\(\frac{2 f(-2)-f(6)}{f(4)+f(-2)} \)
\(f(-2)=6(-2)+1=-12+1=-11\quad [\because-5 \leq-2<2] \)
\(f(6)=3(6)-4=18-4=14 \quad[\because 6 \leq 6<9]\)
\(\mathrm{f}(4)=5(4)^2-1=80-1=79 \quad[\because 2 \leq 4<6] \)
\(\mathrm{f}(-2)=-11 \)
\(\therefore \frac{2 \mathrm{f}(-2)-\mathrm{f}(6)}{\mathrm{f}(4)+\mathrm{f}(-2)}=\frac{2(-11)-14}{79-11} \)
\(=\frac{-22-14}{68}=-\frac{36}{68}=-\frac{9}{17}\)

\(f(-1.5)=-1.5-1=-2.5\quad [\because-3<-1.5<-1]\)

குத்துக்கோடு  வளைவரையை ஒரேயொரு புள்ளியில் வெட்டுவதால், இது ஒரு சார்பாகும்

எத்தனை குறைவான உறுப்புகளைக் கூட்டினால் கூடுதல் 5000-ஐத் தாண்டும் என நாம் காண வேண்டும்.
அதாவது எந்தக் குறைவான n மதிப்பிற்கு S_n > 5000 வரும் எனக் காண வேண்டும்.
S_n = \(\frac { a({ r }^{ n }-1) }{ r-1 } =\frac { 1({ 6 }^{ n }-1) }{ 6-1 } =\frac { { 6 }^{ n }-1 }{ 5 } \)
S_n  > 5000 ⇒ \(\frac { { 6 }^{ n }-1 }{ 5 } \) > 5000
6ⁿ -1 > 25000 ⇒ 6ⁿ > 25001
6⁵ = 7776 மற்றும் 6⁶ = 46656 என்பதால்
1 + 6 + 6²+...+6ⁿ  > 5000 என்றவாறு அமையும் மிகச்சிறிய n -ன் மதிப்பு 6 ஆகும்.

தேவையான எண் முதல் 10 இயல் எண்களின் மீ.பொ.ம ஆகும்.
i.e., ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ) ன் மீ.பொ.ம

மீ.பொ.ம. \(5 \times 2 \times 3 \times 2 \times 7 \times 2 \times 3=2520\)
∴ முதல் 10 இயல் எண்களால் மீதியின்றி வகுபடும் சிறிய எண் 2520 ஆகும்.

t₁,t₂,t₃,t₄,.... என்பது தேவையான கூட்டுத் தொடர்வரிசை என்க.
t₇ = -1 மற்றும் t₁₆ = 17 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
a + (7 - 1)d = -1 மற்றும் a + (16 - 1)d = 17
a + 6d = -1  ......(1)
a + 15d = 17   ....(2)
சமன்பாடு (2) -லிருந்து சமன்பாடு (1) ஐ கழிக்க, நாம் பெறுவது 9d = 18 -லிருந்து d = 2. d = 2 எனச் சமன்பாடு (1)-யில் பிரதியிட நாம் பெறுவது, a + 12 = -1. எனவே a = –13
ஆகவே, பொது உறுப்பு t_n = a + (n - 1)d
= -13 + (n - 1) x 2 = 2n - 15

இரு எண்களையும் வகுக்கும்போதும் கிடைக்கும் மீதி = 12
\(\therefore\) தேவையான எண் 1230 - 12 மற்றும் 1926 - 12 இன் மீ.பொ.வ ஆகும்.
அதாவது 1218 மற்றும் 1914 இன் மீ.பொ.வ ஆகும்.
யூக்ளிடின்‌ வகுத்தல்‌ வழிமுறையை மீதி பூச்சியம்‌ வரும்‌ வரை மீண்டும்‌ மீண்டும்‌ பயன்படுத்த நாம்‌ பெறுவது
1914 = 1218 x 1 + 696
1218 = 696 x 1 + 522
696 = 522 x 1 + 174
522 = 174 x 3 + 0
\(\therefore\) 1218,1914 இன் மீ.பொ.வ = 174
\(\therefore\) தேவையான எண் 174 .

\(f(x)=2 x+5, x \neq 0 \)
\(\frac{f(x+2)-f(2)}{x}=\frac{[2(x+2)+5-[2(2)+5]}{x} \)
\(=\frac{2 x+4+5-(4+5)}{x} \)
\(=\frac{2 x+9-9}{x} \)
\(=\frac{2 x}{x}=2\)

B x A -லிருந்து எல்லா வரிசைச் சோடிகளின் முதல் உறுப்புகள் B -யையும் மற்றும் இரண்டாம் உறுப்புகள் அனைத்தும் A -யையும் சேர்ந்ததாகும்.
\(\therefore\)  A = {3,4}
B = {-2, 0, 3}

\((A \cup B) \times C=(A \times C) \cup(B \times C)\)
\(A=\{0,1\}, B=\{2,3,4\}, C=\{3,5\} \)
\((A \cup B)=\{0,1,2,3,4\} \)
\((A \cup B) \times C=\{0,1,2,3,4\} \times\{3,5\} \)
\(=\{(0,3),(0,5),(1,3),(1,5),(2,3),(2,5),(3,3),(3,5),(4,3),(4,5)\} \quad \dots(1) \)
\(\mathrm{A} \times \mathrm{C}=\{0,1\} \times\{3,5\} \)
\(=\{(0,3),(0,5),(1,3),(1,5)\} \)
\(B \times C=\{2,3,4\} \times\{3,5\} \)
\(=\{(2,3),(2,5),(3,3),(3,5),(4,3),(4,5)\} \)
\((A \times C) \cup(B \times C)=\{(0,3),(0,5),(1,3),(1,5),(2,3),(2,5),(3,3),(3,5),(4,3),(4,5)\} \ldots(2)\)
(1), (2) லிருந்து
\((A \cup B) \times C=(A \times C) \cup(B \times C)\) என்பது
தெளிவாகிறது. எனவே, சரிபார்க்கப்பட்டது.

\(\mathrm{f}(\mathrm{x}) =\mathrm{x}^2, \mathrm{~g}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}, \mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{x}+4 \)
\(f \circ g =\mathrm{f}[\mathrm{g}(\mathrm{x})] \)
\(=\mathrm{f}(2 \mathrm{x})=(2 \mathrm{x})^2=4 \mathrm{x}^2 \)
\((f \circ g) \circ \mathrm{h} =(f \circ g)[\mathrm{h}(\mathrm{x})]=(f \circ g)[\mathrm{x}+4] \)
\(=4(\mathrm{x}+4)^2 \)
\(=4\left(\mathrm{x}^2+8 \mathrm{x}+16\right)=4 \mathrm{x}^2+32 \mathrm{x}+64 \)
\(g \circ h =\mathrm{g}[\mathrm{h}(\mathrm{x})]=\mathrm{g}[\mathrm{x}+4]=2(\mathrm{x}+4) \)
\(f \circ(g \circ h) =\mathrm{f}[\mathrm{g}(\mathrm{h}(\mathrm{x}))]=\mathrm{f}[\mathrm{g}(\mathrm{x}+4)] \)
\(=\mathrm{f}[2(\mathrm{x}+4)]=[2(\mathrm{x}+4)]^2=4(\mathrm{x}+4)^2 \)
\(=4\left(\mathrm{x}^2+8 \mathrm{x}+16\right)=4 \mathrm{x}^2+32 \mathrm{x}+64 \)
\(\therefore(f \circ g) \circ =f \circ(g \circ h)\)

A = B = {p, q}
A x B = {p, q}  x {p, q}
= {(p, p), (p, q), (q, p), (q, q)}
A x A = {p, q} x {p, q}
= {(p, p), (p, q), (q, p), (q, q)}
B x A = {p, q} x {p, q}
= {(p, p), (p, q), (q, p), (q, q)}
\(\therefore A \times B =A \times A=B \times A\) என்பதால்
A = B

பெருக்குத் தொடா் வரிசையின்
9^வது உறுப்பு \(=ar^{9-1}=32805 \Rightarrow a r^8=32805 \ldots (1)\)
6^வது உறுப்பு \(=a r^{6-1}=1215 \Rightarrow a r^5=1215 \quad \ldots (2)\)
\(\frac{(1)}{(2)} \Rightarrow \frac{a r^8}{a r^5}=\frac{32805}{1215} \) \(\Rightarrow \mathrm{r}^3=27 \) ....(3)
∴ பெருக்குத் தொடர் வரிசையின் 12 -வது உறுப்பு
\(t_{12} =a r^{12-1}  \) = ar¹¹
= ar⁸ \(\times\) r³ = 32805 \(\times\) 27
= 765735
(\(\because\) (1) மற்றும் (3) லிருந்து)
பெருக்குத் தொடர் வரிசையின் 12 -வது உறுப்பு = 765735

\(2^5  \equiv 15\)  (மட்டு 17) எனக் கொள்வோம். 
\(\left(2^5\right)^2  \equiv 15^2\) (மட்டு 17) 
\(2^{10}  \equiv 4\)  (மட்டு 17)
\(\left(2^{10}\right)^4  \equiv 4^4\) (மட்டு 17) 
\(2^{40}  \equiv\) 1 (மட்டு  17) 
\(\left(2^{40}\right)^2  \equiv 1^2\)  (மட்டு 17) 
\(2.2^{80}  \equiv 2 \times 1 \) (மட்டு 17) 
\(2^{81}  \equiv 2 \) (மட்டு 17)
2⁸¹ ஐ 17 ஆல் வகுத்தால் மீதி 2 கிடைக்கும்.

மீ.பொ.ம. \(=3 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 3=360\)
மிகப்பெரிய 6 இலக்க எண் 999999
24, 15 மற்றும் 36 இன் மீ.பொ.ம = 360

999999 ஐ 360 ஆல் வகுக்க கிடைக்கும் மீதி = 279 .
\(\therefore\)  24,15, 36 ஆல் வகுபடும் மிகப்பெரிய 6 இலக்க எண் = 999999 - 279 = 999720 
எனவே தேவையான எண் = 999720

எனவே 13824 =  2⁹ x 3³ , இது  2^a x 3^{b னும் வடிவில் உள்ளது}  
∴ a = 9, மற்றும் b = 3.

70000 ஆனது 7 ஆல் வகுபடும் என்பதால்
70000 ≡ 0 (மட்டு 7)
70000 + 4 ≡ 0 + 4 (மட்டு 7)
70004 ≡ 4 (மட்டு 7)
எனவே 70004 ஐ 7 ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் மீதி 4.
777 ஆனது 7 ஆல் வகுபடும் என்பதால்
777 ≡ 0 (மட்டு 7)
777 + 1 ≡ 0 + 1 (மட்டு 7)
778 ≡ 1 (மட்டு 7)
எனவே, 778 ஐ 7 ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் மீதி 1.

\(A=\{1,2\}, B=\{1,2,3,4\}, C=\{5,6\}, D=\{5,6,7,8\} \)
\(A \times C=\{1,2\} \times\{5,6\} \)
\(=\{(1,5),(1,6),(2,5),(2,6)\} \)
\(B \times D=\{1,2,3,4\} \times\{5,6,7,8\} \)
B × D={(1,5),(1,6),(1,7),(1,8)(2,5),(2,6),(2,7),(2,8)(3,5),(3,6),(3,7),(3,8)(4,5),(4,6),(4,7),(4,8)}
\(\therefore A \times C\) என்பது B x D ன் உட்கணமாகும்.

கொடுக்கப்பட்ட சார்பு
f = {(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 3), (5, 4)}
(i) அம்புக்குறி படம்

(ii) அட்டவணை வடிவம்

(iii) வரைபடம்

துகள் கடந்த தூரமானது  S(t)=\(\frac { { t }^{ 2 }+t }{ 2 } \)  எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
(i) t = 3.5 மணி. அப்படியானால் S(3.5)=\(\frac { (3.5)^{ 2 }+3.5 }{ 2 } =\frac { 15.75 }{ 2 } \)=7.875
மூன்றரை மணி நேரத்தில் கடந்த தூரம் 7.875 கி.மீ ஆகும்.
(ii) t = 8.25 மணி (0.25 மணி = 15 நிமிடங்கள்).
அப்படியானால், S(8.25)=\(\frac { (8.25)^{ 2 }+8.25 }{ 2 } =\frac { 76.3125 }{ 2 } \)=38.15625
8.25 மணி நேரத்தில் தோராயமாகக் கடந்த தூரம் 38.16 கி.மீ ஆகும்.

(i) h ஆனது ஒன்றுக்கு ஒன்றானதா எனச் சோதிக்க h(b₁) = h(b₂) எனக் கருதுக.
எனவே, நமக்குக் கிடைப்பது 2.47b₁ + 54.10 = 2.47b₂ + 54.10
2.47b₁ = 2.47b₂ ⇒ b₁ = b₂
எனவே, h(b₁) = h(b₂) எனில், b₁ = b₂ ஆகையால், இந்தச் சார்பு ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பாகும்.
(ii) தொடை எலும்பின் நீளம் b = 50 செ.மீ எனில், அந்த நபரின் உயரமானது
h(50) = (2.47 x 50) + 54.10 =177.6 செ.மீ ஆகும்.
(iii) நபரின் உயரம் 147.96 செ.மீ எனில் h(b) = 147.96 தொடை எலும்பின் நீளமானது 2.47b + 54.10 = 147.96
b = \(\frac { 93.86 }{ 2.47 } \) = 38
ஆகையால், தொடை எலும்பின் நீளமானது 38 செ.மீ ஆகும்.

ஒரு கிடைமட்டக்கோடு, வரைபடம் 1.35(i) மற்றும் படம் 1.35(iii) ஆகியவற்றை அதிகபட்சமாக ஒரே ஒரு புள்ளியில் (P) வெட்டுவதால் இவை ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பினைக் குறிக்கும்.
வரைபடம் (1.35(ii))-ல் வரையப்பட்ட ஒரு கிடைமட்டக்கோடு P மற்றும் Q ஆகிய இரு புள்ளிகளில் வெட்டுவதால், கொடுக்கப்பட்ட வளைவரை ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பைக் குறிக்காது.

A = {1,2,3,4, ..., 45}
கொடுக்கப்பட்ட உறவானது “வர்க்கம்” மற்றும் A ல் A \(\rightarrow\) A
\(\mathrm{A} \times \mathrm{A}=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4) \ldots(45,45)\}\)
1 ன் வர்க்கம் 1 \(\in\) A மற்றும் \((1,1) \in A \times A\)
2 ன் வர்க்கம் 4 \(\in\) A மற்றும் \((4,2) \in A \times A\)
3 ன் வர்க்கம் 9 \(\in\) A மற்றும் \((9,3) \in A \times A\)
4 ன் வர்க்கம் 16 \(\in\) A மற்றும் \((16,4) \in A \times A\)
5 ன் வர்க்கம் 25 \(\in\) A மற்றும் \((25,5) \in A \times A\)
6 ன் வர்க்கம் 36 \(\in\) A மற்றும் \((36,6) \in A \times A\)
7 ன் வர்க்கம் 49 \(\notin\) A.
\(\mathrm{R}=\{(1,1),(4,2),(9,3),(16,4),(25,5),(36,6)\}\)
R ன் மதிப்பகம் = {1,4,9,16,25,36}
R ன் வீச்சகம் = {1,2,3,4,5,6}

(i) R யின் கணகட்டமைப்பு முறை {(x,y) | y = x-2, x ∈ P, y ∈ Q}
(ii) R யின் பட்டியல் முறை = {(5,3),(6,4),(7,5)}
(iii) R யின் மதிப்பகம் = {5,6,7}; R யின் வீச்சகம் = {3,4,5}

\( \mathrm{A}=\{1,2,3\}, \mathrm{B}=\{2,3,5\}, \mathrm{C}=\{3,4\}, \mathrm{D}=\{1,3,5\}\)
\(A \cap C=\{3\} \)
\(B \cap D=\{3,5\}\)
\((A \cap C) \times(B \cap D)=\{3\} \times\{3,5\}\)
= {(3, 3), (3, 5)} ...(1)
\(\mathrm{A} \times \mathrm{B}=\{(1,2),(1,3),(1,5),(2,2)\), (2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 3), (3, 5)}
\(\mathrm{C} \times \mathrm{D}=\{(3,1),(3,3),(3,5),(4,1)(4,3),(4,5)\} \)
\((A \times B) \cap(C \times D)=\{(3,3),(3,5)\}\) ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
\((A \cap C) \times(B \cap D)=(A \times B) \cap(C \times D)\) என்பது தெளிவாகிறது.
இது உண்மை என நிறுவப்பட்டது.