LHS =log 2+16 log \(\frac { 16 }{ 15 } +12\log\frac { 25 }{ 24 } +7\log\frac { 81 }{ 80 } =1\)
\(=\log2\times \log(\frac { 16 }{ 15 } )^{ 16 }+\log(\frac { 25 }{ 24 } )^{ 12 }+\log(\frac { 81 }{ 80 } )^{ 7 }\)
\(=\log2\times [\frac { (2^{ 4 })^{ 16 } }{ (3\times 5)^{ 16 } } ]\times [\frac { (5^{ 2 })^{ 12 } }{ (2^{ 3 }\times 3)^{ 12 } } ]\times [\frac { (3^{ 4 })^{ 7 } }{ (2^{ 4 }\times 5)^{ 7 } } ]\)\([\because ({ a }^{ m })^{ n }=a^{ mn }]\)
\(=\log2\times [\frac { { 2 }^{ 64 } }{ { 3 }^{ 16 }\times { 5 }^{ 16 } } ][\frac { { 5 }^{ 24 } }{ { 2 }^{ 36 }\times { 3 }^{ 12 } } ][\frac { { 3 }^{ 28 } }{ { 2 }^{ 28 }\times { 5 }^{ 7 } } ]\)

\(=\log{ 2 }^{ 1 }\times { 5 }^{ 1 }={ \log }_{ 10 }^{ 10 }\) =1= RHS எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

2x +3y =6  x +4y =4
\(\Rightarrow 3y=6-2x\quad \Rightarrow 4y=4-x\)
\(\Rightarrow y=\frac { 6-2x }{ 3 } \quad \Rightarrow y=\frac { 4-x }{ 4 } \)

\(x\ge 0,y\ge 0\)  முதல் கால் பகுதியைக் குறிக்கும்.

OABC -ன் நிழலிட்ட பகுதி தேவையான தீர்வாகும்.

x²- ax +b = 0 ...(1) கொடுக்கப்பட்டுள்ள சமன்பாடுகள் 
 x² - ex +  f= 0 ...(2)
\(\alpha \) என்பது பொதுவான மூலம் என்க.
\(\alpha ,\beta \) என்பன (1) ன் மூலங்கள் என்க.
\(\therefore \alpha +\beta =\frac { -b }{ \alpha } =\frac { -(-a) }{ 1 } =a\)
\(\alpha \beta =\frac { c }{ \alpha } =\frac { b }{ 1 } =b;1=\frac { c }{ a } \)
\(\alpha ,\alpha \) என்பன (2) ன் மூலங்கள் எனில் 
x² - ex +f  = 0
\(\alpha +\alpha =e\Rightarrow 2\alpha =e\)
\({ \alpha }^{ 2 }=f\)
நிரூபிக்க வேண்டியது ae = 2(b+ f)
\(\therefore L.H.S=ae\)
\(=(\alpha +\beta )(2\alpha )\)
\(ae={ 2\alpha }^{ 2 }+2\alpha \beta \)
= 2f + 2b 
=2 (b + f) ....R.H.S
\(\therefore \) எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.    

ஒரு மூலம் மற்றதைப்போல்  3 மடங்கு எனில் \(\alpha ,3\alpha \) என்பன இரு மூலங்கள்
\(\alpha +3\alpha =\frac { -b }{ a } \)
\(\Rightarrow 4\alpha =\frac { -b }{ a } \)
\(\Rightarrow \alpha =\frac { -b }{ 4a } .....(1)\)
\(\alpha (3\alpha )=\frac { c }{ a } \)
\({ 3\alpha }^{ 2 }=\frac { c }{ a } \)
\({ \alpha }^{ 2 }=\frac { c }{ 3a } .......(2)\)
(1) ஐ (2) - ல் பிரதியிட 
\(\left( \frac { -b }{ 4a } \right) ^{ 2 }=\frac { c }{ 3a } \)
\(\frac { { +b }^{ 2 } }{ 16{ a }^{ 2 } } =\frac { c }{ 3a } \)
\(\frac { { b }^{ 2 } }{ 16{ a } } =\frac { c }{ 3 } \)
3b² = 16ac இதுவே தேவையான கட்டுப்பாடு ஆகும்.

2x²-(a+1)x+a-1 = 0
\(\alpha ,\beta \) என்பன மூலங்கள் என்க.
\(\alpha -\beta =\alpha \beta \)
\(\alpha -\beta =\frac { a-1 }{ 2 } ......(1)\)
\(\alpha +\beta =\frac { a+1 }{ 2 } ....(2)\)
\((1)+(2)\Rightarrow 2\alpha =\frac { a-1 }{ 2 } +\frac { a+1 }{ 2 } \quad \)
\(2\alpha =\frac { 2a }{ 2 } =a\)
\(\boxed { \alpha =\frac { a }{ 2 } } \)
\(\alpha =\frac { a }{ 2 } \) ஐ (2)- பிரதியிட
\(\frac { \alpha }{ 2 } +\beta =\frac { a+1 }{ 2 } \)
\(\beta =\frac { a+1 }{ 2 } -\frac { \alpha }{ 2 } =\frac { 1 }{ 2 } \)
\(\alpha =\frac { \alpha }{ 2 } ,\beta =\frac { 1 }{ 2 } \) இவற்றை \(\alpha -\beta =\alpha \beta \) ல் பிரதியிட
\(\Rightarrow \frac { a }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2 } =\frac { a }{ 2 } \times \frac { 1 }{ 2 } \Rightarrow \frac { a-1 }{ 2 } =\frac { a }{ 4 } \)
\(\Rightarrow a-1=\frac { a }{ 2 } \Rightarrow 2a-2=a\Rightarrow a-2=0\Rightarrow a=2\)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.