மீ.பொ.ம. \(=3 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 3=360\)
மிகப்பெரிய 6 இலக்க எண் 999999
24, 15 மற்றும் 36 இன் மீ.பொ.ம = 360

999999 ஐ 360 ஆல் வகுக்க கிடைக்கும் மீதி = 279 .
\(\therefore\)  24,15, 36 ஆல் வகுபடும் மிகப்பெரிய 6 இலக்க எண் = 999999 - 279 = 999720 
எனவே தேவையான எண் = 999720

முதல் உறுப்பு a மற்றும் பொது வித்தியாசம் d என்க. t₁ = x, t_m = y, t_n = z எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. பொது உறுப்பு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த நாம் பெறுவது,
a + (l - 1)d = x  ....(1)
a + (m - 1)d = y  ..(2)
a + (n - 1)d = z  .....(3)
x(m - 1) + y(n - l) + z(l - m)
= a[(m - n) +(n - l) + (l - m)] + d[(m - n)(l - 1) + (n - l)(m - 1) + (l - m)(n - 1)]
= a[0] + d[lm - ln - m + n + mn - lm - n + ln - mn - l + m]
= a(0) + d(0) = 0
(ii) சமன்பாடு (1) -லிருந்து (2), (2) -லிருந்து (3), (3) -லிருந்து (1) ஐக் கழித்தால் நாம் பெறுவது,
x - y = (l - m)d
y - z = (m - n)d
z - x = (n - l)d
(x - y)n + (y - z)l + (z - x)m = [(l - m)n + (m - n)l + (n - l)m]d
=[ln - mn + lm - nl + nm - lm]d = 0

(i) a = −12, b = 5
யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத்தேற்றத்தின்படி
a = bq + r,  இங்கு 0 ≤ r < |b|
-12 = 5 x (-3) + 3 0 ≤ r < |5|
எனவே, ஈவு q = -3, மீதி r = 3
(ii) a = 17, b = -3
யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத்தேற்றத்தின்படி
a = bq + r, இங்கு 0 ≤ r < |b|
17 = (-3) x (-5) + 2  0 ≤ r < |-3|
எனவே, ஈவு q = -5, மீதி r = 2
(iii) a = -19, b = -4
யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத்தேற்றத்தின்படி
a = bq + r,  0 ≤ r < |b|
-19 = (-4) x (5) + 1 0 ≤ r < |-4|
எனவே, ஈவு q = 5, மீதி r = 1

300-க்கும் 600-க்கும் இடையே 7-ஆல் வகுபடும் இயல் எண்கள் 301, 308, 315, …, 595.
300-க்கும் 600-க்கும் இடையே 7-ஆல் வகுபடும் இயல் எண்களின் கூடுதல் 301 + 308 + 315+....+595.
மேற்கண்ட தொடரின் உறுப்புகள் கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் அமைந்துள்ளன.
முதல் உறுப்பு a = 301 ; பொது வித்தியாசம் d = 7 ; கடைசி உறுப்பு l = 595.
n = \(\left( \frac { l-a }{ d } \right) +1=\left( \frac { 595-301 }{ 7 } \right) \) + 1 = 43
S_n = \(\frac { n }{ 2 } \)[a + l], என்பதால் S₄₃ = \(\frac { 43 }{ 2 } \)[301 + 595] =19264

n = 11 என்பது ஒற்றை எண் என்பதால், a₁₁-யின் மதிப்புக் காண n = 11 என a_n = n(n + 3)-யில் பிரதியிட
11-வது உறுப்பு = a₁₁ = 11(11 + 3) = 154
n =18 என்பது இரட்டை எண் என்பதால், a₁₈-யின் மதிப்புக் காண n = 18 என a_n = n² + 1 -யில் பிரதியிட,
18 -வது உறுப்பு a₁₈ = 18² + 1 = 325

3x ≡ 1 (மட்டு 15) என்பதை
3x - 1 = 15k, k என்பது ஏதேனும் ஒரு முழு என எழுதலாம்.
3x = 15k + 1
x = \(\frac { 15k+1 }{ 3 } \)
x = \(5k+\frac { 1 }{ 3 } \)
5k என்பது ஒரு முழு எண் என்பதால், \(5k+\frac { 1 }{ 3 } \) என்பது ஒரு முழு எண் அல்ல. எனவே இச்சமன்பாட்டிற்கு முழு எண் தீர்வே இல்லை.

8x ≡ 1 (மட்டு 11) என்பதை 8x - 1 = 11k, இங்கு k என்பது ஏதேனும் ஒரு முழுக்கள், என எழுதலாம்.
x = \(\frac { 11k+1 }{ 8 } \)
k = 5,13,21,29,... என நாம் பிரதியிடும் போது 11k + 1 ஆனது 8 ஆல் வகுபடுகிறது.
x = \(\frac { 11\times 5+1 }{ 8 } \) = 7
x = \(\frac { 11\times 13+1 }{ 8 } \) = 18
∴ 7,18,29,40, … என்பது தீர்வாகும்.

445 மற்றும் 572 ஐ வகுக்கும்போது கிடைக்கும் மீதி 4 மற்றும் 5 எனில், நமக்குத் தேவையான எண் 445 - 4 = 441, மற்றும் 572 - 5 = 567 ஆகியவற்றின் மீப்பெரு பொது வகுத்தியாகத்தான் இருக்கும்.
எனவே நாம் 441 மற்றும் 567 ஆகிய எண்களின் மீ.பொ.வ கண்டறிவோம். யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையின்படி நாம் பெறுவது
567 = 441 x 1 + 126
441 = 126 x 3 + 63
126 = 63 x 2 + 0
ஆகவே 441 மற்றும் 567 ஆகியவற்றின் மீ.பொ.வ 63 ஆகும். எனவே தேவையான எண் 63 ஆகும்.

\( \mathrm{n}=31, \mathrm{t}_{16}=\mathrm{m} \) \(\Rightarrow\) \(\mathrm{a} +15 \mathrm{~d}=\mathrm{m}  \)
\(\mathrm{s}_{31} =\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]  \) \(=\frac{31}{2}[2a+30 d]\)
\( =\frac{31}{2}[2(a+15d)] \) \(=\frac{31}{2}[2 m]=31 \mathrm{~m}\)

F₁ = 1, F₂ = 3, F₃ = F₂ + F₁ = 3 + 1 = 4,
F₄ = F₃ + F₂ = 4 + 3 = 7, F₅ = F₄ + F₃ = 7 + 4 = 11

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 இவற்றின் மீ.பொ.ம 2520

\(\left(1^3+2^3+3^3+\ldots+15^3\right)-(1+2+3+\ldots+15)   \)
\(=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2-\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]  \)
\(=\left[\frac{15 \times 16}{2}\right]^2-\left[\frac{15 \times 16}{2}\right]=(120)^2-120\)
= 14400 - 120 = 14280

\(\mathrm{t}_1, \mathrm{t}_2, \mathrm{t}_3, \ldots\) என்பது கூட்டுத் தொடர்வரிசை எனில் \(t_6, t_{12}, t_{18}, \ldots . . .\) என்பதும் பொது வேறுபாடு 6d உடைய ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசை ஆகும்.

a = 1, d = 4 மற்றும் S_n = 120
\(\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]  \)
\(120 =\frac{n}{2}[2(1)+(n-1) 4]  \)
\(120 \times 2 =\mathrm{n}[2+4(\mathrm{n}-1)]  \)
\(240 =\mathrm{n}[2+4 \mathrm{n}-4]  \)
\(=\mathrm{n}[4 \mathrm{n}-2]  \)= 2n [2n - 1]
\(120 =\mathrm{n}[2 \mathrm{n}-1]  \)
\(2 \mathrm{n}^2-\mathrm{n}-120 =0  \)
\(2 \mathrm{n}^2-16 \mathrm{n}+15 \mathrm{n}-120 =0  \)
\(2 \mathrm{n}(\mathrm{n}-8)+15(\mathrm{n}-8) =0  \)
\((\mathrm{n}-8)(2 \mathrm{n}+15) =0  \)
n = 8 அல்லது \(\mathrm{n}=\frac{-15}{2} \)
உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை குறை எண்ணாக இருக்க முடியாது.
\(\therefore\)  n = 8