெட்டுகிறது. 2AB² = 2AC² +BC² என நிரூபிக்க.

48.

P ஐ மையமாகக் கொண்ட 3.4 செ.மீ ஆரமுள்ள ஒரு வட்டத்திற்கு R என்ற புள்ளியில் தொடுகோடு வரைக.

49.

1.6 மீ உயரமுள்ள சிலை ஒன்று பீடத்தின் மேல் அமைந்துள்ளது. தரையிலுள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து 60ϒ ஏற்றக்கோணத்தில் சிலையின் உச்சி அமைந்துள்ளது. மேலும் அதே புள்ளியிலிருந்து பீடத்தின் உச்சியானது 40ϒ ஏற்றக்கோணத்தில் உள்ளது எனில், பீடத்தின் உயரத்தைக் காண்க. (tan 40° = 0.8391, \(\sqrt 3\) = 1.732)

50.

\(\frac { \cos\theta }{ 1+\sin\theta } =\frac { 1 }{ a } \) எனில், \(\frac { { a }^{ 2 }-1 }{ { a }^{ 2 }+1 } \) = sin θ என்பதை நிரூபிக்கவும்.

51.

பின்வரும் முற்றொருமைகளை நிரூபிக்கவும்
\(\sqrt { \frac { 1+\sin\theta }{ 1-\sin\theta } } =\sec\theta +\tan\theta \)

52.

A(2.5, 3.5) B(10, -4) C(2.5, -2.5)- மற்றும் D(-5,5) ஆகியன இணைகரத்தின் முனைப் புள்ளிகள் எனக் காட்டுக.

Multiple Choice Question

40 x 1 = 40

53.

(cos²θ-1)(cot²θ+1)+1=

(a)

(b)

-1

(c)

(d)

54.

cos⁴x - sin⁴x=

(a)

2sin²x - 1

(b)

2 cos²x -1

(c)

1 + 2 sin²x

(d)

1 - 2 cos²x

55.

∝ மற்றும் β ஆகியவை ax²+ bx + c = 0 என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள் எனில் \(\frac { 1 }{ \alpha } ,\frac { 1 }{ \beta } \) ஆகியவற்றை மூலங்களாக கொண்ட இருபடிச் சமன்பாடு

(a)

ax²+ bx + c = 0

(b)

bx² + bx + c = 0

(c)

c² + bx + a = 0

(d)

cx² + ax + c = 0

56.

p(x) மற்றும் q(x) ஆகியவற்றின் மீ.பொ.வ 6x - 9 எனில் p(x) =

(a)

3, 2x - 3

(b)

12x - 18, 2

(c)

3(2x - 3)², 6(2x - 3)

(d)

3(2x - 3), 6(2x + 3)

57.

மூன்று மாறிகளில் அமைந்த நேரிய சமன்பாட்டு தொகுப்பிற்கு தீர்வு காணும் போது 0 = 0 என்பது போன்ற முற்றொருமை கிடைக்குமாயின் அந்த சமன்பாட்டு தொகுப்பிற்கு

(a)

தீர்வு இல்லை

(b)

ஒரே ஒரு தீர்வு

(c)

எண்ணற்ற தீர்வுகள்

(d)

இவற்றில் ஏதுமில்லை

58.

படத்தில் O -வை மையமாக உடைய வட்டத்தின் தொடுகோடுகள் CP மற்றும் CQ ஆகும். ARB ஆனது வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளி R வழியாகச் செல்லும் மற்றொரு தொடுகோடு ஆகும். CP = 11 செ.மீ மற்றும் BC = 7 செ.மீ, எனில் BR –யின் நீளம் ____.

(a)

6 செ.மீ

(b)

5 செ.மீ

(c)

8 செ.மீ

(d)

4 செ.மீ

59.

வட்டத்தின் தொடுகோடும் அதன் ஆரமும் செங்குத்தாக அமையும் இடம் _____.

(a)

மையம்

(b)

தொடுபுள்ளி

(c)

முடிவிலி

(d)

நாண்

60.

6 மீ மற்றும் 11 மீ உயரமுள்ள இரு கம்பங்கள் சமதளத் தரையில் செங்குத்தாக உள்ளன. அவற்றின் அடிகளுக்கு இடையேயுள்ள தொலைவு 12 மீ எனில் அவற்றின் உச்சிகளுக்கு இடையே உள்ள தொலைவு என்ன?

(a)

13 மீ

(b)

14 மீ

(c)

15 மீ

(d)

12.8 மீ

61.

\(\Delta \) இரு வடிவொத்த முக்கோணங்கள் \(\Delta ABC\) மற்றும் \(\Delta PQR\) -யின் சுற்றளவுகள் முறையே 36 செ.மீ மற்றும் 24 செ.மீ ஆகும். PQ = 10 செ.மீ எனில், AB–யின் நீளம் _____.

(a)

\(6\cfrac { 2 }{ 3 } \) செ.மீ

(b)

\(\cfrac { 10\sqrt { 6 } }{ 3 } \) செ.மீ

(c)

\(6\cfrac { 2 }{ 3 } \) செ.மீ

(d)

15 செ.மீ

62.

\(\Delta LMN\) -யில்,\(\angle L={ 60 }^{ 0 }\), \(\angle M={ 50 }^{ 0 }\) மேலும் \(\Delta LMN\sim \Delta PQR\) எனில்,\(\angle R\) -யின் மதிப்பு ____.

(a)

40^o

(b)

70^o

(c)

30^o

(d)

110^o

63.

ஒரு நிரல் அணியின், நிரை நிரல் மாற்று அணி ____.

(a)

அலகு அணி

(b)

மூலைவிட்ட அணி

(c)

நிரல் அணி

(d)

நிரை அணி

64.

x⁴+64 முழு வர்க்கமாக மாற்ற அதனுடன் பின்வருவனவற்றுள் எதைக் கூட்ட வேண்டும்?

(a)

4x²

(b)

16x²

(c)

8x²

(d)

-8x²

65.

ஓர் ஏரியின் மேலே h மீ உயரத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து மேகத்திற்கு உள்ள ஏற்றக்கோணம் β. மேக பிம்பத்தின் இறக்கக்கோணம் 45° எனில், ஏரியில் இருந்து மேகத்திற்கு உள்ள உயரமானது (மீட்டரில்) _____.

(a)

\(\frac { h(1+\tan\beta ) }{ 1-\tan\beta } \)

(b)

\(\frac { h(1-\tan\beta ) }{ 1+\tan\beta } \)

(c)

h tan (45⁰ - β)

(d)

இவை ஒன்றும் இல்லை

66.

x = a tan θ மற்றும் y = b sec θ எனில் _____.

(a)

\(\frac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } -\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } =1\)

(b)

\(\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\frac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\)

(c)

\(\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\frac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\)

(d)

\(\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\frac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =0\)

67.

sin²θ + \(\frac {1}{1+\tan^2θ}\) -ன் மதிப்பு _____.

(a)

tan² θ

(b)

(c)

cot² θ

(d)

68.

ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் 31 உறுப்புகள் உள்ளன. அதன் 16-வது உறுப்பு m எனில் அந்தக் கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் உள்ள எல்லா உறுப்புகளின் கூடுதல் ______.

(a)

16 m

(b)

62 m

(c)

31 m

(d)

\(\frac{31}{2}\) m

69.

யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, எந்த மிகை முழுவின் கனத்தையும் 9ஆல் வகுக்கும் போது கிடைக்கும் மீதிகள் ____.

(a)

0, 1, 8

(b)

1, 4, 8

(c)

0, 1, 3

(d)

1, 3, 5

70.

ஒரு பணப்பையில் ரூ.2000 நோட்டுகள் 10-ம், ரூ.500 நோட்டுகள் 15-ம், ரூ.200 நோட்டுகள் 25-ம் உள்ளன. ஒரு நோட்டு சமவாய்ப்பு முறையில் எடுக்கப்படுகின்றது எனில், அந்த நோட்டு ரூ.500 நோட்டாகவோ அல்லது ரூ.200 நோட்டாகவோ இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

(a)

\(\frac {1}{5}\)

(b)

\(\frac {3}{10}\)

(c)

\(\frac {2}{3}\)

(d)

\(\frac {4}{5}\)

71.

ஒரு புத்தகத்திலிருந்து சமவாய்ப்பு முறையில் ஒரு பக்கம் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது. அந்தப் பக்க எண்ணின் ஒன்றாம் இட மதிப்பானது 7-ஐ விடக் குறைவாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவானது ____.

(a)

\(\frac{3}{10}\)

(b)

\(\frac{7}{10}\)

(c)

\(\frac{3}{9}\)

(d)

\(\frac{7}{9}\)

72.

x, y, z ஆகியவற்றின் திட்டவிலக்கம் p-எனில், 3x + 5, 3y + 5, 3z + 5 ஆகியவற்றின் திட்டவிலக்கமானது _____.

(a)

3p + 5

(b)

(c)

p + 5

(d)

9p + 15

73.

முதல் 20 இயல் எண்களின் விலக்க வர்க்கச் சராசரியானது _____.

(a)

32.25

(b)

44.25

(c)

33.25

(d)

74.

8, 8, 8, 8, 8. . ., 8 ஆகிய தரவின் வீச்சு ______.

(a)

(b)

(c)

(d)

75.

(1³+ 2³+ 3³+ ...+ 15³) - (1 + 2 + 3+....+15) யின் மதிப்பு _______.

(a)

14400

(b)

14200

(c)

14280

(d)

14520

76.

t₁, t₂, t₃,..... என்பது ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசை எனில் t₆, t₁₂, t₁₈,.... என்பது _____.

(a)

ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசை

(b)

ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசை

(c)

ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையுமல்ல, பெருக்கு தொடர்வரிசையுமல்ல

(d)

ஒரு மாறிலித் தொடர் வரிசை

77.

\(\frac { 3 }{ 16 } ,\frac { 1 }{ 8 } ,\frac { 1 }{ 12 } ,\frac { 1 }{ 18 } ,...\) என்ற தொடர்வரிசையின் அடுத்த உறுப்பு ______.

(a)

\(\frac { 1 }{ 24 } \)

(b)

\(\frac { 1 }{ 27 } \)

(c)

\(\frac { 2 }{ 3 } \)

(d)

\(\frac { 1 }{ 81 } \)

78.

சாய்வைப் பயன்படுத்தி நாற்கரமானது ஓர் இணைகரமாக உள்ளது எனக் கூற நாம் காண வேண்டியவை

(a)

இரு பக்கங்களின் சாய்வுகள்

(b)

இரு சோடி எதிர் பக்கங்களின் சாய்வுகள்

(c)

அனைத்துப் பக்கங்களின் நீளங்கள்

(d)

இரு பக்கங்களின் சாய்வுகள் மற்றும் நீளங்கள்

79.

8y = 4x + 21 என்ற நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டிற்குக் கீழ்க்கண்டவற்றில் எது உண்மை

(a)

சாய்வு 0.5 மற்றும் y வெட்டுத்துண்டு 2.6

(b)

சாய்வு 5 மற்றும் y வெட்டுத்துண்டு 1.6

(c)

சாய்வு 0.5 மற்றும் y வெட்டுத்துண்டு 1.6

(d)

சாய்வு 5 மற்றும் y வெட்டுத்துண்டு 2.6

80.

(5, 7), (3, p) மற்றும் (6, 6) என்பன ஒரு கோடமைந்தவை எனில், p–யின் மதிப்பு _______.

(a)

(b)

(c)

(d)

81.

ஒரு சுவரின் அருகே நடந்து சென்று கொண்டிருக்கும் ஒரு நபருக்கும் சுவருக்கும் இடையே உள்ள தூரம் 10 அலகுகள். சுவரை Y -அச்சாகக் கருதினால், அந்த நபர் செல்லும் பாதை என்பது _______.

(a)

x = 10

(b)

y = 10

(c)

x = 0

(d)

y = 0

82.

(−5, 0), (0, −5) மற்றும் (5, 0) ஆகிய புள்ளிகளால் அமைக்கப்படும் முக்கோணத்தின் பரப்பு ________.

(a)

0 ச. அலகுகள்

(b)

25 ச. அலகுகள்

(c)

5 ச. அலகுகள்

(d)

எதுவுமில்லை

83.

இடைக்கண்டத்தை ஒரு பகுதியாகக் கொண்ட ஒரு கூம்பின் உயரம் மற்றும் ஆரம் முறையே h₁ அலகுகள் மற்றும் r₁ அலகுகள் ஆகும். இடைக்கண்டத்தின் உயரம் மற்றும் சிறிய பக்க ஆரம் முறையே h₂ அலகுகள் மற்றும் r₂ அலகுகள் மற்றும் h₂: h₁= 1 : 2 எனில், r₂: r₁-ன் மதிப்பு ______.

(a)

1:3

(b)

1:2

(c)

2:1

(d)

3:1

84.

1 செ.மீ ஆரமும் 5 செ.மீ உயரமும் கொண்ட ஒரு மர உருளையிலிருந்து அதிகபட்சக் கன அளவு கொண்ட கோளம் வெட்டி எடுக்கப்படுகிறது எனில், அதன் கன அளவு (க.செ.மீ-ல்) ______.

(a)

\(\frac{4}{3}\pi \)

(b)

\(\frac{10}{3}\pi \)

(c)

5\(\pi\)

(d)

\(\frac{20}{3}\pi \)

85.

r₁ அலகுகள் ஆரமுள்ள ஒரு கோளப்பந்து உருக்கப்பட்டு r₂ அலகுகள் ஆரமுடைய 8 சமகோள பந்துகளாக ஆக்கப்படுகிறது. எனில், r₁:r₂ ______.

(a)

2:1

(b)

1:2

(c)

4:1

(d)

1:4

86.

ஆரம் 5 செ.மீ மற்றும் சாயுயரம் 13 செ.மீ உடைய நேர்வட்டக் கூம்பின் உயரம் ______.

(a)

12 செ.மீ

(b)

10 செ.மீ

(c)

13 செ.மீ

(d)

5 செ.மீ

87.

r அலகுகள் ஆரம் உடைய இரு சம அரைக்கோளங்களின் அடிப்பகுதிகள் இணைக்கப்படும் போது உருவாகும் திண்மத்தின் புறப்பரப்பு ______.

(a)

4πr² ச.அ

(b)

6πr² ச.அ

(c)

3πr² ச.அ

(d)

8πr² ச.அ

88.

g = {(1,1),(2,3),(3,5),(4,7)} என்ற சார்பானது g(x) = αx + β எனக் கொடுக்கப்பட்டால் α மற்றும் β- வின் மதிப்பானது ______.

(a)

(–1,2)

(b)

(2,-1)

(c)

(-1,-2)

(d)

(1,2)

89.

f(x) = \(\sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } \) எனில் ______.

(a)

f(xy) = f(x).f(y)

(b)

f(xy) ≥ f(x).f(y)

(c)

f(xy) ≤ f(x).f(y)

(d)

இவற்றில் ஒன்றுமில்லை

90.

A = {1,2,3,4}, B = {4,8,9,10} என்க. சார்பு f : A ⟶ B ஆனது f = {(1,4), (2,8), (3,9), (4,10)} எனக் கொடுக்கப்பட்டால் f-என்பது _____.

(a)

பலவற்றிலிருந்து ஒன்றுக்கான சார்பு

(b)

சமனிச் சார்பு

(c)

ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு

(d)

உட்சார்பு

91.

(a + 2, 4) மற்றும் (5, 2a + b) ஆகிய வரிசைச் சோடிகள் சமம் எனில் (a, b) என்பது _____.

(a)

(2,-2)

(b)

(5,1)

(c)

(2,3)

(d)

(3,-2)

92.

A = {a,b,p}, B = {2,3}, C = {p,q,r,s} எனில், n[(A U C) x B] ஆனது

(a)

(b)

(c)

(d)

Visit QB365-SLMS - https://www.qb365.in/slms/

Answers Key:

Generic 2

25 x 2 = 50

2x+3y+4z=20
3x+2y+5z=20

z=3 என(5) ல் பிரதியிட \(\Rightarrow \) y-2(3)=-4
y=2
y=2,z=3 என(1) ல் பிரதியிட கிடைப்பது
x+2+3=6
x=1
x=1,y=2,z=3

x	\({ d }^{ ' }=\cfrac { x-15 }{ 5 } \)	d'2
5	-2	4
10	-1	1
15	0	0
20	1	1
25	2	4
	\(\Sigma d=0\)	\(\Sigma d'^{ 2 }=10\)

\(\bar { x } =\cfrac { \Sigma x }{ n } =\cfrac { 75 }{ 5 } =15\)
\({ d }^{ ' }=\cfrac { x-\bar { x } }{ c } =\cfrac { x-A }{ c } \)
A என்பது ஊகச் சராசரி, C என்பது பொதுக் காரணி
இங்கு A =15,C =5
\({ d }^{ ' }=\cfrac { x-\bar { x } }{ c } =\cfrac { x-A }{ c } \)
= \(\sigma =\sqrt { \left( \cfrac { \Sigma d'2 }{ n } \right) -\left( \cfrac { \Sigma d' }{ n } \right) ^{ 2 }\times c } \)
= \(\sqrt { \cfrac { 10 }{ 5 } -0\times c } =\sqrt { 2 } \times 5\)
= \(5\sqrt { 2 } \)
3 ஐ ஒவ்வொரு தரவுடன் கூட்டக் கிடைப்பது 8,13,18,23,28 என்ற புதிய மதிப்புகள்

x	\({ d }^{ ' }=\cfrac { x-18 }{ 5 } \)	d'2
8	-2	4
13	-1	1
18	0	0
23	1	1
28	2	4
	\(\Sigma d'=0\)	\(\Sigma { d }^{ '2 }=0\)

\(\therefore \sigma =\sqrt { \left( \cfrac { \Sigma { d }^{ '{ 2 } } }{ n } \right) -\left( \cfrac { \Sigma { d }^{ ' } }{ n } \right) \times c } \)
= \(\sqrt { \cfrac { 10 }{ 5 } -0\times 5 } \)
= \(\sqrt { 2 } \times 5=5\sqrt { 2 } \)
திட்டவிலக்கம் மாறவில்லை.
\(\therefore \) ஒரு எண்ணை கூடினாலோ, கழித்தாலோ திட்டவிலக்கம் மாறாது.

4,10,16,22,..
இங்கு a₂-a₂=10-4=6
a₃-a₂=16-10=6
a₄-a₃=22-16=6
∴ அது ஒரு A.P. பொது வித்தியாசம் 6.
∴ அடுத்து இரண்டு உறுப்புகள், \(\underline { 28 } ,\underline { 34 } .\)

சார்பு அல்ல. குத்துக்கோடு வளைவரையை இரு புள்ளிகளில் சந்திக்கிறது.

செங்கோண \(\triangle A B C\)-ல் ( படம் 6.12 (i) பார்க்கவும்)
tan θ = \(\frac 83\)
= tan θ = 2.66
\(\Rightarrow\) θ = 69.4° (\(\because \) tan 69.4° = 2.6604)
\(\therefore\) ㄥBAC = 69.4°

சாய்வு மற்றும் y வெட்டுத்துண்டு வடிவத்தைப் பயன்படுத்தி, நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதலாம்.
நேர்கோட்டின் சமன்பாடு y = \(\frac 95\)x + 32

OA = 4 செ.மீ, OB = 5 செ.மீ, மேலும் \(OA\bot BC\)
OB²= OA²+ AB²
5²= 4²+ AB² ⇒ AB²= 9
எனவே, AB = 3 செ.மீ
BC = 2AB எனவே,BC = 2 x 3 = 6 செ.மீ

விளக்கு கம்பத்தின் அடிக்கும், பூச்சிக்கும் இடைப்பட்ட தொலைவு BD = 8 மீ
விளக்கு கம்பத்தின் உயரம் AB = 6 மீ
x மீ தொலைவு நகர்ந்த பின்பு பூச்சி இருக்கும் இடம் C என்க

AC = CD = x என்க. மேலும் BC = BD - CD = 8 - x
\(\Delta ABC\) -யில், \(\angle B={ 90 }^{ 0 }\)
AC²= AB²+ BC² ⇒ x²= 6²+ (8 - x)²
x²= 36 + 64 - 16x + x²
16x = 100 எனவே x = 6.25
எனில், BC = 8 - x = 8 - 6.25 = 1.75 மீ
எனவே, பூச்சியானது விளக்கு கம்பத்தின் அடியிலிருந்து 1.75 மீ தொலைவில் உள்ளது.

AB என்பது பாறையின் உயரம் = 50\(\sqrt 3\) மீ
C என்பது மகிழுந்து என்க.
\(\angle D A C=\angle A C B=30^{\circ}\)
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle A B C\)-இலிருந்து
\(\tan 30^{\circ} =\frac{A B}{B C} \)
\(\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{50 \sqrt{3}}{B C} \)
\(B C =50 \sqrt{3} \times \sqrt{3} \)
= 50 x 3 = 150 மீ
\(\therefore\) மகிழுந்துக்கும், பாறைக்கும் இடையே உள்ள தொலைவு = 150 மீ.

10.

A மற்றும் B என்ற அணிகள் வேறுபட்ட வரிசைகளைக் கொண்டிருப்பதால் இவைகளைக் கூட்ட இயலாது

11.

நாம் காண வேண்டியது \(5+15+45+\ldots\) 6 உறுப்புகள் வரை
பெருக்குத்தொடரில் முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல் \(\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}\)
இங்கு \(\mathrm{a}=5, \mathrm{r}=\frac{15}{5}=3\)
∴ கூடுதல் \(=\frac{5\left(3^6-1\right)}{3-1}=\frac{5(729-1)}{2} \)
\(=\frac{5 \times 728}{2}=5 \times 364 \) = 1820
\(5+15+45+\ldots\).6 உறுப்புகள் வரை = 1820

12.

A மற்றும் B ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகள் எனவே \(\mathrm{P}(A \cap B) = 0\)
P(A இல்லை) = 0.45
\(\therefore \quad \mathrm{P}(\mathrm{A}) =1-\mathrm{P}(\mathrm{A}\) இல்லை )
\(\mathrm{P}(\mathrm{A}) =1-0.45=0.55\)
\(\mathrm{P}(A \cup B) =\mathrm{P}(\mathrm{A})+\mathrm{P}(\mathrm{B})-\mathrm{P}(A \cap B) \)
\(0.65 =0.55+\mathrm{P}(\mathrm{B})-0 \)
\(\mathrm{P}(\mathrm{B}) =0.65-0.55=0.1\)

13.

P(A) = 0.37, P(B) = 0.42, P(A\(\cap\)B) = 0.09
P(A\(\cup\)B) = P(A) + P(B) - P(A\(\cap\)B)
P(A\(\cup\)B) = 0.37 + 0.42 - 0.09 = 0.7

14.

இரண்டு நாணயங்கள் சுண்டப்படும்பொழுது அதன் கூறுவெளியானது
S = {HH, HT, TH, TT} n(S) = 4
A ஆனது நாணயங்களில் வெவ்வேறு முகங்கள் கொண்ட நிகழ்ச்சி என்க.
A = {HT, TH}; n(A) = 2
நாணயங்களில் வெவ்வேறு முகங்கள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவானது \(\\ P(A)=\frac { n(A) }{ n(S) } =\frac { 2 }{ 4 } =\frac { 1 }{ 2 } \)

15.

x²+ 2x - 2 = 0 -ஐ ax²+ bx + c = 0 -உடன் ஒப்பிட
a = 1, b = 2, c = -2
a, b மற்றும் c -யின் மதிப்புகளைச் சூத்திரத்தில் பிரதியிட
\(x=\cfrac { -b\pm \sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } }{ 2a } \)
\(x=\cfrac {-2 \pm \sqrt { \left( 2 \right) ^{ 2 }-4\left( 1 \right) \left( -2 \right) } }{ 2\left( 1 \right) } =\cfrac { -2\pm \sqrt { 12 } }{ 2 } =-1\pm \sqrt { 3 } \)
எனவே,\(x=-1+\sqrt { 3 } ,-1-\sqrt { 3 } \)

16.

(6, 7) மற்றும் (2, -3) ஆகிய புள்ளிகளைச் சேர்க்கும் கோட்டின் சாய்வு
\(\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{7+3}{6-2}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}=\mathrm{m}\)
செங்குத்துக்கோட்டின் சாய்வு
\(-\frac{1}{m}=-\frac{1}{(5 / 2)}=-\frac{2}{5}\)
(6, -2) புள்ளி வழிச்செல்வதும், சாய்வு \(-\frac{2}{5}\) உடையதுமான கோட்டின் சமன்பாடு
\(y-y_1 =m\left(x-x_1\right) \)
\(y+2 =-\frac{2}{5}(x-6) \)
\(5 y+10 =-2 x+12 \)
\(2 x+5 y-2 =0\)

17.

t₁,t₂,t₃,t₄,.... என்பது தேவையான கூட்டுத் தொடர்வரிசை என்க.
t₇= -1 மற்றும் t₁₆= 17 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
a + (7 - 1)d = -1 மற்றும் a + (16 - 1)d = 17
a + 6d = -1 ......(1)
a + 15d = 17 ....(2)
சமன்பாடு (2) -லிருந்து சமன்பாடு (1) ஐ கழிக்க, நாம் பெறுவது 9d = 18 -லிருந்து d = 2. d = 2 எனச் சமன்பாடு (1)-யில் பிரதியிட நாம் பெறுவது, a + 12 = -1. எனவே a = –13
ஆகவே, பொது உறுப்பு t_n= a + (n - 1)d
= -13 + (n - 1) x 2 = 2n - 15

18.

மூலங்களின் கூடுதல் = - 9
மூலங்களின் பெருக்கல் = 20
இருபடிச் சமன்பாட்டின் பொது வடிவம் x² - (மூலங்களின் கூடுதல்) x + மூலங்களின் பெருக்கல் = 0
x²+ 9x + 20 = 0

19.

கொடுக்கப்பட்ட வெட்டுத்துண்டுகள் 4, - 6
a = 4, b = -6
கோட்டின் வெட்டுத்துண்டு வடிவச் சமன்பாடு
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b} =1 \)
\(\frac{x}{4}+\frac{y}{-6} =1 \)
\(3 x-2 y-12 =0\)

20.

அரைக்கோளத்தின் ஆரம் = r அலகுகள்
கூம்பின் ஆரம் = அரைக்கோளத்தின் ஆரம்
கூம்பின் உயரம் = அரைக்கோளத்தின் ஆரம்
\(\therefore\) கூம்பின் மீப்பெரு கன அளவு \(=\frac{1}{3} \pi r^2 h\) கன. அலகுகள்
\(=\frac{1}{3} \pi\left(r^2\right) r=\frac{1}{3} \pi r^3 \)கனஅலகுகள்

21.

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் (3,-1),(a, 3) மற்றும் (1,-3) புள்ளிகளை A (3,-1), B (a,3) மற்றும் C (1,-3) என்க.
AB-ன் சாய்வு \(=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{-1-3}{3-a}=\frac{-4}{3-a}\)
BC-ன் சாய்வு \(=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{3+3}{a-1}=\frac{6}{a-1}\)
A, B மற்றும் C ஆகிய புள்ளிகள் ஒரே கோட்டமைப் புள்ளிகள் என்பதால் AB-ன் சாய்வு = BC-ன் சாய்வு
\(\frac{-4}{3-a} =\frac{6}{a-1} \)
-2(a - 1) = 3(3 - a)
-2a + 2 = 9 - 3a
3a - 2a = 9 - 2
a = 7

22.

f₂(x) = 2x²- 5x + 3 மற்றும் f₁(x) = \(\sqrt { x } \) என வரையறுப்போம்.
எனவே, f(x) - \(\sqrt { 2x^{ 2 }-5x+3 } =\sqrt { { f }_{ 2 }(x) } \)
= f₁|f₂(x)| = f₁f₂(x)

23.

கூம்பின் உயரம் மற்றும் ஆரம், h மற்றும் r என்க.
இங்கு, h = 24 செ.மீ, கன அளவு = 11088 க.செ.மீ
\(\frac { 1 }{ 3 } { \pi r }^{ 2 }h=11088\)
\(\frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 22 }{ 7 } \times { r }^{ 2 }\times 24=11088\)
\({ r }^{ 2 }=441\)
ஆகவே , கூம்பின் ஆரம் r = 21 செ.மீ.

24.

l, R மற்றும் r ஆகியவை முறையே இடைக்கண்டத்தின் சாயுயரம், மேற்புறம் மற்றும் கீழ்ப்புற ஆரங்கள் என்க.
இங்கு, l = 5 செ.மீ, R = 4 செ.மீ, r = 1 செ.மீ
இடைக்கண்டத்தின் வளைபரப்பு = \(\pi \)(R + r)l ச.அ
\(\\ =\frac { 22 }{ 7 } \times (4+1)\times 5\)
\(=\frac {550}{7}\)
ஆகவே, இடைக்கண்டத்தின் வளைபரப்பு = 78.57 ச.செ.மீ

25.

A x B = {(3,2), (3,4), (5,2), (5,4)}
A = {A x B-யின் முதல் ஆயத்தொலைவு உறுப்புகளின் கணம்}. எனவே A = {3,5}
B = {A x B-யின் இரண்டாம் ஆயத்தொலைவு உறுப்புகளின் கணம்}. எனவே B = {2,4} எனவே A = {3,5} மற்றும் B = {2,4}.

Generic 5

17 x 5 = 85

26.

n = 9,\({ \Sigma x }=99\),\(\bar { x } =\cfrac { \Sigma x }{ n } =\cfrac { 99 }{ 9 } =11\)
\(\Sigma \left( x-10 \right) ^{ 2 }=79={ \Sigma x }^{ 2 }-20x+100=79\)
= \({ \Sigma x }^{ 2 }-20\Sigma x+100\times 9=79\)
= \({ \Sigma x }^{ 2 }-20\times 99+100=79\)
\({ \Sigma x }^{ 2 }=79+1980-900=1159\)
\(\Sigma \left( x-\bar { x } \right) ^{ 2 }=\Sigma \left( x-11 \right) ^{ 2 }=\Sigma \left( { x }^{ 2 }-22x+121 \right) \)
= \({ \Sigma x }^{ 2 }-22\Sigma x+121\times 9\)
= \(1159-22\times 99+1089=70\)
\(\therefore { \Sigma x }^{ 2 }=1159,\Sigma \left( x-\bar { x } \right) ^{ 2 }=70\)

27.

\(\sqrt { 3 } \)=\(\frac {p}{q }\)
\(\sqrt { 3 } \)=\(\frac {p}{q }\)(q≠0) (p மற்றும் q என்பன சார்பகா எண்கள்)
எனவே, \(\sqrt { 3 } \)=\(\frac {p}{q }\)
\(\sqrt { 3 } \)q =p
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த,
(\(\sqrt { 3 } \)q)²=p²
3q2=p2 ....(1)
q2=\(\frac{p^2}{3}\)
எனவே, 3 ஆனது p²-யை வகுக்கும் 3 ஆனது p-யையும் வகுக்கும்.
எனவே, \(\frac{p}{q}\)=c என்க
p=3c
நமக்குத் தெரியும்
3q²=p²
p=3c என (1)-ல் பிரதியட
3q²=(3c)²
3q²=9c²
q²=\(\frac{1}{3}\)x9x2
q²=3c²
\(\frac{q^2}{3}=c^2\)
எனவே 3 ஆனது q2 ஐ வகுக்கும்
அதனால், 3 ஆனது q ஐயும் வகுக்கும் ...(3)
முரண்பாட்டினால் \(\sqrt { 3 } \) ஆனது விகிதமுறா எண்

28.

\(f(x)=\begin{cases} { x }^{ 2 }+2x+1\quad : -7\le x<-5 \\ x+5\quad \quad \quad\quad: -5\le x\le 2 \\ x-1\quad \quad \quad \quad2<x\le 6 \end{cases}\)
f(-7) = x² + 2x +1
= (-7)² + 2(-7) + 1
= 49 - 14 + 1 = 36
f(3) = x + 5 = -3 + 5 = 2
f(-7) - f(-3) = 36 - 2 = 34

29.

\(\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}\)
கணக்கின்படி AD = 8x - 7
DB = 5x - 3
AE = 4x - 3
EC = 3x - 1
\(\frac{8 x-7}{5 x-3}=\frac{4 x-3}{3 x-1} \)
\((8 x-7)(3 x-1)=(4 x-3)(5 x-3) \)
\(24 x^2-21 x-8 x+7=20 x^2-15 x-12 x+9 \)
\(24 x^2-20 x^2-29 x+27 x+7-9 =0 \)
\(4 x^2-2 x-2 =0 \)
\(\div \text { by } 2 \Rightarrow 2 x^2-x-1 =0 \)
\(2 x^2-2 x+x-1 =0 \)
\(2 x(x-1)+1(x-1) =0 \)
\((x-1)(2 x+1) =0\)
\(x-1=0\text { (அ) } 2 x+1=0 \)
\(x=1 \text { (அ) } x=-\frac{1}{2}\)
x குறை எண்ணாக இருக்க இயலாது.
∴ x = 1

30.

A என்பது பறவையின் தொடக்க நிலை
B என்பது 30^o கோணத்தில் பறந்த பின் இருந்த நிலை மற்றும் C என்பது பறவை 32 கி.மீ பறந்த பின் இருந்த நிலை என்க.
\(\therefore \angle O A P=55^{\circ} \)
\(\angle P B C=42^{\circ}\)
\([\because\) நிரப்புக் கோணங்கள்]
செங்கோண - முக்கோணம் \(\triangle B P C\) லிருந்து
\(\cos 42^{\circ} =\frac{B P}{B C} \)
\(0.7431 =\frac{B P}{32} \)
BP = 23.78 கி.மீ
B இன் கிழக்குப் புறமாக C இன் தொலைவு 23.78 கி.மீ.

31.

கொடுக்கப்பட்டது AB = 13, AC = 14 மற்றும் BC = 15.
BD = x மற்றும் DC = y என்க.
சீவாஸ் தேற்றத்தின்படி,\(\cfrac { BD }{ DC } \times \cfrac { CE }{ EA } \times \cfrac { AF }{ FB } =1\)
\(\cfrac { AF }{ FB } \) மற்றும் \(\cfrac { CE }{ EA } \) -யின் மதிப்புகளை (1) –யில் பிரதியிட,
\(\cfrac { BD }{ DC } \times \cfrac { 5 }{ 8 } \times \cfrac { 2 }{ 5 } =1\)
\(\cfrac { x }{ y } \times \cfrac { 10 }{ 40 } =1\) ⇒, \(\cfrac { x }{ y } \times \cfrac { 1 }{ 4 } =1\). எனவே, x = 4y ..(2)
BC = BD + DC = 15. எனவே, x + y = 15 ...(3)
x = 4y ஐ (3) –யில் பிரதியிட
4y + y = 15 ⇒ 5y = 15 எனவே y = 3
y = 3 -ஐ (3) –யில் பிரதியிட, x = 12. எனவே, BD = 12, DC = 3.

32.

ΔPQR = 90^o இல் PS ஆனது ㄥP இன் இருசமவெட்டி.
\(\angle\)QPS = \(\angle\)TPS = 45^o
\(\angle\)TPS = 90^o
\(\angle\)PST = 180^o - 90^o-45⁰
= 45^o
PT = ST (\(\angle SPT= \angle PST = 45^o\))
ΔSTR மற்றும் ΔQPR இல்
\(\angle\)R பொதுக்கோணம் மற்றும் \(\angle\)T = \(\angle\)P = 90^o
AA வடிவொப்புமை விதிமுறைப்படி,
\(\triangle R S T \sim \triangle R Q P \)
\(\frac{ST}{P Q}=\frac{TR}{PR} = \frac{PR-PT}{PR}=\frac{PR-ST}{PR}\)
(1) லிருந்து
\(ST \times PR = PQ \times PR - ST \times PQ\)
\(P Q \times P R =S T(P Q+P R)\)

33.

கணக்கின்படி, \(\angle Q S R=\angle Q P R=90^{\circ}\)
PR மற்றும் SQ வெட்டும் புள்ளி T.
ΔQPT மற்றும் ΔRST இல்
\(\angle Q S R=\angle Q P R=90^{\circ} \)
\(\angle P T Q=\angle S T R\)
[∵ குத்தெதிா்க் கோணங்கள்]
AA விதிமுறைப்படி,
\(\triangle PQT \sim \triangle S R T\)
∴ வடிவொத்த முக்கோணங்களில் ஒத்த பக்கங்கள் விகிதசமம்.
\(\therefore \frac{P T}{S T}=\frac{T Q}{T R} \)
\(\mathrm{PT} \times \mathrm{TR}=\mathrm{ST} \times \mathrm{TQ}\)
நிரூபிக்கப்பட்டது.

34.

வேகம் = 1.2 மீ/வினாடி, என்பது கொடுக்கப்பட்டது.
நேரம் = 4 வினாடி,
தொலைவு = வேகம் × நேரம்
= 1.2 x 4 = 4.8 மீ
4 வினாடிகளுக்குப் பிறகு சிறுவனுடைய நிழலின் நீளம் x என்க
\(\Delta ABE\sim \Delta CDE\) ஆகையால்,\(\cfrac { BE }{ DE } =\cfrac { AB }{ CD } \) எனவே \(\cfrac { 4.8+x }{ x } =\cfrac { 3.6 }{ 0.9 } =4\) (90 செ.மீ = 0.9 மீ)
4.8 + x = 4x ⇒ 3x = 4.8 ஆகவே, x = 1.6 மீ
சிறுவனுடைய நிழலின் நீளம் DE = 1.6 மீ

35.

பையிலுள்ள கருப்பு பந்துகளின் எண்ணிக்கை x என்க.
பையிலிருந்து கருப்பு பந்து எடுக்கும் நிகழ்வு A என்க.
\(\mathrm{n}(\mathrm{A})=\mathrm{x}\)
பையிலுள்ள மொத்த பந்துகள் = 5 + x
\(\mathrm{n}(\mathrm{S})=5+\mathrm{x} \)
\(\mathrm{P}(\mathrm{A})=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{x}{5+x}\)
வெள்ளைப் பந்து எடுக்கும் நிகழ்வு 'B' என்க
\(\mathrm{n}(\mathrm{B})=5 \)
\(\mathrm{P}(\mathrm{B}) =\frac{n(B)}{n(S)} \)
\(=\frac{5}{5+x}\)
கணக்கின்படி \(\frac{x}{5+x}=2\left(\frac{5}{5+x}\right)\)
\(\frac{x(5+x)}{5+x}=2 \times 5\)
x = 10
\(\therefore\) கருப்பு பந்துகளின் எண்ணிக்கை = 10

36.

ஒவ்வொரு மிகை எண்ணும் 2q அல்லது 2q + 1 என்ற வடிவில் அமையும்.
நிலை (i) n = 2q எனில்
\(\mathrm{n}^2-\mathrm{n} =(2 \mathrm{q})^2-(2 \mathrm{q}) \)
\(=4 \mathrm{q}^2-2 \mathrm{q} \)
\(=2 \mathrm{q}(2 \mathrm{q}-1)\)
\(\mathrm{n}^2-\mathrm{n}=2 \mathrm{r}\) இங்கு \( \mathrm{r}=\mathrm{q}(2 \mathrm{q}-\mathrm{r})\)
\(\therefore \mathrm{n}^2-\mathrm{n}\) என்பது இரட்டை எண் ஆகையால் 2 ஆல் வகுபடும்.
நிலை (ii) n = 2q + 1 எனில்
\(\mathrm{n}^2-\mathrm{n} =(2 \mathrm{q}+1)^2-(2 \mathrm{q}+1) \)
\(=4 \mathrm{q}^2+4 \mathrm{q}+1-2 \mathrm{q}-1 \)
\(=4 \mathrm{q}^2+2 \mathrm{q} =2 \mathrm{q}(2 \mathrm{q}+1) \)
= 2r இங்கு. \(\mathrm{r}=\mathrm{q}(2 \mathrm{q}+1)\)
∴ n² - n என்பது இரட்டை எண் ஆகையால் 2 ஆல் வகுபடும்.
எனவே எல்லா மிகை முழுக்கள் n இக்கும் n² - n ஆனது 2 ஆல் வகுபடும்.

37.

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி A(1, 4), B(2, 5) மற்றும் C(4, 7)
BC - யின் சாய்வு = \(\frac { 7-5 }{ 4-2 } =\frac { 2 }{ 2 } \) = 1
தேவையான நேர்க்கோட்டின் சாய்வு m என்க.
இந்த நேர்க்கோடு BC-க்கு செங்குத்தாக உள்ளது.
எனவே, m x 1 = −1
m = −1
இக்கோடானது A(1,4) வழி செல்வதால்,
தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு y − y₁ = m(x − x₁)
y - 4 = − 1(x − 1)
y - 4 = −x + 1
எனவே, x + y − 5 = 0

38.

(a) படத்திலிருந்து, சாய்வு =
\(=\frac { 68-32 }{ 20-0 } =\frac { 36 }{ 20 } =\frac { 9 }{ 5 } \) = 1.8
கோடானது y-அச்சினை (0, 32) –யில் சந்திக்கிறது.
ஆகையால் சாய்வு \(\frac 95\) மற்றும் y வெட்டுத்துண்டு 32 ஆகும்.

(b) சாய்வு மற்றும் y வெட்டுத்துண்டு வடிவத்தைப் பயன்படுத்தி, நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதலாம்.
நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு y = \(\frac 95\)x + 32
(c) பூமியின் சராசரி வெப்பநிலை 25° செல்சியஸ் ஆக இருக்கும்போது y - ஐ பாரன்ஹீட் டிகிரியில் காண x = 25
y = \(\frac 95\)x + 32
y = \(\frac 95\) (25) + 32
y = 77
எனவே, பூமியின் சராசரி வெப்பநிலை 77° F ஆகும்.

39.

படத்திலிருந்து,
அரைக்கோளத்தின் விட்டம் = 3 மி.மீ
அரைக்கோளத்தின் ஆரம் = 1.5 மி.மீ
அரைக்கோளத்தின் கன அளவு \( =\frac{2}{3} \pi r^3\) கன அலகுகள்
\(\therefore\) இரு அரைக்கோளங்களின் கன அளவு
\(=2\left(\frac{2}{3} \pi r^3\right) \)
\(=\frac{4}{3} \pi(1.5)^3 \)
= 4.5π மி.மீ³
உருளையின் ஆரம் = 1.5 மி.மீ
உருளையின் உயரம் = 12 - 3 = 9 மி.மீ
உருளையின் கன அளவு \(=\pi r^2 h\) கன அலகுகள்
\(=\pi(1.5)^2(9)\)
= 20.25 π மி.மீ³
\(\therefore\) குப்பியில் அடைக்கப்படும் மருந்தின் அளவு = உருளையின் கன அளவு + இரு அரைக்கோளங்களின் கன அளவு
\(= 20.25 \pi+4.5 \pi \)
= 24.75π மி.மீ³
\(=24.75 \times \frac{22}{7}=77.785\) மி.மீ³

40.

h₁ மற்றும் h₂ என்பன முறையே இடைக்கண்டம் மற்றும் உருளையின் உயரம் என்க.
R மற்றும் r என்பன இடைக்கண்டத்தின் மேல் மற்றும் கீழ்ப்புற ஆரங்கள் என்க.
இங்கு, R = 12 செ.மீ, r = 6 செ.மீ, h₂ = 12 செ.மீ h₁= 20 - 12 = 8 செ.மீ
இடைக்கண்டத்தின் சாயுயரம் \(l=\sqrt { { (R-r) }^{ 2 }+{ h }_{ 1 }^{ 2 } } \)அலகுகள்
\(=\sqrt { 36+64 } \)
l = 10 செ.மீ
வெளிப்புறப் பரப்பு = 2πrh₂+ π(R + r)l ச.அலகுகள்
= π[2rh₂+ (R + r)l]
= π[(2 x 6 x 12) + (18 x 10)]
= π[144 + 180]
= \(\frac{22}{7}\times\)324 = 1018.28
ஆகவே, புனலின் வெளிப்புறப் பரப்பு 1018.28 ச.செ.மீ² ஆகும்.

41.

கண்ணாடிக் குவளையின் விட்டம் = 20 செ.மீ
\(\therefore\) ஆரம் = 10 செ.மீ
தண்ணீர் உள்ள உயரம் = 9 செ.மீ
உலோக உருளையின் ஆரம் = 5 செ.மீ
உலோக உருளையின் உயரம் = 4 செ.மீ
வெளியேற்றப்பட்ட நீரின் கனஅளவு = உலோக உருளையின் கன அளவு
\(\pi r_1^2 h_1=\pi r_2^2 h_2 \)
\((10)^2 h_1=(5)^2(4) \)
\(\mathrm{h}_1=\frac{100}{100}=1\) செ.மீ
எனவே, நீரில் ஏற்படும் உயர்வு 1 செ.மீ

42.

அருகில் காட்டியுள்ளபடி சார்பு f ஆனது I, II, III என்ற மூன்று இடைவெளிகளில் வரையறுக்கப்படுகிறது.
x = a, என்ற கொடுக்கப்பட்ட மதிப்பிற்கு a-இருக்கும் இடைவெளியைக் கண்டுபிடித்து, அந்த இடைவெளியில் f(a) -ஐக் காண வேண்டும்.
(i) x = 4 ஆனது மூன்றாவது இடைவெளியில் உள்ளதை நாம் காணலாம்.
இங்கு, f(x) = 3x - 2; f(4) = 3(4) - 2 = 10
(ii) x =−2 ஆனது இரண்டாவது இடைவெளியில் உள்ளது.
எனவே, f(x) = x²- 2; f(-2) = (-2)²- 2 = 2
(iii) (i) -லிருந்து, f(4) = 10
f(1), -ன் மதிப்பைக் காண, x = 1 ஆனது இரண்டாவது இடைவெளியில் உள்ளது.
ஆகையினால், f(x) = x²- 2 லிருந்து, f(1) = 1²- 2 = -1
எனவே, f(4) + 2f(1) = 10 + 2(-1) = 8
(iv) f(1) = -1, f(4) = 10 எனக் கண்டோம். f(-3)-யைக் காண x = -3 ஆனது ஒன்றாவது இடைவெளியில் உள்ளதைக் காணலாம்.
ஆகையினால், f(x) = 2x + 7; எனவே, f(-3) = 2(-3) + 7 = 1
எனவே, \(\frac { f(1)-3f(4) }{ f(-3) } =\frac { -1-3(10) }{ 1 } \) = -31

Generic 8

10 x 8 = 80

43.

ஒரு எண்ணின் பத்தாம் இட இலக்கம் =x என்க
அதன் ஒன்றாம் இட இலக்கம் = \(\cfrac { 18 }{ x } \)
\(\therefore\) அந்த எண் = \(10x+\cfrac { 18 }{ x } \)
இலக்கங்கள் இடம் மாறுவதால் கிடைக்கும் எண்
= \(10\times \cfrac { 18 }{ x } +x\)
\(\therefore \left( 10x+\cfrac { 18 }{ x } \right) -\left( 10\times \cfrac { 18 }{ x } +x \right) =63\)
\(\Rightarrow 10x+\cfrac { 18 }{ x } -\cfrac { 180 }{ x } -x=0\)
\(\Rightarrow 9x-\cfrac { 162 }{ x } -63=0\)
\(\Rightarrow\) 9x²-63x-162=0
\(\Rightarrow\) x²-7x-18=0
10 இட இலக்கம் குறை எண்ணாக இருக்க முடியாது.x=9.
அந்த எண் = \(10\times 9+\cfrac { 18 }{ 9 } =92\)

44.

குழு A
x₁	d₁=x -28	\({ d }_{ 1 }^{ 2 }\)
50	22	484
20	-8	64
10	-18	324
30	2	4
30	2	4
140	\(\Sigma d=0\)	880

\({ \bar { x } }_{ 1 }=\cfrac { 140 }{ 6 } =28\)
\({ \bar { \sigma } }_{ 1 }=\sqrt { \cfrac { { \Sigma d }^{ 2 } }{ n } } =\sqrt { \cfrac { 880 }{ 5 } } \)
= \(\sqrt { 176 } \)
= 13.27
\({ CV }_{ 1 }=\cfrac { { \sigma }_{ 1 } }{ { \bar { x } }_{ 1 } } \times 100\)
\({ CV }_{ 1 }=\cfrac { 13.27 }{ 28 } \times 100\)
= 47.39%

குழு B
x₂	d₂=x-30	d²
40	10	100
60	30	900
20	-10	100
20	-10	100
10	-20	400
150	\(\Sigma d=0\)	16000

\({ \bar { x } }_{ 2 }=\cfrac { 150 }{ 5 } =30\)
\({ \sigma }_{ 2 }=\sqrt { \cfrac { { \Sigma d }^{ 2 } }{ n } } =\sqrt { \cfrac { 1600 }{ 5 } } \)
= \(\sqrt { 320 } \)
= 17.89
\({ CV }_{ 1 }=\cfrac { { \sigma }_{ 2 } }{ { \bar { x } }_{ 2 } } \times 100\)
\({ CV }_{ 2 }=\cfrac { 17.89 }{ 30 } \times 100\)
= 59.63%
\(\therefore \) குழு A அதிக சீர்மைத் தன்மை கொண்டுள்ளது.

45.

a_n=3+2n
a₁=3+2=5
a₂=3+2x2=7
a₃=3+2x3=9
எண் வரிசை 5,7,9,11,...
இங்கு, 7-5=9-7=11-9=2
இது ஒரு A.P d=2
S₂₄=? n=24, a=5, d=2.
s₂₄=\(\frac{24}{2}\)[2x5+(24-1)x2]
=12[10+46]=672.
∴ 24 உறுப்புகளின் கூடுதல் =672.

46.

A = {5, 6, 8, 10}, B = {19, 15, 9, 11}
f (x) = 2x - 1
f (5) = 2(5) - 1 = 9
f(8) = 2(8) - 1 =15
∴ a = 9, b = 15

47.

DB = 3 CD
BC = BD + DC
BC = 3CD + CD
BC = 4CD
CD = \(\frac 14\)BC
CD = \(\frac 14\) BC
BD = 3CD = \(\frac 34\) BC

ΔABD ஒரு செங்கோண முக்கோணம் D = 90°
AB² = AD² + BD²...(ii)
ΔACD ஒரு செங்கோண முக்கோணம் ㄥD = 90°
AC² = AD²+ CD² ...(iii)
(ii) லிருந்து (iii) ஐக் கழிக்க.,
AB²- AC² = BD² - CD²
⇒ AB² - AC² = \({ AB }^{ 2 }-{ AC }^{ 2 }={ \left( \frac { 3 }{ 4 } BC \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 1 }{ 4 } BC \right) }^{ 2 }\) (i) லிருந்து
CD = \(\frac 14\)BC, BD = \(\frac 34\)BD
⇒ AB² - AC² = \(\frac {9}{16}\) BC² - \(\frac {1}{16}\) BC²
⇒ AB² - AC² = \(\frac 12\) BC²
⇒ 2(AB² - AC²) = BC²
⇒2AB² = 2AC²+ BC²
என நிரூபிக்கப்பட்டது.

48.

ஆரம் = 3.4 செ.மீ

வரைமுறை:
படி 1: P ஐ மையமாக கொண்டு 3.4 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டம் வரைந்தேன்.
படி 2: வட்டத்தின் மேல் R என்ற புள்ளியைக் குறித்து PR ஐ இணைத்தேன்.
படி 3: R என்ற புள்ளி வழியே PR க்கு செங்குத்தாக TT' வரைந்தேன்.
படி 4: TT' தேவையான தொடுகோடு ஆகும்.

49.

CD என்பது உயரம் 1.6 மீ கொண்ட சிலை மற்றும் BC என்பது பீடம் என்க,
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle \mathrm{ABC}\)-இலிருந்து
\(\tan 40^{\circ}=\frac{B C}{A B} \)
\(0.8391 =\frac{B C}{A B} \)
\(\mathrm{AB} =\frac{B C}{0.8391}\) ....(1)
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle \mathrm{ABD}\)-இலிருந்து
\(\tan 60^{\circ}=\frac{B D}{A B} \)
\(\sqrt{3} =\frac{B C+C D}{A B} \)
\(1.732 =\frac{B C+1.6}{A B} \)
\(\mathrm{AB} =\frac{B C+1.6}{1.732}\)
(1) மற்றும் (2) இலிருந்து
\(\frac{B C}{0.8391} =\frac{B C+1.6}{1.732} \)
\(1.732 \mathrm{BC} =0.8391(\mathrm{BC}+1.6) \)
\(1.732 \mathrm{BC} =0.8391 \mathrm{BC}+(0.8391)(1.6) \)
\(1.732 \mathrm{BC}-0.8391 \mathrm{BC} =1.34256 \)
\(0.8929 \mathrm{BC} =1.34256 \)
\(\mathrm{BC} =\frac{1.34256}{0.8929}=\frac{13425.6}{8929}=1.5\) மீ
\(\therefore\) பீடத்தின் உயரம் = 1.5 மீ

50.

\(\frac{\cos \theta}{1+\sin \theta}=\frac{1}{a} \)
\(\therefore \quad a=\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}\)
நிரூபிக்க வேண்டியது \(\frac{a^2-1}{a^2+1}=\sin \theta\)
இடப்பக்கம் \(=\frac{a^2-1}{a^2+1} \)
\(=\frac{\left(\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}\right)^2-1}{\left(\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}\right)^2+1} \)
\(\frac{\frac{1^2+\sin ^2 \theta+2 \sin \theta}{\cos ^2 \theta}-1}{\frac{1^2+\sin ^2 \theta+2 \sin \theta}{\cos ^2 \theta}+1} \)
\(\frac{\frac{1+\sin ^2 \theta+2 \sin \theta-\cos ^2 \theta}{\cos ^2 \theta}}{\frac{1+\sin ^2 \theta+2 \sin \theta+\cos ^2 \theta}{\cos ^2 \theta}} \)
\(=\frac{\left(1-\cos ^2 \theta\right)+\sin ^2 \dot{\theta}+2 \sin \theta}{\cos ^2 \theta} \times \frac{\cos ^2 \theta}{1+\left(\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta\right)+2 \sin \theta} \)
\(=\frac{\sin ^2 \theta+\sin ^2 \theta+2 \sin \theta}{1+1+2 \sin \theta} \)
\(\because \sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta=1 \)
\(1-\cos ^2 \theta=\sin ^2 \theta \)
\(=\frac{2 \sin ^2 \theta+2 \sin \theta}{2+2 \sin \theta} \)
\(=\frac{2 \sin \theta(\sin \dot{\theta}+1)}{2(1+\sin \theta)} \)
\(=\sin \theta=\)வலப்பக்கம்

51.

\(\sqrt{\frac{1+\sin \theta}{1-\sin \theta}}=\sec \theta+\tan \theta\)
இடப்பக்கம் \(=\sqrt{\frac{1+\sin \theta}{1-\sin \theta}}\)
\(=\sqrt{\frac{1+\sin \theta}{1-\sin \theta} \times \frac{1-\sin \theta}{1-\sin \theta}}\)
[பகுதி மற்றும் தொகுதியை \(\sqrt{1-\sin \theta}-\) ஆல் பெருக்க]
\(=\sqrt{\frac{1^2-\sin ^2 \theta}{(1-\sin \theta)^2}}:\left[\because(a+b)(a-b)=a^2-b^2\right] \)
\(=\sqrt{\frac{\cos ^2 \theta}{(1-\sin \theta)^2}}: \quad\left[\because 1-\sin ^2 \theta=\cos ^2 \theta\right] \)
\(=\frac{\cos \theta}{1-\sin \theta} \)
\(=\frac{\cos \theta}{1-\sin \theta} \times \frac{1+\sin \theta}{1+\sin \theta}\)
[பகுதி மற்றும் தொகுதியை \(1+\sin \theta\) ஆல் பெருக்க]
\(=\frac{\cos \theta(1+\sin \theta)}{1^2-\sin ^2 \theta}\left[\because(a+b)(a-b)=a^2-b^2\right] \)
\(=\frac{\cos \theta(1+\sin \theta)}{\cos ^2 \theta}\left[\because 1-\sin ^2 \theta=\cos ^2 \theta\right] \)
\(=\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}=\frac{1}{\cos \theta}+\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \)
\(=\sec \theta+\tan \theta=\) வலப்பக்கம்

52.

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் A(2.5,3.5), B(10,-4), C(2.5,-2.5) மற்றும் D(-5,5)
கோட்டின் சாய்வு \(=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
AB-ன் சாய்வு \(=\frac{3.5+4}{2.5-10}=\frac{7.5}{-7.5}=-1\)
BC-ன் சாய்வு \(=\frac{-4+2.5}{10-2.5}=\frac{-1.5}{7.5}=-\frac{1}{5}\)
CD ன் சாய்வு \(=\frac{-2.5-5}{2.5+5}=-\frac{7.5}{7.5}=-1\)
AD ன் சாய்வு \(=\frac{3.5-5}{2.5+5}=-\frac{1.5}{7.5}=-\frac{1}{5}\)
AB ன் சாய்வு = CD ன் சாய்வு = -1
BC ன் சாய்வு = AD ன் சாய்வு \(=-\frac{1}{5}\)
∴ AB என்பது CD க்கு இணை மற்றும் BC என்பது AD க்கு இணை.
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரு இணைகரத்தை அமைக்கின்றன.

Multiple Choice Question

40 x 1 = 40

53.

(a)
1

54.

(a)
2sin²x - 1

55.

(a)
ax²+ bx + c = 0

56.

(a)
3, 2x - 3

57.

(a)
தீர்வு இல்லை

58.

CP = 11 செ.மீ; BC = 7 செ.மீ
∴ CQ = 11 செ.மீ BQ = 11 - 7 = 4 செ.மீ = BR = 4 செ.மீ

59.

(b)
தொடுபுள்ளி

60.

AC = 11 - 6 = 5 மீ
செங்கோண ΔABC இல்
\(\mathrm{AB}^2 =\mathrm{BC}^2+\mathrm{AC}^2=12^2+5^2 \)
= 144 + 25 = 169
AB = 13 மீ

61.

\(\triangle A B C \sim \triangle P Q R\) எனில்,
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}=\frac{A C}{P Q}=\) ΔABC இன் சுற்றளவு / ΔPQR இன் சுற்றளவு
AB + BC + CA = 36 செ. மீ
\(\mathrm{PQ}+\mathrm{QR}+\mathrm{PR}=\) 24 செ.மீ
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{36}{24} \Rightarrow \frac{A B}{10}=\frac{36}{24} \)
\(\mathrm{AB}=\frac{36 \times 10}{24}\)
AB = 15 செ.மீ

62.

\(\triangle L M N \sim \triangle P Q R\) எனில்
\(\angle R =\angle N=180-(60+50) \)
\(=180-110=70^{\circ}\)

63.

(d)
நிரை அணி

64.

\(x^4+64+16 x^2 =x^4+16 x^2+64 \)
\(=\left(x^2\right)^2+2(8)\left(x^2\right)+(8)^2 \)
\(=\left(x^2+8\right)^2\)

65.

செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle O M P^{\prime}\) லிருந்து
\(\tan 45^{\circ} =\frac{h+(x+h)}{O M} \)
\(1 =\frac{x+2 h}{O M} \)
\(O M =x+2 h\)
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle O M P\) லிருந்து
\(\tan \beta =\frac{x}{O M} \)
\(O M =\frac{x}{\tan \beta}\)
(1) மற்றும் (2).லிருந்து
\(x+2 \mathrm{~h} =\frac{x}{\tan \beta} \)
\(\frac{x}{\tan \beta}-x =2 \mathrm{~h} \)
\(\frac{x-x \tan \beta}{\tan \beta} =2 \mathrm{~h} \)
\(\frac{x-x \tan \beta}{\tan \beta} =2 h \)
\(x(1-\tan \beta) =2 h \tan \beta \)
\(x =\frac{2 h \tan \beta}{1-\tan \beta} \)
\(\mathrm{PN} =x+\mathrm{h}=\frac{2 h \tan \beta}{1-\tan \beta}+h \)
\( \frac{2 h \tan \beta+h-h \tan \beta}{1-\tan \beta} \)
\(=\frac{h \tan \beta+h}{1-\tan \beta} \)
\(=\frac{h(1+\tan \beta)}{1-\tan \beta}\)
\(\therefore\) ஏரியிலிருந்து மேகத்தின் உயரம்
\(=\frac{h(1+\tan \beta)}{1-\tan \beta}\)

66.

\( x=a \tan \theta \quad y=b \sec \theta \)
\(x^2=a^2 \tan ^2 \theta \quad y^2=b^2 \sec ^2 \theta \)
\(\frac{x^2}{a^2}=\tan ^2 \theta \quad \frac{y^2}{b^2}=\sec ^2 \theta \)
\(\sec ^2 \theta-\tan ^2 \theta=\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2} \)
\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)

67.

\(\sin ^2 \theta+\frac{1}{1+\tan ^2 \theta} =\sin ^2 \theta+\frac{1}{\sec ^2 \theta} \)
\(=\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta=1\)

68.

\( \mathrm{n}=31, \mathrm{t}_{16}=\mathrm{m} \) \(\Rightarrow\) \(\mathrm{a} +15 \mathrm{~d}=\mathrm{m} \)
\(\mathrm{s}_{31} =\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \) \(=\frac{31}{2}[2a+30 d]\)
\( =\frac{31}{2}[2(a+15d)] \) \(=\frac{31}{2}[2 m]=31 \mathrm{~m}\)

69.

(a)
0, 1, 8

70.

(d)
\(\frac {4}{5}\)

71.

பக்க எண்ணின் ஒன்றாம் இட மதிப்புகளின் கூறுவெளி
S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
n(S) = 10 .
பக்க எண்ணின் ஒன்றாம் இட மதிப்பு 7 ஐ விடக் குறைவாக இருக்கும் நிகழ்வு A என்க.
A = {0,1,2,3,4,5,6}
n(A) = 7
\(P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{7}{10}\)

72.

திட்ட விலக்கம் \(\sigma=\mathrm{p}\)
ஒரு தரவில் உள்ள ஒவ்வொரு தரவுப் புள்ளிகளையும் 3 ஆல் பெருக்கினால் கிடைக்கும் தரவுகளின் புதிய திட்டவிலக்கம் பெற பழைய திட்டவிலக்கத்தின் 3 மடங்கு காண வேண்டும். புதிய \(\sigma=3\mathrm{p}\) ஒவ்வொரு புள்ளியுடனும் 5 ஐக் கூட்ட திட்ட விலக்கம் மாறாது.
\(\therefore\) புதிய திட்ட விலக்கம் \(\sigma=3 p\)

73.

முதல் 20 இயல் எண்களின் கூடுதல்
\(=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{20 \times 21}{2} \)
\(\sum x_i =210 \)
\(\sigma =\sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n}-\left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2} \)
\(\sum x_i^2 =1^2+2^2+3^2+\ldots+20^2 \)
\(=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} \)
\(=\frac{20 \times 21 \times 41}{6}=10 \times 7 \times 41 \)
\(=2870 \)
\(\sigma =\sqrt{\frac{2870}{20}-\left(\frac{210}{20}\right)^2}\)
விலக்க வா்க்கச் சராசரி
\(\sigma^2 =\frac{2870}{20}-\left(\frac{210}{20}\right)^2 \)
\(=143.5-\frac{441}{4} \)
\(=143.5-110.25=33.25\)

74.

வீச்சு = L - S
= 8 - 8
= 0

75.

\(\left(1^3+2^3+3^3+\ldots+15^3\right)-(1+2+3+\ldots+15) \)
\(=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2-\left[\frac{n(n+1)}{2}\right] \)
\(=\left[\frac{15 \times 16}{2}\right]^2-\left[\frac{15 \times 16}{2}\right]=(120)^2-120\)
= 14400 - 120 = 14280

76.

\(\mathrm{t}_1, \mathrm{t}_2, \mathrm{t}_3, \ldots\) என்பது கூட்டுத் தொடர்வரிசை எனில் \(t_6, t_{12}, t_{18}, \ldots . . .\) என்பதும் பொது வேறுபாடு 6d உடைய ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசை ஆகும்.

77.

\(a=\frac{3}{16} ; r=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{3}{16}}=\frac{1}{8} \times \frac{16}{3}=\frac{2}{3}\)
இது ஒரு பெருக்குத் தொடா் வரிசை ஆகும்.
∴ அடுத்த உறுப்பு \(\frac{1}{18} \times \frac{2}{3}=\frac{1}{27}\)

78.

(a)
இரு பக்கங்களின் சாய்வுகள்

79.

கொடுக்கப்பட்ட கோடு 8y = 4x + 21
\(y=\frac{x}{2}+\frac{21}{8}\)
\(\mathrm{y}=\frac{x}{2}+2.625\)\(\mathrm{y}=\mathrm{mx}+\mathrm{c}\) என்ற வடிவில்
இங்கு, \(\mathrm{m}=\frac{1}{2}=0.5, \mathrm{c}=2.625\)
\(\therefore \) சாய்வு \(\mathrm{m} =\frac{1}{2}=0.5 \)
y வெட்டுத்துண்டு = 2.6

80.

கொடுக்கப்பட்ட (5, 7), (3, p) மற்றும் (6,6) என்பன ஒரே கோடமைப் புள்ளிகள்
\(\therefore\) இப்புள்ளிகளால் அமையும் முக்கோணத்தின் பரப்பு பூச்சியம்.
அதாவது \(\frac{1}{2}\left\{x_1\left(y_2-y_3\right)+x_2\left(y_3-y_1\right)+x_3\left(y_1-y_2\right)\right\}=0\)
\(5(\mathrm{p}-6)+3(6-7)+6(7-\mathrm{p})=0 \)
\(5 \mathrm{p}-30-3+42-6 \mathrm{p}=0 \)
\(\Rightarrow-\mathrm{p}+9=0 \Rightarrow \mathrm{p}=9\)

81.

x = 10
இது y-அச்சிற்கு இணையான கோடு

82.

புள்ளிகள் (-5, 0), (0, -5) மற்றும் (5, 0) முக்கோணத்தின் பரப்பளவு
\(=\frac{1}{2}\left[x_1\left(y_2-y_3\right)+x_2\left(y_3-y_1\right)+x_3\left(y_1-y_2\right)\right]\)
\(=\frac{1}{2}[-5(-5-0)+0(0-0)+5(0+5)] \)
\(=\frac{1}{2}[25+25]=\frac{50}{2}=25 \) சதுர அலகுகள்

83.

கொடுக்கப்பட்டது: \(\frac{h_2}{h_1}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{h_2}{h_1} =\frac{r_2}{r_1}=\frac{1}{2} \)
\(r_2: r_1 =1: 2\)

84.

(a)
\(\frac{4}{3}\pi \)

85.

r₁ ஆரத்தைக் கொண்ட கோளப் பந்தின் கன அளவு \(=\frac{4}{3} \pi r_1^3\)
r₂ ஆரத்தைக் கொண்ட சம கோளப் பந்துகளின் கன அளவு
\(=8\left(\frac{4}{3} \pi r_2^3\right)\)
இப்போது, கோளத்தின் கன அளவு / புதிய 8 கோளங்களின் கன அளவு
\(=\frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{8\left(\frac{4}{3} \pi r_2^3\right)}=\frac{r_1^3}{8 r_2^3}=2: 1\)

86.

கொ.ப r = 5 செ மீ, l = 13 செ மீ
\(\therefore\) உயரம் \(h =\sqrt{F-r}=\sqrt{13-5} \)
\(=\sqrt{163-25}=\sqrt{144}=12\) செ மீ

87.

'r' என்ற சம ஆரத்தைக் கொண்ட இரு அரைக்கோளங்கள் ஒன்றாக இணைக்கப்படும்போது உருவாகும் திண்மம் ஒரு கோளமாகும்
\(\therefore\) திண்மத்தின் புறப்பரப்பு = 4πr² சதுர அலகுகள்

88.

\(g=\{(1,1),(2,3),(3,5),(4,7)\} \)
\(g(x)=\alpha x+\beta\)
\(\alpha\) = 2 மற்றும் \(\beta\) =-1 எனும் போது, g(x) = 2x - 1 என்பது 'g' யை நிறைவு செய்கிறது.

89.

90.

A = {1,2,3,4}, B = {4,8,9,10} மற்றும் f ={(1,4),(2,8),(3,9),(4,10)} ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பு

91.

கொடுக்கப்பட்டது: (a + 2, 4) = (5, 2a + b)
\(\begin{array}{rl|rl} a+2 & =5 & 2 a+b & =4 \\ a & =5-2 & 2(3)+b & =4 \\ & =3 & b=4-6 & =-2 \end{array} \)

92.

\(A=\{a, b, p\}, \quad B=\{2,3\}, \quad C=\{p, q, r, s\} \)
\(A \cup C =\{a, b, p, q, r, s\} \)
\(n(A \cup C) =6 \)
\(n(B) =2 \)
\(\therefore n[(A \cup C) \times B] =6 \times 2=12\)