முதல் உறுப்பு a = 8
\(S_{\infty} =\frac{32}{3}\)
பெருக்குத் தொடா் வரிசையின் முடிவிலி வரை கூடுதல்
\(S_\infty =\frac{a}{1-r}  \)
\(\frac{32}{3} =\frac{8}{1-r}  \) \(\Rightarrow\) \(32(1-r) =24  \)
\(1-r =\frac{24}{32}  \)\(=\frac{3}{4}  \)
\(1-\frac{3}{4} =r  \) \(\Rightarrow\) \(\frac{1}{4} =r\)
பொது விகிதம் \(r=\frac{1}{4}\)

கொடுக்கப்பட்டது: r = 5 மற்றும் S₆ = 46872
பெருக்குத்தொடரில் முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல்
\(\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\frac{a\left(r^{\prime \prime}-1\right)}{r-1}  \)
\(46872 =\frac{a\left(5^6-1\right)}{5-1}  \) \(=a \frac{(15625-1)}{4}=a \times \frac{15624}{4}  \)
\(=a \times 3906  \)
\(\frac{46872}{3906} =a  \) \(\Rightarrow\) \(\mathrm{a} =12\)
∴ பெருக்குத்தொடரின் முதல் உறுப்பு a = 12

a, b, c என்பன கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் அமையும் என்பதால்,
\(\mathrm{t}_2-\mathrm{t}_1 =\mathrm{t}_3-\mathrm{t}_2  \)
\(\mathrm{~b}-\mathrm{a} =\mathrm{c}-\mathrm{b}  \)
\(\mathrm{b}+\mathrm{b} =\mathrm{c}+\mathrm{a}  \) \(\Rightarrow\) \(2 \mathrm{~b} =\mathrm{a}+\mathrm{c}\)
3 -இன் அடுக்கிற்கு மாற்ற
\(3^{2 b} =3^{a+c}  \) \(\Rightarrow\) \(3^{b+b} =3^{a+c}  \)
\(3^b \cdot 3^b =3^a \cdot 3^c  \) \(\Rightarrow\) \(\frac{3^b}{3^a} =\frac{3^c}{3^b}\)
எனவே \(3^{\mathrm{a}}, 3^{\mathrm{b}}, 3^{\mathrm{c}}\) என்பன பெருக்குத் தொடர் வரிசையில் அமையும்.

(i) 3, 7, 11,.........40 உறுப்புகள் வரை
கூட்டுத் தொடரின் முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல்
\(S_n=\frac{n}{2} \times[2 a+(n-1) d]\)
இங்கு t₂ - t₁ = 7 - 3 = 4 மற்றும் t₃ - t₂ = 11 - 7 = 4
\(\therefore t_2-t_1=t_3-t_2\)
எனவே இது a = 3 மற்றும் d = 4 உடைய ஒரு கூட்டுத் தொடராகும். 
\(\therefore S_{40} =\frac{40}{2}[2(3)+(40-1)(4)]  \)
\(=20[6+(39 \times 4)]=20[6+156]  \)
\(=20[162]=3240\)
முதல் 40 உறுப்புகளின் கூடுதல் = 3240
(ii) 102, 97, 92,.. 27 உறுப்புகள் வரை
இங்கு \(\mathrm{t}_2-\mathrm{t}_1=97-102=-5\)
\(t_3-t_2=92-97=-5 \)
\(t_2-t_1=t_3-t_2\)
எனவே இது a = 102 மற்றும் d = -5 உடைய ஒரு கூட்டுத் தொடராகும்.
முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல்
\(\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]  \)
\(\mathrm{S}_{27} =\frac{27}{2}[2(102)+(27-1)(-5)]  \)
\(=\frac{27}{2}[204+26(-5)]  \)
\(=\frac{27}{2}[204-130]  \)
\(=\frac{27}{2} \times 74  \)
\(=27 \times 37\) = 999
முதல் 27 உறுப்புகளின் கூடுதல் = 999
(iii) 6 + 13 + 20+......+97
இங்கு t₂ - t₁ = 13 - 6 = 7 மற்றும்
t₃ - t₂ = 20 - 13 = 7
\(\therefore\) t₂ - t₁ = t₃ - t₂
\(\therefore\) இது a = 6 மற்றும் d = 7 உடைய ஒரு கூட்டுத் தொடராகும்.
\(\therefore\) கூடுதல் \(\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{n}{2}(a+l)\)
\(\mathrm{n}=\left(\frac{l-a}{d}\right)+1=\left(\frac{97-6}{7}\right)+1\)
\(=\frac{91}{7}+1=13+1=14\)
எனவே \(S_n=\frac{14}{2}(6+97)=7 \times 103 \) = 721
\(6+13+20+\ldots+97 =721\)

\(t_1=x, t_2=10, t_3=y, t_4=24, t_5=z \) என்க.
x, 10, y, 24, z என்பன கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் உள்ளன 
∴  அடுத்தடுத்த இரு உறுப்புகளின் வேறுபாடு சமமாகும் 
\(t_2-t_1=t_3-t_2=t_4-t_3 \)
\(10-x=24-y=d \)
மேலும் \(t_4-t_2=2 d \)
\(24-10=2 \mathrm{~d} \) \(\Rightarrow\) \(14=2 \mathrm{~d} \)
\(d=\frac{14}{2}=7 \)
\(10-x=24-y=7\)
10 - x = 7 எனில், x = 10 - 7 = 3
24 - y = 7 எனில், y = 24 - 7 = 17
மேலும் z - 24 = 7 எனில், z = 24 + 7 = 31
∴ x = 3 ; y = 17 ; z = 31.

கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் n ஆவது உறுப்பு \(t_n=a+(n-1) d\) கணக்கின்படி
9வது உறுப்பின் 9 மடங்கு = 15வது உறுப்பின் 15 மடங்கு
\(9 \times t_9 =15 \times t_{15}  \)
\(9[a+(9-1) d] =15[a+(15-1) d]  \)
\(9(a+8 d) =15(a+14 d)  \)
\(9 a+72 d =15 a+210 d  \)
\(15 a+210 d-9 a-72 d =0  \)
\(6 a+138 \mathrm{~d} =0  \)
\(6(a+23 d) =0  \)
\(6[a+(24-1) d] =0  \)
\(6 \times t_{24} =0 \)
∴ 24 ஆவது உறுப்பின் 6 மடங்கு = 0

(i) t_n = -3 + 2n
கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் n - வது உறுப்பு
t_n = -3 + 2n
\(\mathrm{n}=1\) எனில், \(\mathrm{t}_1 =-3+2(1)=-3+2  \)
\(\mathrm{a}=\mathrm{t}_1 =-1  \)
\(\mathrm{n}=2\) எனில்,\(\mathrm{t}_2 =-3+2(2)=-3+4  \)
\(\mathrm{t}_2 =1\)
பொது வித்தியாசம் \(\mathrm{d}=\mathrm{t}_2-\mathrm{t}_1=1-(-1)\)
= 1 + 1 = 2
∴ முதல் உறுப்பு a = -1; பொது வித்தியாசம் d = 2
(ii) \(\mathrm{t}_{\mathrm{n}}=4-7 \mathrm{n}\)
கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் n-வது உறுப்பு \(t_n=4-7 n\)
\(\mathrm{n}=1\) எனில், \(\quad \mathrm{t}_1=4-7(1)=4-7=-3 \)
\(\mathrm{a}=\mathrm{t}_1=-3 \)
\(\mathrm{n}=2 \) எனில், \(\quad \mathrm{t}_2=4-7(2)=4-14=-10\)
பொது வித்தியாசம் \(\mathrm{d}=\mathrm{t}_2-\mathrm{t}_1=-10-(-3)\)
= -10 + 3 = - 7
முதல் உறுப்பு a = - 3; பொது வித்தியாசம் d = - 7

5x ≡ 4(மட்டு 6) 
\(5 \mathrm{x}-4 =6 \mathrm{k}, \mathrm{k} \) என்பது ஒரு முழு.
\(\mathrm{x} =\frac{6 k+4}{5} \)
\(\mathrm{k}=1,6,11,16 \ldots\)  என பிரதியிட 
6k + 4 ஆனது  5 ஆல் வகுபடும் 
\(\therefore \quad \mathrm{x}=\frac{6(1)+4}{5} =\frac{10}{5}=2  \)
\(\mathrm{x}=\frac{6(6)+4}{5} =\frac{40}{5}=8  \)
\(\mathrm{x}=\frac{6(11)+4}{5} =\frac{70}{5}=14  \)
\(\mathrm{x}=\frac{6(16)+4}{5} =\frac{100}{5}=20\)
எனவே 2,8,14,20,.... என்பது தீர்வு ஆகும்.

(i) 67 + x ≡ 1 (மட்டு 4)
67 + x - 1 = 4n, இங்கு n என்பது ஏதேனும் ஒரு முழு
66 + x = 4n
66 + x என்பது 4 –யின் மடங்கு
66 ஐ விட அதிகமான 4 -யின் மடங்கு 68. எனவே x-யின் குறைந்தபட்ச மதிப்பு 2 ஆகும்.
(ii) 98 ≡ (x + 4) (மட்டு 5)
98 - (x + 4)= 5n, n என்பது ஏதேனும் ஒரு முழு
94 - x = 5n
94 - x என்பது 5 –யின் மடங்கு
94 ஐ விடக் குறைவான 5 -யின் மடங்கு 90. எனவே x- யின் குறைந்தபட்ச மதிப்பு 4 ஆகும்.

A = {1,3,5} ,B = {2,3} எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.
(i) A x B = {1,3,5} x {2,3} = {(1,2), (1,3), (3,2), (3,3), (5,2), (5,3)}  .......(1)
B x A = {2,3} x {1,3,5} = {(2,1), (2,3), (2,5), (3,1), (3,3), (3,5)}   .......(2)
(ii) (1) மற்றும் (2) -ன் மூலமாக  A x B ≠ B x A ஏனெனில்  (1,2) ≠ (2,1), (1,3) ≠ (3,1)...
(iii) n(A) = 3; n(B) = 2.
(1) மற்றும் (2)-லிருந்து நாம் காண்பது, n (A x B) = n (B x A) = 6;
n (A) x n (B) = 3 x 2 = 6 மற்றும் n (B) x n (A) = 2 x 3 = 6
எனவே, n (A x B) = n (B x A) = n(A) x n(B) = 6.
ஆகவே, n (A x B) = n (B x A) = n(A) x n(B).

கொடுக்கப்பட்டது: (m + 1) - வது உறுப்பு = 2 \(\times\)(n + 1) - வது உறுப்பு
t_m+1 = 2 \(\times\) t_{n + 1}
a + (m + 1 - 1)d = 2[a + (n + 1 - 1)d]
a + md = 2a + 2nd \(\Rightarrow\) md = a + 2nd     .........(1)
t_m+n+1 = a + (m + n + 1-1)d
= a + md + nd
= a + a + 2nd + nd    (\(\because\) (1) லிருந்து)
t_m+n+1 = 2a + 3nd                                  ..........(2)
t_3m+1 = a + (3m + 1 - 1) d = a + 3d
= a + 3 (a + 2nd)       (\(\because\) (1) லிருந்து)
= 4a + 6nd = 2 (2a + 3nd)
t_3m+1 = 2 \(\times\)t_m+n+1    (\(\because\) (2) லிருந்து)
எனவே நிறுவப்பட்டது.

(i) 71 ≡ x (மட்டு 8) என்பதை
71 - x = 8 n
அதாவது 71 - x என்பது 8 இன் மடங்கு. x = 1 எனில், 71 - x = 70, 8 இன் மடங்கு அல்ல.
8 இன் மடங்காக அமையும் 71 க்கு அருகில் உள்ள எண் 64 .
71 லிருந்து 64 ஐப் பெற 7 ஐக் கழிக்க வேண்டும்.
\(\therefore\) x = 7
தேவையான எண் x = 7
(ii) 78 + x ≡ 3(மட்டு 5)
78 + x - 3 = 5n
75 + x = 5n
x = 5 எனில், 75 + 5 = 80 என்பது 5 இன் மடங்கு
\(\therefore\) தேவையான எண் x = 5
(iii) 89 ≡ (x + 3) (மட்டு 4) 
89 - (x + 3) = 4 n 
89 - x - 3 = 4n \(\Rightarrow\) 86 - x = 4n 
x = 2 எனில் 86 - 2 = 84 என்பது 4 இன் மடங்கு.
\(\therefore\) தேவையான எண் x = 2 
(iv) \(96 \equiv \frac{x}{7}\) (மட்டு 5)
\(\left(96-\frac{x}{7}\right)=5 n \)
\(\Rightarrow\) \(\frac{672-x}{7}=5 n\)
\(\therefore\) x = 7 எனில் \(\frac{672-7}{7}=\frac{665}{7}\)
= 95 என்பது 5 இன் மடங்கு
\(\therefore\) தேவையான எண் x = 7
(v) 5x ≡ 4 (மட்டு 6)
\(5 \mathrm{x}-4=6 \mathrm{n}\)
x = 2 எனில் 5(2) - 4 = 10 - 4
= 6 என்பது 6 இன் மடங்கு
\(\therefore\) x = 2.
தேவையான எண் x = 2

A =  {x \(\in \) N| 1 < x < 4} = {2,3), B = {x \(\in \) W| 0 ≤ x < 2) = (0,1), C = {x \(\in \) N| x < 3} = (1,2)
(i)  A x (B U C) = (A x B) U (A x C)
B U C = (0,1) U (1,2) = {0,1,2}
A x (B U C) = {2,3) x {0,1,2} = {(2,0),(2,1)(2,2)(3,0)(3,1),(3,2)     ..(1)
A x B = {2,3} x {0,1} = {(2,0),(2,1),(3,0),(3,1)}
A x C = {2,3} x {1,2} = {(2,1),(2,2),(3,1)(3,2)}
(A x B) U (A x C) = {(2,0),(2,1),(3,0),(3,1)} U {(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)}
= {(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)}         ...(2)
(1) மற்றும் (2)-லிருந்து, A x (B U C) = (A x B) U (A x C) என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.
(ii) A x (B \(\cap\) C) = (A x B) \(\cap\) (A x C)
B ∩ C = {(0,1) ∩ {1,2} = {1}
A x (B ∩ C) = {2,3} x {1} = {(2,1),(3,1)}  .....(3)
A x B = {2,3} x {0,1} = {(2,0), (2,1), (3,0), (3,1)}
A x C = {2,3} x {1,2} = {(2,1), (2,2), (3,1), (3,2)}
(A x B) ∩ (A x C)= {(2,0), (2,1), (3,0), (3,1)} ∩ {(2,1), (2,2), (3,1), (3,2)}
= {(2,1), (3,1)}   .....(4)
(3) மற்றும் (4), A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C) என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.

\(a_n=2 n^2-6 \)
n-ஆவது உறுப்பு
\(a_n=2 n^2-6\)
∴ முதல் உறுப்பு
\(a_1=2(1)^2-6=-4\)
இரண்டாவது உறுப்பு
\(a_3=2(2)^2-6=2\)
மூன்றாவது உறுப்பு
\(a_3=2(3)^2-6=12\)
நான்காவது உறுப்பு
\(a_1=2(4)^2-6=26\)
∴ முதல் நான்காவது உறுப்புகள்  = -4, 2, 12, 26,...

இங்கு a = 3, r = \(\frac { { t }_{ 2 } }{ { t }_{ 1 } } =\frac { 1 }{ 3 } \)
பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் முடிவுறா உறுப்புகள் வரை கூடுதல் S_∞  = \(\frac { a }{ 1-r } =\frac { 3 }{ 1-\frac { 1 }{ 3 } } =\frac { 9 }{ 2 } \).

\(16,11,6,1, . . . . .\) என்பது தரப்பட்ட கூட்டுத்தொடர் வரிசை
இங்கு \(\mathrm{a}=16, \mathrm{~d}=11-16=-5\)
கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் 'n' வது உறுப்பு
\(\mathrm{t}_{\mathrm{n}} =\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1) \mathrm{d} \)
\(\mathrm{t}_{\mathrm{n}} =-54\)  எனில் 
\(-54 =16+(\mathrm{n}-1)(-5)  \)
\(-54-16 =(\mathrm{n}-1)(-5)  \)
\(\frac{-70}{-54} =\mathrm{n}-1  \)
14 = n - 1
14 + 1 = n
\(\mathrm{n} =15\)
∴ 16, 11, 6, 1,...... இன் 15 ஆவது உறுப்பு - 54.

இன்று செவ்வாய்க் கிழமை, அதற்கான எண் 2. மாமா 45 நாட்களுக்கு பின் வருவதால் 2 -உடன் 45 ஐக் கூட்டி மட்டு 7 காண வேண்டும்.
ஏனெனில் 1 வாரம் = 7 நாட்கள்
2 + 45  (மட்டு 7)   ☰ 47  (மட்டு 7) 
☰ 5  (மட்டு 7) 
5 என்பது வெள்ளிக் கிழமையைக் குறிக்கும். எனவே மாமா வெள்ளிக் கிழமையில் வருவார்

7 மணியிலிருந்து 100 மணி நேரத்திற்குப்‌ பின்வரும்‌ நேரம்‌ காண மட்டு 24 ஐப்‌ பயன்படுத்துவோம்‌.
முற்பகல்‌ 7 மணி + 100 (மட்டு 24) =  முற்பகல்‌ 7 மணி + 4 மணி =  முற்பகல்‌ 11 மணி
∴ முற்பகல்‌ 7 மணியிலிருந்து 100 மணி நேரத்திற்கு பின்‌ வருவது முற்பகல்‌ 11 மணி ஆகும்‌.

இங்கு முதல் உறுப்பு a = 8, பொது வித்தியாசம்  \(d=7 \frac{1}{4}-8=-\frac{3}{4}\),
கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல் S_n = \(\frac { n }{ 2 } \left[ 2a+(n-1)d \right] \)
S₁₅ = \(\frac { 15 }{ 2 } \left[ 2\times 8+(15-1)\left( -\frac { 3 }{ 4 } \right) \right] \)
S₁₅ = \(\frac { 15 }{ 2 } \left[ 16-\frac { 21 }{ 2 } \right] =\frac { 165 }{ 4 } \)

10² = 100 ≡ 5 (மட்டு 19)
10⁴ = (10²)² ≡ 5² (மட்டு 19)
10⁴ ≡ 25  (மட்டு 19)
10⁴ ≡ 6 (மட்டு 19) (ஏனெனில், 25 ≡ 6 (மட்டு 19))
எனவே, x = 6.

n ஓர் இயல் எண் எனில், \(4^n=(2)^{2 n}\)
\(\therefore\)  2 ஆனது 4ⁿ இன் ஒரு காரணி, மேலும் 2 ஒரு பகா எண். 
அடிப்படை எண்ணியல் தேற்றத்தின்படி இந்த காரணிப்படுத்துதலானது ஒரே முறையில் அமையும். எனவே 4ⁿ இன் மதிப்பு 4 அல்லது 6 என்ற இலக்கங்களைக் கொண்டே எப்போதும் முடியும். அதாவது n ஒற்றை எண் எனில் 4ⁿ ஆனது 4 என்ற இலக்கத்தைக் கொண்டு முடியும். n இரட்டை எண் எனில் 4ⁿ ஆனது 6 என்ற இலக்கத்தைக் கொண்டு முடியும்.

ஆம். கொடுக்கப்பட்ட எண் ஒரு பகு எண்ணாகும், ஏனெனில்,
7 x 5 x 3 x 2 + 3 = 3 x (7 x 5 x 2 + 1) = 3 x 71
கொடுக்கப்பட்ட எண்ணானது இரு பகா எண்களின் பெருக்கற்பலனாகக் காரணிப்படுத்தப்படுவதால், அது ஒரு பகு எண்ணாகும்.