11th Second Revision Test 2019

11ஆம் வகுப்பு Business Maths and Statistics / வணிகக் கணிதம் மற்றும் புள்ளியியல் தமிழ் மீடியம் | மாதிரி வினாத்தாள்கள் | முக்கிய வினாக்கள் | கேள்வி விடை தொகுப்பு | வினாத்தாள்கள் | பொதுத்தேர்வு மாதிரி வினாத்தாள்கள் , Business Maths and Statistics / வணிகக் கணிதம் மற்றும் புள்ளியியல் பாடத்திற்கான மாதிரி வினாத்தாள்கள், முக்கிய கேள்வி-விடைகள், ஒருமார்க் கேள்விகள், காலாண்டு & பொதுத்தேர்வு கேள்வித் தொகுப்புகள்

Questions:

Generic 3

14 x 3 = 42

கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள விவரங்களுக்கு,

சராசரி	6	8
திட்ட விலக்கம்	5	\(\frac{40}{3}\)

X மற்றும் Y ஆகியவற்றின் ஒட்டுறவுக் கெழு \(\frac{8}{15}\)
(i) X -ன் மீது Y-ன் தொடர்புப் போக்குக் கெழு
(ii) =ரூ.100 எனும்போது மிகப் பொருத்தமான Y-ன் மதிப்பு ஆகியவற்றைக் காண்க.

கீழே கொடுக்கப்பட்ட விவரங்களுக்கு பெருக்குச் சராசரியைக் கணக்கீடுக.

மதிப்பெண்கள்	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50
மாணவர்களின் எண்ணிக்கை	8	12	18	8	6

ஓரிடத்தில் வசிக்கும் 10 குடும்பங்களின் ஒரு நாள் வருமானம் (ரூபாயில்) கீழேக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இவற்றின் பெருக்கச் சராசரியைக் காண்க.
85, 70, 15, 75, 500, 8, 45, 250, 40, 36

மகளின் வயது 2 ஆகிறது.அந்த மக்களின் தந்தை மகளுக்கு 22 வயது ஆகும் பொழுது ரூபாய்.20,00,000 பெறுவதற்கு விருப்பப்படுகிறார்.அவர் ஆண்டுக்கு 10% கூட்டு வட்டி வழங்கக்கூடிய வங்கியில் தன் கணக்கை தொடங்குகிறார்.கூட்டுச் சேர்ப்பு கணக்கில் ஒவ்வொரு மாதத்தின் முடிவிலும் எவ்வளவு தொகை செலுத்த வேண்டும் [(1.0083)²⁴⁰⇒6.194]

y=x³+10x²-48x+8 என்ற சார்பின் இறுதி நிலையானது x-ஐ போல் இருமடங்கு எனில் x-ன் மதிப்புகள் யாது?

\(p=(a-bx)^{ \frac { 1 }{ 2 } }\) என்ற தேவை x -ல் தேவை நெகிழ்ச்சி 1 எனும்போது x ன் மதிப்பை காண்க

sin20^o sin40^o sin60⁰ sin80^o = \(\frac{3}{16}\) என நிறுவுக.

x மாதங்களில் ஈட்டப்பட்ட இலாபம் ரூ y(ஆயிரங்களில்) என்க.மேலும் y=-x²+10x-15 எனில், செயல்திட்டத்தை, முடிப்பதற்கான மிகச் சிறந்த காலத்தைக் காண்க

மதிப்பிடுக:\(\underset { x\rightarrow \infty }{ lim } \frac { 2x+5 }{ { x }^{ 2 }+3x+9 } \)

10.

இரு தொழிற்சாலைகளின் பொருளாதார அமைப்பின் தொழில் நுட்ப அணி \(\left[ \begin{matrix} 0.6 & 0.9 \\ 0.20 & 0.80 \end{matrix} \right] \)எனில் ஹாக்கின்ஸ் – சைமன் நிபந்தனைகளின்படி தொழிற்சாலைகளின் செயல்பாடு சாத்தியமானாதா என சரிபார்க்க

11.

கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள அணிகளுக்கு நேர்மாறு அணி காண்க.
\(\left[ \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right] \)

12.

பின்வருவனவற்றிற்கு வரைபடம் வரைக.
f(x)=e^-2x

13.

ஐம்பது பேர்கள் அமரக்கூடிய பேருந்து ஒன்றை மாணவர்கள் குழு ஒரு கல்வி
சுற்றுலாவிற்காக வாடகைக்கு அமர்த்த விரும்பியது. பேருந்து நிறுவனம் குறைந்தது 35 மாணவர்களாவது விருப்பம் தெரிவித்தால்தான் பேருந்தை வாடகைக்கு விடும். மாணவர்களின் எண்ணிக்கை 45 பேர்கள் வரை என்றால் ஒரு மாணவனுக்கு rs 200 எனவும், 45 பேர்களுக்கு மேற்படின் rs 200 லிருந்து 45 க்கு மேற்பட்ட எண்ணிக்கையில் \(\frac { 1 }{ 5 } \) பாகத்தை கழித்து கட்டணமாக வசூலிக்கும். மொத்த செலவை சுற்றுலாச் செல்லும் மாணவர்களின் எண்ணிக்கை வாயிலாக ஒரு சார்பாக காணவும். மேலும், இதன் மதிப்பகத்தை காண்க.

14.

ஒரு நகரும் புள்ளி, (2,1) மற்றும் (1,2) என்ற புள்ளிகளிலிருந்து உள்ள தொலைவுகள் 2:1 என்ற விகிதத்தில் இருக்குமாறு நகருகிறதெனில், அப்புள்ளியின் இயங்குவரையைக் காண்க.

Generic 2

8 x 2 = 16

15.

ஒரு சீரான பகடை உருட்டப்படுகிறது A என்ற நிகழ்வு பகடையில் தோன்றும் 3'-ன் மடங்கு" எனவும் B நிகழ்வு "பகடையில் தோன்றும் எண் இரட்டை படை எண் " எனில் A மற்றும் B ஆகிய நிகழ்வுகள் சாரா நிகழ்வுகளா என ஆராய்க?

16.

\(\cos { A } =\frac { 4 }{ 5 } \) மற்றும் \(\cos { B } =\frac { 12 }{ 13 } \) , \(\frac { 3\pi }{ 2 }\) , எனில் \(\cos { \left( A+B \right) } \) ஆகியவற்றின் மதிப்பு காண்க

17.

(4, 7) மற்றும் (–2, 5) என்பவை ஒரு விட்டத்தின் முனைப்புள்ளிகள் எனில் அவ்வட்டத்தின் சமன்பாடு காண்க.

18.

கீழ்கண்ட கோணங்கள் எந்த கால்பகுதியில் அமையும் -140^o

19.

இரண்டு சிறுமிகள் சேர்ந்து அமராதவாறு, 5 சிறுவர்கள் மற்றும் 3 சிறுமிகளை ஒரு வரிசையில் எத்தனை வழிகளில் அமரவைக்கலாம்

20.

பின்வரும் சார்புகள் ஒற்றைச் சார்பா? அல்லது இரட்டை சார்பா? எனக் காண்க
f(x) = x²- |x|

21.

சுவற்றின் மீதுள்ள 5 ஆணிகளில் 7 படங்களை எத்தனை வழிகளில் பொருத்தலாம் ?

22.

புத்தக விற்பனை கடையில், 6 வணிகவியல் புத்தகமும், 5 கணக்குப்பதிவியல் புத்தகமும் உள்ளன . புத்தகம் வாங்க விரும்பும் ஒரு மாணவன் புத்தகங்களில் ஏதேனும் ஒன்றை எத்தனை வழிகளில் வாங்கலாம்

Generic 5

11 x 5 = 55

23.

கண்டறியப்பட்ட இரு தொடர்பு போக்கு 4X–5Y+33=0 மற்றும் 20X–9Y–107=0. X,Y க்கு இடையிலான சராசரி மதிப்புகள் மற்றும் ஒட்டுறவுக்கெழு ஆகியவற்றைக் காண்க.

24.

கீழ்க்கண்ட நேரியல் திட்டமிடல் கணக்கைத் தீர்க்க.
4x₁+x₂\(\ge \) 40; 2x₁ + 3x₂₂ \(\ge \) 90 மற்றும் x₁, x₂ \(\ge \)0 என்ற கட்டுப்பாடுகளுக்கிணங்க
Z = 5x₁ + 4x₂ - ன் மீச்சிறு மதிப்பைக் காண்க.

25.

கீழே தரப்பட்டுள்ள விவரத்திற்கு X மற்றும் Yன் சராசரிகளிலிருந்து விலக்கம் கண்டு Y ன் மீதான X மற்றும் X -ன் மீதான Y-ன் இரு தொடர்புப் போக்குக் கெழுக்களை காண்க.

விலை (ரூபாய்களில்)	10	12	13	12	16	15
தேவைப்படும் அளவு	40	38	43	45	37	43

விலை ரூ.20 எனும்போது எதிர் பார்க்கப்படும் தேவையை மதிப்பிடுக.

26.

கணக்காளர் பதவிக்கு விண்ணப்பம் செய்த 11 விண்ணப்பதாரர்களுக்கு ஒரு நிறுவனம் நடத்திய போட்டித் தேர்வில் திறனாய்வுத் தேர்வு மற்றும் தர்க்க அறிவுத்தேர்வில் அவர்கள் பெற்ற மதிப்பெண்களின் விவரம் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

விண்ணப்பதாரர்	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K
தர்க்க அறிவுத் தேர்வு	20	50	28	25	70	90	76	45	30	19	26
திறனாய்வுத் தேர்வு	30	60	50	40	85	90	56	82	42	31	49

27.

பின்வரும் விவரங்களுக்கு கால்மான விலக்கத்தைக் காண்க.

CI	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80
f	12	19	5	10	9	6	6

28.

இயந்திரம் A வின் விலை ரூ.15,000 இயந்திரம் B யின் விலை ரூ.20,000 அவற்றிலிருந்து கிடைக்கும் ஆண்டு வருமானம் முறையே ரூ.4,000 மற்றும் ரூ.7,000 ஆகும். இயந்திரம் A-ன் ஆயுட்காலம் 4 ஆண்டுகள் மற்றும் B ன் ஆயுட்காலம் 7 ஆண்டுகள் எனில், எந்த இயந்திரத்தை வாங்குவது சிறந்தது. (ஆண்டுக்கு 8% கழிவு எனக் கொள்க.)

29.

ரூ.27,000-க்கு பங்கில் முதலீடு செய்ய விஜய் அவர்கள் விரும்புகிறார்.பின்வரும் நிறுவங்களின் பங்குகள் அவருக்கு கிடைக்கின்றன.சம மதிப்பில் நிறுவனம் A இன் பங்கில் விலை ரூ.100.அதிக விலை ரூ.25 உடைய நிறுவனம் B ல் பங்கின் விலை ரூ.100 கழிவு ரூ.10 .உடைய C ன் பங்குகள் ரூ.100.அதிக விலை 20% உடைய நிறுவனம் D இல் பங்கின் விலை ரூ.50 எனில் (i)A (ii) B (iii) C (iv) D ஆகிய நிறுவங்களில் அவர் பங்குகளை வாங்கினால் எத்தனை பங்குகள் கிடைக்கும்

30.

ஒரு முற்றுரிமையாளரின் தேவைப்பாட்டின் வளைவரை x=106-2p மற்றும் சராசரி செலவுச் சார்பின் வளைவரை AC =5+\(\frac { x }{ 50 } \)இங்கு p என்பது உற்பத்திக்கான ஒரு அலகு விலை மற்றும் x என்பது உற்பத்தி செய்யப்படும் பொருட்களின் எண்ணிக்கை ஆகும்.மொத்த வருவாய் R =px,எனில் அதிகப்படியான இலாபம் தரும் உற்பத்தி அளவு மற்றும் மீப்பெரு இலாபம் ஆகியவற்றை காண்க

31.

2 கிலோ கோதுமை மற்றும் 1 கிலோ சர்க்கரையின் மொத்த விலை ரூ70. ஒரு கிலோ கோதுமை மற்றும் 1 கிலோ அரிசியின் மொத்த விலை ரூ70. 3 கிலோ கோதுமை, 2 கிலோ சர்க்கரை மற்றும் 1 கிலோ அரிசியின் மொத்த விலை ரூ170. எனில் நேர்மாறு அணி முறையில் ஒவ்வொரு பொருட்களின் ஒரு கிலோ விற்கான விலையைக் காண்க.

32.

cos 20⁰ cos40⁰ cos80⁰ = \(\frac { 1 }{ 2 } \) என நிறுவுக

33.

A, B, C என்ற மூன்று பொருட்களின் விலையை ஒரு அலகிற்கு முறையே x, y மற்றும் z என்க. P என்பவர் 4 அலகு C யை வாங்குகிறார் 3 அலகு A மற்றும் 5 அலகு B யை விற்பனை செய்கிறார். Q என்பவர் 3 அலகு B யை வாங்குகிறார். மேலும் 2 அலகு A யையும் 1 அலகு C யையும் விற்பனை செய்கிறார். R என்பவர் 1 அலகு A யை வாங்குகிறார். மேலும் 4 அலகு B யையும் 6 அலகு C யையும் விற்பனை செய்கிறார். மேற்கண்டவற்றில் P,Q,R என்பவர்கள் முறையே ஈட்டியத் தொகை ரூ6,000, ரூ5,000,ரூ13,000 எனில் A,B மற்றும் C ன் ஒரு அலகிற்கான விலையைக் நேர்மாறு அணி முறையில் காண்க.

Multiple Choice Question

20 x 1 = 20

34.

நிகழ்வு எண் இடலில் பின்பற்ற வேண்டிய கீழ்க்கண்ட விதிகளில் எந்த ஒன்று தவறான கூற்று?

(a)

நிகழ்வுகள் ஒவ்வொன்றுக்கும் தனித்த எண்கள் வழங்கப்பட வேண்டும்

(b)

நிகழ்வு எண் இடல் இடதுபக்கத்திலிருந்து வலது புறமாக வரிசை அடிப்படையில் அமைக்கப்படல் வேண்டும்

(c)

தொடக்க நிகழ்விற்கு O அல்லது 1 என்று எண் இட வேண்டும்.

(d)

அம்பின் வால்பகுதியில் உள்ள எண்ணை விட அம்பின் தலைப்பகுதியில் உள்ள எண் எப்போதும் சிறியதாக இருக்க வேண்டும்.

35.

(i,j) என்ற செயலானது தீர்வுக்கு உகந்த பாதையில் இருப்பதற்கான நிபந்தனைகளில் ஒன்று

(a)

E_j - E_i = L_j - L_i = t_ij

(b)

E_i - E_j = L_j - L_i = t_ij

(c)

E_j - E_i = L_i - L_j = t_ij

(d)

E_j - E_i = L_j - L_i \(\neq \) t_ij

36.

இரண்டு மாறிகள் இறங்கு திசையில் நகர்கிறது எனில் ஒட்டுறவுக் கெழுவானது

(a)

நேரிடை

(b)

எதிரிடை

(c)

முழுமையான எதிரிடை

(d)

ஒட்டுறவு இன்மை

37.

தாக்கத்தை ஏற்படுத்தக் கூடிய அல்லது கணித்துச் சொல்வதற்கு பயன்படுத்தப்படக் கூடிய மாறி

(a)

சார்ந்த மாறி

(b)

சார்பற்ற மாறி

(c)

விளக்கமளிக்கும் மாறி

(d)

தொடர்புப் போக்குடையது

38.

A மற்றும் B என்ற இரு நிகழ்வுகள் சார்பற்றவை எனில்,

(a)

P(A\(\cap \) B)=0

(b)

P(A\(\cap \) B)=P(A) x P(B)

(c)

P(A\(\cap \) B)=P(A) + P(B)

(d)

P(A\(\cup \)B)=P(A) x P(B)

39.

முதல் கால்மானம் என்பதை பின்வருமாறு அழைக்கலாம்

(a)

இடைநிலை

(b)

கீழ்க்கால்மானம்

(c)

முகடு

(d)

மூன்றாம் பத்துமானம்

40.

ரூ.100 முகமதிப்புடைய 15% க்கு கிடைக்கும் 500 பங்குகளின் ஆண்டு வருமானம்

(a)

ரூ.7,500

(b)

ரூ.5,000

(c)

ரூ.8,000

(d)

ரூ.8,500

41.

முக மதிப்பு 100 உடைய 8% சரக்கு முதலின் 200 பங்குகளை ரூ.150 க்கு விற்பதன் மூலம் கிடைக்கும் தொகை

(a)

16,000

(b)

10,000

(c)

7,000

(d)

9,000

42.

f(x,y) என்பது n ,படியுள்ள சமப்படித்தான சார்பு எனில் \(x\frac { \partial f }{ \partial x } +y\frac { \partial f }{ \partial y } \)-க்குச் சமமானது

(a)

(n–1)f

(b)

n(n–1)f

(c)

(d)

43.

f(x)= sin x என்ற சார்பின் மீப்பெரு மதிப்பானது

(a)

(b)

\(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \)

(c)

\(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)

(d)

\(-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)

44.

\(sin\left( cos^{ -1 }\frac { 3 }{ 5 } \right) \)ன் மதிப்பு

(a)

\(\frac { 3 }{ 5 } \)

(b)

\(\frac { 5 }{ 3 } \)

(c)

\(\frac { 4 }{ 5 } \)

(d)

\(\frac { 5 }{ 4 } \)

45.

sin15º cos15º -ன் மதிப்பு

(a)

(b)

\(\frac { 1 }{ 2 } \)

(c)

\(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \)

(d)

\(\frac { 1 }{ 4 } \)

46.

y = e^2x எனில், x =0 இல் \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \) இன் மதிப்பு

(a)

(b)

(c)

(d)

47.

கீழ்வரும் சார்புகளில் எந்த சார்பு f(x) =\(f\left( \frac { 1 }{ x } \right) \) என்ற வகையில் அமையும்

(a)

\(f(x)=\frac { { x }^{ 2 }-1 }{ x } \)

(b)

\(f(x)=\frac { 1-{ x }^{ 2 } }{ x } \)

(c)

f (x) = x

(d)

\(f(x)=\frac { { x }^{ 2 }+1 }{ x } \)

48.

ஆய அச்சுகளிலிருந்து சமதூரத்தில் இருக்குமாறு நகரும் P என்ற புள்ளியின் இயங்குவரை

(a)

\(y=\frac { 1 }{ x } \)

(b)

y= -x

(c)

y = x

(d)

\(y=\frac { -1 }{ x } \)

49.

3x+2y-1 =0 என்ற கோட்டின் x-வெட்டுத்துண்டு

(a)

(b)

(c)

\(\frac { 1 }{ 3 } \)

(d)

\(\frac { 1 }{ 2 } \)

50.

பொருட்களை மீண்டும் பயன்படுத்தலாம் என்ற வகையில், வெவ்வேறான n பொருட்களிலிருந்து r பொரருட்களை ஒரே நேரத்தில் தேர்ந்தெடுத்து வரிசைப்படுத்தும் வழிகளின் எண்ணிக்கை______.

(a)

rⁿ

(b)

n^r

(c)

\(\frac{n!}{(n-r)}!\)

(d)

\(\frac{n!}{(n+r)}!\)

51.

\(A=\left[ \begin{matrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \)எனில் |2A| என்பது _____.

(a)

4cos2θ

(b)

(c)

(d)

52.

உள்ளீடு – வெளியீடு பகுப்பாய்வை அறிமுகப்படுத்தியவர் _______.

(a)

சர். பிரான்சிஸ் கால்டன்

(b)

பிஷர்

(c)

பேராசிரியர் வேஸ்லி. W. லியோன்டிப்

(d)

ஆர்தர் கேய்லி

53.

np₂ = 20 எனும் பொழுது n - ன் மதிப்பு______.

(a)

(b)

(c)

(d)

Visit QB365-SLMS - https://www.qb365.in/slms/

Answers Key:

Generic 3

14 x 3 = 42

b_yx=1.422, Y = 141.67

பெருக்கு சாரசரியின் கணக்கீடு

மதிப்பெண்கள்	m	f	log m	f log m
0.10	5	8	0.6990	5.5920
10-20	15	12	1.1761	14.1132
20-30	25	18	1.3979	25.1622
30-40	35	8	1.5441	12.3528
40-50	45	6	1.6532	9.9192
		N=52		Σf log m=67.1394

GM=Antilog\(\left( \frac { \Sigma flogX }{ N } \right) \)
=Antilog\(\left( \frac { 67.1394 }{ 52 } \right) \)
GM=Antilog 19.55

X	log X
85	1.9294
70	1.8451
15	1.1761
75	1.8751
500	2.6990
8	0.9031
45	1.6532
250	2.3979
40	1.6021
36	1.5563
	Σlog X =17.6373

GM=Antilog\(\left( \frac { \Sigma logX }{ n } \right) \);
GM=Antilog\(\left( \frac { 17.6373 }{ 10 } \right) \)
=Antilog(1.7637)
GM=58.03

இங்கு A = 20,00,000; i =\(\frac { 10 }{ 100 } \)= 0.1 ,n =20 மற்றும் k =12
A = \(\frac { a }{ i/k } [(i+\frac { i }{ k } )^{ nk }-1]\)
20,00,000 = \(\frac { \frac { a }{ 0.1 } }{ 12 } \left[ \left( 1+\frac { 0.1 }{ 12 } \right) ^{ 20\times 12 }-1 \right] \)
= \(\frac { 12a }{ 0.1 } \left[ \left( 1+1+\frac { 0.1 }{ 12 } \right) ^{ 240 }-1 \right] \)
= 120a \(\left[ \left( \frac { 12.1 }{ 12 } \right) ^{ 240 }-1 \right] \)
= 120a [(1.0083)²⁴⁰–1]
= 120a [6.194–1]
= 120a (5.194)
a = \(\frac { 20.00,00 }{ 120\times 5.194 } \)
=ரூ.3,209
ஒவ்வொரு மாதமும் ரூ.3,209 செலுத்த வேண்டும்

\(p=(a-bx)^{ \frac { 1 }{ 2 } }\)
'p' ஐ பொறுத்து வகையிட,நாம் பெறுவது
1 = \(\frac { 1 }{ 2 } (a-bx)^{ \frac { 1 }{ 2 } }(-b).\frac { dx }{ dp } \)
∴ \(\frac { dx }{ dp } =\frac { 2(a-bx)^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ -b } \)
தேவை நெகிழ்ச்சி \({ \eta }_{ d }=-\frac { p }{ x } .\frac { dx }{ dp } \)
η_d=1எனும்போது= \(-\frac { (a-bx)^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ x } .\frac { 2(a-bx)^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ -b } \)
= \(\frac { 2(a-bx) }{ bx } \)
2(a-bx)= bx
∴ x =\(\frac { 2a }{ 3b } \)அலகுகள்

LHS = sin20^o sin40^o sin60^o sin80^o
= sin 60^o sin 20^o sin(60^o - 20^o)sin(60^o + 20^o)
=\(\frac{\sqrt3}{2}\) sin 20^o (sin²60^o - sin² 20^o)
=\(\frac{\sqrt3}{2}\)sin 20^o (\(\frac{3}{4}\) - sin² 20^o)
=\((\frac{\sqrt3}{2})(\frac{1}{4})\)sin 60^o =\((\frac{\sqrt3}{2})(\frac{1}{4})(\frac{\sqrt3}{2})=\frac{3}{16}=RHS\)

x = 5 மாதங்கள்

10.

B = \(\begin{bmatrix} 0.6 & 0.9 \\ 0.20 & 0.80 \end{bmatrix}\)
I - B = \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 0.6 & 0.9 \\ 0.20 & 0.80 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0.4 & -0.9 \\ -0.20 & 0.20 \end{bmatrix}\)
|I - B| =\(\begin{bmatrix} 0.4 & -0.9 \\ -0.20 & 0.20 \end{bmatrix}\)
= 0.08 - 0.18 = - 0.1 < 0
ஹாக்கின்ஸ் – சைமன் நிபந்தனைகளின்படி சாத்தியமானதல்ல.

11.

\(A=\begin{bmatrix} 1&-1\\2&3 \end{bmatrix}\)
\(|A|=\begin{vmatrix} 1&-1\\2&3 \end{vmatrix}=3+2=5\) ≠ 0
\({A}^{-1}={{1}\over{|A|}}adj\ A={{1}\over{5}}\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 1\end{bmatrix}\)
\(\frac { 1 }{ 5 } \left[ \begin{matrix} 3 & 1 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right] \)

12.

13.

சுற்றுலாச் செல்லும் மாணவர்களின் எண்ணிக்கையை ‘x’ எனக் கொள்க.
\(\therefore\) 35 ≤ x ≤ 50 , x ஒரு மிகை முழு ஆகும்.
சூத்திரம்:
மொத்தச் செலவு = ( ஒரு மாணவனுக்கான கட்டணம்) x (மாணவர்களின்எண்ணிக்கை)
(i) மாணவர்களின் எண்ணிக்கை 35 க்கும் 45 க்கும் இடையில், ஒரு மாணவனுக்கான கட்டணம் rs 200
மொத்தச் செலவு y = 200x.
(ii) மாணவர்களின் எண்ணிக்கை 46 க்கும் 50 க்கும் இடையில்
ஒரு மாணவனுக்கான கட்டணம் rs \(\left\{ 200-\frac { 1 }{ 5 } \left( x-45 \right) \right\} =209-\frac { x }{ 5 } \)
மொத்தச் செலவு \(y=\left( 209-\frac { x }{ 5 } \right) x=209x-\frac { { x }^{ 2 } }{ 5 } \)
y=\(\begin{cases} 200x;35 \le x \le 45\\209x-{x^2 \over5} ;46\le x\le50\end{cases} ,\),
சார்பகம் = {35, 36, 37, ..., 50}.

14.

3x²+3y²-4x-14y+15 = 0

Generic 2

8 x 2 = 16

15.

S = {1,2,3,4,5,6} என்பது கூறுவெளி என அறிகிறோம்.
இங்கு A = {3,6} ; B = { 2,4,6} எனவே (A\(\cap \)B) ={6}
P(A)=\(\frac { 2 }{ 6 } =\frac { 1 }{ 3 } \)
P(B) =\(\frac { 3 }{ 6 } =\frac { 1 }{ 2 } \) மற்றும் P(A\(\cap \)B)=\(\frac{1}{6}\)
தெளிவாக, P(A\(\cap \)B) = P(A) P(B)
எனவே A மற்றும் B ஆகியவை சாரா நிகழ்வுகளாகும்.

16.

அதாவது \(\frac { 3\pi }{ 2 } , A மற்றும் B ஆகியன நான்காம் கால் பகுதியில் அமைகிறது. எனில் \(\sin { A }\) மற்றும் \(\sin { B } \) ஆகியவை குறைகுறி உடையதாக இருக்கும்.
ஆகவே,
\(\sin { A } =-\sqrt { 1-\cos ^{ 2 }{ A } } \)
\(=-\sqrt { 1-\frac { 16 }{ 25 } } \)
\(=-\sqrt { \frac { 25-16 }{ 25 } } \)
\(=-\frac { 3 }{ 5 } \)
\(\sin { B } =-\sqrt { 1-\cos ^{ 2 }{ B } } \)
\(=-\sqrt { 1-\frac { 144 }{ 169 } } \)
\(=-\sqrt { \frac { 169-144 }{ 169 } } \)
\(=-\frac { 5 }{ 13 } \)
\(\Rightarrow \) \(\cos { \left( A+B \right) } =\cos { A } \cos { B } -\sin { A } \sin { B } \)
\(=\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \left( \frac { 12 }{ 13 } \right) -\left( -\frac { 3 }{ 5 } \right) \left( -\frac { 5 }{ 13 } \right) \)
\(=\frac { 48 }{ 65 } -\frac { 15 }{ 65 } =\frac { 33 }{ 65 } \)

17.

x²+y²-2x-12y+27 = 0

18.

மூன்றாம் கால்பகுதி

19.

5 சிறுவர்கள் 5P₅ = 5! இல் ஒரு வரிசையில் அமரலாம் ஏற்பாடு பின்வருமாறு இருக்க முடியும்.
GB GB GB GB GB GB
இரண்டு பெண்களும் ஒன்றுசேரக்கூடாது என்பதால், நாங்கள் 3 பெண்களை 6 இடங்களில் ஏற்பாடு செய்யலாம், அதை 6P₃ வழிகளில் செய்யலாம்.
மொத்த எண். இருக்கை ஏற்பாடு
\(=5 ! \times 6 P_3=5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 6 \times 5 \times 4\)
= 14400

20.

இரட்டைச் சார்பு

21.

சுவற்றின் மீதுள்ள 5 ஆணிகளில் 7 படங்களை பொருத்துவது என்பது, ஏழு படங்களில் ஒரே நேரத்தில் ஐந்து படங்களை தேர்ந்தெடுப்பதற்கான வரிசை மாற்றங்களின் எண்ணிக்கை \(=7P_5=\frac{7!}{(7-5!)}=2520\)வழிகள்.

22.

6 வணிகவியல் புத்தகங்களில் ஒன்றை 6 வழிகளில் வாங்கலாம். 5 கணக்குப் பதிவியல் புத்தகங்களில் ஒன்றை 5 வழிகளில் வாங்கலாம். கூட்டலின் அடிப்படைக் கொள்கைபடி இவ்விரு பாடபுத்தகங்களில் ஏதேனும் ஒன்றை 5 + 6 = 11 வழிகளில் வாங்கலாம்.

Generic 5

11 x 5 = 55

23.

24.

x₁ மற்றும் x₂ குறை குறியற்றவையாக இருப்பதால் ஏற்புடைய பகுதி முதல் கால் பகுதியில் அமையும்.
4x₁ + x₂ = 40 என்ற நேர்க்கோடானது (0, 40) மற்றும் (10, 0) என்ற புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும். மேலும் 4x₁ + x₂ = 40 என்றக் கோட்டின் மீதோ அல்லது அதற்கு மேலோ வரும் புள்ளிகள் 4x₁+x₂ \(\ge \) 40 என்றக் கட்டுப்பாட்டை பூர்த்தி செய்கிறது.
2x₁ + 3x₂ = 90 என்ற நேர்கோடானது (0, 300 மற்றும் (45, 0) என்ற புள்ளிகள் வழியாக செல்லும். மேலும் 2x₁+3x₂ = 90 என்றக் கோட்டின் மீதோ அல்லது அதற்கு மேலோ வரும் புள்ளிகள் 2x₁ + 3₂ \(\ge \) 90 என்றக் கட்டுப்பாட்டைப் பூர்த்தி செய்கிறது.
கணக்கில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள கட்டுப்பாடிற்கிணங்க வரைபடமானது வரையப்பட்டுள்ளது.

நிழலிடப்பட்ட ABC என்ற பகுதியே தீர்வுப் பகுதி ஆகும்.
தீர்வு பகுதியின் முனைப்புள்ளிகள் A(45, 0), B(3, 28), சி(0, 40)

முனைப்புள்ளிகள்	Z=5x₁ + 4x₂
A (45,0)	225
B(3, 28)	127
C(0,40)	160

குறிக்கோள் சார்பின் சிறும மதிப்பானது B(3, 28) என்ற புள்ளியில் கிடைக்கிறது.
எனவே x₁ =3, x₂ = 28 Z மீச்சிறு மதிப்பு = 127

25.

X	x=(X-13)	x²	Y	y=(Y-41)	y²	xy
10	-3	9	40	-1	1	3
12	-1	1	38	-3	9	3
13	0	0	43	2	4	0
12	-1	1	45	4	16	-4
16	3	9	37	-4	16	-12
15	2	4	43	2	4	4
ΣX=78	Σx=0	Σx²=24	ΣY=246	Σy=0	Σy²=50	Σxy=-6

(i) Yன் மீது X ன் தொடர்புப் போக்குச் சமன்பாடு
\(X-\bar { X } =r\frac { { \sigma }_{ x } }{ { \sigma }_{ y } } (Y-\bar { Y } )\)
\(\bar { X } =\frac { 78 }{ 6 } =13,\bar { Y } =\frac { 246 }{ 6 } =41\)
b_xy =\(r\frac { { \sigma }_{ x } }{ { \sigma }_{ y } } =\frac { \Sigma xy }{ \Sigma { y }^{ 2 } } =\frac { -6 }{ 50 } \)=-0.12
X-13=-0.12(Y-41)
X-13=-0.12Y + 4.92
X=-0.12Y + 17.92
(ii) X ன் மீது Y ன் தொடர்புப் போக்குச் சமன்பாடு
\(Y-\bar { Y } =r\frac { { \sigma }_{ y } }{ { \sigma }_{ x } } (X-\bar { X } )\)
b_yx=\(r\frac { { \sigma }_{ y } }{ { \sigma }_{ x } } =\frac { \Sigma xy }{ \Sigma { x }^{ 2 } } =\frac { -6 }{ 24 } \)=-0.25
Y–41 =–0.25 (X–13 )
Y–41 =–0.25 X + 3.25
Y =–0.25 X + 44.25
X=20, எனில் Y-ன் மதிப்பு
Y = –0.25 (20)+44.25
= –5 + 44.25
=39.25 (விலை ரூ.20 எனும் போது வாய்ப்புத் தேவை 39.25)

26.

0.9

27.

CI	f	cf
10-20	12	12
20-30	19	31
30-40	5	36
40-50	10	46
50-60	9	55
60-70	6	61
70-80	6	67
	N=67

Q₁=\(\left( \frac { N }{ 4 } \right) \) ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு =\(\left( \frac { 67 }{ 4 } \right) \)=16.75 ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு எனவே Q1 ஆனது (20-30) என்ற இடைவெளியில் அமைந்துள்ளது.
L=20, \(\frac { N }{ 4 } \)=16.75; pcf=12, f=19, c=10
Q₁=L+\(\left( \frac { \frac { N }{ 4 } -pcf }{ f } \right) \times c\)
Q₁=20+\(\left( \frac { 16.75-12 }{ 19 } \right) \times 10\)=20+2.5=22.5
Q₃=\(\left( \frac { 3N }{ 4 } \right) \)ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு =50.25 ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு
எனவே Q₃ ஆனது (50-60) என்ற இடைவெளியில் அமைந்துள்ளது.
L=50, \(\frac { 3N }{ 4 } \)=50.25; pcf=46, f=9, c=10
Q₃=L+\(\left( \frac { \frac { 3N }{ 4 } -pcf }{ f } \right) \times c\)
Q₃=50+\(\left( \frac { 50.25-46 }{ 9 } \right) \times 10\)=20+2.5=22.5
QD =\(\frac{1}{2}\)(Q₃ – Q₁)
=\(\frac { 50.25-46 }{ 9 } \)=16.11
∴ QD=16.11

28.

ரூ.13240, ரூ.36420, இயந்திரம் B வாங்கலாம்

29.

30.

31.

ஒரு கிலோ கோதுமை, சர்க்கரை,அரிசியின் மொத்த விலைகள் முறையே x ,y ,z என்க.
2x + y = 70
x + z = 70
3x + 2y + z = 17
\( \begin{bmatrix} 2&1&0\\1&0&1\\3&2&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 70\\70\\170 \end{bmatrix}\)
\(A X=B \Rightarrow X=A^{-1} B\)
\(A=\begin{bmatrix} 2&1&0\\1&0&1\\3&2&1 \end{bmatrix},X=\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}B=\begin{bmatrix} 70\\70\\170 \end{bmatrix}\)
\(|A|=\begin{vmatrix} 2&1&0\\1&0&1\\3&2&1 \end{vmatrix}=2\begin{vmatrix} 0&1\\2&1 \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 1&1\\3&1 \end{vmatrix}+0\begin{vmatrix} 1&0\\3&2 \end{vmatrix} \)
\(=2(0-2)-1(1-3)+0=-4+2+0=-2\neq0\)
\(\therefore \) A^–1யைக் காணஇயலும்.
\(=\left(\begin{array}{ccc} -2 & 2 & 2 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -2 & -1 \end{array}\right)\)
\(\operatorname{adj} A=\left(\begin{array}{ccc} -2 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & -1 \end{array}\right)\)
\({A}^{-1}={{1}\over{|A|}}adj\ A={{-1}\over{2}}\begin{bmatrix} -2&-1&1\\2&2&-2\\2&-1&-1 \end{bmatrix}\)
\(X={A}^{-1}B={{-1}\over{2}}\begin{bmatrix} -2&-1&1\\2&2&-2\\2&-1&-1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 70\\70\\170 \end{bmatrix}={{-1}\over{}2}\begin{bmatrix} -40\\-60\\-100 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 20\\30\\50 \end{bmatrix}\)
x =20,y =30, z =50

32.

33.

\(3 x+5 y-4 z =6000\)
\(2 x-3 y+z =5000 \)
\(-x+4 y+6 z =13000\)
\(\left(\begin{array}{ccc} 3 & 5 & -4 \\ 2 & -3 & 1 \\ -1 & 4 & 6 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 6000 \\ 5000 \\ 13000 \end{array}\right)\)
\(A X=\mathrm{B} \Rightarrow X=A^{-1} B\)
\(\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc} 3 & 5 & -4 \\ 2 & -3 & 1 \\ -1 & 4 & 6 \end{array}\right), X=\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)\)
\(B=\left(\begin{array}{c} 6000 \\ 5000 \\ 13000 \end{array}\right)\)
\(|A|=3(-18-4)-5(12+1)-4(8-3)\)
\(=-66-65-20=-151 \neq 0\)
\(=\left(\begin{array}{ccc} -22 & -13 & 5 \\ -46 & 14 & -17 \\ -7 & -11 & -19 \end{array}\right)\)
\(A^{-1}=\frac{1}{|A|} \text { adj } A=\frac{-1}{151}\left(\begin{array}{ccc} -22 & -13 & 5 \\ -46 & 14 & -17 \\ -7 & -11 & -19 \end{array}\right)^T\)
\(X=\mathrm{A}^{-1} \mathrm{~B}\)
\(=\frac{-1}{151}\left(\begin{array}{ccc} -22 & -46 & -7 \\ -13 & 14 & -11 \\ 5 & -17 & -19 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 6000 \\ 5000 \\ 13000 \end{array}\right)\)
\(=\frac{-1}{151}\left(\begin{array}{ccc} -132000 & -230000 & -91000 \\ -78000 & +70000 & -143000 \\ 30000 & -85000 & -247000 \end{array}\right)\)
\(\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)=\frac{-1}{151}\left(\begin{array}{l} -453000 \\ -151000 \\ -302000 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 3000 \\ 1000 \\ 2000 \end{array}\right)\)
\(x=Rs.3000, \mathrm{y}=Rs.1000, \mathrm{z}=Rs.2000\)