\(2 \mathrm{f}(4)+\mathrm{f}(8)=2\left[5(4)^2-1\right]+[3(8)-4] \)
\(=2[80-1]+[24-4] \)
\(=158+20=178 \quad[\because 2 \leq 4<66 \leq 8 \leq 9]\)

தரப்பட்டுள்ளது: ABCD என்ற சரிவகத்தில் \(\mathrm{DC} || \mathrm{AB}\) மற்றும் \(\mathrm{EF} || \mathrm{AB}\)
நிரூபிக்க வேண்டியது: \(\frac{A E}{E D}=\frac{B F}{F C}\)
அமைப்பு: AC ஐ இணைக்கும் கோடு. EF ஐ G இல் சந்திக்கிறது.
நிரூபணம்:
ΔADC இல்
\(\mathrm{EG} || \mathrm{DC} \)
\(\Rightarrow \frac{A E}{E D}=\frac{A G}{G C}\)  [தேல்ஸ் தேற்றத்தின்படி]   ... (1) }
ΔABC இல்
\(\frac{A G}{G C}=\frac{B F}{F C}\) [தேல்ஸ் தேற்றத்தின்படி] ... (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\(\frac{A E}{E D}=\frac{B F}{F C}\)

(i) மின்கலச் சக்தி 40% எனில், நேரத்தைக் கணக்கிட, y = 0.40 என எடுத்துக் கொள்க.
0.40 = −0.25x + 1 ⇒ 0.25x = 0.60
x = \(\frac {0.60}{0.25}\) = 2.4 மணி
(ii) மின்கலம் தனது முழுச் சக்தியை இழந்துவிட்டால் y = 0 எனக் கிடைக்கும்.
எனவே , 0 = −0.25x + 1 ⇒ 0.25x = 1 எனவே , x = 4 மணி.
∴ நான்கு மணி நேரத்திற்குப் பின்பு அலைபேசியின் மின்கலம் தனது முழுச் சக்தியையும் இழக்கிறது.

f(x) = 3x - 5, f = {(x, 3x - 5) |x ∈ R} என எழுதலாம்.
(a, 4) எனில், a-யின் நிழல் உரு 4. அதாவது, f(a) = 4
3a - 5 = 4 லிருந்து a = 3
(1, b) எனில், 1 -யின் நிழல் உரு b. அதாவது, f(1) = b 
3(1) – 5 = b எனவே, b = –2

f(x) = 2x - 3
(i) \(\frac{f(0)+f(1)}{2} =\frac{[2(0)-3]+[2(1)-3]}{2} \)
\(=\frac{0-3+2-3}{2} \)
\(=\frac{2-6}{2} \)
\(=\frac{-4}{2}=-2\)
(ii) கொடுக்கப்பட்டது:
f (x) = 0
\(\therefore\) 2x - 3 = 0
2x = 3 \(\Rightarrow\) x = 3/2
(iii) கொடுக்கப்பட்டது:
f (x) = x
2x - 3 = x
2x -.x = 3 \(\Rightarrow\) x = 3
(iv) கொடுக்கப்பட்டது:
f(x) = f(1 - x)
2x - 3 = 2(1 - x) - 3
2x - 3 = 2 - 2x - 3
2x + 2x = 2 - 3 + 3
4x = 2 \(\Rightarrow\) x = 2/4 = 1/2

A = {1, 2, 3}; B = {2, 3, 5, 7}
A x B = {(1, 2), (1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 2), (2,3), (2, 5), (2, 7), (3, 2), (3, 3), (3, 5), (3, 7)}
B x A = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (3,1), (3, 2), (3, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (7, 1), (7, 2), (7, 3)}

செங்கோண Δ GOH-ல்,
sin 24° = \(\frac { OH }{ GH } \)
0.4067 = \(\frac { OH }{ 250 } \); OH = 101.68
G-ன் கிழக்கு திசையிலிருந்து H-ன் தொலைவு 101.68 கி.மீ.

CP ஆனது 2 மீ உயரமுள்ள மனிதா் என்க. AT என்பது மரத்தின் உயரம் என்க.
∆CBP மற்றும் ∆ABT இல்
\(\angle C=\angle A=90^{\circ}.\)
\(\mathrm{CA} \perp \mathrm{PC}\) மற்றும் \(\mathrm{CA} \perp \mathrm{TA}\)
\(\angle C B P=\angle A B T \ [\therefore \angle C B P\) என்பது \(\angle A B T\) இன் எதிரொளிப்புக் கோணம்]
∴ AA வடிவொப்புமை விதிமுணைப்படி,
\(\triangle C B P \sim \triangle A B T  \)
\(\therefore \quad \frac{C B}{A B} =\frac{B P}{B T}=\frac{C P}{A T}  \)
\(\frac{C B}{A B} =\frac{C P}{A T}  \)
\(\frac{4}{20} =\frac{2}{A T} \)
\(A T =\frac{2 \times 20}{4}=10\) மீ
∴ மரத்தின் உயரம் = 10 மீ.

மெனிலாஸ் தேற்றத்தின்படி P, Q, R என்ற மரங்கள் ஒரே நேர்கோட்டில் அமைய வேண்டுமெனில்,
\(\cfrac { BP }{ PC } \times \cfrac { CQ }{ QA } \times \cfrac { RA }{ RB } =1\) ஆக அமைய வேண்டும். ...(1)
கொடுக்கப்பட்டது BP = 2 மீ, CQ =3  மீ, RA = 10 மீ, PC = 6 மீ, QA = 5 மீ மற்றும் RB = 2 மீ
மதிப்புகளை (1) –யில் பிரதியிட \(\cfrac { BP }{ PC } \times \cfrac { CQ }{ QA } \times \cfrac { RA }{ RB } =\cfrac { 2 }{ 6 } \times \cfrac { 3 }{ 5 } \times \cfrac { 10 }{ 2 } =\cfrac { 60 }{ 60 } =1\)
எனவே, மரங்கள் P, Q, R ஒரே நேர்கோட்டின் மீது அமைந்துள்ளன.

முதல் விமானம் O -வில் இருந்து புறப்பட்டு வடக்கு நோக்கி A என்ற இடத்திற்குச் செல்கிறது என்க. (தொலைவு = வேகம் × நேரம்)
எனவே \(OA=\left( 100\times \cfrac { 3 }{ 2 } \right) \)கி.மீ = 1500 கி.மீ
இரண்டாவது விமானம் O -வில் இருந்து புறப்பட்டு மேற்கு நோக்கி B என்ற இடத்திற்குச் செல்கிறது என்க
எனவே \(OB=\left( 1200\times \cfrac { 3 }{ 2 } \right) \)= 1800 கி.மீ
கணக்கிடப்பட வேண்டிய தேவையான தொலைவு BA ஆகும்.
செங்கோணம் AOB யில் AB² = OA² + OB²
AB² = (1500)² + (1800)² = 100²(15² + 18²)
= 100² x 549 = 100² x 9 x 61
\(AB=100\times 3\times \sqrt { 61 } =300\sqrt { 61 } \) கி.மீ.

ஒளி பிரதிபலிப்பு விதியின் படி ∠i = ∠r
∠i +∠ACB = ∠r + ∠ECD = 90^o
∠ECD = \(\angle A C B\) 
∠B = ∠D = 90^o
\(\triangle A B C \sim \triangle D B E\)  (AA விதியின் படி)
\(\frac{A B}{D B}=\frac{B C}{DC} \)
\(\frac{A B}{1.25}=\frac{66}{2.5} \)
\(\mathrm{AB}=1.25\times=\frac{66}{2.5}=3.3\) மீ
∴ விளக்குக்கம்பத்தின் உயரம் = 3.3 மீ.

\(\Delta CAB\) மற்றும் \(\Delta CED\) -யில், \(\angle C\) பொதுவானது,\(\angle A=\angle CED\)
எனவே, \(\Delta CAB\sim \Delta CED\) (AA விதிமுறைப்படி)
ஆகவே,\(\cfrac { CA }{ CE } =\cfrac { AB }{ DE } =\cfrac { CB }{ CD } \)
\(\cfrac { AB }{ DE } =\cfrac { CB }{ CD } \) ⇒ \(\cfrac { 9 }{ x } =\cfrac { 10+2 }{ 8 } \) எனவே, \(x=\cfrac { 8\times 9 }{ 12 } \)= 6 செ.மீ.

பெண்ணின் சகோதரியின் தற்போதைய வயது 'x' என்க.
∴ பெண்ணின் வயது 2x.
ஐந்து வருடங்களுக்குப் பிறகு அவர்களின் வயது (x + 5) மற்றும் (2x + 5)
கொ.பா: (x + 5)(2x + 5) = 375
சுருக்க \(2 \mathrm{x}^2+15 \mathrm{x}-350=0\)
\(2 \mathrm{x}^2-20 \mathrm{x}+35 \mathrm{x}-350=0 \)
\(2 x(x-10)+35(x-10)=0 \)
\((x-10)(2 x+35)=0 \)
\(x=10,-\frac{35}{2} \therefore \mathrm{x}=10\)
\(\left[\because \mathrm{x}=\frac{-35}{2}\right.\) என்பது சாத்தியமல்ல]
∴ பெண்ணின் தற்போதைய வயது 20 வருடங்கள் மற்றும் பெண்ணின் சகோதரியின் வயது 10 வருடங்கள்.

அடிப்படை எண்ணியல் தேற்றத்தின்படி அனைத்து இயல் எண்களையும் பகா எண்களின் பெருக்கற்பலனாகக் காரணிப்படுத்த இயலும்.

எனவே 408 மற்றும் 170 ஐக் காரணிப்படுத்த,
\(408=2^3 \times 3^1 \times 17^1  \)
\(170=2^1 \times 5^1 \times 17^1\)
408, 170 இன் மீ.பொ.வ \(=2^1 \times 17^1=34\)
மேலும் மீ.பொ.வ × மீ.பொ.ம = இரு எண்களின் பெருக்கற்பலன்
34 x மீ.பொ.ம = 408 x 170
மீ.பொ.ம. \(=\frac{408 \times 170}{34}=2040\)
\(\therefore\) 408, 170 இன் மீ.பொ.வ = 34;
408, 170 இன் மீ.பொ.ம = 2040

\(\mathrm{f}(\mathrm{x}) =\mathrm{x}^2, \mathrm{~g}(\mathrm{x})=3 \mathrm{x}, \mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{x}-2 \)
\(f \circ g =\mathrm{f}[\mathrm{g}(\mathrm{x})]=\mathrm{f}(3 \mathrm{x}) \)
\(=(3 \mathrm{x})^2=9 \mathrm{x}^2 \)
\((f \circ g) \circ \mathrm{h}=(f \circ g)[\mathrm{h}(\mathrm{x})]=(f \circ g)[\mathrm{x}-2] \)
\(= 9(\mathrm{x}-2)^2 \)
\(g \circ h=\mathrm{g}[\mathrm{h}(\mathrm{x})] =\mathrm{g}[\mathrm{x}-2]=3(\mathrm{x}-2) \)
\(f \circ(g \circ h)\) \(=\mathrm{f}[3(\mathrm{x}-2)] =[3(\mathrm{x}-2)]^2=9(\mathrm{x}-2)^2 \)
\(\therefore (f \circ g) \circ h= f \circ(g \circ h)\)  நிறுவப்பட்டது.

(i) \(f(x)=3 x+2, g(x)=6 x-k \)
\(f \circ g(x)=f[g(x)]=f(6 x-k) \)
\(=3(6 \mathrm{x}-\mathrm{k})+2 \)
\(=18 \mathrm{x}-3 \mathrm{k}+2 \)
\(g \circ f(x)=g[f(x)]=g(3 x+2)\)
= 6 (3x + 2) - k
\(=18 \mathrm{x}+12-\mathrm{k}\)
கொடுக்கப்பட்டது
\(f \circ g =g \circ f \)
\(\therefore \quad 18 x-3 k +2=18 x+12-k \)
\(3 k-k =-12+2 \)
2k = -10 \(\Rightarrow\) k = -5
(ii) \(\mathrm{f}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}-\mathrm{k}, \mathrm{g}(\mathrm{x})=4 \mathrm{x}+5 \)
\(f \circ g(x) =\mathrm{f}[\mathrm{g}(\mathrm{x})]=\mathrm{f}[4 \mathrm{x}+5] \)
\(=2(4 \mathrm{x}+5)-\mathrm{k} \)
\(=8 \mathrm{x}+10-\mathrm{k} \)
\(g \circ f =\mathrm{g}[\mathrm{f}(\mathrm{x})]=\mathrm{g}(2 \mathrm{x}-\mathrm{k})=4(2 \mathrm{x}-\mathrm{k})+5 \)
\(=8 \mathrm{x}-4 \mathrm{k}+5\)
கொடுக்கப்பட்டது,
\(f \circ g =g \circ f \)
\(\therefore \quad 8 \mathrm{x}+ 10-\mathrm{k}=8 \mathrm{x}-4 \mathrm{k}+5 \)
\(4 \mathrm{k}-\mathrm{k} =5-10 \)
3k = -5 \(\Rightarrow\) k = -5 / 3

f: N ⟶ N என்ற சார்பானது f(x) = 3x + 2, என வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.
(i) x = 1 எனில், f(1) = 3(1) + 2 = 5
x = 2 எனில், f(2) = 3(2) + 2 = 8
x = 3 எனில், f(3) = 3(3) + 2 = 11
1, 2, 3 -யின் நிழல் உருக்கள் முறையே 5, 8, 11 ஆகும்.
(ii) 29-யின் முன் உரு x எனில் f(x) = 29. எனவே 3x + 2 = 29
3x = 27 ⇒ x = 9
இதைப்போலவே, 53-யின் முன் உரு x எனில், f(x) = 53. எனவே, 3x + 2 = 53
3x = 51 ⇒ x = 17
எனவே, 29 மற்றும் 53-யின் முன் உருக்கள் முறையே 9 மற்றும் 17 ஆகும்.
(iii) N -யின் வெவ்வேறு உறுப்புகளுக்குத் துணை மதிப்பகத்தில் வெவ்வேறு நிழல் உருக்கள் உள்ளன. எனவே, f ஆனது ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பாகும்.
f -யின் துணை மதிப்பகமானது N.
வீச்சகம் f = {5, 8, 11, 14, 17,....} ஆனது N-ன் தகு உட்கணமாகும்.
எனவே, f ஆனது மேல்சார்பு இல்லை.
அதாவது, f உட்சார்பு ஆகும்.
எனவே, f ஆனது ஒன்றுக்கு ஒன்றான மற்றும் உட்சார்பு ஆகும்.

A(2, 2), B(5, 5), C(4, 9) மற்றும் D(1, 7) என்பது நாற்கர வடிவ வாகன நிறுத்தத்தின் முனைப் புள்ளிகள் ஆகும்.
வாகன நிறுத்தத்தின் பரப்பு = \(\frac 12\) ச.அலகுகள் 
= \(\frac 12\) {(10 + 45 + 28 + 2) - (10 + 20 + 9 + 14)}
= \(\frac 12\) {85 - 53}
= \(\frac 12\) (32) = 16 சதுர அடிகள்.
வாகன நிறுத்தத்தின் பரப்பு = 16 சதுர அடிகள்
ஒரு சதுர அடி அமைக்க ஆகும் செலவு = ₹1300
வாகன நிறுத்தம் அமைக்க ஆகும் மொத்தச் செலவு = 16 × 1300 = ₹20800

கொடுக்கப்பட்ட கணம்
\(=\{(\mathrm{x}, \mathrm{y}) / \mathrm{y}=\mathrm{x}+3, x \in\{0,1,2,3,4,5\}\}\)
x = 0 எனும்போது, y = 0 + 3 = 3
x = 1 எனும்போது, y = 1 + 3 = 4
x = 2 எனும்போது, y = 2 + 3 = 5
x = 3 எனும்போது, y = 3 + 3 = 6
x = 4 எனும்போது, y = 4 + 3 = 7
x = 5 எனும்போது, y = 5 + 3 = 8
\(\therefore\) உறவு \(\mathrm{R}=\{(0,3),(1,4),(2,5),(3,6),(4,7),(5,8)\}\)
மதிப்பகம் R ={0, 1, 2, 3, 4, 5}
வீச்சகம் = {3, 4, 5, 6,7, 8}

கொடுக்கப்பட்டது
\(\mathrm{A}=\{x \in \mathbb{W} \mid x<2\} \Rightarrow \mathrm{A}=\{0,1\} \)
B = {x ∈ N| 1 < x ≤ 4} B = {2, 3, 4}
\(\mathrm{C}=\{3,5\}\)
(i) \(A \times(B \cup C)=(A \times B) \cup(A \times C) \)
\(B \cup C=\{2,3,4,5\} \)
\(A \times(B \cup C)=\{0,1\} \times\{2,3,4,5\} \)
\(=\{(0,2),(0,3),(0,4),(0,5), (1,2),(1,3),(1,4),(1,5)\} \quad \ldots(1) \)
\(\mathrm{A} \times \mathrm{B}=\{0,1\} \times\{2,3,4\} \)
\(=\{(0,2),(0,3),(0,4), (1,2),(1,3),(1,4)\} \)
\(\mathrm{A} \times \mathrm{C}=\{0,1\} \times\{3,5\} \)
\(=\{(0,3),(0,5),(1,3),(1,5)\} \)
\((A \times B) \cup(A \times C)=\{(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5)\} \quad \ldots(2) \)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\(A \times(B \cup C)=(A \times B) \cup(A \times C)\) என்பது தெளிவாகிறது.
எனவே, சரிப்பார்க்கப்பட்டது.
(ii) \(A \times(B \cap C)=(A \times B) \cap(A \times C) \)
\(A=\{0,1\}, B=\{2,3,4\}, C=\{3,5\} \)
\(B \cap C=\{3\} \)
\(A \times(B \cap C)=\{0,1\} \times\{3\} \)
\(=\{(0,3),(1,3)\} \quad \dots (1) \)
\(A \times B=\{(0,2),(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4)\} \)
\(A \times C=\{(0,3),(0,5),(1,3),(1,5)\} \)
\((A \times B) \cap(A \times C)=\{(0,3),(1,3)\} \quad \dots (2)\)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\(A \times(B \cap C)=(A \times B) \cap(A \times C)\) என்பது தெளிவாகிறது.
எனவே சரிபார்க்கப்பட்டது.
(iii) \((A \cup B) \times C=(A \times C) \cup(B \times C)\)
\(A=\{0,1\}, B=\{2,3,4\}, C=\{3,5\} \)
\((A \cup B)=\{0,1,2,3,4\} \)
\((A \cup B) \times C=\{0,1,2,3,4\} \times\{3,5\} \)
\(=\{(0,3),(0,5),(1,3),(1,5),(2,3),(2,5),(3,3),(3,5),(4,3),(4,5)\} \quad \dots(1) \)
\(\mathrm{A} \times \mathrm{C}=\{0,1\} \times\{3,5\} \)
\(=\{(0,3),(0,5),(1,3),(1,5)\} \)
\(B \times C=\{2,3,4\} \times\{3,5\} \)
\(=\{(2,3),(2,5),(3,3),(3,5),(4,3),(4,5)\} \)
\((A \times C) \cup(B \times C)=\{(0,3),(0,5),(1,3),(1,5),(2,3),(2,5),(3,3),(3,5),(4,3),(4,5)\} \ldots(2)\)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\((A \cup B) \times C=(A \times C) \cup(B \times C)\) என்பது தெளிவாகிறது.
எனவே, சரிபார்க்கப்பட்டது.

A = {5, 6}, B = {4, 5, 6}, C = {5, 6, 7}
LHS: A x A = {5, 6} x {5, 6}
= {(5, 5), (5, 6), (6, 5),(6, 6)}
RHS:
B x B = {4, 5, 6} x {4, 5, 6}
= {(4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5) (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
C x C = {5, 6, 7} x {5, 6, 7}
= {(5, 5), (5, 6), (5, 7), (6, 5), (6, 6), (6,7), (7, 5), (7, 6), (7, 7)}
\((B \times B) \cap(C \times C) =\{(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)\}\)
\(\therefore \text { LHS } =\text { RHS } \)
\(A \times A =(B \times B) \cap(C \times C) \) நிறுவப்பட்டது.

AB || CD || EF என தரப்பட்டுள்ளது.
AB = 6 செ.மீ, BD = 5 செ.மீ,  EF = 4 செ.மீ, CD = x செ.மீ,  DE = y செ.மீ
ΔECD மற்றும் ΔEAB இல்
ㄥCED = ㄥAEB [பொதுக்கோணம்] 
ㄥECD = ㄥEAB  [ஒத்த கோணங்கள்] }
\(\triangle E C D \sim \triangle E A B\)
[ AA வடிவொப்புமை விதிமுறைப்படி]  ....(1)
\(\therefore \quad \frac{E C}{E A}=\frac{C D}{A B}\)
[∵ வடிவொத்த முக்கோணங்களின் ஒத்த பக்கங்கள் விகிதசமம்] .
\(\frac{E C}{E A}=\frac{x}{6}\)   ...(2)
ΔACD மற்றும் ΔAEF இல்
ㄥCAD = ㄥEAF [பொதுக்கோணம்] 
ㄥACD = ㄥAEF  [ஒத்த கோணங்கள்]
\(\triangle A C D \sim \triangle AEF\) [AA விதிமுறைப்படி]
\(\frac{A C}{A E}=\frac{C D}{E F}\)
[∴ வடிவொத்த முக்கோணங்களின் ஒத்த பக்கங்கள் விகித சமம்] .
\(\therefore \ \frac{A C}{A E}=\frac{x}{4} , \ldots \text { (3) } \)
\((2)+(3) \Rightarrow \frac{E C}{E A}+\frac{A C}{A E}=\frac{x}{6}+\frac{x}{4} \)
\(\frac{E C+A C}{A E} =\frac{4 x+6 x}{24}  \)
\(\frac{E C+A C}{A E} =\frac{4 x+6 x}{24}  \)
\(\frac{A E}{A E} =\frac{10 x}{24} \)
\(1=\frac{10 x}{24} \)
\(x=\frac{24}{10}=\frac{12}{5}\) செ.மீ 
(1) இலிருந்து \(\triangle E C D \sim \triangle E A B\)
\(\frac{D C}{A B} =\frac{E D}{E B}  \)
\(\frac{x}{6} =\frac{y}{5+y}  \)
\(\Rightarrow \frac{12 / 5}{6} =\frac{y}{5+y} \ \because \times=\frac{12}{5}  \)
\(\frac{12}{5 \times 6} =\frac{y}{5+y}  \)
\(12(5+y) =30 \mathrm{y}  \)
\(60+12 y =30 \mathrm{y}  \)
\(60 =30 \mathrm{y}-12 \mathrm{y}  \)
\(18 \mathrm{y} =60 \)
\(y=\frac{60}{18} \)
\(y=\frac{10}{3}  \) செ.மீ  

கொடுக்கப்பட்ட முனைப்புள்ளிகள் A(6, 2), B(-5, -1) மற்றும் C(1, 9)
A வழிச்செல்லும் நடுக்கோடு
D என்பது BC-ன் நடுப்புள்ளி என்க.
BC-ன் நடுப்புள்ளி \(=\mathrm{D}\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right) \)
\(=\mathrm{D}\left(\frac{-5+1}{2}, \frac{-1+9}{2}\right) \)
\(=\mathrm{D}(-2,4)\)
AD என்பது நடுக்கோடு
AD-ன் சமன்பாடு \(\Rightarrow\) \(\frac{y-y_1}{y_2-y_1} =\frac{x-x_1}{x_2-x_1} \)
\(\frac{y-2}{4-2} =\frac{x-6}{-2-6} \)
\(\frac{y-2}{2} =\frac{x-6}{-8} \)
\(-4 y+8 =x-6 \)
\(x+4 y-14 =0\)


A வழிச் செல்லும் குத்துக்கோடு
'A' வழிச்செல்லும் நடுக்கோடு BC-க்கு செங்குத்தாகவும் உள்ளது.
இப்போது, BC - ன் சாய்வு \(=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{-1-9}{-5-1}=\frac{-10}{-6}=\frac{5}{3}\)
\(\therefore\) குத்துக்கோட்டின் சாய்வு \(=-\frac{3}{5}\)
A(6, 2) என்ற புள்ளி வழிச்செல்வதும், சாய்வு - \(\frac{3}{5}\) கொண்டதுமான குத்துக்கோட்டின் சமன்பாடு
\(y-y_1 =m\left(x-x_1\right) \)
\(y-2 =-\frac{3}{5}(x-6) \)
\(5 y-10 =-3 x+18 \)
\(3 x+5 y-28 =0\)

(i) \(\frac{2 a^2+5 a+3}{2 a^2+7 a+6} \div \frac{a^2+6 a+5}{-5 a^2-35 a-50}  \)
\(=\frac{2 a^2+5 a+3}{2 a^2+7 a+6} \times \frac{-5\left(a^2+7 a+10\right)}{a^2+6 a+5}  \)
\(=\frac{(2 a+3)(a+1)}{(2 a+3)(a+2)} \times \frac{-5(a+5)(a+2)}{(a+5)(a+1)} \) = -5 
(ii) \(\frac{b^2+3 b-28}{b^2+4 b+4} \div \frac{b^2-49}{b^2-5 b-14}  \)
\(=\frac{b^2+3 b-28}{b^2+4 b+4} \times \frac{b^2-5 b-14}{b^2-49}  \)
\(=\frac{(b+7)(b-4)}{(b+2)^2} \times \frac{(b-7)(b+2)}{(b-7)(b+7)}  \)
\(=\frac{b-4}{b+2}\)
(iii) \(\frac{x+2}{4 y} \div  \frac{x^2-x-6}{12 y^2}  \)
\(=\frac{x+2}{4 y} \times \frac{12 y^2}{x^2-x-6}  \)
\(=\frac{x+2}{4 y} \times \frac{12 y^2}{(x-3)(x+2)} \)
\(=\frac{3 y}{x-3}\)
(iv) \(\frac{12 t^2-22 t+8}{3 t} \div \frac{3 t^2+2 t-8}{2 t^2+4 t} \)
\(=\frac{2\left(6 t^2-11 t+4\right)}{3 t} \times \frac{2 t(t+2)}{3 t^2+2 t-8}  \)
\(=\frac{2(3 t-4)(2 t-1)}{3 t} \times \frac{2 t(t+2)}{(3 t-4)(t+2)}  \)
\(=\frac{4(2 t-1)}{3}\)

கொடுக்கப்பட்டுள்ளது: P, Q, R என்பன முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள். முக்கோணம் ABC-ன் முனைப்புள்ளிகள் \(\mathrm{A}\left(\mathrm{x}_1, \mathrm{y}_1\right), \mathrm{B}\left(\mathrm{x}_2, \mathrm{y}_2\right)\) மற்றும் \(\mathrm{C}\left(\mathrm{x}_3, \mathrm{y}_3\right)\) என்க. 
P என்பது AB-ன் நடுப்புள்ளி
\(\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)=(11,7)\)
ஒத்த கெழுக்களைச் சமன்படுத்த  
\(\mathrm{x}_1+\mathrm{x}_2=22\)  ...(1) மற்றும் 
\(\mathrm{y}_1+\mathrm{y}_2=14\) ....(2)
Q என்பது BC-ன் நடுப்புள்ளி
\(\left(\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2}\right)=(13.5,4)  \)
\(\mathrm{x}_2+\mathrm{x}_3=27  \) ....(3)
\(\mathrm{y}_2+\mathrm{y}_3=8\) ....(4)
R என்பது AC-ன் நடுப்புள்ளி
\(\left(\frac{x_1+x_3}{2}, \frac{y_1+y_3}{2}\right)=(9.5,4) \)
\(x_1+x_3=19  \) ....(5)
\(y_1+y_3=8\) ....(6)
(1), (3) மற்றும் (5) ஆகியவற்றைத் தீர்க்க, 
\(\mathrm{x}_1=7, \mathrm{x}_2=15\) மற்றும் \(\mathrm{x}_3=12\)
(2), (4) மற்றும் (6) ஆகியவற்றைத் தீர்க்க கிடைப்பது, \(y_1=7, y_2=7\) மற்றும் \(y_3=1\)
∴ முனைப்புள்ளிகள் A(7, 7), B(15, 7) மற்றும் C(12, 1)
ΔABC -ன் பரப்பளவு = \(\frac{1}{2}[x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)]\) ச.அலகுகள்
= \(\frac{1}{2}\)[7(7−1)+15(1−7)+12(7−7)]
\(=\frac{1}{2}[42-90]=\frac{1}{2}(-48)=-24\)
= 24 சதுர அலகுகள்
[∵ பரப்பளவு குறை எண்ணாக இருக்க இயலாது]
ΔPQR ன் பரப்பளவு
\(=\frac{1}{2}[11(4-4)+13.5(4-7)+9.5(7-4)]  \)
\(=\frac{1}{2}[0-40.5+28.5]=\frac{-12}{2}=-6\)
பரப்பளவு = 6 சதுர அலகுகள்
[∵ பரப்பளவு குறை எண்ணாக இருக்க இயலாது]
∴ ΔABC -ன் பரப்பளவு = 4 (ΔPQR ன் பரப்பளவு)