1,-1,-3,-5
t₂-t₁=-1-1=-2
t₃-t₂=-3-(-1)=-2
t₄-t₃=-5-(-3)=-2
இது ஒரு A.P பொது வித்தியாசம் -2.
அடுத்த இரண்டு உறுப்புகள் (-5+(-2))=-7,-7+(-2)=-9, i.e \(\underline { -7 } ,\underline {-9} .\)

A = {0, 1, 2, 3},  B = {1, 3, 5, 7, 9}
f(x) = 2x +1
f(0) = 2(0) + 1 = 1
f(1) = 2(1) + 1 = 3
f(2) = 2(2) + 1 = 5
f(3) = 2(3) + 1 = 7
(i) வரிசைச் சோடி கணம் 
f = {(0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7)}
(ii) அட்டவணை

(iii) அம்புக்குறி படம்

(iv) வரைபடம் 
f = {(x, f(x)/ x ∈ A}
= {(0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7)}

A (1, 7), B (4, 2), C (-1, -1) மற்றும் D (-4, 4) என்க. ABCD ஒரு சதுரம் என நிரூபிக்க வேண்டுமாயின் அதன் நான்கு பக்கங்களும் சமம் என்றும் மூலைவிட்டங்கள் சமம் என்றும் நிரூபிக்க வேண்டும்.
d = \(\sqrt { { \left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } \right) }^{ 2 } } \)
∴ AB = \(\sqrt { { \left( 1-4 \right) }^{ 2 }+{ \left( 7-4 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 9+25 } =\sqrt { 34 } \)
BC = \(\sqrt { { \left( 4+1 \right) }^{ 2 }+{ \left( 2+1 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 25+9 } =\sqrt { 34 } \)
CD = \(\sqrt { { \left( -1+4 \right) }^{ 2 }+{ \left( 7-4 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 9+25 } =\sqrt { 34 } \)
DA = \(\sqrt { { \left( 1+4 \right) }^{ 2 }+{ \left( 7+1 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 25+9 } =\sqrt { 34 } \)
AC = \(\sqrt { { \left( 1+1 \right) }^{ 2 }+{ \left( 7+1 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 4+64 } =\sqrt { 68 } \)
BD = \(\sqrt { { \left( 4+4 \right) }^{ 2 }+{ \left( 2-4 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 64+4 } =\sqrt { 68 } \)
AB = BC = CD = DA மற்றும் AC = BD
∴ ABCD ஒரு சதுரத்தின் உச்சிகள் ஆகும்.

OA.OB = OC.OD (கொடுக்கப்பட்டுள்ளது)

ஆகையால், \(\frac { OA }{ OC } =\frac { OD }{ OB } \) ...(1)
மேலும் ∠AOD = ∠COB (குத்தெதிர் கோணங்கள்) ....(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
∴ ΔAOD~ΔCOB (SAS விதிமுறைப்படி)
ஆகையால் ∠A = ∠C மற்றும் ∠B = ∠D
(வடிவொத்த முக்கோணங்களின் ஒத்த கோணங்கள்)

\(\frac{10 x^3-25 x^2+4 x-10}{-4-10 x^2} \)
\(=\frac{10 x^2(x-5 / 2)+4(x-5 / 2)}{-\left(4+10 x^2\right)}  \)
\(=\frac{(x-5 / 2)\left(10 x^2+4\right)}{-\left(4+10 x^2\right)}  \)
\(=-(x-5 / 2)  \)
\(=5 / 2-x\)

\(\mathrm{g} \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{g}[\mathrm{f}(\mathrm{x})]=\mathrm{g}[6 \mathrm{x}+8] \)
\(=\frac{6 x+8-2}{3}=\frac{6 x+6}{3} \)
\(=\frac{6(x+1)}{3}=2(x+1)\)

3A + 2B - C = \(3\left( \begin{matrix} 1 & 8 & 3 \\ 3 & 5 & 0 \\ 8 & 7 & 6 \end{matrix} \right) +2\left( \begin{matrix} 8 & -6 & -4 \\ 2 & 11 & -3 \\ 0 & 1 & 5 \end{matrix} \right) -\left( \begin{matrix} 5 & 3 & 0 \\ -1 & -7 & 2 \\ 1 & 4 & 3 \end{matrix} \right) \)
= \(\left( \begin{matrix} 3 & 24 & 9 \\ 9 & 15 & 0 \\ 24 & 21 & 18 \end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} 16 & -12 & -8 \\ 4 & 22 & -6 \\ 0 & 2 & 10 \end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} -5 & -3 & 0 \\ 1 & 7 & -2 \\ -1 & -4 & -3 \end{matrix} \right) \)
= \(\left( \begin{matrix} 14 & 9 & 1 \\ 14 & 44 & -8 \\ 23 & 19 & 25 \end{matrix} \right) \)

கொடுக்கப்பட்ட கோடு \(2(x-y)+5=0\Rightarrow 2 x-2 y+5=0\) என்பது ax + by + c = 0 என்ற வடிவில் உள்ளது.
சாய்வு \(=-\frac{a}{b}=\frac{-2}{-2}=1\)
சாய்வு = 1
\(\tan \theta =1=\tan 45^{\circ} \)
\(\theta =45^{\circ} \)
\(2 \mathrm{x}-2 \mathrm{y}+5 =0 \)
2 x - 2 y = -5(-5 ஆல் வகுக்க)
\(\frac{x}{\left(-\frac{5}{2}\right)}+\frac{y}{\left(\frac{5}{2}\right)} =1 \)
y -வெட்டுத்துண்டு \( \frac{5}{2}\)

\(f(x)=x^2-2\) இங்கு \(X=\{-2,-1,0,3\}\)
(i) f( -2) = ( -2)² - 2 = 2; f( -1) = ( -1)² - 2 = -1
f(0) = (0)² - 2 = - 2 ; f(3) = (3)² - 2 = 7
\(\therefore f =\{(-2,2),(-1,-1),(0,-2),(3,7)\}\)
(ii) f -யின் ஒவ்வொரு மதிப்பக உறுப்பிற்கும் ஒரே ஒரு நிழல் உரு உள்ளதைக் காணலாம். எனவே f -ஆனது ஒரு சார்பாகும்.

\((2 \mathrm{x}-1)^2  =9   \)
\(2 \mathrm{x}-1  =\pm 3  \)
\(2 \mathrm{x}-1  =3 \quad 2 \mathrm{x}-1  =-3 \)
\(2 \mathrm{x} =4  \quad 2 \mathrm{x} =-2\)
\(\mathrm{x} =2  \quad \mathrm{x}  =-1\)
தீர்வு x = -1,2

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 இவற்றின் மீ.பொ.ம 2520

\(A=\{a, b, p\}, \quad B=\{2,3\}, \quad C=\{p, q, r, s\} \)
\(A \cup C =\{a, b, p, q, r, s\} \)
\(n(A \cup C) =6 \)
\(n(B) =2 \)
\(\therefore n[(A \cup C) \times B] =6 \times 2=12\)

ஏழு வருடங்களுக்கு முன்பு சுவாதியின் வயது = x ஆண்டுகள் என்க.
வருணின் வயது 5x² ஆண்டுகள் என்க.
சுவாதியின் தற்போதைய வயது =x+7 
வருணின் தற்போதைய வயது=(5x²+7)
3 ஆண்டுகளுக்கு பிறகு 
சுவாதியின் வயது =x+7+3
= x+10
வருணின் வயது= 5x²+7+3 
=5x²+10
3 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு சுவாதியின் வயது = \(\cfrac { 2 }{ 5 } \) வருணின் வயது 
\(\therefore x+10=\cfrac { 2 }{ 5 } \left( { 5x }^{ 2 }+10 \right) \\ \)
x+10=2x²+4
2x2-x-6=0
2x(x-2)+3(x-2)=0
(2x+3)(x-2)=0
x-2=0
x=0(\(\because\) 2x+3 \(\neq \)0 ஏனெனில் x>0)
சுவாதியின் தற்போதைய வயது =(2+7)ஆண்டுகள்
= 9ஆண்டுகள்
வருணின் தற்போதைய வயது =(5X²+7) ஆண்டுகள்
= 27 ஆண்டுகள்

a=24, d=21-24=-3, S_n=78
ஒரு கூட்டுத் தொடரில் 
S_n=\(\frac{n}{2}\)(2a+(n-1)d)
78=\(\frac{n}{2}\)(48+(n-1)(-3))
78=\(\frac{n}{2}\)(51-3n)
அல்லது 3n2-51n+156=0
n2-17n+52=0
(n-4)(n-13)=0
n= 4 அல்லது 13
உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை 4 அல்லது 13.

A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {1, 2, 3, 4,....}|
f : A ⟶ B, f(x) = x²
∴ f (1) = 1² = 1
f (2) = 2² = 4
f (3) = 3² = 9
f (4) = 4² = 16
f (5) = 5² = 25
∴ f - ன் வீச்சகம் = {1, 4, 9, 16, 25}
வெவ்வேறான உறுப்புகள் வெவ்வேறு நிழல் உருக்களோடு தொடர்புபடுத்தப்பட்டுள்ளதால் இது ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பு ஆகும். மேலும் 3 ∈ B இருப்பினும் f(x) = x² = 3 என்பதிற்கிணங்க என்ற ஒரு உறுப்பும் x ∈ A -ல் இல்லாததால், இது மேல் சார்பு அல்ல.

இணைகரத்தில் மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றையொன்று இருசமக்கூறிடும். ∴ AC-ன் நடுப்புள்ளி = BD-ன் நடுப்புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள்
\(\left( \frac { -2+4 }{ 2 } ,\frac { -1+b }{ 2 } \right) =\left( \frac { a+1 }{ 2 } ,\frac { 0+2 }{ 2 } \right) \)
\(\Rightarrow \left( 1,\frac { b-1 }{ 2 } \right) =\left( \frac { a+1 }{ 2 } ,1 \right) \)
\(\Rightarrow \frac { a+1 }{ 2 } \) = 1 ⇒ a + 1 = 2 ⇒ a = 1
\(\Rightarrow \frac { b-1 }{ 2 } \) = 1 ⇒ b - 1 = 2 ⇒ b = 3

O வழியே, PQ || BC வரைக.

PQ 丄 AB மற்றும் PQ 丄 DC (∵ ㄥB = 90° மற்றும் ㄥC = 90°)
ㄥBPQ = 90° மற்றும் ㄥCQP = 90°
∴ BPQC மற்றும் APQD செவ்வகங்கள்
ΔOPB லிருந்து
OB² = BP² + OP²  ...(1)
இதைப்போலவே ΔOQD லிருந்து
OD² = OQ²+DQ² ...(2)
ΔOQC லிருந்து 
OC² = OQ²+CQ² ...(3)
ΔOAP, we have
OA² = AP²+OP² ...(4)
(1) மற்றும் (2) ஐக் கூட்ட
OB² + OD² = BP² + OP² + OQ² + DQ²
(∵ BP = CQ மற்றும் DQ = AP)
= CQ² + OP² + OQ² + AP²
= CQ² + OQ² + OP² + AP²
= OC² + OA² [(3) மற்றும் (4) லிருந்து]

வரைமுறை:
படி 1: BC = 5.6 செ.மீ என்ற கோட்டுத்துண்டு வரைந்தேன்.
படி 2: புள்ளி B வழியே ∠CBE = 40° என இருக்கும்படி BE வரைந்தேன்.
படி 3: புள்ளி B வழியே ∠LEBF = 90° என இருக்கும்படி BF வரைந்தேன்.
படி 4: BC இக்கு வரையப்படும் மையக்குத்துக் கோடானது, BF ஐ O விலும், BC ஐ G -யிலும் சந்திக்கிறது.
படி 5: O வை மையமாகவும் OB -யை ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைந்தேன்.
படி 6: புள்ளி C லிருந்து BC- இல் 4 செ.மீ தொலைவில் D என்ற புள்ளிக்கு ஒரு வில் வரைந்தேன்.
படி 7: மையக்குத்துக் கோடானது வட்டத்தை I என்ற புள்ளியில் சந்திக்கிறது. ID - ஐ இணைத்தேன்.
படி 8: ID - ஐ வட்டத்தில் A இல் சந்திக்குமாறு நீட்டினேன். AB மற்றும் AC ஐ இணைத்தேன். ∠ABC என்பது தேவையான முக்கோணம் ஆகும்.

y = x² + x 
அட்டவணை மதிப்புகள்

புள்ளிகளைக் குறித்து அவற்றை இணைக்க y = x² + x என்பதன் வரைபடம் கிடைக்கிறது.
இப்போது y = x² + x லிருந்து x² + 1 = 0 என்பதைக் கழிக்க
\(\therefore y =x^2+x  \)
\(\quad 0 =x^2+1 \quad (-)\)
  一一一一一一一
    y = x - 1 
  一一一一一一一
y = x - 1 என்பது ஒரு நேர்க்கோடு 
அட்டவணை மதிப்புகள்

புள்ளிகளைக் குறித்து, அவற்றை இணைக்க நேர்கோடு கிடைக்கிறது. வரைபடத்திலிருந்து நேர்கோடு பரவளையத்தை வெட்டவில்லை என்பது தெரிகிறது. எனவே, இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு தீர்வுகள் கிடையாது.

முதல் மாத வருமானம் t₁ = ரூ 15,000
ஒவ்வொரு ஆண்டும் உயரும் வருமானம் d = ரூ. 1,500
முதல் மாதச் செலவு   = ரூ 13,000
ஒவ்வொரு ஆண்டும் உயரும் செலவு = ரூ 900
எனவே ஒவ்வோர் ஆண்டும் சேமிக்கும் தொகை
(15000 - 13000), (16500 - 13900), (18000 - 14800),.....
அதாவது  2000, 2600, 3200,....
t₂ - t₁ = t₃ - t₂, எனவே இது ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையை அமைக்கும் 
a = 2000, d = 2600 - 2000 = 600
n ஆவது ஆண்டு வருமானம் ரூ 20,000 எனில் 
a + (n - 1) d = t_n
2000 + (n - 1)(600) = 20,000
(n - 1) 600 = 20,000 - 2000 = 18,000
\(n-1=\frac{180000}{600}=30\) \(\Rightarrow\) n = 31
∴ 20,000 மாதம் சேமிக்க 31 ஆண்டுகள் ஆகும்.

-2,2,-2,2,-2
t₂-t₁=2-(-2)=4
t₃-t₂=-2-2=-4
t₄-t₃=2-(-2)=4
இது ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசை அல்ல.

f (x) = 1 + x
g (x) = (2x - 1)
fog (x) = f (g(x)) = f(2x - 1)
= 1 + 2x - 1 = 2x              ....(1)
gof (x) = g(f(x)) = g(1 + x) = 2(1 + x) -1
= 2 + 2x -1
= 2x + 1
(1) ≠ (2)
∴ fog (x) ≠ gof (x) எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

A (1, -1), B(-4, 6), மற்றும் C(-3, -5) சூத்திரத்தை பயன்படுத்தி 
Δ = \(\frac { 1 }{ 2 } \) {x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)} சதுர அலகுகள்
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [1 (6 + 5 ) + (-4) (-5 + 1) + (-3) (- 1 - 6)]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [11 + 16 + 21] = 24 சதுர அலகுகள்
∴ முக்கோணத்தின் பரப்பு = 24 சதுர அலகுகள்

ΔADC யில்
AC² = AD² + CD²  ...(1)
(பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)
ΔADB யில்,
AB² = AD² + BD² ...(2)
(பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)
(1) ஐ (2) லிருந்து கழிக்க
AB² - AC² = BD² - CD²
AB² + CD² = BD² + AC²

கொடுக்கப்பட்ட வெட்டுத்துண்டுகள் \(-5, \frac{3}{4} \)
\(\Rightarrow \mathrm{a}=-5, \mathrm{~b}=\frac{3}{4}\)
கோட்டின் வெட்டுத்துண்டு வடிவச் சமன்பாடு
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b} =1 \)
\(\Rightarrow \frac{x}{-5}+\frac{y}{\left(\frac{3}{4}\right)} =1 \)
\(\Rightarrow \frac{x}{-5}+\frac{4 y}{3} =1 \)
\(\Rightarrow 3 x-20 y =-15 \)
\(\Rightarrow 3 x-20 y+15 =0\)

\(\angle A E D=90^{\circ}[\because A E \perp B C]\)
\(\mathrm{BC}=\mathrm{a}, \mathrm{AC}=\mathrm{b}, \mathrm{AB}=\mathrm{c}, \mathrm{ED}=\mathrm{x}, \mathrm{AD}=\mathrm{p}\) மற்றும் AE = h என தரப்பட்டுள்ளது.
ΔAEC இல், பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி
\(A C^2=\mathrm{AE}^2+\mathrm{EC}^2  \)
\(\mathrm{AC}^2=\mathrm{AE}^2+(\mathrm{ED}+\mathrm{DC})^2  \)
\(\mathrm{AC}^2=\mathrm{AE}^2+\mathrm{ED}^2+\mathrm{DC}^2+2 \cdot \mathrm{ED} \cdot \mathrm{DC}  \)
\(\mathrm{AC}^2=\left(\mathrm{AE}^2+\mathrm{ED}^2\right)+\mathrm{DC}^2+2 \mathrm{ED} \cdot \mathrm{DC}  \)
\(\mathrm{AC}^2=\mathrm{AD}^2+\mathrm{DC}^2+2 \mathrm{ED} \cdot \mathrm{DC}  \)
\(\mathrm{AC}^2=\mathrm{AD}^2+\left(\frac{1}{2} B C\right)^2+2\left(\frac{1}{2} B C\right) D E\)
[∵ D ஆனது BC இன் மையப்புள்ளி, BD = DC]
\(\mathrm{AC}^2 =\mathrm{AD}^2+\mathrm{BC} \cdot \mathrm{DE}+\frac{1}{4} B C^2  \)
\(\mathrm{~b}^2 =\mathrm{P}^2+\mathrm{ax}+\frac{1}{4} a^2  \)
\(\mathrm{~b}^2 =\mathrm{P}^2+\mathrm{ax}+\frac{a^2}{4}\)

வட்டத்திற்கு வெளியே உள்ள ஒரு புள்ளியில் இருந்து வட்டத்திற்கு வரையப்படும் தொடுகோடுகளின் நீளங்கள் சமம்.
\(\therefore \ \mathrm{AD} =\mathrm{AF}=\mathrm{x}  \)
\(\mathrm{BD} =\mathrm{BE}=\mathrm{y} \)
மற்றும் CE = CF = z என்க. 
இங்கு AB = 12 செ.மீ, BC = 8 செ.மீ, CA = 10 செ.மீ 
x + y = 12 ; y + z = 8  மற்றும்  z + x = 10
\((x+y)+(y+z)+(z+x)=12+8+10 \)
\(2(x+y+z)=30 \)
\(\Rightarrow x+y+z=15\)
மேலும் x + y = 12 மற்றும் x + y + z = 15
⇒ 12 + z = 15
z = 3
y + z = 8 மற்றும் x + y + z = 15
\(\Rightarrow  \mathrm{x}+8=15 \Rightarrow \mathrm{x}=7\)
மற்றும் z + x = 10 மற்றும் x + y + z = 15
⇒ y + 10 = 15
y = 5
எனவே AD = x = 7 செ.மீ 
BE = y = 5 செ.மீ 
CF = z = 3 செ.மீ