LHS = secA(1-sin A)(sec A +tanA)
= \(\left[ \cfrac { 1 }{ cosA } \right] \left( 1-sinA \right) \left[ \cfrac { 1 }{ cosA } +\cfrac { sinA }{ cosA } \right] \)
= \(\cfrac { \left( 1-sinA \right) (1+sinA) }{ { cos }^{ 2 }A } \)
= \(\cfrac { 1-{ sin }^{ 2 }A }{ { cos }^{ 2 }A } =\cfrac { { cos }^{ 2 }A }{ { cos }^{ 2 }A } =1=RHS\)

AB என்பது பாறையின் உயரம் = 50\(\sqrt 3\) மீ
C என்பது மகிழுந்து என்க.
\(\angle D A C=\angle A C B=30^{\circ}\)
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle A B C\)-இலிருந்து
\(\tan 30^{\circ} =\frac{A B}{B C} \)
\(\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{50 \sqrt{3}}{B C} \)
\(B C =50 \sqrt{3} \times \sqrt{3} \)
= 50 x 3 = 150  மீ
\(\therefore\) மகிழுந்துக்கும், பாறைக்கும் இடையே உள்ள தொலைவு = 150 மீ.

கட்டடத்தின் உயரம் BC என்க. தரையில் பந்து இருக்கும் இடத்தை A என்க. BC = 20 மீ, மேலும் ㄥXCA = 60° = ㄥCAB

AB = x மீ என்க.
செங்கோண Δ ABC – ல்
tan 60° = \(\frac {BC}{AB}\)
\(\sqrt 3 = \frac {20}{x }\)
x = \(\frac { 20\times \sqrt { 3 } }{ \sqrt { 3 } \times \sqrt { 3 } } =\frac { 20\times 1.732 }{ 3 } \) = 11.55 மீ
எனவே, கட்டடத்தின் அடிக்கும் பந்திற்கும் இடையேயுள்ள தொலைவு = 11.55 மீ.

AB = x என்பது சாலையின் மையத்தில் உள்ள பாதசாரிக்கும் வீட்டிற்கும் இடையே உள்ள தூரம் என்க.
\(\therefore \mathrm{DB}=2 \mathrm{x}\) என்பது சாலையின் அகலம் ஆகும். வீட்டின் உயரம் \(B C=4 \sqrt{3}\) மீ
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle \mathrm{ABC}\) லிருந்து
\(\therefore \quad \tan 30^{\circ}=\frac{B C}{A B} \)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{4 \sqrt{3}}{x}\)
\(x=4 \sqrt{3} \times \sqrt{3}=4 \times 3=12\) மீ
சாலையின் அகலம் = 2x = 2 x 12 = 24 மீ
\(\therefore\) சாலையின் அகலம் = 24 மீ

(i) செங்கோண \(\triangle A B C\)-ல் ( படம் - (i) பார்க்கவும்)
\(\tan \theta \) = எதிர்ப்பக்கம்/அடுத்துள்ள பக்கம் \(= \frac{4}{5} \)
\(\tan \theta =0.8 \)
\(\Rightarrow \theta =38.7^{\circ}\left(\because \tan 38.7^{\circ}=0.8011\right) \)
\(\therefore \angle B A C =38.7^{\circ}\)
(ii) செங்கோண \(\triangle A B C\)-ல் ( படம் -(ii) பார்க்கவும்)
tan θ = \(\frac 83\)
=  tan θ = 2.66
\(\Rightarrow\) θ = 69.4° (\(\because \) tan 69.4° = 2.6604)
\(\therefore\) ㄥBAC = 69.4°

\(\sqrt { \frac { 1+\cos\theta }{ 1-\cos\theta } } =\sqrt { \frac { 1+\cos\theta }{ 1-\cos\theta } \times \frac { 1+\cos\theta }{ 1+\cos\theta } } \) [1 - cos θ யின் இணையைக் கொண்டு தொகுதி மற்றும் பகுதியைப் பெருக்கவும்]
\(=\sqrt { \frac { { (1+\cos\theta ) }^{ 2 } }{ 1-{ \cos }^{ 2 }\theta } } =\frac { 1+\cos\theta }{ \sqrt { { \sin }^{ 2 }\theta } } \) [ஏனெனில் sin²θ + cos²θ = 1]
\(=\frac { 1+\cos\theta }{ \sin\theta } \) = cosecθ + cotθ

\(\frac { \sin A }{ 1+\cos A } =\frac { \sin A }{ 1+\cos A } \times \frac { 1-\cos A }{ 1-\cos A } \) [1 + cosA யின் இணையைக் கொண்டு தொகுதி மற்றும் பகுதியைப் பெருக்கவும்]
= \(\frac { \sin A(1-\cos A) }{ (1+\cos A)(1-\cos A) } =\frac { \sin A(1-\cos A) }{ 1-{ \cos }^{ 2 }A } \)
= \(\frac { \sin A(1-\cos A) }{ { \sin }^{ 2 }A } =\frac { 1-\cos A }{ \sin A } \)

tan²θ - sin²θ = tan²θ - \(\frac { { \sin }^{ 2 }\theta }{ { \cos }^{ 2 }\theta } .{ \cos }^{ 2 }\theta \)
= tan²θ - (1 - cos² θ) = tan²θ sin²θ

\(\Delta ABC\) யில் \(\Delta ABC\quad tanA=\cfrac { BC }{ AB } =1\)
BC = AB 
AB = BC = k என்க, இங்கு k ஒரு மிகை எண் 

இப்பொழுது \(AC=\sqrt { { AB }^{ 2 }+{ BC }^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { \left( k \right) ^{ 2 }+\left( k \right) ^{ 2 } } =k\sqrt { 2 } \)
\(\therefore sinA=\cfrac { BC }{ AC } =\cfrac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
\(cosA=\cfrac { AB }{ AC } =\cfrac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
ஆக,\(sinAcosA=2\left[ \cfrac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right] \left[ \cfrac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right] =1\) =1
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

படம்-ல் AO என்பது கட்டடம். O என்பது கட்டடத்தின் உச்சிப் புள்ளி என்க. மேலும்  OA = 12 மீ.
PP' என்பது மின்சாரக் கோபுரம். இதில் P என்பது மின் கோபுரத்தின் உச்சி, P' என்பது மின் கோபுரத்தின் அடி

P-யின் ஏற்றக்கோணம் ㄥMOP = 60° மற்றும்
P' -ன் இறக்கக்கோணம் ㄥMOP' = 30°
மின் கோபுரத்தின் உயரம் PP'  = h மீ என்க.
O வழியாக OM ⊥ PP' வரைக.
MP = PP' − MP' = h − OA = h −12
செங்கோண Δ OMP-ல் \(\frac { MP }{ OM } \) = tan 60°
எனவே, \(\frac { h-12 }{ OM } =\sqrt { 3 } \)
ஆகவே, \(OM=\frac { h-12 }{ \sqrt { 3 } } \) ....(1)
செங்கோண முக்கோணம் ΔOMP' -ல் \(\frac { MP' }{ OM } \) = tan30°
எனவே, \(\frac { 12 }{ OM } =\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)
ஆகவே, OM = \(12\sqrt { 3 } \) ....(2)
(1) மற்றும் (2) –லிருந்து  \(\frac { h-12 }{ \sqrt { 3 } } =12\sqrt { 3 } \)
எனவே, h - 12 = \(12\sqrt { 3 } \times \sqrt { 3 } \) ஆகவே, h = 48
எனவே, மின் கோபுரத்தின் உயரம் = 48 மீ.

AB என்பது கோபுரம் என்க.
C மற்றும் D என்பன படகு இருக்கும் நிலைகள் என்க.
படத்திலிருந்து,
ㄥXAC = 60° = ㄥACB மற்றும்
ㄥXAD = 45° = ㄥADB, BC = 200 மீ
செங்கோண Δ ABC -ல் tan60°= \(\frac { AB }{ BC } \)
\(\sqrt { 3 } =\frac { AB }{ 200 } \) ⇒  \(AB=200\sqrt { 3 } \) ...(1)
செங்கோண Δ ABD -ல்
tan45°= \(\frac { AB }{ BD } \) ⇒ 1 = \(\frac { 200\sqrt { 3 } }{ BD } \) [(1) ... லிருந்து]
எனவே, \(BD=200\sqrt { 3 } \)
இப்போது, CD = BD - BC
\(CD=200\sqrt { 3 } -200=200(\sqrt { 3 } -1)\) = 146.4
CD என்ற தொலைவை பயணிக்கத் தேவைப்படும் நேரம் 10 வினாடிகள், எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
அதாவது, 146.4 மீ தொலைவை 10 வினாடிகளில் படகு கடக்கிறது.
எனவே, படகின் வேகம் = 
= \(\frac {146.4}{10}\) = 14.64 மீ/வி. ⇒ 14.64 x \(\frac {3600}{100}\) கி.மீ/மணி = 52.704 கி.மீ/மணி.

கோபுரத்தின் உயரம் AC என்க. கட்டடத்தின் உயரம் AB என்க.
மேலும் AC = h மீ, AB = 30 மீ
செங்கோண Δ CBP- ல் ㄥCPB = 60°

tan θ = \(\frac {BC}{BP}\)
tan 60° = \(\frac { AB+AC }{ BP } \) ⇒ \(\sqrt { 3 } =\frac { 30+h }{ BP } \) ...(1)
செங்கோண Δ ABP-ல், ㄥAPB = 45°
tan θ = \(\frac{AB}{BP}\) 
tan 45^o =\(\frac{30}{BP}\)⇒ BP = 30  .....(2)
(1) ஐ (1) ல் பிரதியிட்டால் கிடைப்பது \(\sqrt { 3 } =\frac { 30+h }{ 30 } \)
h = 30(\(\sqrt { 3}\) - 1) = 30(1.732 - 1) = 30(0.732) = 21.96
எனவே, கோபுரத்தின் உயரம் = 21.96 மீ.

இப்பொழுது, cos θ + sin θ = \(\sqrt2\) cos θ என்பதை இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்துக.
(cos θ + sin θ)² = (\(\sqrt2\) cos θ)²
cos² θ +  sin² θ + 2 sin θ cos θ = 2 cos² θ
2 cos² θ - cos² θ -  sin² θ = 2 sin θ cos θ
cos² θ -  sin² θ = 2 sin θ cos θ
(cos θ + sin θ)(cos θ - sin θ) =  2 sin θ cos θ
cos θ - sin θ = \(\frac { 2\sin\theta \cos\theta }{ \cos\theta +\sin\theta } =\frac { 2 \sin\theta \cos\theta }{ \sqrt { 2 } \cos\theta } =\sqrt { 2 } \sin\theta \)
(ஏனெனில் cos θ + sin θ \(\sqrt { 2 } \cos\theta \) )
\(\therefore\) cos θ - sin θ = \(\sqrt { 2 } \sin\theta \)

\(\frac { \sin A }{ 1+\cos A } +\frac { \sin A }{ 1-\cos A }\)
\(=\frac { \sin A(1-\cos A)+\sin A(1+\cos A) }{ (1+\cos A)(1-\cos A) } \)
\(=\frac { \sin A-\sin A \cos A+\sin A+\sin A \cos A }{ 1-{ \cos }^{ 2 }A } \)
\(=\frac { 2\sin A }{ 1-{ \cos }^{ 2 }A } \frac { 2\sin A }{ { \sin }^{ 2 }A } =2 \ cosec \ A\)

\(\sin ^2 A \cos ^2 B+ \cos ^2 A \sin ^2 B+\cos ^2 A \cos ^2 B+\sin ^2 A \sin ^2 B \)
\(=\sin ^2 A \cos ^2 B+\sin ^2 A \sin ^2 B+\cos ^2 A \sin ^2 B+\cos ^2 A \cos ^2 B \)
\(=\sin ^2 A\left(\cos ^2 B+\sin ^2 B\right)+\cos ^2 A\left(\sin ^2 B+\cos ^2 B\right) \)
\(=\sin ^2 A(1)+\cos ^2 A(1) \) (ஏனெனில் \( \sin ^2 B+\cos ^2 B=1)\)
\(=\sin ^2 A+\cos ^2 A=1\)

படத்தில் AB - கோபுரம்
BC - ஏற்றக்கோணம் 45^o ஆக இருக்கும்போது கோபுர நிழல்
\(\tan 45^{\circ}=\frac{A B}{B C} \)
\(1 =\frac{60}{B C} \)
BC = 60 மீ .....(1)
\(\tan 30^{\circ} =\frac{A B}{B D} \)
\(=\frac{60}{B C+C D}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{60}{60+x} \quad[\therefore\) (1) லிருந்து]
\(60+x=60 \sqrt{3} \)
\(x=60 \sqrt{3}-60 \)
\(=60(\sqrt{3}-1)\)
= 60(1.732 - 1)
= 60 x 0.732
= 43.92 மீ

\((1+\tan \theta+\sec \theta)(1+\cot \theta-\operatorname{cosec} \theta) \)
\(=\left(1+\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{1}{\cos \theta}\right)\left(1+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}-\frac{1}{\sin \theta}\right) \)
\(=\left(\frac{(\cos \theta+\sin \theta)+1}{\cos \theta}\right)\left(\frac{(\sin \theta+\cos \theta)-1}{\sin \theta}\right) \)
\(=\frac{(\sin \theta+\cos \theta)^2-1^2}{\sin \theta \cos \theta} \)
\(=\frac{\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta+2 \sin \theta \cos \theta-1}{\sin \theta \cos \theta} \)
\(=\frac{1+2 \sin \theta \cos \theta-1}{\sin \theta \cos \theta} \)
\(=\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} \)
= 2

\(\sin \theta=\cos \theta \Rightarrow \theta=45^{\circ} \)
\(2 \tan ^2 \theta+\sin ^2 \theta-1=2 \tan ^2 45^{\circ}+\sin ^2 45^{\circ}-1 \)
\(=2(1)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2-1 \)
\(=2+\frac{1}{2}-1 \)
\(=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)

\(\tan \theta \operatorname{cosec}^2 \theta-\tan \theta =\tan \theta\left(\operatorname{cosec}^2 \theta-1\right) \)
\(=\tan \theta \cot ^2 \theta \)
\(=\tan \theta \times \frac{1}{\tan ^2 \theta} \)
\(=\frac{1}{\tan 0}=\cot \theta\)

\(\sin ^2 \theta+\frac{1}{1+\tan ^2 \theta} =\sin ^2 \theta+\frac{1}{\sec ^2 \theta} \)
\(=\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta=1\)