\(\mathbb{Z}\) என்பது அனைத்து முழு எண்களின் கணம் என்பதால்
\(\mathrm{a} * \mathrm{~b}=\frac{a b}{7} \notin \mathbb{Z}\)

a ஆனது குறைமதிப்பாகவும் b ஆனது பின்னமதிப்பாகவும் .: இருக்கும் பொழுது, \(\mathrm{a}^{\mathrm{b}} \notin \mathbb{R}\)
எ.கா: \((-2)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-2} \notin \mathbb{R},\) இங்கு \(-2, \frac{1}{2} \in \mathbb{R}\)
\((-5)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-5} \notin \mathbb{R}\), இங்கு \(-5, \frac{1}{2} \in \mathbb{R}\)
\(\therefore \mathrm{a} * \mathrm{~b}=\mathrm{a}^{\mathrm{b}}\) ஆனது ஈருறுப்புச் செயலி அல்ல.

\(f(x) =\frac{1}{x} ; f^{\prime}(x)=\frac{-1}{x^2} \)
\(f^{\prime}(c) =\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \)
\(-\frac{1}{x^2} =\frac{1 / 9-1}{9-1}=\frac{-8 / 9}{8} \)
\(x^2 =9 \Rightarrow x= \pm 3 \)
\(\therefore x =3 \in(1,9)\)

\(f(x) =x^3-3 x^2 \)
\(f^{\prime}(x) =3 x^2-6 x \)
\(f^{\prime}(x) =0 \Rightarrow 3 x(x-2)=0 \)
\(x =0,2 \)

\( \vec{b} =2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}, \quad \vec{n}=\hat{i}+\hat{j} \\ \sin \theta =\frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| \vec{n} \mid}=\frac{2+1+0}{\sqrt{4+1+4} \sqrt{1+1}}=\frac{3}{\sqrt{9} \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \theta =\sin ^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\pi}{4} \)
or 45⁰

கொடுக்கப்பட்ட தளம் \(x+3 y-\alpha z+\beta=0\)
(2, 1, -2) என்ற புள்ளி தளத்தின் மீது அமைந்துள்ளது.
2+3+2 \(\alpha+\beta \) = 0 
\(\Rightarrow 2 \alpha+\beta  =-5\)       ....(1)
\(\vec{r} . \vec{d}=\mathrm{p}, \vec{d}\) என்பது \(\left(b_1, b_2, b_3\right)=(3,-5,2)\) என்ற திசைக் கொசைன் கொண்ட செங்குத்தான வெக்டர் ஆகும்.
\(\therefore b_1 d_1+b_2 d_2+b_3 d_3  =0 \\\Rightarrow 3(1)-5(3)+2(-\alpha)=0 \\ -12-2 \alpha  =0 \Rightarrow \alpha=-6\)
\(\alpha=6 \) என (1) ல் பிரதியிட,
\(2(-6)+\beta=-5 \Rightarrow-12+\beta=-5 \Rightarrow \beta=7\)
எனவே \((\alpha, \beta)=(-6,7)\)

 (1 + i) (1 + 2i) (1 + 3i) .... (1 + ni) = x + iy இருபுறமும் மட்டு மதிப்பை கண்டு வர்க்கப்படுத்த 
2.5.10 .... (1 + n²) = x² + y²

\(\mathrm{z}  =\left(\sin 40^{\circ}+i \cos 40^{\circ}\right)^{5}=\left(\cos 50^{\circ}+i \sin 50^{\circ}\right)^5 \)
\(=\cos 250^{\circ}+i \sin 250^{\circ} \)
\( =\cos \left(360^{\circ}-110^{\circ}\right)+i \sin \left(360^{\circ}-110^{\circ}\right) \)
\( =\cos 110^{\circ}-i \sin 110^{\circ} \)
\( =\cos \left(-110^{\circ}\right)+i \sin \left(-110^{\circ}\right)\)
முதன்மை வீச்சு = 110^o

\(\Delta \geq 0 \)
\(\mathbf{k}^2-4(1)(9) \geq 0 \)
\(\mathbf{k}^2 \geq 36 \Rightarrow|k| \geq 6\)

விகிதமுறு மூலத் தேற்றத்தின்படி, p/q என்பது பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாட்டின் மூலம். இங்கு a₀ = -5, a_n = 4 மற்றும் (4, -5) = 1. எனவே p என்பது 5 ஐயும், q என்பது 4 ஐயும் வகுக்க வேண்டும்.
p ன் சாத்தியமுறு மதிப்புகள் +1, -1, +5,-5
q ன் சாத்தியமுறு மதிப்புகள் +1, - 1, 4, -4
4/5 என்பது சாத்தியமற்ற விகிதமுறு பூச்சியமாகும்.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடானது SP² =  e²PM²என்ற வடிவில் இல்லை. ........ (1)
ஏனெனில் SP என்பது P(x, y) என்ற நீள்வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளிக்கும் S(ae, 0) என்ற குவியத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரம்.
\(\therefore \text { (1) } \Rightarrow(x-a e)^2+(y-0)^2=\left(x-\frac{y^2}{9}\right)^2\)
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு
\((x-3)^2+(y-4)^2=\frac{y^2}{9}\)
\( \Rightarrow \quad(x-3)^2+y^2-8 y+16-\frac{y^2}{9}=0 \\ 9(x-3)^2+8 y^2-72 y+144=0 \\ 9(x-3)^2+8\left(y^2-9 y\right)=-144 \\ 9(x-3)^2+8\left[y^2-9 y+\left(\frac{9}{2}\right)^2-\left(\frac{9}{2}\right)^2\right]=-144 \\ 9(x-3)^2+8\left(y-\frac{9}{2}\right)^2=8 \times \frac{81}{4}-144=18 \\ \frac{(x-3)^2}{2}+\frac{(y-9 / 2)^2}{(9 / 4)}=1 \)
இது நீள்வட்டத்தின் சமன்பாட்டின் திட்ட நிலை  
\(\because a^2>\mathrm{b}^2, a^2=\frac{9}{4}, \mathrm{~b}^2=2\\ \therefore b^2  =a^2\left(1-e^2\right) \\ \therefore e  =\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{2}{(9 / 4)}}=\sqrt{1-\frac{8}{9}}=\sqrt{\frac{1}{9}} \\ \therefore e  =\frac{1}{3}\)

ஒரு கலப்பெண்ணின் இணை கலப்பெண் \(\frac { 1 }{ i-2 } \) 
கலப்பெண் \(z = \frac { 1 }{ -i-2 } = \frac { 1 }{-( i-2) } = \frac { -1 }{( i+2) } \)

z, iz மற்றும் z + iz ஆகிய கலப்பெண்களால் ஏற்படும் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு
z = a + ib என்க. ⇒ புள்ளி (a,b)
iz = - b + ia ⇒புள்ளி (-b, a) 
z + iz = (a-b) + i(a+b) ⇒ புள்ளி ((a−b), (a+b))
முக்கோணத்தின் பரப்பளவு \( =\frac{1}{2}\left[x_1\left(y_2-y_3\right)+x_2\left(y_3-y_1\right)+x_3\left(y_1-y_2\right)\right] \)
\(=\frac{1}{2}[a(a-a-b)-b(a+b-b)+(a-b)(b-a)] \)
\(=\frac{1}{2}\left[-a b-a b+a b-a^2-b^2+a b\right] \)
\(=\frac{1}{2}\left|a^2+b^2\right|=\frac{1}{2}|z|^2\)

\( 16 x^2+25 y^2 =400 \\ \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16} =1 \\ a^2 =25 \Rightarrow a= \pm 5 \\ P F_1+P F_2 = 2 a \\ =2 \times 5=10 \)

\(x ^ 2 + y ^ 2 - 2x - 2y + 1 = 0 \)
2g = - 2
g = - 1
2f = - 2
f = - 1
இணையான கோடு 2x + 4y + \(\lambda\) = 0 என்க. மையம் (-g, -f) = (1, 1) என்பது இக்கோட்டின் மேல் அமைவதால்,
2 + 4 + 2 = 0 ⇒\(\lambda\) = -6
2x + 4y - 6 = 0
x + 2y = 3

கொடுக்கப்பட்டது \(x^{\mathrm{a}} \cdot \mathrm{y}^{\mathrm{b}}=\mathrm{e}^{\mathrm{m}} ; x^{\mathrm{c}} \cdot \mathrm{y}^{\mathrm{d}}=\mathrm{e}^{\mathrm{n}}\)
மடக்கை எடுக்கக் கிடைப்பது 
\( a \log x+b \log y=m \) ...(1)
\(c \log x+d \log y=n \) ...(2)
\(X=\log x, Y=\log y \) என்க.
\(\therefore(1) \Rightarrow a X+b Y=m \) ...(3)
\((2) \Rightarrow c X+d Y=n\) ...(4)
கிராமரின் விதியைப் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது 
\(\Delta=\left|\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right|=\Delta_3\) கொடுக்கப்பட்டது 
\( \Delta_X=\left|\begin{array}{ll} m & b \\ n & d \end{array}\right|=\Delta_1 \) கொடுக்கப்பட்டது 
\(\Delta_Y=\left|\begin{array}{ll} a & m \\ c & n \end{array}\right|=\Delta_2 \) கொடுக்கப்பட்டது 
\( \therefore \mathrm{X}=\frac{\Delta_{\mathrm{X}}}{\Delta}=\frac{\Delta_1}{\Delta_3} \Rightarrow \log x=\frac{\Delta_1}{\Delta_3} \Rightarrow x=\mathrm{e}^{\frac{\Delta_1}{\Delta_3}} \)
\( Y=\frac{\Delta_Y}{\Delta}=\frac{\Delta_2}{\Delta_3} \Rightarrow \log y=\frac{\Delta_2}{\Delta_3} \Rightarrow y=e^{\frac{\Delta_2}{\Delta_3}} \\ \)

\(\text { adj } A =\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right] \)
\(A(\operatorname{adj} A) =\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right] \)
\({\left[\begin{array}{ll} k & 0 \\ 0 & k \end{array}\right] } =\left[\begin{array}{cc} \cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta & 0 \\ 0 & \sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta \end{array}\right] \)
\(k =\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta=1\)

\(A B=I \Rightarrow B=A^{-1}=\frac{1}{1+\tan ^2 \frac{\theta}{2}}\left[\begin{array}{cr} 1 & -\tan \frac{\theta}{2} \\ \tan \frac{\theta}{2} & 1 \end{array}\right] \)
\(=\frac{1}{\sec ^2 \frac{\theta}{2}}\left[\begin{array}{cc} 1 & -\tan \frac{\theta}{2} \\ \tan \frac{\theta}{2} & 1 \end{array}\right]=\cos ^2 \frac{\theta}{2} A^{\top}\)

\(\mathrm{AB} =\left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 1 & 4 \\ 2 & 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 2 & 8 \\ 11 & 4 \end{array}\right] \)
\(\operatorname{adj} \mathrm{AB} =\left[\begin{array}{cc} 4 & -8 \\ -11 & 2 \end{array}\right] \)
\(\therefore|\operatorname{adj} \mathrm{AB}| =8-88=-80\)

\( \cos \left[\cos ^{-1} x+\sin ^{-1} x+\sin ^{-1} x\right]=\cos \left(\frac{\pi}{2}+\sin ^{-1} x\right) \\ =-\sin \left(\sin ^{-1} x\right) \\ {[\because \cos (90+\theta)=-\sin \theta] } \\ =-x=-\frac{1}{5} \)

sin⁻¹\(\sqrt{x-1} \) 
\(-1  \leq \sqrt{x-1} \leq 1 \text { and } \sqrt{x-1} \geq 0 \\ \therefore 0   \leq \sqrt{x-1} \leq 1 \\ 0    \leq x-1 \leq 1 \\ 1   \leq x \leq 2 \Rightarrow x \in[1,2]  \)