4x³-3cosx-sinx

\(\underset { x\rightarrow 0 }{ lim } \frac { \sqrt { 2+x } -\sqrt { 2 } }{ x } =\underset { x\rightarrow 0 }{ lim } \frac { \left( \sqrt { 2+x } -\sqrt { 2 } \right) \left( \sqrt { 2+x } +\sqrt { 2 } \right) }{ x\left( \sqrt { 2+x } +\sqrt { 2 } \right) } \)
\(=\underset { x\rightarrow 0 }{ lim } \frac { 2+x-2 }{ x\left( \sqrt { 2+x } +\sqrt { 2 } \right) } \)
\(=\underset { x\rightarrow 0 }{ lim } \frac { 1 }{ \left( \sqrt { 2+x } +\sqrt { 2 } \right) } \)
\(=\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } +\sqrt { 2 } } =\frac { 1 }{ 2\sqrt { 2 } } \)

ஒற்றைச் சார்பு

(f + g) (x) = f(x) + g(x) = x + |x|
\(=\begin{cases}x+x,x\ge0\ \\x-x,x<0 \end{cases}=\begin{cases}2x,x\ge0 \\ 0,x<0 \end{cases}\)

\(f\left( x \right) =g\left( x \right) ,\forall x\in R\)(கொடுக்கப்பட்டது)
\(\therefore\)            f(–5) = g(–5)
–5 –5 = \(\lambda \)
\(\therefore\)         \(\lambda =-10\)

f(x) = g(x) (கொடுக்கப்பட்டது)
\(\Rightarrow\)       2x² – 1 = 1–3x
2x² +3x – 2 = 0
(x+2) (2x–1) = 0
\(\therefore\)   x = –2,\(x=\frac { 1 }{ 2 } \)
சார்பகம் \(\left\{ -2,\frac { 1 }{ 2 } \right\} \)

\(\frac { -3 }{ 2 } cosxsin2x\)

\(x^{ sinx }\left[ \frac { sinx }{ x } +cosxlogx \right] \)

9 y

n = 7

\(\frac { 1 }{ 2 } \)

சுற்றுலாச் செல்லும் மாணவர்களின் எண்ணிக்கையை ‘x’ எனக் கொள்க.
\(\therefore\) 35 ≤ x ≤ 50 , x ஒரு மிகை முழு ஆகும்.
சூத்திரம்:
மொத்தச் செலவு = ( ஒரு மாணவனுக்கான கட்டணம்) x (மாணவர்களின்எண்ணிக்கை)
(i) மாணவர்களின் எண்ணிக்கை 35 க்கும் 45 க்கும் இடையில், ஒரு மாணவனுக்கான கட்டணம் rs 200
மொத்தச் செலவு y = 200x.
(ii) மாணவர்களின் எண்ணிக்கை 46 க்கும் 50 க்கும் இடையில்
ஒரு மாணவனுக்கான கட்டணம் rs \(\left\{ 200-\frac { 1 }{ 5 } \left( x-45 \right) \right\} =209-\frac { x }{ 5 } \)
மொத்தச் செலவு \(y=\left( 209-\frac { x }{ 5 } \right) x=209x-\frac { { x }^{ 2 } }{ 5 } \)
y=\(\begin{cases} 200x;35 \le x \le 45\\209x-{x^2 \over5} ;46\le x\le50\end{cases} ,\),
சார்பகம் = {35, 36, 37, ..., 50}.

f(x) = | x | ={\(x,\quad x\ge 0\\ -x,\quad x<0\)
\(L\left[ { f }^{ ' }\left( 0 \right) \right] =\underset { x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ lim } \frac { f\left( x \right) -f\left( 0 \right) }{ x-0 } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { f\left( 0-h \right) -f\left( 0 \right) }{ 0-h-0 } ,x=0-h\)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { f\left( -h \right) -f\left( 0 \right) }{ -h } \)
\(=\ \underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { \left| -h \right| -\left| 0 \right| }{ -h } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { \left| -h \right| }{ -h } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { h }{ -h } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \left( -1 \right) \)
= –1
\(R\left[ { f }^{ ' }\left( 0 \right) \right] =\underset { x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ lim } \frac { f\left( x \right) -f\left( 0 \right) }{ x-0 } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { f\left( 0+h \right) -f\left( 0 \right) }{ 0+h-0 } ,x=0+h\)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { f\left( h \right) -f\left( 0 \right) }{ h } \)
\(=\ \underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { \left| h \right| -\left| 0 \right| }{ h } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { \left| h \right| }{ h } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { h }{ h } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } 1\)
1
\(L\left[ { f }^{ ' }\left( 0 \right) \right] \neq R\left[ { f }^{ ' }\left( 0 \right) \right] \)
f(x) ஆனது x = 0 இல் வகையிடத்தக்கதல்ல.