X,Y\(\in \)N
தற்சுட்டு:
x R x \(\Rightarrow x+2x=1 \Rightarrow 3x=1\)
\(\Rightarrow x={1\over3}\notin N\)
\(\therefore R\)  என்பது தற்சுட்டு தொடர்பு அல்ல.
சமச்சீர் தொடர்பு:
x R x \(\Rightarrow\) y R x, x, y\(\in\) N
\(\begin{matrix} xRy\Rightarrow x+2y=1 \\ yRx\Rightarrow y+2x=1 \end{matrix}\} \) இது x,y -ன் வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கு பொருந்தாது.
\(\therefore R\) ஒரு சமச்சீர் அல்ல.
கடப்புத்  தொடர்பு: 
x R y,y R z\(\Rightarrow\) x R z
x R y, y R z, x, y, z\(\in\)N மதிப்புகளுக்கு பொருந்தாது.
\(\therefore R\) ஒரு கடப்புத் தொடர்பு அல்ல.
\(\Rightarrow\) R என்பது தற்சுட்டுத் தொடர்பும் அல்ல.
சமச்சீர் தொடர்பும் அல்ல.
கடப்புத் தொடர்பும் அல்ல.

(i) (3, 3) என்பது ρ-ல் இல்லை என்பதால் ρ ஆனது தற்சுட்டு அல்ல (1,1) மற்றும் (2,2) ஆகியவை ρ-ல்  இருப்பதால் ρ -ஐ தற்சுட்டாக உருவாக்க (3,3)உறுப்பினை மட்டும் சேர்த்தால் போதுமானது.
(ii) ρ ஆனது சமச்சீர் அல்ல. ஏனெனில் (1, 2) என்பது ρ -ல் உள்ளது. ஆனால் (2, 1) என்பது ρ -ல் இல்லை. ρ -ஐ சமச்சீராக உருவாக்க (2, 1) என்ற உறுப்பினை மட்டும் சேர்த்தால் போதுமானது. (1, 2) என்ற உறுப்பினை ρ விலிருந்து நீக்கியும் ρ -ஐ சமச்சீராக உருவாக்க இயலும்.
(iii) ρ ஆனது கடப்பு தொடர்பு அல்ல. ஏனெனில் (3, 1) மற்றும் (1, 3) ஆகியவை ρ -ல் உள்ளன. ஆனால் (3, 3) ஆனது ρ -ல் இல்லை. ρ -ஐ கடப்பு தொடர்பாக  உருவாக்க (3, 3)ஐ சேர்க்க வேண்டும். அவ்வாறு சேர்த்த பின்னரும் தொடர்பானது கடப்புத் தொடர்பாக  இல்லை. ஏனெனில் (3, 1) மற்றும் (1, 2) ஆகியவை ρ -ல் உள்ளன. ஆனால் (3, 2) என்பது ρ -ல் இல்லை. எனவே ρ -ஐ கடப்பு தொடர்பாக  உருவாக்க (3, 2) -ஐ ρ -ல் சேர்க்க வேண்டும். இப்பொழுது இது கடப்பு தொடர்பாக  மாறும். எனவே ρ -ஐ கடப்பு தொடர்பாக  உருவாக்க (3, 3) மற்றும் (3, 2) ஆகியவற்றைச் சேர்க்க வேண்டும். ஆனால் (3, 1)ஐ நீக்கிவிட்டால் கடப்புத் தொடர்பாக  மாறிவிடும்.
(iv)இவ்வாறாக,
ρ -ஐ தற்சுட்டாக உருவாக்க (3, 3) -ஐ நாம் சேர்க்க வேண்டும்.
ρ -ஐ சமச்சீராக உருவாக்க (2, 1) -ஐ நாம் சேர்க்க வேண்டும்.
ρ -ஐ கடப்பு தொடர்பாக உருவாக்க (3, 3) மற்றும் (3, 2) -ஐ சேர்க்க வேண்டும் எனக் கண்டறிந்தோம்.
சமானத் தொடர்பாக ρ -ஐ உருவாக்க மேற்கண்ட உறுப்புகளை நாம் சேர்க்க வேண்டும்.
இந்த உறுப்புகளைச் சேர்த்தபிறகு தொடர்பானது.
{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,2),(2,3)} என அமையும்.
இந்தத் தொடர்பானது  தற்சுட்டு, சமச்சீர் மற்றும் கடப்பு தொடர்பு எனக் கண்டறியலாம். இதனால் இது சமானத் தொடர்பாகும் . எனவே சமானத் தொடர்பை உருவாக்க (3,3), (2, 1), (3, 2)மற்றும் (2, 3) ஆகியவற்றை ρ -ல் சேர்க்க வேண்டும்.