\((\vec{a}+3 \vec{b}) \cdot(2 \vec{a}-\vec{b})=2 \vec{a} \cdot \vec{a}+5 \vec{a} \cdot \vec{b}-3 \vec{b} \cdot \vec{b}\)
\(=2(1+1+4)+5(3+2-2)-3(9+4+1)=-15 \text {. }\)

\(3\hat { i } +4\hat { j } -6\hat { k } \) -ன் திசை விகிதங்கள் 3.4.-6.
திசைக் கொசைன்கள் \(\frac { x }{ r } ,\frac { y }{ r } ,\frac { z }{ r } .\) இங்கு r=\(\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } } \)
எனவே  திசைக் கொசைன்கள் \(\frac { 3 }{ \sqrt { 61 } } ,\frac { 4 }{ \sqrt { 61 } } ,\frac { -6 }{ \sqrt { 61 } } \)  ஆகும் 

(i)

(ii)
 

\(\vec { a } =\hat { i } +\hat { j } +\hat { k } \)
\(\vec { b } =\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \)
∴ \(\vec { a } +\vec { b } =2\hat { i } +3\hat { j } +4\hat { k } \)
\(\vec { a } -\vec { b } =-\hat { j } -2\hat { k } \)
\((\vec { a } +\vec { b } ),(\vec { a } -\vec { b } )\) இவற்றுக்கு செங்குத்தான அலகு வெக்டர் காண
\((\vec { a } +\vec { b } )\times (\vec { a } -\vec { b } )=\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 \end{matrix} \right| \)
=\(\hat { i } (-6+4)-\hat { j } (-4+0)+\hat { k } (-2+0)\)
=\(\vec { i } (-2)+4\vec { j } -2\vec { k } \)
=\(-2\hat { i } +4\hat { j } -2\hat { k } \)
இதன் எண்ணளவு =\(\sqrt { (-2)^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 }+(-2)^{ 2 } } \)
=\(\\ \sqrt { 4+16+4 } =\sqrt { 24 } \)
=\(\\ \sqrt { 4\times 6 } =2\sqrt { 6 } \)
∴ செங்குத்து அலகு வெக்டர் =\(\frac { (\vec { a } +\vec { b } )\times (\vec { a } -\vec { b } ) }{ |(\vec { a } +\vec { b } |\times (\vec { a } -\vec { b } )| } \)
செங்குத்து அலகு வெக்டர்=\(\\ \\ \pm \frac { 1 }{ 2\sqrt { 6 } } (-2\hat { i } +4\hat { j } -2\hat { k } )\)

=\(\pm \frac { (-\hat { i } +2\hat { j } -\hat { k } ) }{ \sqrt { 6 } } \).

LHS=\(\vec { a } \times (\vec { b } +\vec { c } )+\vec { b } \times (\vec { c } +\vec { a } )+\vec { c } \times (\vec { a } +\vec { b } )\)
=\(\vec { a } \times \vec { b } +\vec { a } \times \vec { c } +\vec { b } \times \vec { c } +\vec { b } \times \vec { a } +\vec { c } \times \vec { a } +\vec { c } \times \vec { b } \)
=\(\vec { a } \times \vec { b } +\vec { a } \times \vec { c } +\vec { b } \times \vec { c } -\vec { a } \times \vec { b } -\vec { a } \times \vec { x } -\vec { b } \times \vec { c } \)=RHS
என நிருபிக்கப்பட்டது.

\(\vec { a } \times \vec { b } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 3 & 1 & 4 \\ 1 & -1 & 1 \end{matrix} \right| =\hat { i } (1+4)-\hat { j } (3-4)+\hat { k } (-3-1)=5\hat { i } +\hat { j } -4\hat { k } \)
\( \left| \vec { a } \times \vec { b } \right| =\left| 5\hat { i } +\hat { j } -4\hat { k } \right| =\sqrt { 42 } \)
இணைகரத்தின் பரப்பளவு \(\sqrt { 42 } \) ச.அலகுகள்  

\(\vec { a } \times \vec { b } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ -3 & 4 & -7 \\ 6 & 2 & -3 \end{matrix} \right| =\hat { i } (-12+14)-\hat { j } (9+24)+\hat { k } (-6-24)=2\hat { i } -51\hat { j } -30\hat { k } \)
\(\vec { a } .(\vec { a } \times \vec { b } )=(-3\hat { i } +4\hat { j } -7\hat { k } ).(2\hat { i } -51\hat { j } -30\hat { k } )=-6-204+210=0\)
எனவே,   \(\vec { a } \) மற்றும் \(\vec { a } \times \vec { b } \) ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து 

\(\left| \vec { a } +\vec { b } \right| =\left| \vec { a } -\vec { b } \right|\)
\( \Rightarrow \left| \vec { a } +\vec { b } \right| ^{ 2 }=\left| \vec { a } -\vec { b } \right| ^{ 2 }\)
\( \left| \vec { a } \right| ^{ 2 }+\left| \vec { b } \right| ^{ 2 }+2\vec { a } .\vec { b } =\left| \vec { a } \right| ^{ 2 }+\left| \vec { b } \right| ^{ 2 }-2\vec { a } .\vec { b } \)
\(4\vec { a } .\vec { b } =0\)
\( \vec { a } .\vec { b } =0\)
ஆகவே \(\vec { a } \) மற்றும் \(\vec { b } \) ஆகியவை செங்குத்து ஆகும்.

\(\vec { a } \)-ன் திசையில் உள்ள  ஓரலகு வெக்டர் \(\frac { \vec { a } }{ \left| \vec { a } \right| } \) ஆகும். எனவே, \(5\hat { i } -3\hat { j } +4\hat { k } \)ன் திசையில் ஓரலகு வெக்டர் \(\frac { 5\hat { i } -3\hat { j } +4\hat { k } }{ \left| 5\hat { i } -3\hat { j } +4\hat { k } \right| } =\frac { 5\hat { i } -3\hat { j } +4\hat { k } }{ \sqrt { { 5 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 } } } =\frac { 5\hat { i } -3\hat { j } +4\hat { k } }{ \sqrt { 50 } } \)

\(\vec { a } =2\hat { i } +\hat { j } -\hat { k } \)
\(\vec { b } =\hat { i } +2\hat { j } +\hat { k } \)
\(\vec { a } ,\vec { b } \) வெக்டர்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் θ வைக் காண
\(\vec { a } \times \vec { b } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \)
=\(\hat { i } (1+2)-\hat { j } (2+1)+\hat { k } (4-1)\)
=\(3\hat { i } -3\hat { j } +3\hat { k } =3(\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } )\)
\(|\vec { a } \times \vec { b } |=3\sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 }+(-1)^{ 2 } } =3\sqrt { 3 } \)
\(|\vec { a } |=\sqrt { { 2 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 }+{ (-1) }^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { 4+1+1 } =\sqrt { 6 } \)
\(|\vec { b } |=\sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { 1+4+1 } =\sqrt { 6 } \)
sinθ=\(\frac { |\vec { a } \times \vec { b } | }{ |\vec { a } ||\vec { b } | } =\frac { 3\sqrt { 3 } }{ \sqrt { 6 } \times \sqrt { 6 } } \)

∴ θ=\(\frac { \pi }{ 3 } \).

\(\vec { a } =m(\hat { i } +\hat { j } +\hat { k } )\) என்க.
\(|\vec { a } |=m\sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } =m\sqrt { 3 } \)
\(\vec { a } \) ஓர் அலகு வெக்டராயின் \(|\vec { a } |\)=±1
∴ \(m\sqrt { 3 } \)=±1 ⇒ m=±\(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \).

\(\vec { PO } +\vec { OQ } =\vec { QO } +\vec { OR } \)
⇒ \(\vec { PQ } =\vec { QR } \)
[முக்கோணம் கூட்டல் விதியின்படி]
⇒ \(\vec { PQ } =\vec { QR } \)
(முக்கோணம் கூட்டல் விதியின்படி)
⇒ \(\vec { PQ } =\vec { QR } \)-ல் நடுப்புள்ளி, பொதுப்புள்ளி
∴ P, Q, R ஒரே கோட்டில் அமையும் புள்ளிகள்.

நாற்கரம் ABCD-யின் முனைகள் A, B, C, D-யின் நிலைவெக்டர்கள்.
OA=\(\vec { a } ,\vec { OB } =\vec { b } ,\vec { OC } =\vec { c } ,\vec { OD } =\vec { d } \) என்க.
என்பன நான்கு அடுத்தடுத்த பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள்.
\(\vec { OP } =\frac { \vec { a } +\vec { b } }{ 2 } ,\vec { OQ } =\frac { \vec { b } +\vec { c } }{ 2 } ,\vec { OR } =\frac { \vec { c } +\vec { d } }{ 2 } \)
\(\vec { OS } =\frac { \vec { a } +\vec { d } }{ 2 } \)
\(\vec { PQ } =\vec { OQ } -\vec { OP } =\frac { \vec { b } +\vec { c } }{ 2 } -\frac { \vec { a } +\vec { b } }{ 2 } \)

\(\vec { RS } =\vec { OS } -\vec { OR } =\frac { \vec { a } +\vec { d } }{ 2 } -\frac { \vec { c } +\vec { d } }{ 2 } \)

∴ \(\vec { SR } =\frac { \vec { c } -\vec { a } }{ 2 } =\vec { PQ } \)
\(\vec { PQ } =1\vec { SR } \Rightarrow \vec { PQ } ||\vec { SR } \)
∴ PQRS ஓர் இணைகரம் என்பது நிருபிக்கப்பட்டது.

O-ஐ ஆதிபுள்ளியாகக் கொண்டு A,B,C என்ற புள்ளிகளின்  நிலை வெக்டர்கள்   \(2\hat { i } +4\hat { j } +3\hat { k } ,4\hat { i } +\hat { j } +9\hat { k } ,10\hat { i } -\hat { j } +6\hat { k } \quad \) என்க.
 \(\overline { OA } =2\hat { i } +4\hat { j } +3\hat { k } ,\overline { OB } =4\hat { i } +\hat { j } +9\hat { k } \ \overline { OC } =10\hat { i } -\hat { j } +6\hat { k } \)
\(\overline { AB } =\overline { OB } -\overline { OA } =(4\hat { i } +\hat { j } +9\hat { k } )-(2\hat { i } +4\hat { j } +3\hat { k } )=2\hat { i } -3\hat { j } +6\hat { k }\)
\(AB=\left| \overline { AB } \right| =\sqrt { { 2 }^{ 2 }+{ (-3) }^{ 2 }+{ 6 }^{ 2 } } =\sqrt { 4+9+36 } =7\)
\(\overline { BC } =\overline { OC } -\overline { OB } =(10\hat { i } -\hat { j } +6\hat { k } )-(4\hat { i } +\hat { j } +9\hat { k } )=6\hat { i } -2\hat { j } -3\hat { k }\)
\(BC=\left| \overline { BC } \right| =\sqrt { { 6 }^{ 2 }+{ (-2) }^{ 2 }+{ (-3) }^{ 2 } } =\sqrt { 36+4+9 } =7\)
\(\overline { CA } =\overline { OA } -\overline { OC } =(2\hat { i } +4\hat { j } +3\hat { k } )-(10\hat { i } -\hat { j } +6\hat { k } )=-8\hat { i } +5\hat { j } -3\hat { k } \)
\(CA=\left| \overline { CA } \right| =\sqrt { { (-8) }^{ 2 }+{ 5 }^{ 2 }+{ (-3) }^{ 2 } } =\sqrt { 64+24+9 } =\sqrt { 98 } \)
\({ BC }^{ 2 }=49,{ CA }^{ 2 }=98.{ AB }^{ 2 }=49\)
அதாவது \({ CA }^{ 2 }={ BC }^{ 2 }+{ AB }^{ 2 }.\)
எனவே கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தினை அமைக்கும் .