a, b மற்றும் c என்ற மிகை முழுக்களை 13 ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் மீதி 9, 7, 10 ஆகும்.
\(\therefore\) யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத்தேற்றத்தின்படி
\(\mathrm{a} =13 \mathrm{q}_1+9 \)
\(\mathrm{b} =13 \mathrm{q}_2+7 \)
\(\mathrm{c} =13 \mathrm{q}_3+10 \)
\(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c} =13 \mathrm{q}_1+9+13 \mathrm{q}_2+7+13 \mathrm{q}_3+10 \)
\(=13 \mathrm{q}_1+13 \mathrm{q}_2+13 \mathrm{q}_3+26 \)
\(=13 \mathrm{q}_1+13 \mathrm{q}_2+13 \mathrm{q}_3+13(2) \)
\(=13\left[\mathrm{q}_1+\mathrm{q}_2+\mathrm{q}_3+2\right]=13 \mathrm{m}\)
இங்கு \(m=q_1+q_2+q_3+2\) மற்றும் m ஒரு மிகை முழு.
\(\therefore 13 \mathrm{~m}\) ஆனது 13 ஆல் வகுபடும்
\(\therefore \mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\) ஆனது 13 ஆல் வகுபடும்.

தேவையான மிகை முழு. 'a' என்க. கணக்கின்படி 'a' -ஐ 3 ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் மீதி 2 ஆகும்.
யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத்தேற்றத்தின்படி, a மற்றும் b (a > b) என்பன ஏதேனும் இரு முழுக்கள் எனில் \(\mathrm{a}=\mathrm{bq}+\mathrm{r}, 0 \leq r<|\mathrm{b}|\) என்றவாறு q, r எனும் முழுக்கள் கிடைக்கும்.
அதாவது \( \mathrm{a}=\mathrm{bq}+\mathrm{r}\), இங்கு \(0 \leq r<|\mathrm{b}|\)
கணக்கின்படி \(\mathrm{a}=3 \mathrm{q}+\mathrm{r}\), இங்கு \(0 \leq r<|3|\)
r = 0,1,2.
r = 2 எனக் கருதுக
a = 3q + 2, இங்கு \(q \geq 0\)
அதாவது, \( a=3 q+2, q=0,1,2,3, \ldots\)
\(a=3(0)+2,3(1)+2,3(2)+2,3(3)+2, \ldots \)
\(a=2,5,8,11, \ldots\)
\(\therefore\) தேவையான மிகை முழுக்கள் 2,5,8,11,...... ஆகும்.

(i) a = −12, b = 5
யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத்தேற்றத்தின்படி
a = bq + r,  இங்கு 0 ≤ r < |b|
-12 = 5 x (-3) + 3 0 ≤ r < |5|
எனவே, ஈவு q = -3, மீதி r = 3
(ii) a = 17, b = -3
யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத்தேற்றத்தின்படி
a = bq + r, இங்கு 0 ≤ r < |b|
17 = (-3) x (-5) + 2  0 ≤ r < |-3|
எனவே, ஈவு q = -5, மீதி r = 2
(iii) a = -19, b = -4
யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத்தேற்றத்தின்படி
a = bq + r,  0 ≤ r < |b|
-19 = (-4) x (5) + 1 0 ≤ r < |-4|
எனவே, ஈவு q = 5, மீதி r = 1

n ஓர் இயல் எண் எனில், \(4^n=(2)^{2 n}\)
\(\therefore\)  2 ஆனது 4ⁿ இன் ஒரு காரணி, மேலும் 2 ஒரு பகா எண். 
அடிப்படை எண்ணியல் தேற்றத்தின்படி இந்த காரணிப்படுத்துதலானது ஒரே முறையில் அமையும். எனவே 4ⁿ இன் மதிப்பு 4 அல்லது 6 என்ற இலக்கங்களைக் கொண்டே எப்போதும் முடியும். அதாவது n ஒற்றை எண் எனில் 4ⁿ ஆனது 4 என்ற இலக்கத்தைக் கொண்டு முடியும். n இரட்டை எண் எனில் 4ⁿ ஆனது 6 என்ற இலக்கத்தைக் கொண்டு முடியும்.

கீழிருந்து முதல் பெட்டியின் மதிப்பு = 5 x 2=10
n –யின் மதிப்பு = 5 x 10 = 50
கீழிருந்து இரண்டாம் பெட்டியின் மதிப்பு = 3 x 50 = 150
m –யின் மதிப்பு = 2 x 150 = 300
ஆகவே, தேவையான எண்கள் m = 300, n = 50