AB மற்றும் DE - இரு நபர்கள்
AB = 2 DE
\(\mathrm{BD}=x \Rightarrow \mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\frac{x}{2}\)
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle A B C\) லிருந்து
\(\tan \theta=\frac{A B}{B C} \)
\(\tan \theta=\frac{2 D E}{B C}=\frac{2 D E}{\frac{x}{2}}=\frac{4 D E}{x} \ldots \text { (1) }\)
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle E D C\) லிருந்து
\(\tan \theta=\frac{C D}{E D}=\frac{\frac{x}{2}}{E D} \)
\(\tan \theta=\frac{x}{2 E D}\)   ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\(\frac{4 D E}{x} =\frac{x}{2 E D} \)
\(8 \mathrm{DE}^2 =\mathrm{x}^2 \)
\(\mathrm{DE}^2 =\frac{x^2}{8} \)
\(\mathrm{DE} =\frac{x}{\sqrt{8}} \)
\(\mathrm{DE} =\frac{x}{2 \sqrt{2}}\)

படத்தில் AB - கோபுரம்
BC - ஏற்றக்கோணம் 45^o ஆக இருக்கும்போது கோபுர நிழல்
\(\tan 45^{\circ}=\frac{A B}{B C} \)
\(1 =\frac{60}{B C} \)
BC = 60 மீ .....(1)
\(\tan 30^{\circ} =\frac{A B}{B D} \)
\(=\frac{60}{B C+C D}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{60}{60+x} \quad[\therefore\) (1) லிருந்து]
\(60+x=60 \sqrt{3} \)
\(x=60 \sqrt{3}-60 \)
\(=60(\sqrt{3}-1)\)
= 60(1.732 - 1)
= 60 x 0.732
= 43.92 மீ

\(\sin \theta=\cos \theta \Rightarrow \theta=45^{\circ} \)
\(2 \tan ^2 \theta+\sin ^2 \theta-1=2 \tan ^2 45^{\circ}+\sin ^2 45^{\circ}-1 \)
\(=2(1)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2-1 \)
\(=2+\frac{1}{2}-1 \)
\(=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)

\(\mathrm{b}\left(\mathrm{a}^2-1\right)=(\sec \theta+\operatorname{cosec} \theta)\left[(\sin \theta+\cos \theta)^2-1\right] \)
\(=(\sec \theta+\operatorname{cosec} \theta)\left[\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta+2 \sin \theta \cos \theta-1\right] \)
\(=\left(\frac{1}{\cos \theta}+\frac{1}{\sin \theta}\right)(1+2 \sin \theta \cos \theta-1) \)
\(=\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} \times 2 \sin \theta \cos \theta=2 \mathrm{a}\)

\(\tan \theta \operatorname{cosec}^2 \theta-\tan \theta =\tan \theta\left(\operatorname{cosec}^2 \theta-1\right) \)
\(=\tan \theta \cot ^2 \theta \)
\(=\tan \theta \times \frac{1}{\tan ^2 \theta} \)
\(=\frac{1}{\tan 0}=\cot \theta\)