(i) x + 2y - z = 6   ....(1)
-3x - 2y + 5z = -12   ......(2)
 x - 2z = 3  .........(3)
(1) மற்றும் (3) ஆகியவற்றைக் கருதுக.
           x + 2y - z = 6   ....(1)
            x       -2z  = 3  .....(3)
            一一一一一一
(1) - (3) ⇒ 2y + z = 3
(4), மற்றும் (2) ஆகியவற்றைக் கருதுக.
               2y + z = 3      ....(4)
             -3x - 2y + 5z = -12   ....(2)
              一一一一一一
(4) + (2) ⇒-3x + 6z = -9 ......(5)
(5) ஐ (-3) ஆல் வகுக்க கிடைப்பது
x - 2z = 3   ....(6)
(6), மற்றும் (3) ஆகியவற்றைக் கருதுக.
             x - 2z = 3
             x - 2z = 3
            一一一一一一
(6) - (3) ⇒ 0 = 0 என்பது முற்றொருமை.  
∴ சமன்பாட்டு தொகுப்பு எண்ணற்ற தீர்வுகளைக்  கொண்டது.
(ii) 2y + z = 3(-x + 1) 
3x + 2y + z  = 3   .....(1)
-x + 3y - z = -4  .......(2)
\(3 x+2 y+z =-\frac{1}{2}\) .....(3)
(1)மற்றும் (3) ஆகியவற்றைக் கருதுக.
              3x + 2y + z = 3  .....(1)
           \(3 x+2 y+z=-\frac{1}{2}\)  ......(2)
              一一一一一一一
(1) - (2) \(\Rightarrow  0=\frac{7}{2}\)(அல்லது )
0 = 7
0 = 7 என்பது தவறான முடிவு. (பொருளற்றது)
∴ சமன்பாட்டுத் தொகுப்பிற்கு தீர்வு கிடையாது.
(iii) \(\cfrac { y+z }{ 4 } =\cfrac { z+x }{ 3 } =\cfrac { x+y }{ 2 }\)
x + y + z = 27    .....(3)
\(\frac{y+z}{4}=\frac{z+x}{3}\) என்பதைச் சமப்படுத்த
நமக்குக் கிடைப்பது, \(4 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}+\mathrm{z}=0\)
\(\frac{y+z}{4}=\frac{x+y}{2}\) என்பதைச் சமப்படுத்த சுருக்கக் கிடைப்பது, 2x + y - z = 0
(1) , (2) ஆகியவற்றைக் கருதுக.
                4x - 3y + z = 0  .....(1)
                2x + y - z = 0   ....(2)
                一一一一一一一
(1) + (2) ⇒ 6x - 2y = 0   ......(4)
(2) , (3) ஆகியவற்றைக் கருதுக.
              2x + y - z = 0 .....(2)
                x + y + z = 27   ....(3)
                一一一一一一一
(1) + (2) ⇒ 3x + 2y =27  ......(5)
(4) , (5) ஆகியவற்றைக் கருதுக.
6x - 2 y = 0
3x + 2y = 27 
一一一一一一一
9x = 27 
\(x =\frac{27}{9}=3\)
x = 2 என்பதை (4) ல் பிரதியிட,
6(3) - 2y = 0
-2y = -18
\(y=\frac{18}{2}=9\)
x = 3, y = 9 என்பதை (3) ல் பிரதியிட,
3 + 9 + z = 27
z = 27 - 12
z = 15
தீர்வு: x = 3, y = 9, z = 15

3x + y - 3z = 1  ..(1)
-2x - y + 2z = 1 ...(2)
-x - y + z = 2 ...(3)

இங்கு நாம் 0 = -1 என்ற தவறான முடிவைப் பெறுகிறோம். எனவே இந்தத் தொகுப்பானது ஒருங்கமைவற்றது. மேலும் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டு தொகுப்பிற்குத் தீர்வு இல்லை.

முதலிடம் பெறுபவர்களின் எண்ணிக்கை x, இரண்டாமிடம் பெறுபவர்களின் எண்ணிக்கை y, மூன்றாமிடம் பெறுபவர்களின் எண்ணிக்கை z என்க.
மொத்த பரிசுகள் = 24; மொத்த புள்ளிகள் = 56.
எனவே, மூன்று மாறிகளில் அமைந்த நேரிய சமன்பாடு
x + y + z = 24  ...(1)
5x + 3y + z = 56 ...(2)
x + y = z   ...(3)
(3) ஐ (1) -யில் பிரதியிட, நாம் பெறுவது, z + z = 24 ⇐, z = 12

x = 4, z = 12 என (3) –யில் பிரதியிட நாம் பெறுவது, y = 12 - 4 = 8
எனவே, முதலிடம் பெற்றவர்களின் எண்ணிக்கை 4 ஆகும்;
இரண்டாமிடம் பெற்றவர்களின் எண்ணிக்கை 8 ஆகும்.
மூன்றாமிடம் பெற்றவர்களின் எண்ணிக்கை 12 ஆகும்;

\(\frac{1}{x}=p, \frac{1}{y}=q, \frac{1}{z}=r\) என்க.
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளை
\(\cfrac { p }{ 2 } +\cfrac { q }{ 4 } -\cfrac { r }{ 3 } =\cfrac { 1 }{ 4 } \)
\(p=\cfrac { q }{ 3 } \)
\(p-\cfrac { q }{ 5 } +4r=2\cfrac { 2 }{ 15 } =\cfrac { 32 }{ 15 } \) என எழுதலாம்.
இவற்றைச் சுருக்கும்போது கிடைப்பது
6p + 3q - 4r = 3   ...(1)
3p = q             ..(2)
15p - 3q + 60r = 32 ...(3)
(2) -ஐ (1) மற்றும் (3) -யில் பிரதியிட நாம் பெறுவது
15p - 4r = 3    ...(4)
6p + 60r = 32 ⇐ 3p + 30r = 16 ...(5)
(4) மற்றும் (5) -ஐத் தீர்க்க

\(r=\cfrac { 1 }{ 2 } \)   என  (4) -யில் பிரதியிட நமக்குக் கிடைப்பது, 15p - 2 = 3 ⇐,\(p=\cfrac { 1 }{ 3 } \)
(2) ⇐ q = 3p ⇐ q = 1
எனவே, \(x=\cfrac { 1 }{ p } =3,y=\cfrac { 1 }{ q } =1,z=\cfrac { 1 }{ r } =2\) அதாவது, x = 3, y = 1, z = 2

\(\cfrac { { x }^{ 2 }+20x+36 }{ { x }^{ 2 }-3x-28 } -\cfrac { { x }^{ 2 }+12x+4 }{ { x }^{ 2 }-3x-28 } \) = \(\cfrac { \left( { x }^{ 2 }+20x+36 \right) -\left( { x }^{ 2 }+12x+4 \right) }{ { x }^{ 2 }-3x-28 } \)
= \(\cfrac { 8x+32 }{ { x }^{ 2 }-3x-28 } =\cfrac { 8(x+4) }{ (x-7)(x+4) } =\cfrac { 8 }{ x-7 } \)