செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle O M P^{\prime}\) லிருந்து
\(\tan 45^{\circ} =\frac{h+(x+h)}{O M} \)
\(1 =\frac{x+2 h}{O M} \)
\(O M =x+2 h\)
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle O M P\) லிருந்து
\(\tan \beta =\frac{x}{O M} \)
\(O M =\frac{x}{\tan \beta}\)
(1) மற்றும் (2).லிருந்து
\(x+2 \mathrm{~h} =\frac{x}{\tan \beta} \)
\(\frac{x}{\tan \beta}-x =2 \mathrm{~h} \)
\(\frac{x-x \tan \beta}{\tan \beta} =2 \mathrm{~h} \)
\(\frac{x-x \tan \beta}{\tan \beta} =2 h \)
\(x(1-\tan \beta) =2 h \tan \beta \)
\(x =\frac{2 h \tan \beta}{1-\tan \beta} \)
\(\mathrm{PN} =x+\mathrm{h}=\frac{2 h \tan \beta}{1-\tan \beta}+h \)
\( \frac{2 h \tan \beta+h-h \tan \beta}{1-\tan \beta} \)
\(=\frac{h \tan \beta+h}{1-\tan \beta} \)
\(=\frac{h(1+\tan \beta)}{1-\tan \beta}\)
\(\therefore\) ஏரியிலிருந்து மேகத்தின் உயரம்
\(=\frac{h(1+\tan \beta)}{1-\tan \beta}\)

செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle A B D\) லிருந்து
\(\tan 60^{\circ}=\frac{B D}{A B} \)
\(\sqrt{3}=\frac{B D}{A B} \)
\(\mathrm{AB}=\frac{B D}{\sqrt{3}}\)   ....(1)
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle D E C\) லிருந்து
\(\tan 30^{\circ} =\frac{D C}{E C} \)
\(\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{D C}{A B} \)
\(\mathrm{AB} =D C \sqrt{3}\)   .....(2)
(1) மற்றும் (2). லிருந்து
\(\frac{B D}{\sqrt{3}} =D C \sqrt{3} \)
\(\frac{B C+C D}{\sqrt{3}} =D C \sqrt{3} \)
\(B C+C D =D C \times 3 \)
\(\mathrm{BC} =3 \mathrm{CD}-\mathrm{CD} \)
\(\mathrm{BC} =2 \mathrm{CD} \)
\(\mathrm{AE} =2 \mathrm{CD} \)
\(20 =2 \mathrm{CD} \)
\(\mathrm{CD} =\frac{20}{2} \)
=10 மீ
கட்டடத்தின் உயரம்
\(\mathrm{BD}=\mathrm{BC}+\mathrm{CD}=20+10=30\) மீ
இரு கட்டடங்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு
\(\mathrm{AB} =D C \sqrt{3} \quad[\because\)(2) லிருந்து ]
\(=10 \sqrt{3}\) மீ

AB மின்கம்பம் என்க.
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle A B C\) லிருந்து
\(\tan 30^{\circ} =\frac{A B}{B C} \)
\(\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{A B}{B C} \)
\(B C =A B \sqrt{3}\)  ....(1)
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle D C B\) இல்
\(\tan 60^{\circ} =\frac{D C}{B C} \)
\(\sqrt{3} =\frac{b}{B C} \)
\(B C =\frac{b}{\sqrt{3}}\)   ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
\(A B \sqrt{3} =\frac{b}{\sqrt{3}} \)
\(A B =\frac{b}{\sqrt{3} \sqrt{3}}=\frac{b}{3}\)

\(\mathrm{p}^2-\mathrm{q}^2=(a \cot \theta+b \operatorname{cosec} \theta)^2-(b \cot \theta+a \operatorname{cosec} \theta)^2 \)
\(=a^2 \cot ^2 \theta+b^2 \operatorname{cosec}^2 \theta+2 a b \cot \theta \operatorname{cosec} \theta -\left(b^2 \cot ^2 \theta+a^2 \operatorname{cosec}^2 \theta+2 a b \cot \theta \operatorname{cosec} \theta\right)\)
\(=a^2 \cot ^2 \theta+b^2 \operatorname{cosec}^2 \theta+2 a b \cot \theta \operatorname{cosec} \theta -b^2 \cot ^2 \theta-a^2 \operatorname{cosec}^2 \theta-2 a b \cot \theta \operatorname{cosec} \theta\)
\(=a^2\left(\cot ^2 \theta-\operatorname{cosec}^2 \theta\right)+b^2\left(\operatorname{cosec}^2 \theta-\cot ^2 \theta\right) \)
\(=a^2(-1)+b^2(1) \)
\(=-a^2+b^2 \)
\(=\mathrm{b}^2-\mathrm{a}^2\)

\( x=a \tan \theta \quad y=b \sec \theta \)
\(x^2=a^2 \tan ^2 \theta \quad y^2=b^2 \sec ^2 \theta \)
\(\frac{x^2}{a^2}=\tan ^2 \theta \quad \frac{y^2}{b^2}=\sec ^2 \theta \)
\(\sec ^2 \theta-\tan ^2 \theta=\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2} \)
\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)