மெய்மை அட்டவணையிலிருந்து 
\(\neg p\) மற்றும் \(\neg \left( p\vee q \right) \vee \left( \neg p\wedge q \right) \) என்பன தர்க்க சமமானவை என்பது தெளிவு.
அதாவது \(\neg (p\vee q)\vee \left( \neg p\wedge q \right) =\neg p\)

1) கொடுக்கப்பட்ட சார்பின் சார்பகம் 
\(\left( -\infty ,-2 \right) \cup \left( -2,2 \right) \cup \left( 2,\infty \right) \) 
அதாவது \(x<-2\) (அல்லது) -2 < x <2.
2) f(x)ன் வீச்சகம் \(\left( -\infty ,-\frac { 1 }{ 4 } \right) \cup \left( 1,\infty \right) \) 
அதாவது,\(f(x)\le -\cfrac { 1 }{ 4 } \) (அல்லது) f (x)>1.
3) y=0 எனப் பிரதியிட,'x' என்பது மெய் அல்ல.
எனவே,x-வெட்டுத்துண்டு கிடையாது.x=0 எனப் பிரதியிட,நாம் பெறுவது 
\(y=-\cfrac { 1 }{ 4 } \) , \(\therefore\)  y வெட்டுத்துண்டு \(\left( 0,-\cfrac { 1 }{ 4 } \right) \) 
4) \(f'\left( x \right) =\cfrac { 10x }{ \left( { x }^{ 2 }-4 \right) ^{ 2 } } \) 

  \(f'\left( x \right) =0\Rightarrow x=0\) .
 \(\therefore\) நிலை எண்கள் x=0ல் உள்ளது.
5) \(f''\left( x \right) =\cfrac { 10\left( { x }^{ 2 }-4 \right) \left( { 3x }^{ 2 }+4 \right) }{ \left( { x }^{ 2 }-4 \right) ^{ 4 } } \) 
   \(f''\left( 0 \right) =-\cfrac { 5 }{ 8 } <0,\therefore x=0\) ல் f(x) பெருமமாகிறது.
எனவே, இடஞ்சார்ந்த பெரும மதிப்பு \(f(0)=-\cfrac { 1 }{ 4 } \) .
6) வளைவரைக்கு,வளைவு மாற்றப் புள்ளிகள் கிடையாது.
7) \(x=\pm 2\) எனும்போது,\(y=\infty \) 
\(\therefore x=2\) மற்றும் x = - 2 என்பன நிலைக்குத்துத் தொலைத் தொடுகோடுகள் மற்றும் y=1 என்பது கிடைமட்டத் தொலைத் தொடுகோடாகும்.

ஒரு தர்பூசணி,நீள்வட்டத் திண்ம வடிவைக் கொண்டுள்ளது.

2a=20
a=10
2b=10
b=5
நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\) 
\(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 100 } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 25 } =1\) 
\(\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 25 } =1-\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 100 } \) 
= \(\cfrac { 100-{ x }^{ 2 } }{ 100 } \) 
= \({ y }^{ 2 }=\cfrac { 25 }{ 100 } \left( 100-{ x }^{ 2 } \right) \) 
= \(2\pi \int _{ 0 }^{ 10 }{ { y }^{ 2 }dx } \) 
= \(\cfrac { 2\pi }{ 4 } \int _{ 0 }^{ 10 }{ { y }^{ 2 }dx } \) 
= \(\cfrac { 2\pi }{ 4 } \int _{ 0 }^{ 10 }{ \left( 100-{ x }^{ 2 } \right) dx } \) 
= \(\cfrac { 2\pi }{ 4 } \left[ 100x-\cfrac { { x }^{ 3 } }{ 2 } \right] _{ 0 }^{ 10 }\) 
= \(\cfrac { 2\pi }{ 4 } \times \cfrac { 2000 }{ 3 } \) 
= \(\cfrac { 2\pi }{ 4 } \times \cfrac { 2000 }{ 3 } \) 
ஃ தர்பூசணியின் கன அளவு  \(\cfrac { 1000\pi }{ 3 } \) கன அலகுகள் 

T என்பது t நேரத்தில் காபியின் வெப்பநிலை மற்றும் T_k என்பது சமையல் அறையின் வெப்பநிலை என்க.
நியூட்டனின் குளிர்ச்சியடையும் விதிப்படி 
\(\cfrac { dT }{ dt } =k\left( T-{ T }_{ k } \right) \) 
கொடுக்கப்பட்டது:
\({ T }_{ k }=70\) 
\(\cfrac { dT }{ dt } =k\left( T-70 \right) \) 
சமன்பாட்டை \(\cfrac { dT }{ T-70 } =kdt\) என எழுதலாம்.
இருபுறமும் தொகையிடக் கிடைப்பது 
\(\int { \cfrac { dT }{ T-70 } } =\int { kdt } \) 
\(log\left( T-70 \right) =kt+logc\) 
\(log(T-70)-logc=kt\) 
\(log\left( \cfrac { T-70 }{ C } \right) =kt\) 
\(\cfrac { T-70 }{ c } =kt\) 
\(T-70={ ce }^{ kt }\) 
\(T={ ce }^{ kt }+70\) ...(1)
தொடக்கக் கட்டப்பாடு:
t=0 எனும்போது  \(T=80^{ 0 }F\) 
\(180={ ce }^{ k(0) }+70\) 
\(180-70=c\) 
\(\therefore c={ 110 }^{ o }\) 
c ன் மதிப்பை சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது 
\(T={ ce }^{ +kr }+70\) 
\(T=110{ e }^{ kr }+70\) 
இரண்டாவது கட்டுப்பாடு:
t=10 எனும்போது  \(T=160\) 
\((2)\Rightarrow 160=110{ e }^{ 10k }+70\) 
\(160-70=110e^{ 10k }\) 
\(\cfrac { 90 }{ 110 } ={ e }^{ k }\) 
\(\cfrac { 9 }{ 11 } ={ e }^{ 10k }\) 
\({ e }^{ k }=\left( \cfrac { 9 }{ 11 } \right) ^{ \frac { 1 }{ 10 } }\) 
பெண்மணியின் காபியின் வெப்பநிலை 130^oF க்கும் 140^oக்கும் இடைப்பட்டதாக இருக்கும்போது அதை அருந்த விரும்புகிறார்.
\((a)T=130^{ o }F\) எனும்போது 
\((2)\Rightarrow T=110{ e }^{ kt }+70\) 
\(130-70={ 110 }e^{ kt }\) 
\(\cfrac { 60 }{ 110 } ={ e }^{ kt }\) 
\(\cfrac { 6 }{ 11 } ={ e }^{ kt }\) 
\({ e }^{ kt }=\cfrac { 6 }{ 11 } \) 
\(\left( \cfrac { 9 }{ 11 } \right) ^{ \frac { t }{ 10 } }=\cfrac { 6 }{ 11 } \) 
இருபுறமும் மடக்கை எடுக்கக் கிடைப்பது 
\(log\left( \cfrac { 9 }{ 11 } \right) ^{ \frac { t }{ 10 } }=log\cfrac { 6 }{ 11 } \) 
\(\cfrac { t }{ 10 } log\left( \cfrac { 9 }{ 11 } \right) =log\cfrac { 6 }{ 11 } \) 
\(\cfrac { t }{ 10 } =\cfrac { log\left( \frac { 6 }{ 11 } \right) }{ log\left( \frac { 9 }{ 11 } \right) } \) 
\(\cfrac { t }{ 10 } =\cfrac { log\left( 0.545 \right) }{ log\left( 0.818 \right) } =\cfrac { -0.264 }{ -0.087 } =3.0345\) 
\(t=10\times 3.3045\) 
= 30.345
\(\\ (b)T=140^{ 0 }\) எனும்போது 
\((2)\Rightarrow T={ 110 }e^{ kt }+70\) 
\(140-70=110{ e }^{ kt }\) 
\(\cfrac { 70 }{ 110 } ={ e }^{ kt }\) 
\(\cfrac { 7 }{ 11 } ={ e }^{ kt }\) 
\({ e }^{ kt }=\cfrac { 7 }{ 11 } \) 
\(\left( \cfrac { 9 }{ 11 } \right) ^{ \cfrac { t }{ 10 } }=log\cfrac { 7 }{ 11 } \) 
இருபுறமும் மடக்கை எடுக்கக் கிடைப்பது 
 \(\cfrac { t }{ 10 } log\left( \cfrac { 9 }{ 11 } \right) =log\cfrac { 7 }{ 11 } \) 
\(\cfrac { t }{ 10 } =\cfrac { log\left( \frac { 7 }{ 11 } \right) }{ log\frac { 9 }{ 11 } } =\cfrac { -0.197 }{ -0.087 } =2.264\) 
\(t=10\times 2.264\) 
\(t=22.6\)  நிமிடங்கள் 
அப்பெண்மணி காபியை காலை 10.22 லிருந்து 10.30க்குள் அருந்த வேண்டும்.

P என்பது நகரத்தின் மக்கள் தொகையைக் குறிக்கப்படும்.
கொடுக்கப்பட்டது \(log\left( \cfrac { P }{ c } \right) =kt\) 
இச்சமன்பாட்டை \(\cfrac { dP }{ dt } =kP\) எனுமாறு எழுதலாம்.
இருபுறமும் தொகையிடக் கிடைப்பது 
\(\int { \cfrac { dp }{ p } } =k\int { dt } \) 
\(logP=kt+logc\) 
\(logP-logc=kt\) 
\(log\left( \cfrac { P }{ c } \right) =kt\) 
\(\cfrac { p }{ c } ={ e }^{ kt }\) 
\(P={ ce }^{ kt }\) ..(1) 
தொடக்கக் கட்டுப்பாடு 
கொடுக்கப்பட்டது \(t=0\) ;\(P=3,00,000\) 
சமன்பாடு \(3,00,000={ cc }^{ k(o) }\)என்று மாறுகிறது. 
= \({ ce }^{ 0 }\) 
\(3,00,000=c\) 
\(\therefore (1)\Rightarrow P=3,00,000{ e }^{ kt }\) 
மேலும் t=40 எனும்போது P=4,00,000
சமன்பாடு (2),\(\therefore (1)\Rightarrow P=3,00,000{ e }^{ kt }\) என மாறுகிறது.
\(\cfrac { 4,00,000 }{ 3,00,000 } ={ e }^{ 40k }\) 
\(\cfrac { 4 }{ 3 } ={ e }^{ 40k }\) 
மடக்கை எடுக்க,
\(log\left( \cfrac { 4 }{ 3 } \right) =40k\) 
\(k=\cfrac { 1 }{ 40 } log\cfrac { 4 }{ 3 } \) 
\(k=log\left( \cfrac { 4 }{ 3 } \right) ^{ \frac { 1 }{ 40 } }\left[ \because nlogm=log{ m }^{ n } \right] \) 
k ன் மதிப்பை சமன்பாடு (2) ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது.
 \(P=3,00,000{ e }^{ log\left( \cfrac { 4 }{ 3 } \right) ^{ \frac { t }{ 40 } } }\)
\(P=3,00,000\left( \cfrac { 4 }{ 3 } \right) ^{ \frac { t }{ 40 } }\left[ \because { e }^{ loga{ ^{ x } } }=a^{ x } \right] \)

\(\cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { xy }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \) என்ற வடிவில் உள்ளது.
இது ஒரு சமப்படித்தான வகைக்கெழுச் சமன்பாடு 
\(y=vx\) 
\(\cfrac { dy }{ dx } =v(1)+x\cfrac { dv }{ dx } \) 
\(\cfrac { dy }{ dx } =v+x\cfrac { dv }{ dx } \)
சமன்பாடு(1),
\(v+x\cfrac { dv }{ dx } =\cfrac { x(vx) }{ { x }^{ 2 }+\left( vx \right) ^{ 2 } } =\cfrac { { x }^{ 2 }v }{ { x }^{ 2 }\left[ 1+{ v }^{ 2 } \right] } \) 
எனுமாறு மாறுகிறது.
\(x\cfrac { dv }{ dx } =\cfrac { v }{ 1+{ v }^{ 2 } } -v\\ x\cfrac { dv }{ dx } =\cfrac { v-v-{ v }^{ 3 } }{ 1+{ v }^{ 2 } } \\ x\cfrac { dx }{ dv } =\cfrac { -{ v }^{ 3 } }{ 1+{ v }^{ 2 } } \\ \cfrac { \left( 1+{ v }^{ 2 } \right) dv }{ { v }^{ 3 } } =\cfrac { -dx }{ x } \\ \cfrac { 1 }{ { v }^{ 3 } } dv+\cfrac { { v }^{ 2 } }{ { v }^{ 3 } } dv=-\int { \cfrac { dx }{ x } } \\ \int { { v }^{ -3 }dv } +\int { \cfrac { 1 }{ v } dv } =-\int { \cfrac { dx }{ x } } \\ \cfrac { { v }^{ -2 } }{ -2 } +logv=-logx+logc\) 
\(\cfrac { 1 }{ 2{ v }^{ 2 } } =logx-logc+logv\\ \cfrac { 1 }{ 2v^{ 2 } } =log\cfrac { vx }{ c } \\ \therefore y=vx\Rightarrow v=y/x\\ \therefore \cfrac { { x }^{ 2 } }{ { 2y }^{ 2 } } =log\cfrac { y }{ c } \\ { e }^{ \frac { x^{ 2 } }{ { 2y }^{ 2 } } }=\cfrac { y }{ c } \\ \Rightarrow y={ ce }^{ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2y^{ 2 } } }\) 
கொடுக்கப்பட்டது y(1)=1
அதாவது x=1 எனும்போது y=1
\((2)\Rightarrow 1={ Ce }^{ \frac { 1 }{ 2 } }\\ \Rightarrow 1={ Ce }^{ \frac { 1 }{ 2 } }\\ C=\cfrac { 1 }{ \sqrt { e } } \) 
சமன்பாடு (2) \(y=\cfrac { 1 }{ \sqrt { e } } { e }^{ \frac { { x }^{ 2 } }{ { 2 }{ y }^{ 2 } } }\) என மாறுகிறது.
மேலும் கொடுக்கப்பட்டது \(y({ x }_{ 0 })=e\) 
அதாவது \(\\ x={ x }_{ 0 }\) எனில் y=e 
\(\therefore e=\cfrac { 1 }{ \sqrt { e } } { e }^{ \frac { { x }_{ 0 }^{ 2 } }{ { e }^{ 2e^{ 2 } } } }\) 
\(e\sqrt { e } ={ e }^{ \frac { { x }_{ 0 }^{ 2 } }{ { e }^{ { 2e }^{ 2 } } } }\\ loge\sqrt { e } =\cfrac { { x }_{ 0 }^{ 2 } }{ { 2e }^{ 2 } } \\ log{ e }^{ 3/2 }=\cfrac { { x }_{ 0 }^{ 2 } }{ { 2e }^{ 2 } } \\ { loge }^{ 3/2 }=\cfrac { { x }_{ 0 }^{ 2 } }{ { 2e }^{ 2 } } \\ \cfrac { 3 }{ 2 } =\cfrac { { x }_{ 0 }^{ 2 } }{ { 2e }^{ 2 } } \\ { x }_{ 0 }^{ 2 }=3{ e }^{ 2 }\\ { x }_{ 0 }=\pm \sqrt { 3 } .e\)

\(\left( 1+3{ e }^{ \frac { y }{ x } } \right) dy+3{ e }^{ \frac { y }{ x } }\left( 1-\frac { y }{ x } \right) dx=0,\ x=1\) எனில் y = 0
\(\Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { -3{ e }^{ \frac { y }{ x } }\left( 1-\frac { y }{ x } \right) }{ 1+3{ e }^{ \frac { y }{ x } } } ...(1)\)
\(\therefore y=vx\Rightarrow \frac { dy }{ dx } =v+x\frac { dv }{ dx } \)
\(v+x\frac { dv }{ dx } =\frac { -3{ e }^{ v }(1-v) }{ 1+3{ e }^{ v } } \)
\(\Rightarrow x\frac { dv }{ dx } =\frac { -3{ e }^{ v }(1-v) }{ 1+3{ e }^{ v } } -v\)

\(=\frac { -3{ e }^{ v }-v }{ 1+3{ e }^{ v } } =-\left( \frac { -3{ e }^{ v }+v }{ 1+3{ e }^{ v } } \right) \)
\(\frac { 1+3{ e }^{ v } }{ 3{ e }^{ v }+v } dv=-\frac { dx }{ x } \)
\(\Rightarrow log(3{ e }^{ v }+v)=-log\quad x+log\quad c\)
\(\Rightarrow log(3{ e }^{ v }+v)=log\left( \frac { c }{ x } \right) \Rightarrow { 3e }^{ v }+v=\frac { c }{ x } \)
\({ 3e }^{ \frac { y }{ x } }+\frac { y }{ x } =\frac { c }{ x } \)
\(\Rightarrow \frac { 3x{ e }^{ \frac { y }{ x } }+y }{ x } =\frac { c }{ x } \)
\(\Rightarrow y+3x{ e }^{ \frac { y }{ x } }=c\)
y = 0 எனில் x = 1
3(1)e⁰+ 0 = c \(\Rightarrow\) c = 3
\(\therefore\)  3x\({ e }^{ \frac { y }{ x } }\)+ y = 3

கொடுக்கப்பட்ட வளைவரை 
\(2+x-{ x }^{ 2 }+y=0\) 
\(y={ x }^{ 2 }-x-2\) 
\(y=\left( x-2 \right) \left( x+1 \right) \) 

தேவையான பரப்பு 
= \(\int _{ -3 }^{ -1 }{ \left( { x }^{ 2 }-x-2 \right) dx+\left| \int _{ -1 }^{ 2 }{ \left( { x }^{ 2 }x-2 \right) dx } \right| } +\int _{ 2 }^{ 3 }{ \left( { x }^{ 2 }-x-2 \right) } dx\) 
= \(\left[ \cfrac { { x }^{ 3 } }{ 3 } -\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } -2x \right] _{ -3 }^{ -1 }+\left| \left[ \cfrac { { x }^{ 3 } }{ 3 } -\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } -2x \right] _{ -1 }^{ 2 } \right| +\left[ \cfrac { { x }^{ 3 } }{ 3 } -\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } -2x \right] _{ 2 }^{ 3 }\)
= \(\left[ -\cfrac { 1 }{ 3 } -\cfrac { 1 }{ 2 } +2+9+\cfrac { 9 }{ 2 } -6 \right] \) 
= \(\left| \left[ \cfrac { 8 }{ 3 } -\cfrac { 4 }{ 2 } -4+\cfrac { 1 }{ 3 } +\cfrac { 1 }{ 2 } -2 \right] \right| +\left[ \cfrac { 27 }{ 3 } -\cfrac { 9 }{ 2 } -6-\cfrac { 8 }{ 3 } +\cfrac { 4 }{ 2 } +4 \right] \) 
= \(\cfrac { 26 }{ 3 } +\cfrac { 9 }{ 2 } +\cfrac { 11 }{ 6 } \) 
= \(\cfrac { 52+27+11 }{ 6 } \) 
= \(\cfrac { 90 }{ 6 } =15\)

\(\underset { x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \lim } { x }^{ x }\) [0^o தேரப்பெறா வடிவம் 
g(x)=x^x என்க.
இருபுறமும் மடக்கை எடுக்க,
\(\log g(x)={ \log x }^{ x }\) 
log g(x) = x log x 
\(\underset { x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \lim } \log g(x)=\underset { x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \lim } x\log x\) [0 X \(\infty\) தேரப்பெறா வடிவம் 
= \(\underset { x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \lim } \cfrac { \log x }{ \frac { 1 }{ x } } \) [\(\cfrac { \infty }{ \infty } \) தேரப்பெறா வடிவம்
லோபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்த,
= \(\underset { x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \lim } \cfrac { \frac { 1 }{ x } }{ -\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } } \) 
= \(\underset { x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \lim } (-x)=0\) 
அடுக்கைச் சார்பாக மாற்ற 
\(\underset { x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \lim } g\left( x \right) ={ e }^{ 0 }=1\)

சிறிய பகுதியின் பரப்பு  படம் -ல்  நிழலிடப்பட்டுள்ளது.  இங்கு < 0 < h < a  வட்டம்  x -அச்சைப்  பொருத்து சமச்சீராக இருப்பதால் சிறிய பகுதியின் பரப்பு.

A = 2 \(\int ^{a}_{h} \sqrt {{a^2}-{x^2}} dx\) = 2 \([\frac {x \sqrt {a^2 - x^2}}{2} + \frac {a^2}{2} sin ^{-1} (\frac {x}{a})]^a_b\)
= 2  \([0+\frac {a^2}{2} sin^{-1} (1)]\) - 2 \([ \frac {h \sqrt {a^{2} -h^{2} }} {2} + \frac{a^2}{2} sin ^{-1}( \frac {h}{a})]\) 
= \( a^2 (\frac {\pi}{2}) - h \sqrt {{a^2}-{h^2}} - a^2 sin^{-1} (\frac{h}{a})\) 
=  \(a ^2 [\frac {\pi}{2} - sin ^{-1} \frac {h}{a}] - h \sqrt {{a^2}-{h^2}}\)
=  \(a^2 cos^{-1} (\frac{h}{a}) - h \sqrt{{a^2}-{h^2}}\)

X என்பது ஒரு தனிநிலை சமவாய்ப்பு மாறி என்பதால், கொடுக்கப்பட்ட  தகவல்களிலிருந்து, X பின்வரும் மதிப்புகளான −2,−1,0 மற்றும் 1 ஆகியவற்றைப் பெறும்.
வரையறைப்படி தனிநிலை சமவாய்ப்பு மாறி X-க்கு, f(x)=P(X = x)
எனவே F(x)-இன் x = −2-ல் இடப்பக்க எல்லை F(− 2^-) ஆகும்.
f(-2) = P(X =-2) = F(-2)-F(-2^-) = 0.25-0 = 0.25.
இதே போன்று ஏனைய துள்ளல் புள்ளிகளுக்கும்,
f(-1) = P(X =-1) = F(-1)-F(-2) = 0.60-0.25 = 0.35.
f(0) = P(X =0) = F(0)-F(-1) = 0.90-0.60 = 0.30.
f(1) = P(X =1) = F(1)-F(0) = 1-0.90 = 0.10. எனப் பெறப்படுகிறது.
எனவே நிகழ்தகவு நிறை சார்பானது

ஆகும்.
F(x) எனும் பரவல் சார்பிற்கு x = -2, -1,0, மற்றும் 1-ல் துள்ளல்கள் உள்ளன. அந்த துள்ளல்கள் முறையே , 0.25, 0.35, 0.30, மற்றும் 0.1 என கீழ்க்காணும் படத்தில் காண்பிக்கப்பட்டுள்ளது.
இந்த துள்ளல்களே நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பினைத் தீர்மானிக்கின்றன.


(i) \(P(X< 0)=\sum _{ -\infty }^{ -1 }{ { P(X={ x }) }={ P(X=-2) }+P(X=-1)=0.25+0.35=0.60} .\)
(ii) \(P(X\ge -1)=\sum _{ -1 }^{ 1 }{ { P(X={ x }) }={ P(X=-1) }+P(X=0)+P(X=1)=0.35+0.30+0.10=0.75} .\)

படத்திலிருந்து,\(\cfrac { r }{ h } =\cfrac { 5 }{ 12 } \) \(\Rightarrow\) \(r=\cfrac { 5h }{ 12 } \) 
கொடுக்கப்பட்ட கன அளவின் மாறுவீதம் \(\cfrac { dv }{ dt } =10\) 
h=8 எனும்போது \(\cfrac { dh }{ dt } \) ஐக் காண வேண்டும்
கூம்பின் கன அளவு \(V=\cfrac { 1 }{ 3 } { \pi r }^{ 2 }\)h 
\(V=\cfrac { \pi }{ 3 } \left( \cfrac { 5h }{ 12 } \right) ^{ 2 }h\) 
\(V=\cfrac { \pi }{ 3 } \left( \cfrac { 25{ h }^{ 3 } }{ 144 } \right) =\cfrac { 25\pi }{ 432 } { h }^{ 3 }\) 
't' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த 
\(\cfrac { dv }{ dt } =\cfrac { 25\pi }{ 432 } \left( 3{ h }^{ 2 } \right) \cfrac { dh }{ dt } \) 
\(10=\cfrac { 25\pi }{ 432 } \left( 3\left( 8 \right) ^{ 2 } \right) \cfrac { dh }{ dt } \)  \(\left[ \therefore h=8 \right] \) 
\(\therefore \cfrac { dh }{ dt } =\cfrac { 1 }{ \pi } \cfrac { 432\times 10 }{ 3\times 25\times 64 } =\cfrac { 4320 }{ 4800\pi } \) 
= \(\cfrac { 0.9 }{ \pi } =\cfrac { 9 }{ 10\pi } \) 
ஃ  நீரின் ஆழம் நிமிடத்திற்கு \(\cfrac { 9 }{ 10\pi } \) மீ வேகத்தில் அதிகரிக்கிறது. 

\({ \left( -\sqrt { 3 } +3i \right) }^{ 31 }\)
\(-\sqrt { 3 } +3i\) = r(cos θ + isin θ) என்க.
r = \(\sqrt { { (-\sqrt { 3 } ) }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } =\sqrt { 12 } =2\sqrt { 3 } \)
\(\alpha ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { 3 }{ -\sqrt { 3 } } \right| ={ tan }^{ -1 }\sqrt { 3 } =\frac { \pi }{ 3 } \)
θ = π - a = π - \(\frac { \pi }{ 3 } =\frac { 2\pi }{ 3 } \) (∵ \(-\sqrt { 3 } +3i \) ஆனது II-ஆம் கால் பகுதியில் உள்ளதால்)
ஆகவே, \(-\sqrt { 3 } +3i \) = \(2\sqrt { 3 } \) \(\left( cos\frac {2 \pi }{ 3 } +isin\frac { 2\pi }{ 3 } \right) \)
இருபுறமும் 31-ன் அடுக்கிற்கு உயர்த்த,
\({ (-\sqrt { 3 } +3i) }^{ 31 }={ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\) \(\left( cos\frac {2 \pi }{ 3 } +isin\frac { 2\pi }{ 3 } \right) ^{31}\)
=\({ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\) \(\left( cos\left( 20\pi +\frac {2 \pi }{ 3 } \right) +isin\left( 20\pi +\frac { \pi }{ 3 } \right) \right) \)
= \({ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\) \(\left( cos\frac {2 \pi }{ 3 } +isin\frac {2 \pi }{ 3 } \right) \)
= \({ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\)\(\left( cos\left( \pi +\frac { \pi }{ 3 } \right) +isin\left( \pi +\frac { \pi }{ 3 } \right) \right) \)
= \({ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\)\(\left( -cos\frac { \pi }{ 3 } +isin\frac { \pi }{ 3 } \right) \) = \({ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\)\(\left( -\frac { 1 }{ 2 } +i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \)

அணு உலை குளிரூட்டும் தூணின் குறுக்கு வெட்டு அதிபரவளைய வடிவில் உள்ளது.

கொடுக்கப்பட்ட \(OC=\cfrac { 1 }{ 2 } OD\) மற்றும் CD = 150மீ அதனுடைய சமன்பாடு OC = 50மீ மற்றும் OD = 100 மீ \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { 30 }^{ 2 } } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { 44 }^{ 2 } } =1\)
OC = 50 மீ மற்றும் OD = 100 மீ அணு உலையின் மேற்புற ஆரம் x₁ எனவும், கீழ்புற ஆரம் x₂ எனவும் கொள்க.
ஃபுள்ளிகள் A(x₁, 50) மற்றும் B(x₂, -100) அதிபரவளையம் A(x₁, 50) புள்ளி வழிச் செல்கிறது.
\( \therefore \frac{x_1^2}{30^2}-\frac{50^2}{44^2} =1+\frac{2500}{1936}=\frac{1936+2500}{1936} \\ x_1^2 =\frac{30^2}{44^2}(4436) \\ \Rightarrow x_1 =\frac{30}{44} \times \sqrt{4436} \)
\(\\ \Rightarrow x_1 =\frac{30}{44} \times(66.6)=45.41 \ \)மீ
மேற்புற ஆரம் = 45.41 மீ
மேற்புற விட்டம் = 90.82 மீ
மேலும், அதிபரவளையம் B(x₂, -100) வழிச் செல்கிறது.
\( \frac{x_2^2}{30^2}-\frac{100^2}{44^2} =1 \\ \frac{x_2^2}{30^2} =1+\frac{100^2}{44^2}=\frac{44^2+100^2}{44^2} \\ x_2^2 =\frac{30^2}{44^2}(11936) \\ x_2 =\frac{30}{44} \times \sqrt{11936} \\ =\frac{30}{44}(109.25)=74.48 \)
கீழ்ப்புற ஆரம் = 74.48 மீ
கீழ்ப்புற விட்டம் = 148.96 மீ
ஃ தூணின் மேற்பகுதி மற்றும் அடிப்பகுதியின் விட்டங்கள் முறையே 90.82 மீ மற்றும் 148.96 மீ.

பரவளையத்தின் சமன்பாடு 
(x-h)²=-4a(y-k)
இங்கு முனை (0.5, 4)
பரவளையத்தின் சமன்பாடு (x - 0.5)² = -4a(y - 4) ..1(1)
O(0, 0) பரவளையத்தின் மீதுள்ள புள்ளி 
(0 - 0.5)² = -4a(0 - 4)
\(\Rightarrow \left( \cfrac { -1 }{ 2 } \right) ^{ 2 }=-4a\left( -4 \right) \) 
\(\Rightarrow \cfrac { 1 }{ 4 } =16a\Rightarrow a=\cfrac { 1 }{ 64 } \) 
\(\therefore\) (1) லிருந்து (x - 0.5)²
\((x-0.5)^{ 2 }=-4\times \cfrac { 1 }{ 64 } \left( y-4 \right) \)
மேலும் D (0.75, y₁) பரவளையத்தின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளி 
\(\therefore \left( 0.75-0.5 \right) ^{ 2 }=-\cfrac { 1 }{ 16 } \left( { y }_{ 1 }-4 \right) \) 
\(\Rightarrow \left( \cfrac { 3 }{ 4 } -\cfrac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 }=-\cfrac { 1 }{ 16 } \left( { y }_{ 1 }-4 \right) \)
 \(\Rightarrow \left( \cfrac { 1 }{ 4 } \right) ^{ 2 }=\cfrac { -1 }{ 16 } \left( { y }_{ 1 }-4 \right) \) 

\(\Rightarrow 1=-{ y }_{ 1 }+4\)
\(\Rightarrow { y }_{ 1 }=-1+4=3\) மீ
0.75 மீ கிடைமட்டத் தூரத்தில் நீரின் உயரம் 3 மீ  ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட \((\sqrt { 5 } -\sqrt { 3 } )\) என்பது ஒரு மூலம்
⇒ \(\sqrt { 5 } +\sqrt { 3 } \) என்பது மேலும் ஒரு மூலம்
∴ மூலங்களின் கூடுதல் =\(\sqrt { 5 } -\sqrt { 3 } +\sqrt { 5 } +\sqrt { 3 } =2\sqrt { 5 } \)
மூலங்களின் பெருக்கல் பலன்
=\((\sqrt { 5 } -\sqrt { 3 } )(\sqrt { 5 } +\sqrt { 3 } )\)
=\((\sqrt { 5 } )^{ 2 }-(\sqrt { 3 } )^{ 2 }\)=5-3=2
∴ ஒரு காரணி x²-x (மூலங்களின் கூடுதல்) + மூலங்களின் பெருக்கல் பலன்
⇒ x²-2x\(\sqrt { 5 } \)+2
மற்றொரு காரணியும்  x²+2x\(\sqrt { 5 } \)+2 ஆகும்.
இந்த சமன்பாடு இரண்டு தீர்வுகளுக்கு மேல் கொண்டிருக்காது. ஆகையால் குறைந்தபட்ச படியுடன் விகிதமுறு கெழுக்களுடைய ஓர் பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாடு.
(x² - 2x \(\sqrt { 5 } \) + 2)(x² + 2x \(\sqrt { 5 } \) + 2) = 0
⇒ (x² + 2 - 2\(\sqrt { 5 } \)x) (x² + 2 + 2\(\sqrt { 5 } \)x) = 0
⇒ (x² + 2)²-(2\(\sqrt { 5 } \)x)² = 0
[∵ (a + b)(a - b)=a² - b²]
⇒ x⁴ + 4x² + 4 - 4(5)x² = 0
⇒ x⁴ + 4x² + 4 - 20x² = 0
⇒ x⁴ - 16x² + 4 = 0

x மற்றும் y மதிப்புகளை முழுவர்க்கமாக்க 4x² + 36y² + 40x − 288y + 532 = 0,
4(x²+10x+25-25) + 36(y²-8y+16-16)+532 = 0 இலிருந்து 
4(x²+10x-25) + 36(y²-8y-16) = -532 + 100 + 576
4(x+5)² + 36(y-4)² = 144.
இருபுறமும் 144-ஆல் வகுக்கச் சமன்பாடு 
\(\frac { { (x+5) }^{ 2 } }{ 36 } +\frac { { (y-4) }^{ 2 } }{ 4 } =1\)
இது மையம் (-5,4), மற்றும் நெட்டச்சு x-அச்சுக்கு இணையான நீள்வட்டம். இதன் அரை நெட்டச்சின் நீளம் 12 மற்றும் குற்றச்சின் நீளம் 4. முனைகள் (1, 4) மற்றும் (-11, 4).
தற்போது, c² = a² - b² = 36 - 4 = 32
மற்றும் c = ±4\(\sqrt 2\).
எனில் குவியங்கள் (-5 - 4\(\sqrt 2\), 4) மற்றும் (−5 + 4\(\sqrt 2\),4)
நெட்டச்சின் நீளம் = 2a = 12 அலகுகள் மற்றும் 
குற்றச்சின் நீளம் = 2b = 4 அலகுகள்.

கொடுக்கப்பட்ட C₂ H₆ + O₂ ➝ H₂O + CO₂
நாம் மிகை எண்கள் x₁, x₂, x₃ மற்றும் x₄ இவ்வாறு காண வேண்டும்.
x₁ C₂ H₆ + x₂ O₂ ➝ x₃ H₂O + x₄ CO₂ ... (1)
(1) ல் இடது பக்கத்தில் உள்ள கார்பன் அணுக்களின் எண்ணிக்கை வலது பக்கத்தில் உள்ள கார்பன் அணுக்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருக்க வேண்டும்.
∴ 2x₁ = 1x₄
⇒ 2x₁ - x₄ = 0                ...(2)
ஹைட்ரஜன் அணுக்களால் கிடைப்பது, 
6x₁ = 2x₃
⇒6x₁ - 2x₃ = 0
⇒ 3x₁ - x₃ = 0                ...(3)
மேலும், ஆக்ஸிஜன் அணுக்களால் கிடைப்பது, 
2x₂ = 1x₃ + 2x₄
⇒ 2x₂ - x₃ - 2x₄ = 0       ...(3)
4 மாறிகளில் அமைந்த நேரியில் சமபடித்தான தொகுப்பு சமன்பாடுகள் (2), (3) மற்றும் (4)
∴ விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி
[A|B] \(\left[ \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 0 \\ -2 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
காஸ்ஸியன் நீக்கல் முறை மூலம் கிடைப்பது,
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow 2{ R }_{ 2 } - 3{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -2 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} { -1 } \\ 3 \\ -2 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\leftrightarrow { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -1 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} { -1 } \\ { -2 } \\ { 3 } \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
இங்கு ρ(A) = ρ([A | B]) = 3 < 4, மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை.
∴ தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடன் ஒரு சாராமாறிக் குடும்ப தீர்வுகளை கொண்டிருக்கும், ஆகையால் x₄ = t என்க.
ஏறுபடிவத்திலிருந்து சமன்பாடுகளை எழுத கிடைப்பது 
2x₁ - x₄ = 0
⇒ 2x₁ - x₄ = 0
⇒ 2x₁ = x₄
⇒ 2x - t
⇒ x₁ = \(\frac{t}{2}\)
4x₂ - 7x₄ = 0
⇒, 4x₂ = 7t ⇒ x₂=\(\frac{7t}{4}\)
-2x₃ + 3x₄ = 0 ⇒ 2x₃ = 3x₄
⇒x₃ = \(\frac{3t}{2}\)
x₁, x₂, x₃ மற்றும் x₄ மிகை முழுக்கள், ஆதலால், t = 4 என தேர்ந்தெடுக்க
∴ x₁=\(\frac{4}{2}=2\) 

x₄=t=4
ஆகையால் சமநிலைப்படுத்தப்பட்ட சமன்பாடு 
2C₂H₆ + 7O₂ ⟶ 6H₂O + 4CO₂

வட்டத்தின் பொதுச் சமன்பாடு x² + y² + 2gx +2fy + c = 0    ...(1)
இது (1, 1), (2, -1) மற்றும் (3, 2) என்ற புள்ளிகள் வழிச்செல்வதால் 
2g + 2 f + c = -2 , … (2)
4g − 2 f + c = -5 , … (3)
6g + 4 f + c = -13 . … (4)
(2)-(3)-இலிருந்து -2g + 4f = 3.     ...(5)
(4)-(3)-இலிருந்து  2g + 6f = -8.     ...(6)
(5)+(6)-இலிருந்து f = -\(\frac{1}{2}\) என கிடைக்கும் மதிப்பை (6) இல் பிரதியிட g =\(\frac{-5}{2},f,g\) இன் மதிப்புகளை (2) இல் பிரதியிட c = 4 எனவும் கிடைக்கிறது.
எனவே தேவையான வட்டத்தின் சமன்பாடு 
\({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+2\left( -\frac { 5 }{ 2 } \right) x+2\left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) y+4=0\)
அதாவது x² + y² − 5x − y + 4 = 0.

கொடுக்கப்பட்ட A=\(\left[ \begin{matrix} -5 & 1 & 3 \\ 7 & 1 & -5 \\ 1 & -1 & 1 \end{matrix} \right] \), 
B=\(\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right] \)
\(AB=\left[ \begin{matrix} -5 \\ 7 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -5 \\ 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} -5+3+6 \\ 7+3-10 \\ 1-3+2 \end{matrix}\begin{matrix} -5+2+3 \\ 7+2-5 \\ 1-2+1 \end{matrix}\begin{matrix} -10+1+9 \\ 14+1-15 \\ 2-1+3 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{matrix} \right] =4{ I }_{ 3 }\)
\(BA=\left[ \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -5 \\ 7 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -5 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} -5+7+2 \\ -15+14+1 \\ -10+7+3 \end{matrix}\begin{matrix} 1+1-2 \\ 3+2-1 \\ 2+1-3 \end{matrix}\begin{matrix} 3-5+2 \\ 9-10+1 \\ 6-5+3 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{matrix} \right] =4{ I }_{ 3 }\)
ஆகையால் AB = BA = 4I₃ என அறிவோம்.
\(\Rightarrow \left( \frac { 1 }{ 4 } A \right) B=B\left( \frac { 1 }{ 4 } \right) =I\)
\(\Rightarrow { B }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 4 } =I\)
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு தொகுப்பை அணி வடிவில் எழுத கிடைப்பது, 
\(\left[ \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 2 \end{matrix} \right] \)
BX = C 
X = B^-1 C 
\(\Rightarrow B\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 2 \end{matrix} \right] \)
\(\Rightarrow \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ={ B }^{ -1 }\left[ \begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 2 \end{matrix} \right] =\left[ \frac { 1 }{ 4 } A \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 2 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 4 } \left[ \begin{matrix} -5+7+6 \\ 7+7-10 \\ 1-7+2 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 4 } \left[ \begin{matrix} 8 \\ 4 \\ -4 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
∴ x = 2, y = 1, z = -1
எனவே தீர்வு கணம் {2, 1, -1}

\(\hat { a } =\vec { OA } \)மற்றும்  \(\hat { b } =\vec { OB } \)என்பன அலகு வெக்டர்கள் என்க மற்றும் அவைகள் கோணங்கள் \(\alpha ,\beta \) வை x-அச்சின் மிகையுடன் ஏற்படுத்துகின்றன.AL மற்றும் BM \(\bot '\) லிருந்து x அச்சு எனுமாறு வரைக 
 பிறகு \(\left| \vec { OL } \right| =\left| \vec { OA } \right| cos\alpha =cos\alpha \) 
\(\left| \vec { OL } \right| =\left| \vec { OA } \right| cos\alpha =cos\alpha \)
\(\left[ \because \Delta OAL,sin\alpha =\cfrac { opp }{ hyp } cos\alpha =\cfrac { adj }{ hyp } \right] \) 
\(\therefore \vec { OL } =\left| \vec { OL } \right| =cos\alpha \hat { i } \) 
\(\vec { LA } =\left| \vec { LA } \right| \hat { j } =sin\alpha \hat { j } \) 
\(\therefore \hat { a } =\vec { OA } =\vec { OL } +\vec { LA } \) 
[\(\triangle\) விதியை பயன்படுத்தி கூட்டுக]
\(\hat { a } =cos\alpha \hat { i } +sin\alpha \hat { j } \) 
அதை போல \(\hat { b } =cos\beta \hat { i } +sin\beta \hat { j } \) 
\(\hat { a } \) மற்றும் \(\hat { b } \) க்கு இடையேயான கோணம்\(\left( \alpha -\beta \right) \) 
 \(\therefore \hat { a } .\hat { b } =\left| \vec { a } \right| \left| \vec { b } \right| cos\left( \alpha -\beta \right) =cos\left( \alpha -\beta \right) \)
\(\left[ \because \left| \vec { a } \right| =\left| \vec { b } \right| =1 \right] \) 
மேலும் \(\hat { a } .\hat { b } =\left( cos\alpha \hat { i } +sin\alpha \hat { j } \right) \left( cos\beta \hat { i } +sin\beta \hat { j } \right) \) 
\(\hat { a } .\hat { b } =cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta \) 
(3) மற்றும் (4) லிருந்து 
\(cos\left( \alpha -\beta \right) =cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta \) 

cos⁻¹\(\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \) = y என்க. எனவே, cos y = \( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \) ஆகும்.
y = cos^-1 x-ன் முதன்மை மதிப்பு வீச்சகம் [0, \(\pi\)]என நாம் அறிவோம். எனவே, cos y = \( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \) எனும்படி y மதிப்பு [0, \(\pi\)]-ல் காண வேண்டும். ஆனால், cos \(\frac{\pi}{6}\) = \(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 }\) மற்றும் \( \frac{\pi}{6}\in[0,\pi]\) என்பதால் y = \(\frac{\pi}{6}\) ஆகும். எனவே cos⁻¹\(\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \)-ன் முதன்மை மதிப்பு \(\frac{\pi}{6}\)ஆகும்.

படம்-ஐ பார்க்க.

 

AB - யின் சமன்பாடு \(\frac {y-1}{2-1}\) = \(\frac {x+1}{3+1}\) அல்லது y = \(\frac {1}{4} (x+5)\)
BC - யின் சமன்பாடு \(\frac {y-5}{2-5}\) = \(\frac {x-0}{3-0}\)  அல்லது y = -x + 5
AC - யின் சமன்பாடு \(\frac {y-1}{5-1}\) = \(\frac {x+1}{0+1}\) அல்லது y = 4x+5
∴  எனவே ∆ABC - யின் பரப்பு = DACO - யின் பரப்பு + OCBE - யின் பரப்பு - DABE -யின் பரப்பு
= \(\int ^{0}_{-1} (4x+5) dx\) + \(\int ^{3}_{0} (-x+5) dx\) \(- \frac {1}{4} \int ^{3}_{-1} (x+5) dx\)

= \([\frac {4x^2}{2} +5x]^{0}_{-1}\) + \([-\frac {x^2}{2} +5x]^{3}_{0}\) - \(\frac {1}{4} \) \([\frac {x^2}{2} +5x]^{3}_{-1}\)

= 0- (+2-5)+  \((- \frac {9}{2}+15)\) - 0 - \(\frac {1}{4}\) \([\frac {9}{2} + 15]\) + \(\frac {1}{4}\) \([\frac {1}{2} - 5]\) = \(\frac {15}{2}\)

சமன்பாட்டு தொகுப்பின் அணி வடிவம் AX=B 
இங்கு 
\(A=\left[ \begin{matrix} k & -2 & 1 \\ 1 & -2k & 1 \\ 1 & -2 & k \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
[A|B] என்ற விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியில் தொடக்கநிலை நிரை செயலிகள் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது,
\(A=\left[ \begin{matrix} k & -2 & 1 \\ 1 & -2k & 1 \\ 1 & -2 & k \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\([A/B]=\left[ \begin{matrix} k & -2 & 1 \\ 1 & -2k & 1 \\ 1 & -2 & k \end{matrix}|\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -2 & k \\ 1 & -2k & 1 \\ k & -2 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ kR }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -2 & k \\ 1 & -2k+2 & k \\ 0 & -2+2k & 1-{ k }^{ 2 } \end{matrix}|\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 1-k \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ -2k+2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} k \\ 1-k \\ 1-{ k }^{ 2 }+1-k \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ -k-2 \end{matrix} \right] \)
\(\rightarrow \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ -2k+2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} k \\ 1-k \\ (k+2)(1-k) \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ -k-2 \end{matrix} \right] \quad .....(1)\)
நிலை (i) k=1 எனில் 
\([A|B]\rightarrow \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ -3 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
[2 - k - k² = - (k² +k-2)
=-(k+2) (k-1)
= (k + 2) (1-k)]
நிலை (i) k = 1 எனில்
ρ(A)=1, ρ([A } B]) = 3.
ρ(A) ≠ ρ([A | B])
சமன்பாட்டுத் தொகுப்பு ஒருங்கமைவற்றது மற்றும் தீர்வுகள் கிடையாது.
நிலை (ii): k ≠ 1, k ≠ -2 எனில் ρ(A)=3, ρ([A | B]) = 3 = n
சமன்பாட்டுத் தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரே ஒரு தீர்வைக் கொண்டது.
நிலை (iii): k=-2 எனில்
ρ(A) = 2, ρ([A | B]) = 2
சமன்பாட்டுத் தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டது.

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியின் மீது காஸ்-ஜோர்டான் முறையைப் பயன்படுத்த, நமக்குக் கிடைப்பது,
[A|I₃] =  \(\left[ \begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow \frac { 1 }{ 2 } { R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & (1/2) & (1/2) \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix}|\begin{matrix} (1/2) & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-3{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-2R_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & (1/2) & (1/2) \\ 0 & (1/2) & -(1/2) \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} (1/2) & 0 & 0 \\ -(3/2) & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow 2{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & (1/2) & (1/2) \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} (1/2) & 0 & 0 \\ -3 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 1 }\frac { 1 }{ 2 } { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \\ \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 2 & -1 & 0 \\ - & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 1 }-{ R }_{ 3 }\\ { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }+{ R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 3 & -1 & -1 \\ -4 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
எனவே, A^-1 =\(\left[ \begin{matrix} 3 & -1 & -1 \\ -4 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)