9x² - 24x + 16 = 0
இங்கு, a = 9, b = -24, c = 16
தன்மைகாட்டி,\(\Delta ={ b }^{ 2 }-4ac=\left( -24 \right) ^{ 2 }-4\left( 9 \right) \left( 16 \right) =0\)
\(\Delta =0\)
எனவே, சமன்பாட்டின் மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம்.

மூலங்களின் கூடுதல் = 5/3
மூலங்களின் பெருக்கல் = 4
இருபடிச் சமன்பாட்டின் பொது வடிவம் x² - (மூலங்களின் கூடுதல்) x + மூலங்களின் பெருக்கல் = 0
∴ x² - \(\frac{5}{3}\)x + 4 = 0
3x² - 5x + 12 = 0

\({ x }^{ 2 }-\left( -\cfrac { 3 }{ 5 } \right) x+\left( -\cfrac { 1 }{ 2 } \right) =0\Rightarrow \cfrac { { 10x }^{ 2 }+6x-5 }{ 10 } =0\)
⇒ 10x² + 6x - 5 = 0

\(\frac{121(\mathrm{a}+\mathrm{b})^8(x+y)^8(b-c)^8}{81(b-c)^4(a-b)^{12}(b-c)^4}\) ன் வர்க்கமூலம்
\(=\sqrt{\frac{121(a+b)^8(x+y)^8(b-c)^8}{81(b-c)^4(a-b)^{12}(b-c)^4}}  \)
\(=\sqrt{\frac{121(a+b)^8(x+y)^8}{81(a-b)^{12}}}  \)
\(=\frac{11}{9} \mid \frac{(a+b)^4(x+y)^4}{(a-b)^6}|\)

\(\frac{x^2+6 x+8}{x^2+x-2}=\frac{(x+2)(x+4)}{(x+2)(x-1)} \)
\(=\frac{x+4}{x-1}\)
x = 1 எனும்போது, கோவை வரையறுக்க இயலாததாகிறது.
∴ விலக்கப்பட்ட மதிப்பு 1.

A என்ற அணியின் வரிசை 2 x 2. B என்ற அணியின் வரிசை 2 x 2 எனவே, 2 x 2 என்ற வரிசையுடைய AB என்ற அணி வரையறுக்கப்படுகிறது.
\(AB=\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 4+1 & 0+3 \\ 2+3 & 0+9 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 5 & 3 \\ 5 & 9 \end{matrix} \right) \)
BA = \(\left[ \begin{matrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right] \times \left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 4+0 & 2+0 \\ 2+3 & 1+9 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 10 \end{matrix} \right] \)
எனவே, \(AB\neq BA\)

அணி A-யும் அணி B-யும் 3 x 3  எனும் ஒரே வரிசை உடையதால் 2A + B-லிருந்து வரையறுக்கப்படுகிறது.
\(2A+B=\left( \begin{matrix} 7 & 8 & 6 \\ 1 & 3 & 9 \\ -4 & 3 & -1 \end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} 4 & 11 & -3 \\ -1 & 2 & 4 \\ 7 & 5 & 0 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 14 & 16 & 22 \\ 2 & 6 & 18 \\ -8 & 6 & -2 \end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} 4 & 11 & -3 \\ -1 & 2 & 4 \\ 7 & 5 & 0 \end{matrix} \right) \)
= \(\left( \begin{matrix} 18 & 27 & 9 \\ 1 & 8 & 22 \\ -1 & 11 & -2 \end{matrix} \right) \)

இறுதி உறுப்பிலிருந்து 12 -வது உறுப்பு காண வேண்டும். எனவே இறுதி உறுப்பை முதல் உறுப்பாக அமைக்க.
i.e., - 100, ..., -6, - 4, - 2 என்பது தேவையான கூட்டுத் தொடர்
முதல் உறுப்பு a = -100
\(\mathrm{d} =-4-(-6)=-4+6=2  \)
\(\mathrm{t}_{\mathrm{n}} =\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1) \mathrm{d}  \)
\(\mathrm{t}_{12} =-100+(12-1)(2) \)
= -100 + 22 = -78
இறுதி உறுப்பிலிருந்து 12 -வது உறுப்பு = -78.

x + 6, x + 12 மற்றும் x + 15 பெருக்குத் தொடர் வரிசையின் தொடர்ச்சியான மூன்று உறுப்புகள்
எனில்
\(\frac{t_2}{t_1} =\frac{t_3}{t_2}  \)
\(i.e., \quad \frac{x+12}{x+6} =\frac{x+15}{x+12}  \)
\((x+12)^2 =(x+6)(x+15)  \)
\(x^2+24 x+144 =x^2+6 x+15 x+90  \)
\(x^2+24 x+144-x^2-6 x-15 x-90=0  \)
\(24 x-21 x+144-90 =0  \)
\(3 x+54 =0  \) \(\Rightarrow\) \(3 x =-54  \)
\(x =\frac{-54}{3}=-18\)

முதல் வரிசையில் உள்ள இருக்கைகள் t₁ = 20
இரண்டாவது வரிசையில் உள்ள இருக்கைகள் \(t_2=20+2=22\)
∴ 30 வது வரிசையில் உள்ள இருக்கைகள் t₃₀ என்க. ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த வரிசையிலும் 2 இருக்கைகள் கூடுதலாக உள்ளன. எனவே \(t_1, t_2, \ldots . t_{30}\) ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையை அமைக்கும். அதாவது
20, 22, 24,..... 30 உறுப்புகள் வரை
இங்கு \( \mathrm{a} =20 ; \mathrm{d}=2  \)
\(\mathrm{t}_{\mathrm{n}} =\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1) \mathrm{d}  \)
\(\mathrm{t}_{30} =20+(30-1)(2)=20+29 \times 2 \)
= 20 + 58 = 78
∴  கடைசி வரிசையில் 78 இருக்கைகள் இருக்கும்.

3 + k, 18 - k, 5k + 1 என்பன கூட்டுத் தொடர் வரிசையில் உள்ளன
\(t_1=3 + k, t_2=18-k, t_3 = 5 k+1\)
∴ அடுத்தடுத்த இரு உறுப்புகளின் வித்தியாசம் சமமாகும்.
\(i.e., t_2-t_1 =t_3-t_2  \)
\((18-k)-(3+k) =(5 k+1)-(18-k)  \)
\(18-k-3-k =5 k+1-18+k  \)
\(15-2 k =6 k-17  \)
\(15+17 =6 k+2 k  \)
\(32 =8 k  \) \(\Rightarrow\) \(k =\frac{32}{8}=4\)

x² = a என்க. ஆகவே,(x²)² - 13x² + 42 = a² - 13a + 42 = (a - 7)(a - 6)
(a − 7)(a − 6) = 0 ⇒ a = 7 அல்லது 6.
a = x² எனவே x² = 7 ⇐ \(x=\pm \sqrt { 7 } \) மற்றும் x² = 6 ⇐,\(x=\pm \sqrt { 6 } \) 
எனவே, \(x=\pm \sqrt { 7 } ,\pm \sqrt { 6 } \) மூலங்கள் ஆகும்.

3x ≡ 1 (மட்டு 15) என்பதை
3x - 1 = 15k, k என்பது ஏதேனும் ஒரு முழு என எழுதலாம்.
3x = 15k + 1
x = \(\frac { 15k+1 }{ 3 } \)
x = \(5k+\frac { 1 }{ 3 } \)
5k என்பது ஒரு முழு எண் என்பதால், \(5k+\frac { 1 }{ 3 } \) என்பது ஒரு முழு எண் அல்ல. எனவே இச்சமன்பாட்டிற்கு முழு எண் தீர்வே இல்லை.

\(2^{\mathrm{n}} \times 5^{\mathrm{m}}\) என்ற எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம்.
இந்த பெருக்கற்பலனின் ஒரு காரணி 2 ஆகையால் \(2^{\mathrm{n}} \times 5^{\mathrm{m}}\) என்பது இரட்டை எண் [ ஏனெனில் m, n இயல் எண்கள்]
ஆனால் 5 என்ற இலக்கத்தைக் கொண்டு முடியும் எண்கள் ஒற்றை எண்களாகும். இது முரண்பாடாகும். எனவே m-இன் எந்த மதிப்புக்கும் \(2^{\mathrm{n}} \times 5^{\mathrm{m}}\) ஆனது 5 என்ற இலக்கத்தைக் கொண்டு முடியாது.

6ⁿ = (2 x 3)ⁿ = 2ⁿ x 3ⁿ என்பதால்,
2 என்பது 6ⁿ -யின் ஒரு காரணியாகும். 
எனவே, 6ⁿ ஓர் இரட்டைப்படை எண் ஆகும். ஆனால், கடைசி இலக்கம் 5 –யில் முடியும் எண்கள் அனைத்தும் ஒற்றைப்படை எண்கள் ஆகும் .
ஆகவே, 6ⁿ -யின் கடைசி இலக்கம் 5 என முடிய வாய்ப்பில்லை.

மொத்த பூந்தொட்டிகள் = 532
யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத்தேற்றத்தின்படி
a = bq + r, இங்கு \(0 \leq r<|b|\)
532 = 21 x 25 + 7, இங்கு \(0 \leq r<|21|\).
\(\therefore\) முழுமை பெற்ற வரிசைகள் = 25
மீதமிருக்கும் பூந்தொட்டிகள் = 7

x என்பது ஓர் ஒற்றை முழுக்கள் என்க. எந்தவொரு ஒற்றை முழுக்களுக்கும் ஏதேனும் ஓர் இரட்டை முழுக்களை விட ஒன்று அதிகமாக இருக்கும் என்பதால், x = 2k + 1, இங்கு k என்பது ஏதேனும் ஒரு முழுக்கள்.
x² = (2k + 1)²
= 4k² + 4k + 1
= 4k(k + 1) + 1
= 4q + 1. இங்கு, q = k(k + 1) என்பது ஒரு முழுக்கள்.

30 கேக்குகளை வைக்க 6 பெட்டிகள் தேவைப்படுகின்றன. அதில் 4 கேக்குகள் மீதமிருக்கும். கேக்குகளைப் பெட்டிகளில் வைக்கும் இம்முறையைப் பின்வருமாறு புரிந்து கொள்ளலாம்.

34	=	5	x	6	+	4
மொத்த கேக்குகளின் எண்ணிக்கை	=	ஒவ்வொரு பெட்டியிலும் உள்ள கேக்குகளின் எண்ணிக்கை	x	பெட்டிகளின் எண்ணிக்கை	+	மீதமுள்ள கேக்குகளின் எண்ணிக்கை
\(\downarrow \)		\(\downarrow \)		\(\downarrow \)		\(\downarrow \)
(வகுபடும் எண்)          a	=	(வகுக்கும் எண்)                        b		(ஈவு)           q	+	(மீதி)                 r

(i) \(\cfrac { x-3 }{ { x }^{ 2 }-9 } =\cfrac { x-3 }{ (x+3)(x-3) } =\cfrac { 1 }{ x+3 } \)
(ii) \(\cfrac { { x }^{ 2 }-16 }{ { x }^{ 2 }+8x+16 } =\cfrac { (x+4)(x-4) }{ \left( x+4 \right) ^{ 2 } } =\cfrac { x-4 }{ x+4 } \)

கொ.ப : சமன்பாடு \(x^2+6 x-4=0\)
\(a x^2+b x+c=0\) உடன் ஒப்பிட, \(a=1, b=6, c=-4\)
α, β என்பன மூலங்கள்
∴ மூலங்களின்  கூடுதல் = α + β
\(=-\frac{b}{a}=-\frac{6}{1}=-6\)
மூலங்களின் பெருக்கல் = αβ
\(=\frac{c}{a}=-\frac{4}{1}=-4\)
கொ.ப : மூலங்கள் α² மற்றும் β² மூலங்களின் கூடுதல் \(=\alpha^2+\beta^2\)
\(=(\alpha+\beta)^2-2 \alpha \beta\)
\(=(-6)^2-2(-4) \) = 44
மூலங்களின் பெருக்கல் \(=\alpha^2 \beta^2\)
\(=(\alpha \beta)^2 \)
\(=(-4)^2=16\)
∴ இருபடிச் சமன்பாடு :
x² - (மூலங்களின் கூடுதல்) x + மூலங்களின் பெருக்கல் = 0
\(x^2-44 x+16=0\)

3x - 2  ≡ 0  (மட்டு 11) 
3x - 2  = 11k, இங்கு  k ஒரு முழு
\(3 \mathrm{x} =11 \mathrm{k}+2 \)
\(\mathrm{x} =\frac{11 \mathrm{k}+2}{3}\)
k = 2,5,8,11,........, என நாம் பிரதியிட
11k + 2 ஆனது 3 ஆல் வகுபடும்.
\(\therefore \mathrm{x}=\frac{11(2)+2}{3}=\frac{24}{3}=8 \)
\(x=\frac{11(5)+2}{3}=\frac{57}{3}=19  \)
\(x=\frac{11(8)+2}{3}=\frac{90}{3}=30  \)
\(x=\frac{11(11)+2}{3}=\frac{123}{3}=41\)
∴ 8, 19, 30, 41,........ என்பது தீர்வு ஆகும்

அனைத்து மிகை முழுக்களும் ஒற்றை எண்ணாகவோ அல்லது இரட்டை எண்ணாகவோ இருக்கும்
இரட்டை எண் எனில், a = 2q.
ஒற்றை எண் எனில், a = 2q + 1
நிலை (i) : a = 2q எனில்
a² = (2q)² = 4q²
\(\therefore\) 4 ஆல் வகுக்க மீதி 0 ஆகும்
நிலை (ii) :  a = 2q + 1 எனில்
a² = (2q + 1)² = 4q² + 4q + 1
= 4q (q + 1) + 1
a² = 4m + 1 இங்கு m = q (q + 1) ஒரு முழு எனவே a² ஆனது 4q + 1 என்ற வடிவில் உள்ளது அது 4 ஆல் வகுக்கப்படும்போது 1 மீதி தருகிறது
எனவே மிகை முழுவின் வர்க்கத்தை  4 -ஆல் வகுக்கும்போது மீதி 0 அல்லது 1 மட்டுமே  கிடைக்கும்.

(i) \(\triangle A B C\) மற்றும் \(\triangle A D E\) இல் \(\angle A\) பொதுவானது
\(\frac{A E}{E C}=\frac{2}{3 \frac{1}{2}}=\frac{2}{\frac{7}{2}}=\frac{2 \times 2}{7}=\frac{4}{7} \)
\(\frac{A D}{D B}=\frac{3}{5}\)
இங்கு \(\frac{4}{7} \neq \frac{3}{5}\)
\(\frac{A E}{E C} \neq \frac{A D}{D B}\)
ஒத்த பக்கங்களின் விகிதங்கள் சமமாக இல்லை.
\(\therefore \triangle ABC\) மற்றும் \(\triangle A D E\) வடிவொத்த முக்கோணங்கள் அல்ல.
(ii) \(\triangle C P Q\) மற்றும் \(\triangle C A B\) இல் \(\angle C\) பொதுவானது.
\(\angle P Q C=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}\)
[\( \because \angle P Q C\) மற்றும் \(\angle P Q B\) ஆகியவை நேரிய கோண இணை]
\(\angle A B C =70^{\circ}  \)
\(\therefore \angle B A C =\angle Q P C\)
[∵ முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல் 180^o]
\(\angle P C Q =180^{\circ}-\left(\angle Q P C+70^{\circ}\right)  \)
\(\therefore \angle A B C =\angle P Q C=70^{\circ}\)
\(\angle C\) பொதுவானது, \(\angle B A C=\angle Q P C\)
∴ AA விகிதமுறைப்படி, \(\triangle A B C \sim \triangle \angle P Q C\)
∴ ஒத்த பக்கங்கள் விகிதசமம்.
\(\frac{A B}{P Q} =\frac{B C}{Q C}  \)
\(\frac{5}{x} =\frac{6}{3}  \)
\({[\because \mathrm{BC}=\mathrm{BQ}} +\mathrm{QC}=3+3=6]  \)
\(\mathrm{x} =\frac{5}{6} \times 3=2.5 \quad \therefore \mathrm{x}=2.5\)

9, 15, 21, 27, ..., 183 என்பது தரப்பட்ட கூட்டுத்தொடர் வரிசை
a = 9, d = 15 - 9 = 6
கடைசி உறுப்பு l = 183
l = a + (n - 1)d
183 = 9+ (n - 1)(6) 
183 - 9 = (n - 1)6
174 = (n - 1) 6
\(\frac{174}{6} =n-1 \)
29 = n - 1 
n = 29 + 1 = 30
∴ கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை 30 ஆகும் 
30 ஓர் இரட்டை எண் 
 உறுப்புகள் நடு உறுப்புகளாகும்.
அதாவது, 15வது, 16வது உறுப்புகள் நடு உறுப்புகளாகும்.
\(t_{15} =9+(15-1)(6) \)
\(=9+14 (6)=9+84  \)
t₁₅ = 93
\(t_{16} =9+(16-1)(6)  \)
\(=9+15(6)=9+90  \)
\(t_{16} =99\)
நடு உறுப்புகள் t₁₅ = 93 மற்றும் t₁₆ = 99