கொடுக்கப்பட்ட ΔPQR- இன் பக்கங்களைப் போல் \(\frac{7}{3}\) பங்கு அளவுடைய ஒத்த பக்கங்களை கொண்ட மற்றொரு முக்கோணத்தை அமைப்போம்.

வரைதலின் படிகள்:
1. ஏதேனும் ஓர் அளவைக் கொண்டு ΔPQR ஐ வரைந்தேன்.
2. QR என்ற கோட்டுத்துண்டில் குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு QX என்ற கதிரை P முனைப்புள்ளிக்கு எதிர்த்திசையில் வரைந்தேன்.
3. QX-இன் மீது \(\mathrm{Q}_1, \mathrm{Q}_2, \mathrm{Q}_3, \mathrm{Q}_4, \mathrm{Q}_5, \mathrm{Q}_6\) மற்றும் Q₇ என்ற 7 புள்ளிகளை \(\mathrm{QQ}_1=\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2=\mathrm{Q}_2 \mathrm{Q}_3=\mathrm{Q}_3 \mathrm{Q}_4=\mathrm{Q}_4 \mathrm{Q}_5=\mathrm{Q}_5 \mathrm{Q}_6=\mathrm{Q}_6 \mathrm{Q}_7\)
4. Q₃-ஐ புள்ளி R-உடன் இணைத்தேன். Q₃R க்கு இணையாக Q₇ லிருந்து வரையப்படும் கோடு QR ஐ R' இல் சந்திக்கிறது.
5. R' லிருந்து RP இக்கு இணையாக வரையப்படும் கோடு QP - ஐ P' இல் சந்திக்கிறது. \(\triangle P^{\prime} Q R^{\prime}\) இன் பக்கங்கள் ΔPQR - இன் ஒத்த பக்கங்களின் அளவில் 3 இல் 7 பங்கு ஆகும். \(\triangle P^{\prime} Q R^{\prime}\) ஆனது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும்.

ΔLMN ஆனது கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம். இதன் பக்கங்களும் \(\frac { 4 }{ 5 } \) அளவுடைய ஒத்த பக்கங்களின் மற்றொரு முக்கோணத்தை அமைப்போம்.

வரைதலின் படிகள்:
(1) ஏதேனும் ஓர் அளவைக் கொண்டு ΔLMN ஐ வரைந்தேன்
(2) MN என்ற கோட்டுத்துண்டில் குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு MX என்ற கதிரை L என்ற புள்ளிக்கு எதிர்த்திசையில் வரைந்தேன்.
(3) MX ல் M₁, M₂, M₃, M₄, M₅ என்ற 5 புள்ளிகளை MM₁ = M₁M₂,= M₂M₃=M₃M₄ = M₄M₅ என்றவாறு குறித்தேன்.
4. M₅ ஐ புள்ளி N உடன் இணைத்தேன். M₂N இக்கு இணையாக M₄ இலிருந்து வரையப்படும் கோடு MN ஐ N' இல் சந்திக்கிறது.
5. N' இலிருந்து NL இக்கு இணையாக வரையப்படும் கோடு ML ஐ L' இல் சந்திக்கிறது. \(\Delta L^{\prime} M N^{\prime}\) இன் பக்கங்கள் \(\triangle L M N\) இன் ஒத்த பக்கங்களின் அளவில் \(\frac{4}{5}\) பங்கு ஆகும். \(\Delta L^{\prime} M N^{\prime}\) ஆனது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும்.

\(\Delta CAB\) மற்றும் \(\Delta CED\) -யில், \(\angle C\) பொதுவானது,\(\angle A=\angle CED\)
எனவே, \(\Delta CAB\sim \Delta CED\) (AA விதிமுறைப்படி)
ஆகவே,\(\cfrac { CA }{ CE } =\cfrac { AB }{ DE } =\cfrac { CB }{ CD } \)
\(\cfrac { AB }{ DE } =\cfrac { CB }{ CD } \) ⇒ \(\cfrac { 9 }{ x } =\cfrac { 10+2 }{ 8 } \) எனவே, \(x=\cfrac { 8\times 9 }{ 12 } \)= 6 செ.மீ.

ΔPAC, ΔQBC இவை வடிவொத்த முக்கோணங்கள்
AP மற்றும் CR என்பன 6 மீ மற்றும் 3 மீ உயரமுடைய செங்குத்துத் தூண்கள் என்க BQ = y மீ
ΔCRA மற்றும் ΔBQA இல்
∠A = ∠A (பொதுக்கோணம்)
\(\angle A C R=\angle A B Q=90^{\circ}\)
∴ AA வடிவொப்புமை விதிமுறைப்படி,
\(\triangle C R A \sim \triangle B Q A\)
∴ அவற்றின் ஒத்த பக்கங்கள் விகிதசமம்.
\(\frac{A C}{A B}=\frac{C R}{B Q} \)
\(\frac{A C}{A B} =\frac{3}{y}  \)
\(A B =\frac{A C \times y}{3} \)   ....(1)
ΔCBQ மற்றும் ΔCAP இல்
\(\angle C B Q =\angle C A P=90^{\circ} \)
∠C = ∠C  [பொதுக்கோணம்] 
\(\therefore \triangle CB Q \sim \Delta C A P  \)
\(\frac{C B}{C A} =\frac{B Q}{A P}  \)
\(\frac{C B}{C A} =\frac{y}{6}  \)
\( \mathrm{BC}=\frac{y \times C A}{6} \)   ...(2)
\((1)+(2) \Rightarrow \mathrm{AB}+\mathrm{BC}=\frac{A C \times y}{3}+\frac{y \times C A}{6}\)
\(A C=y \times A C\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)  \)
\(\frac{A C}{A C} =y\left(\frac{2+1}{6}\right)  \)
\(1 =y\left(\frac{3}{6}\right)  \)
\(1 =\frac{1}{2} y \)
y = 2 மீ

தரப்பட்டுள்ளது: ABCD என்ற சரிவகத்தில் \(\mathrm{DC} || \mathrm{AB}\) மற்றும் \(\mathrm{EF} || \mathrm{AB}\)
நிரூபிக்க வேண்டியது: \(\frac{A E}{E D}=\frac{B F}{F C}\)
அமைப்பு: AC ஐ இணைக்கும் கோடு. EF ஐ G இல் சந்திக்கிறது.
நிரூபணம்:
ΔADC இல்
\(\mathrm{EG} || \mathrm{DC} \)
\(\Rightarrow \frac{A E}{E D}=\frac{A G}{G C}\)  [தேல்ஸ் தேற்றத்தின்படி]   ... (1) }
ΔABC இல்
\(\frac{A G}{G C}=\frac{B F}{F C}\) [தேல்ஸ் தேற்றத்தின்படி] ... (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\(\frac{A E}{E D}=\frac{B F}{F C}\)