APBO என்ற நாற்கரத்தில்
\(70^{\circ}+90^{\circ}+90^{\circ}+\angle A O B =360^{\circ}  \)
\(\angle A O B =360^{\circ}-250^{\circ}=110^{\circ}\)

\(\frac{A B}{A C} =\frac{B D}{D C}  \)
\(\frac{8}{A C} =\frac{6}{3}  \)
\(A C =\frac{8}{6} \times 3=4\) செ.மீ 

\(\triangle A B C \sim \triangle P Q R\) எனில்,
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}=\frac{A C}{P Q}=\) ΔABC இன் சுற்றளவு / ΔPQR இன் சுற்றளவு
AB + BC + CA = 36 செ. மீ 
\(\mathrm{PQ}+\mathrm{QR}+\mathrm{PR}=\) 24 செ.மீ 
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{36}{24} \Rightarrow \frac{A B}{10}=\frac{36}{24} \)
\(\mathrm{AB}=\frac{36 \times 10}{24}\)
AB = 15 செ.மீ

AB = \(\left(\begin{array}{rr} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right) \left[\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{array}\right] \)
\(=\left[\begin{array}{rr} 1+4+0 \ \ 0-2 + 6 \\ 3+4+0 \ 0-2+2 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{rr} 5 & 4 \\ 7 & 0 \end{array}\right] \)
\(\begin{gathered} A B+C=\left[\begin{array}{ll} 5 & 4 \\ 7 & 0 \end{array}\right]+\left(\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -2 & 5 \end{array}\right)=\left[\begin{array}{ll} 5 & 5 \\ 5 & 5 \end{array}\right] \\ \end{gathered}\)
இது சரி 
(ii) \(\begin{gathered} B C=\left[\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{array}\right] \end{gathered}\left(\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -2 & 5 \end{array}\right)\)
\(=\left[\begin{array}{rr} 0+0 \ 1+0 \\ 0+2 \ 2-5 \\ 0-4 \ 0+7 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 2 & -3 \\ -4 & 7 \end{array}\right] \)
இது சரி 
(iii) BA \(=\left[\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{array}\right] \left(\begin{array}{rr} 1&2&3 \\ 3&2&1 \end{array}\right)\)
\(=\left[\begin{array}{rr} 1+0 & 2+0 & 3+0 \\2-3 & 4-2 &6-1 \\ 0+6 & 0+4 & 0+2 \end{array}\right] \)
\(=\left[\begin{array}{rr} 1 & 2& 3\\ -1 & 2 & -5 \\ 6&4&2 \end{array}\right]\)
BA + C காண இயலாது 
(AB)C = \(=\left[\begin{array}{ll} 5 & 4 \\ 7 & 0 \end{array}\right]+\left(\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -2 & 5 \end{array}\right)=\left[\begin{array}{ll} 0-8 & 5+20 \\ 0+0 & 7+0 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ll} -8 & 25 \\ 0 & 7 \end{array}\right] \)
இது சரியல்ல எனவே (i) மற்றும் (ii) மட்டுமே சரியானது 

\(\begin{aligned} &A=\left(\begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 5 & 7 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 9 & 11 & 13 & 15 \end{array}\right), \end{aligned}\) A ன் வரிசை = 3 x 4 
\(\begin{aligned} &\mathrm{~A}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 9 \\ 3 & 4 & 11 \\ 5 & 6 & 13 \\ 7 & 8 & 15 \end{array}\right), \end{aligned}\) A^T ன் வரிசை = 4 x 3

\(x^4+64+16 x^2 =x^4+16 x^2+64 \)
\(=\left(x^2\right)^2+2(8)\left(x^2\right)+(8)^2 \)
\(=\left(x^2+8\right)^2\)

\(\frac{x}{x^2-25}-\frac{8}{x^2+6 x+5} =\frac{x}{(x+5)(x-5)}-\frac{8}{(x+5)(x+1)}  \)
\(=\frac{x(x+1)-8(x-5)}{(x+5)(x-5)(x+1)}  \)
\(=\frac{x^2+x-8 x+40}{(x+5)(x-5)(x+1)}  \)
\(=\frac{x^2-7 x+40}{\left(x^2-25\right)(x+1)}\)

செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle A B D\) லிருந்து
\(\tan 60^{\circ}=\frac{B D}{A B} \)
\(\sqrt{3}=\frac{B D}{A B} \)
\(\mathrm{AB}=\frac{B D}{\sqrt{3}}\)   ....(1)
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle D E C\) லிருந்து
\(\tan 30^{\circ} =\frac{D C}{E C} \)
\(\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{D C}{A B} \)
\(\mathrm{AB} =D C \sqrt{3}\)   .....(2)
(1) மற்றும் (2). லிருந்து
\(\frac{B D}{\sqrt{3}} =D C \sqrt{3} \)
\(\frac{B C+C D}{\sqrt{3}} =D C \sqrt{3} \)
\(B C+C D =D C \times 3 \)
\(\mathrm{BC} =3 \mathrm{CD}-\mathrm{CD} \)
\(\mathrm{BC} =2 \mathrm{CD} \)
\(\mathrm{AE} =2 \mathrm{CD} \)
\(20 =2 \mathrm{CD} \)
\(\mathrm{CD} =\frac{20}{2} \)
=10 மீ
கட்டடத்தின் உயரம்
\(\mathrm{BD}=\mathrm{BC}+\mathrm{CD}=20+10=30\) மீ
இரு கட்டடங்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு
\(\mathrm{AB} =D C \sqrt{3} \quad[\because\)(2) லிருந்து ]
\(=10 \sqrt{3}\) மீ

\(5 x=\sec \theta \Rightarrow 25 x^2=\sec ^2 \theta \)   ...(1)
\(\frac{5}{x}=\tan \theta \Rightarrow \frac{25}{x^2}=\tan ^2 \theta \)   .....(2)
\((1)-(2) \Rightarrow 25 x^2-\frac{25}{x^2}=\sec ^2 \theta-\tan ^2 \theta \)
\(25\left(x^2-\frac{1}{x^2}\right) =1 \)
\(x^2-\frac{1}{x^2} =\frac{1}{25}\)

F₁ = 1, F₂ = 3, F₃ = F₂ + F₁ = 3 + 1 = 4,
F₄ = F₃ + F₂ = 4 + 3 = 7, F₅ = F₄ + F₃ = 7 + 4 = 11

65 மற்றும் 117  இன் மீ.பொ.வ = 13 
\(65 \mathrm{~m}-117=13  \)
\(65 \mathrm{~m}=13+117=130  \)
\(\mathrm{~m}=\frac{130}{65}=2\)

கொடுக்கப்பட்ட கோடு 8y = 4x + 21
\(y=\frac{x}{2}+\frac{21}{8}\)
\(\mathrm{y}=\frac{x}{2}+2.625\)\(\mathrm{y}=\mathrm{mx}+\mathrm{c}\) என்ற வடிவில்
இங்கு, \(\mathrm{m}=\frac{1}{2}=0.5, \mathrm{c}=2.625\)
\(\therefore \) சாய்வு \(\mathrm{m} =\frac{1}{2}=0.5 \)
y வெட்டுத்துண்டு = 2.6

7x - 3y + 4 = 0 என்ற கோட்டின் சாய்வு
\(\frac{-a}{b}=\frac{-7}{-3}=\frac{7}{3}\)
செங்குத்துக் கோட்டின் சாய்வு \(=\frac{-3}{7}\)
(0,0) வழிச் செல்வதும் சாய்வு \(\frac{-3}{7}\) உடையதுமான கோட்டின் சமன்பாடு
\(y-y_1 =m\left(x-x_1\right) \)
\(y-0 =\frac{-3}{7}(x-0) \)
7y = -3x
3x + 7y = 0

கொடுக்கப்பட்ட (5, 7), (3, p) மற்றும் (6,6) என்பன ஒரே கோடமைப் புள்ளிகள்
\(\therefore\) இப்புள்ளிகளால் அமையும் முக்கோணத்தின் பரப்பு பூச்சியம்.
அதாவது \(\frac{1}{2}\left\{x_1\left(y_2-y_3\right)+x_2\left(y_3-y_1\right)+x_3\left(y_1-y_2\right)\right\}=0\)
\(5(\mathrm{p}-6)+3(6-7)+6(7-\mathrm{p})=0 \)
\(5 \mathrm{p}-30-3+42-6 \mathrm{p}=0 \)
\(\Rightarrow-\mathrm{p}+9=0 \Rightarrow \mathrm{p}=9\)

x = 10
இது y-அச்சிற்கு இணையான கோடு

உட்புற ஆரம் = r, வெளிப்புற ஆரம் = R
கொ.ப. கூடுதல் = R + r = 14, தடிமன் R - r = 4, உயரம் h = 20 செ.மீ
பயன்பட்ட பொருளின் கன அளவு
\(=\pi\left(\mathrm{R}^2-\mathrm{r}^2\right) \mathrm{h}\) கன அலகுகள்
\(=\pi(\mathrm{R}+\mathrm{r})(\mathrm{R}-\mathrm{r}) \mathrm{h} \)
\(=\pi(14)(4) 20 \)
= 1120π  செ.மீ

உருளையின் ஆரம் = r
உருளையின் உயரம் = h
முந்தைய உருளையின் கன அளவு = πr²h க.அ
ஆரம் பாதியாக்கப்பட்டால் ஆரம் \(=\frac{r}{2}\)
புதிய உருளையின் கன அளவு
\(=x(\frac{r}{2})^2k=\frac{\pi r^2h}{4}\)
இப்போது, விகிதம் = புதிய உருளையின் கன அளவு/முந்தைய உருளையின் கன அளவு
\(=\frac{\frac{\pi r^2h}{4}}{\pi r^2 h}=\frac{1}{4}\)
விகிதம் = 1:4

\(f(x)=(x+1)^3-(x-1)^3 \)
\(=\left(x^3+3 x^2+3 x+1\right)-\left(x^3-3 x^2+3 x-1\right) \)
\(= 6 x^2+2\), இது ஒரு இருபடிச் சார்பு

13 -க்கு குறைவாக உள்ள பகா எண்களின் கணம் {2,3,5,7,11}
உறவு \(\mathrm{R}=\left\{\left(\mathrm{x}, \mathrm{x}^2\right) / \mathrm{x}\right.\) என்பது 13 -க்கும் குறைவான பகா எண்}
R = {(2,4),(3,9),(5,25),(7,49),(11,121)}
\(\therefore\) வீச்சகம் = {4,9,25,49,121}

\(\mathrm{A}=\{1,2,3,4,5\}, \mathrm{n}(\mathrm{A})=5, \mathrm{n}(\mathrm{B})=?\)
A -யிலிருந்து B -க்கான உறவுகளின் எண்ணிக்கையானது 1024.
அதாவது, 'mn' என்பது A x B-ன் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை என்பதால் 2^mn = 1024.
\(2^{m n} =2^{10} \Rightarrow m n=10 \)
\(n(B) =\frac{n(A \times B)}{n(A)}=\frac{10}{5}=2\)