6 ஆண்டுகளில் அவர் சேமித்த தொகை S₆ = 7875
ஒவ்வோர் ஆண்டும் சேமிக்கும் தொகையானது அதற்கு முந்தைய ஆண்டின் சேமிப்புத் தொகையில் பாதி என்பதால், r = \(\frac { 1 }{ 2 } \)< 1
\(\frac { a({ 1-r }^{ n }) }{ 1-r } =\frac { a\left( 1-\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 6 } \right) }{ 1-\frac { 1 }{ 2 } } \) = 7875
\(\frac { a\left( 1-\frac { 1 }{ 64 } \right) }{ \frac { 1 }{ 2 } } \)=7875 ⇒ a x \(\frac { 63 }{ 32 } \)= 7875 ⇒ a = \(\frac { 7875\times 32 }{ 63 } \) ⇒ a = 4000
எனவே, அந்த நபர் முதல் ஆண்டில் சேமித்த தொகை ரூ.4000.

(i) a = −12, b = 5
யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத்தேற்றத்தின்படி
a = bq + r,  இங்கு 0 ≤ r < |b|
-12 = 5 x (-3) + 3 0 ≤ r < |5|
எனவே, ஈவு q = -3, மீதி r = 3
(ii) a = 17, b = -3
யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத்தேற்றத்தின்படி
a = bq + r, இங்கு 0 ≤ r < |b|
17 = (-3) x (-5) + 2  0 ≤ r < |-3|
எனவே, ஈவு q = -5, மீதி r = 2
(iii) a = -19, b = -4
யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத்தேற்றத்தின்படி
a = bq + r,  0 ≤ r < |b|
-19 = (-4) x (5) + 1 0 ≤ r < |-4|
எனவே, ஈவு q = 5, மீதி r = 1

பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் பொது வடிவம் a, ar, ar²,...
a = 256, ar = 256 x 0.5 = 128, ar² = 256 x (0.5)² = 64
எனவே, தேவையான பெருக்குத் தொடர்வரிசை 256, 128, 64,....

முதல் உறுப்பு a = 1, பொது விகிதம் r = \(\frac { -3 }{ 1 } \) = -3 < 1, n = 8
பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல் S_n = \(\frac { a({ r }^{ n }-1) }{ r-1 }\) r ≠ 1
ஆகவே, S₈ = \(\frac { 1((-3)^{ 8 }-1) }{ (-3)-1 } =\frac { 6561-1 }{ -4 } \) = -1640

(i) பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் பொது வடிவம் a, ar, ar²,...
a = -7, ar = -7 x 6 = -42, ar² = -7 x 6² = -252
எனவே, தேவையான பெருக்குத் தொடர்வரிசை -7, -42, -252,.....
(ii) பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் பொது வடிவம் a, ar, ar²,...
a = 256, ar = 256 x 0.5 = 128, ar² = 256 x (0.5)² = 64
எனவே, தேவையான பெருக்குத் தொடர்வரிசை 256, 128, 64,....

முதல் உறுப்பு a = 3 மற்றும் பொது வித்தியாசம் d = 15–03 = 12 .
முதல் உறுப்பு a, பொது வித்தியாசம் d ஆக உள்ள கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் n -வது உறுப்பு
t_n = a + (n - 1)d என நாம் அறிவோம்
t₁₅ = a + (15 - 1)d = a + 14d = 3 + 14(12) = 171
(இங்கு a = 3 மற்றும் d = 12)
t₂₄ = a + (24 - 1)d = a + 23d = 3 + 23(12) = 279
n -வது உறுப்பு (பொது உறுப்பு) t_n = a + (n - 1)d
t_n = 3 + (n - 1)12
t_n = 12n - 9

பயணம் தொடங்கும் நேரம் 22.30. பயண நேரம் 32 மணி நேரம் இங்கு நாம் மட்டு 24 ஐ பயன்படுத்த உள்ளோம்.
சென்று சேரும் நேரம்
22.30 + 32 (மட்டு 24) ≡ 54.30 (மட்டு 24)
≡ 6.30 (மட்டு 24) (அதாவது 32 = (1 x 24) + 8 வியாழன் வெள்ளி)
ஆகவே அவர் வெள்ளிக்கிழமை காலை 6.30 மணிக்கு டெல்லி சென்றடைவார்.

10² = 100 ≡ 5 (மட்டு 19)
10⁴ = (10²)² ≡ 5² (மட்டு 19)
10⁴ ≡ 25  (மட்டு 19)
10⁴ ≡ 6 (மட்டு 19) (ஏனெனில், 25 ≡ 6 (மட்டு 19))
எனவே, x = 6.

15 ≡ 3 (மட்டு d) என்பதன் பொருள் 15 - 3 = kd, இங்கு k என்பது ஏதேனும் ஒரு முழு.
12 = kd
d ஆனது 12 ஐ வகுக்கும்.
12 -யின் வகுத்திகளாவன 1,2,3,4,6,12
d ஆனது 3 ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும், ஏனெனில் மீதி 3 வந்துள்ளது. எனவே, d- க்கு சாதகமான மதிப்புகள் 4,6,12 ஆகும்.

800 என்ற எண்ணைக் காரணிப்படுத்தும்போது, நாம் பெறுவது
800 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5 =2⁵ x 5²
ஆகவே, a^b x b^a = 2⁵ x 5²
இதிலிருந்து நாம் பெறுவது. a = 2, b = 5 (அ) a = 5, b = 2

யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்திக் கொடுக்கப்பட்ட எண்களுக்கு மீ.பொ.வ காண்போம்.
210 = 55 x 3 + 45
55 = 45 x 1 + 10
45 = 10 x 4 + 5
10 = 5 x 2 + 0
மீதி = 0
ஆகவே, கடைசி படிநிலையின் வகுத்தி 5 ஆனது 210 மற்றும் 55 –யின் மீப்பெரு பொது வகுத்தியாகும். மீப்பெரு பொது வகுத்தியை 55x - 325 = 5 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதால்,
55x = 330
x = 6

\( \mathrm{n}=31, \mathrm{t}_{16}=\mathrm{m} \) \(\Rightarrow\) \(\mathrm{a} +15 \mathrm{~d}=\mathrm{m}  \)
\(\mathrm{s}_{31} =\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]  \) \(=\frac{31}{2}[2a+30 d]\)
\( =\frac{31}{2}[2(a+15d)] \) \(=\frac{31}{2}[2 m]=31 \mathrm{~m}\)

\(\left(1^3+2^3+3^3+\ldots+15^3\right)-(1+2+3+\ldots+15)   \)
\(=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2-\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]  \)
\(=\left[\frac{15 \times 16}{2}\right]^2-\left[\frac{15 \times 16}{2}\right]=(120)^2-120\)
= 14400 - 120 = 14280

\(A=2^{65} \)
\(B=2^{64}+2^{63}+2^{62}+\ldots+2^0\)
இங்கு \(a=2^{64} ; r=\frac{2^{63}}{2^{64}}=\frac{1}{2} ; n=65\)
\(\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1} \)
\(\mathrm{B}=\frac{2^{64}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{65}-1\right)}{-\frac{1}{2}}=2^{65}\left(\frac{1}{2^{65}}-1\right)(-1) \)
\(=\left(1-2^{65}\right)(-1) \) \(=2^{65}-1\)
\(\therefore B=\mathrm{A}-\mathrm{I} \)                  (\(\because\) \(\mathrm{A}=2^{65}\))
\(\mathrm{A}=\mathrm{B}+1\)

a = 1, d = 4 மற்றும் S_n = 120
\(\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]  \)
\(120 =\frac{n}{2}[2(1)+(n-1) 4]  \)
\(120 \times 2 =\mathrm{n}[2+4(\mathrm{n}-1)]  \)
\(240 =\mathrm{n}[2+4 \mathrm{n}-4]  \)
\(=\mathrm{n}[4 \mathrm{n}-2]  \)= 2n [2n - 1]
\(120 =\mathrm{n}[2 \mathrm{n}-1]  \)
\(2 \mathrm{n}^2-\mathrm{n}-120 =0  \)
\(2 \mathrm{n}^2-16 \mathrm{n}+15 \mathrm{n}-120 =0  \)
\(2 \mathrm{n}(\mathrm{n}-8)+15(\mathrm{n}-8) =0  \)
\((\mathrm{n}-8)(2 \mathrm{n}+15) =0  \)
n = 8 அல்லது \(\mathrm{n}=\frac{-15}{2} \)
உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை குறை எண்ணாக இருக்க முடியாது.
\(\therefore\)  n = 8