பிற்பகல் 11 மணி என்பது 12 + 11 மணி = 23 மணி.
பிற்பகல் 11 மணிக்கு 15 மணி நேரத்திற்கு முன் உள்ள நேரம் ☰ 23 - 15 (மட்டு 24)
☰ 8 (மட்டு 24)
☰ முற்பகல் 8 மணி
\(\therefore\) பிற்பகல் 11 மணிக்கு 15 மணி நேரத்திற்கு முன் முற்பகல் 8 மணி ஆகும்.

(i) 3,6,9, ....
இங்குள்ள உறுப்புகள் 3 -யின் மடங்குகளாக உள்ளன. எனவே a_n = 3n, n \(\in \) N
(ii)  \(\frac { 1 }{ 2 } ,\frac { 2 }{ 3 } ,\frac { 3 }{ 4 } \),...
\({ a }_{ 1 }=\frac { 1 }{ 2 } ;{ a }_{ 2 }=\frac { 2 }{ 3 } ;{ a }_{ 3 }=\frac { 3 }{ 4 } \)
இங்கு ஒவ்வோர் உறுப்பிலும் தொகுதியானது வரிசை இயல் எண்களாகவும், பகுதியானது தொகுதியை விட ஒன்று கூடுதலாகவும் உள்ளது. எனவே, பொது உறுப்பு a_n = \(\frac { n }{ n+1 } ,n\in N\)
(iii) 5, -25, 125, ....
இங்குத் தொடர்வரிசையின் அடுத்தடுத்த உறுப்புகளில் + மற்றும் – எனக் குறிகள் மாறி மாறி வந்துள்ளன. மேலும் உறுப்புகள் 5 -யின் அடுக்குகளாகவும் அமைந்துள்ளன. எனவே பொது உறுப்பு a_n = (-1)ⁿ⁺¹5ⁿ, n \(\in \) N.

நாம் இங்கு ஒவ்வொரு வார நாளுக்கும் ஓர் எண்ணைப் பின்வருமாறு எடுத்துக் கொள்வோம். 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 என்பன முறையே ஞாயிறு முதல் சனி வரை உள்ள கிழமைகளைக் குறிப்பதாக எடுத்துக் கொள்வோம்.
வாணி இன்று திங்கள் கிழமை என்று கூறியதால், அதற்கான எண் 1. வாணியின் பிறந்தநாள் 75 நாட்களுக்கு முன் வருவதால் நாம் 1 -லிருந்து 75 ஐக் கழித்து மட்டு 7 காண வேண்டும், ஏனெனில் 1 வாரத்திற்கு 7 நாட்கள்.
-74 (மட்டு 7) ≡ -4 (மட்டு 7) ≡ 7-4 (மட்டு 7) ≡ 3 (மட்டு 7)
ஏனெனில், -74-3 = -77 ஆனது 7 ஆல் வகுபடும்)
எனவே, 1-75 ≡ 3 (மட்டு 7)
3 என்ற எண் புதன்கிழமையைக் குறிக்கும்.
எனவே, வாணி தனது பிறந்தநாளைப் புதன்கிழமை கொண்டாடியிருப்பாள்.

x என்பது ஓர் ஒற்றை முழுக்கள் என்க. எந்தவொரு ஒற்றை முழுக்களுக்கும் ஏதேனும் ஓர் இரட்டை முழுக்களை விட ஒன்று அதிகமாக இருக்கும் என்பதால், x = 2k + 1, இங்கு k என்பது ஏதேனும் ஒரு முழுக்கள்.
x² = (2k + 1)²
= 4k² + 4k + 1
= 4k(k + 1) + 1
= 4q + 1. இங்கு, q = k(k + 1) என்பது ஒரு முழுக்கள்.

3x - 2  ≡ 0  (மட்டு 11) 
3x - 2  = 11k, இங்கு  k ஒரு முழு
\(3 \mathrm{x} =11 \mathrm{k}+2 \)
\(\mathrm{x} =\frac{11 \mathrm{k}+2}{3}\)
k = 2,5,8,11,........, என நாம் பிரதியிட
11k + 2 ஆனது 3 ஆல் வகுபடும்.
\(\therefore \mathrm{x}=\frac{11(2)+2}{3}=\frac{24}{3}=8 \)
\(x=\frac{11(5)+2}{3}=\frac{57}{3}=19  \)
\(x=\frac{11(8)+2}{3}=\frac{90}{3}=30  \)
\(x=\frac{11(11)+2}{3}=\frac{123}{3}=41\)
∴ 8, 19, 30, 41,........ என்பது தீர்வு ஆகும்