இந்த சமன்பாட்டை பின்வருமாறு திருத்தி எழுதலாம்.
12x³ + 29x² + 8x + 4 = 0

∴ x = 2 ஒரு மூலம் மற்றும் மீதியிருக்கும் காரணி 12x² - 5x - 2.
⇒ (3x - 2)(4x + 1) = 0
⇒ 3x - 2 = 0 4x + 1 = 0
⇒ x = \(\frac{2}{3}\),
x=\(\frac{-1}{4}\)
∴ மூலங்கள் 2, \(\frac{2}{3}\) மற்றும் -\(\frac{1}{4}\)

f(x) = 8x³ − 2x² − 7x + 3 = 0 என்க. இங்கு ஒற்றைப்படி உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல்
=8-7=1
மற்றும் இரட்டைப்படி உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல்
=-2+3=1
எனவே, x=-1 என்பது f(x) ன் ஒரு மூலமாகும்.
f(x) ஐ (x+1) ஆல் வகுக்க

∴ மற்ற காரணியானது 8x²-10x+3
⇒ x=\(\frac { 10\pm \sqrt { 100-4(8)(3) } }{ 2\times 8 } \)
⇒ x=\(\frac { 10\pm \sqrt { 100-96 } }{ 16 } \Rightarrow x=\frac { 10\pm 2 }{ 16 } \)
⇒ x=\(\frac { 12 }{ 16 } \) அல்லது
x=\(\frac { 8 }{ 16 } \Rightarrow x=\frac { 3 }{ 4 } ,\frac { 1 }{ 2 } \)
∴ மூலங்கள் -1,\(\frac { 1 }{ 2 } ,\frac { 3 }{ 4 } \).

A= \(\left[ \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ \begin{matrix} -2 \\ -1 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 2 \\ \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \end{matrix} \right] \)
\(\left.\xrightarrow[R_4 \rightarrow R_4-R_1]{\substack{R_2 \rightarrow R_2-3 R_1 \\ R_3 \rightarrow R_3-R_1}} \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -7 & 5 \\ 0 & -4 & 4 \\ 0 & -3 & 2 \end{array}\right.\right]\)
\(\begin{aligned} & \xrightarrow[R_4 \rightarrow(-1) R_4]{\substack{R_2 \rightarrow(-1) R_2 \\ R_3 \rightarrow(-1) R_3}}\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 7 & -5 \\ 0 & 4 & -4 \\ 0 & 3 & -2 \end{array}\right] \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} & \xrightarrow[R_4 \rightarrow 7 R_4-3 R_2]{R_3 \rightarrow 7 R_3-4 R_2}\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 7 & -5 \\ 0 & 0 & -8 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} & \xrightarrow{R_3 \rightarrow \frac{R_3}{-8}}\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 7 & -5 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} & \xrightarrow{R_4 \rightarrow R_4-R_3}\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 7 & -5 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \end{aligned}\)
கடைசி சமான அணி ஏறுபடி வடிவத்தில் உள்ளது. இது மூன்று அபூச்சிய நிறைகளைப் பெற்றுள்ளது. 
\(\therefore\) \(ρ\)(A) = 3

மூலங்களின் இரண்டின் கூட்டுத்தொகை பூச்சியம் ஆதலால் மூலங்கள் α, -α மற்றும் β என்க.
α - α + β =\(\frac { -b }{ a } =\frac { 1 }{ 2 } \)
⇒ β = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
αβ\(\gamma \)=\(\frac { -d }{ a } \)
⇒ \(\alpha (-\alpha )\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) =\frac { -9 }{ 2 } \)
⇒ \(\frac { { \alpha }^{ 2 } }{ 2 } =\frac { 9 }{ 2 } \) ⇒ α²=9 ⇒ α=±3
⇒ α=3
∴ மூலங்கள் 3, -3 மற்றும் \(\frac { 1 }{ 2 } \).

கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் α மற்றும் β என்பதால் α+β=\(\frac { 7 }{ 2 } \) மற்றும் αβ=\(\frac { 13 }{ 2 } \) ஆகும்.
எனவே, தேவையான இருபடிச் சமன்பாட்டை பெற,
மூலங்களின் கூடுதல் =α²+β² =(α+β)² -2αβ=\(\frac { -3 }{ 4 } \)
மூலங்களின் பெருக்கல்=α²β² =(αβ)²=\(\frac { 169 }{ 4 } \)
எனவே, தேவையான இருபடிச் சமன்பாடு \({ x }^{ 2 }+\frac { 3 }{ 4 } x+\frac { 169 }{ 4 } \)=0 எனக் கிடைக்கிறது.
4x²+3x+169=0
இதுவே α² மற்றும் β² ஆகியவற்றை மூலங்களாகக் கொண்ட இருபடிச் சமன்பாடாகும்.

கொடுக்கப்பட்ட \(\left| { { z }_{ 1 } } \right| =\left| { z }_{ 2 } \right| =1\)
⇒ \({ z }_{ 1 }\overline { z } =1\Rightarrow { z }_{ 1 }=\frac { 1 }{ { z }_{ 1 } } \)
மற்றும் \({ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 }\neq -1\) மேலும் \({ z }_{ 2 }\overline { { z }_{ 2 } } =1\)
⇒ \({ z }_{ 2 }=\frac { 1 }{ { z }_{ 2 } } \)
கருதுக \(\frac { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 } }{ 1+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } } \)
\(\therefore \frac { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 } }{ 1+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } } =\frac { \frac { 1 }{ { z }_{ 1 } } +\frac { 1 }{ { z }_{ 2 } } }{ 1+\frac { 1 }{ { z }_{ 1 } } .\frac { 1 }{ { z }_{ 2 } } } =\frac { \frac { \overline { { z }_{ 2 } } +\overline { { z }_{ 2 } } }{ \overline { z_{ 1 } } \overline { { z }_{ 2 } } } }{ \frac { \overline { { z }_{ 1 } } \overline { { z }_{ 2 } } +1 }{ \overline { { z }_{ 1 } } \overline { { z }_{ 2 } } } } \)
\(=\frac { \overline { { z }_{ 2 } } +\overline { { z }_{ 1 } } }{ \overline { { z }_{ 1 } } \overline { { z }_{ 2 } } +1 } =\frac { \overline { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 } } }{ 1+\overline { { z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } } } \)
\(=\left( \frac { \overline { { z }_{ 1 }+{ 1 }_{ 2 } } }{ 1+{ z }_{ 2 }{ z }_{ 2 } } \right) \)
\(\therefore \frac { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 } }{ 1+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } } \) மெய் [∵ z = \(\overline { z } \)  ⇒ என்பது மெய்]

இதற்கு நாம் முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளங்கள் சமம் என நிறுவினால் போதும்.
z₁ = 1, z₂ = \(\frac { -1 }{ 2 } +i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \\ \)மற்றும் z₃ = \(\frac { -1 }{ 2 } -i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \) என்க .
முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளங்களை காண்போம்
\(\left| { { z }_{ 1 }-z }_{ 2 } \right| =\left| 1-\left( \frac { -1 }{ 2 } +i \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \right| =\left| \frac { 3 }{ 2 } -\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } i \right | =\sqrt { \frac { 9 }{ 4 } +\frac { 3 }{ 4 } } =\frac { 2\sqrt { 3 } }{ 2 } =\sqrt { 3 } \)
\(\left| { { z }_{ 2 }-z }_{ 3 } \right| =\left| \left( \frac { -1 }{ 2 } +i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) -\left( \frac { -1 }{ 2 } -i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \right| =\sqrt { { \left( \sqrt { 3 } \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 3 } \)
\(\left| { { z }_{ 3 }-z }_{ 1 } \right| =\left| \left( \frac { -1 }{ 2 } +i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right)-1 \right| =\left| \frac { -3 }{ 2 } -\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } i \right| =\sqrt { \frac { 9 }{ 4 } +\frac { 3 }{ 4 } } =\sqrt { 3 } \)
பக்கங்களின் நீளங்கள் சமம் எனவே, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தை அமைக்கும்.

5x − 2y +16 = 0, x + 3y − 7 = 0
கொடுக்கப்பட்ட \(\Delta =\left| \begin{matrix} 5 & -2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right| =15+2=17\)
\({ \Delta }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} -16 & -2 \\ 7 & 3 \end{matrix} \right| =-48+14=-34\)
\({ \Delta }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} 5 & -16 \\ 1 & 7 \end{matrix} \right| =35+16=51\)
\(\therefore x=\frac { { \Delta }_{ 1 } }{ \Delta } =\frac { -34 }{ 17 } =-2\)
\(y=\frac { { \Delta }_{ 2 } }{ \Delta } =\frac { 51 }{ 17 } =3\)
∴ தீர்வுக் கணம் {-2,3}

\(A=\left[ \begin{matrix} 8 & -4 \\ -5 & 3 \end{matrix} \right] \)
|A| = 24 - 20 = 4 ≠ 0.
A^-1 ஐக் காண இயலும்.
\(\operatorname{adj} A=\left[\begin{array}{ll} 3 & 4 \\ 5 & 8 \end{array}\right]\)
\(\begin{aligned} \mathrm{A}(\operatorname{adj} \mathrm{~A}) & =\left[\begin{array}{cc} 8 & -4 \\ -5 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 3 & 4 \\ 5 & 8 \end{array}\right] \\ & =\left[\begin{array}{cc} 24-20 & 32-32 \\ -15+15 & -20+24 \end{array}\right] \\ & =\left[\begin{array}{cc} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{array}\right] ....(1) \end{aligned}\)
\((\operatorname{adj} A) A=\left[\begin{array}{ll} 3 & 4 \\ 5 & 8 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 8 & -4 \\ -5 & 3 \end{array}\right]\)
             \(\begin{aligned} & =\left[\begin{array}{cc} 24-20 & -12+12 \\ 40-40 & -20+24 \end{array}\right] \\ & =\left[\begin{array}{ll} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{array}\right] ....(2) \end{aligned}\)
\(|\mathrm{A}| \mathrm{I}_2=4\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{array}\right]\) ...(3)
(1), (2) மற்றும் (3) லிருந்து,
A(adj A) = (adj A) A = |A| I₂.

RHS :  A^T =\(\frac { 1 }{ 9 } \left[ \begin{matrix} -8 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 7 \\ 1 & -8 & 4 \end{matrix} \right] \)
LHS : A என்பது வரிசை 3 உடைய அணி என்பதால் 
A^T=\(\frac { 1 }{ 9 } \left[ \begin{matrix} -8 & 4 & 1 \\ 1 & 4 & -8 \\ 4 & 7 & 4 \end{matrix} \right] \)                        ....(1)
\({ (\lambda A) }^{ -1 }=\frac { 1 }{ \lambda } .{ A }^{ -1 }\)எனவே அறிவோம்.
\({ A }^{ -1 }={ \left\{ \frac { 1 }{ 9 } \left[ \begin{matrix} -8 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 7 \\ 1 & -8 & 4 \end{matrix} \right] \right\} }^{ -1 }=\frac { 1 }{ \frac { 1 }{ 9 } } { \left[ \begin{matrix} -8 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 7 \\ 1 & -8 & 4 \end{matrix} \right] }^{ T }\)
இங்கு \(\lambda =\frac { 1 }{ 9 } \)
\({ A }^{ -1 }=9{ B }^{ -1 }\) இங்கு \(\\ B={ \left[ \begin{matrix} -8 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ -8 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 7 \\ 4 \end{matrix} \right] }^{ T }\)      ...(2)
இங்கு, |B|=-8\(\left| \begin{matrix} 4 & 7 \\ -8 & 4 \end{matrix} \right| -1\left| \begin{matrix} 4 & 7 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right| +4\left| \begin{matrix} 4 & 4 \\ 1 & -8 \end{matrix} \right| \)
= -8(16 + 56) -1(16 - 7) + 4 (-32 - 4)
=-8(72) -1(9) + 4(-36) = 576 - 9 - 144
= -729
\(adj\ B={ \left[ \begin{matrix} +\begin{vmatrix} 4 & 7 \\ -8 & 4 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ -8 & 4 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 4 & 7 \end{vmatrix} \end{matrix}\begin{matrix} -\begin{vmatrix} 4 & 7 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} -8 & 4 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} -8 & 4 \\ 4 & 7 \end{vmatrix} \end{matrix}\begin{matrix} +\begin{vmatrix} 4 & 4 \\ 1 & -8 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} -8 & 1 \\ 1 & -8 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} -8 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(=\left[ \begin{matrix} +(16+56) \\ -(4+32) \\ +(7-16) \end{matrix}\begin{matrix} -(16-7) \\ +(-32-4) \\ -(-56-16) \end{matrix}\begin{matrix} +(-32-4) \\ +(64-1) \\ +(-32-4) \end{matrix} \right] ^T\)
\(={ \left[ \begin{matrix} 72 \\ -36 \\ -9 \end{matrix}\begin{matrix} -9 \\ -36 \\ 72 \end{matrix}\begin{matrix} -36 \\ -63 \\ -36 \end{matrix} \right] }^{ T }=\left[ \begin{matrix} 72 \\ -9 \\ -36 \end{matrix}\begin{matrix} -36 \\ -36 \\ -63 \end{matrix}\begin{matrix} -9 \\ 72 \\ -36 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac {1}{81} \times 9\left[ \begin{matrix} 8 \\ -1 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ -4 \\ -7 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ +8 \\ -4 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore { B }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |B| } adj\quad B=\frac { -9 }{ 729 } \left[ \begin{matrix} 8 \\ -1 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ -4 \\ -7 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ +8 \\ -4 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 82 } \left[ \begin{matrix} -8 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -8 \\ 4 \end{matrix} \right] \)
(2) பிரதியிட கிடைப்பது, 
\({ A }^{ -1 }=9.\frac { 1 }{ 81 } \left[ \begin{matrix} -8 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -8 \\ 4 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 9 } \left[ \begin{matrix} -8 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -8 \\ 4 \end{matrix} \right] \quad ...(3)\)
(1) மற்றும் (3) லிருந்து கிடைப்பது, A^T = A^-1

i) \({ \tan }^{ -1 }\left( -\sqrt { 3 } \right) ={ \tan }^{ -1 }\left( \tan\left( -\frac { \pi }{ 3 } \right) \right) =-\frac { \pi }{ 3 } \), ஏனெனில் \(-\frac { \pi }{ 3 } \in \left( -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right) \)
ii) \({ \tan }^{ -1 }\left( \tan\frac { 3\pi }{ 5 } \right) \)
tan \(\theta\) = tan \(\frac{3\pi}{5}\) எனுமாறு \(\theta \in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\) ஐ நாம் கண்டறிய வேண்டும்.
தொடுகோட்டுச் சார்பின் காலம் \(\pi \) என்பதால், \( \tan \frac{3\pi}{5}=\tan(\frac{3\pi}{5}-\pi)=\tan(-\frac{2\pi}{5})\)
எனவே, \({ \tan }^{ -1 }\left( \tan\frac { 3\pi }{ 5 } \right) ={ \tan }^{ -1 }\left( \tan\left( -\frac { 2\pi }{ 5 } \right) \right) =-\frac { 2\pi }{ 5 } ,\) ஏனெனில் \(-\frac {2\pi }{ 5 } \in \left( -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right) .\)
iii) tan(tan^-1 x) = x, x ∈ R, என்பதால், tan(tan^-1(2019)) = 2019 ஆகும்.

\(\cos\left( { \cos }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) +{ \sin }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \right) \)
cos^-1 \(\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \) = θ ⇒ \(\frac { 4 }{ 5 } \) = cos θ என்க.    ...(1)
மேலும் sin^-1 \(\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \) = sin^-1 (cos θ)
= sin^-1\(\left( \sin\left( \frac { \pi }{ 2 } -\theta \right) \right) \)
[∵ cosθ = sin \(\sin\left( \frac { \pi }{ 2 } -\theta \right) \) ]
= \(\frac { \pi }{ 2 } -\theta \)    ...(2)
\(\therefore \cos\left( { \cos }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) +{ \sin }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \right) \)
= cos \(\left( \theta +\frac { \pi }{ 2 } -\theta \right) \) [(1) மற்றும் (2) ஐ பயன்படுத்தி]
= cos \(\frac { \pi }{ 2 } =0\)

நாம் \({ 1 }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\) ஐ காணவேண்டும் z = \({ 1 }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\) எனில, z³ = 1 ஆகும்.
z³= 1 என்ற சமன்பாட்டை துருவ வடிவில் எழுத
z³ = cos(0 + 2kπ) + isin(0 + 2kπ) = e^i2kπ, k = 0,1,2...,
எனவே, z \(=cos\left( \frac { 2k\pi }{ 3 } \right) +isin\left( \frac { 2k\pi }{ 3 } \right) ={ e }^{ i\frac { 2k\pi }{ 3 } }\),  k = 0,1,2.
k=0,1,2, எனப்பிரதியிட
k=0, z =cos 0 + i sin 0 = 1
k=1, \(z=cos\frac { 2\pi }{ 3 } +isin\frac { 2\pi }{ 3 } =cos\left( \pi -\frac { \pi }{ 3 } \right) +isin\left( \pi -\frac { \pi }{ 3 } \right) \)
\(=-cos\frac { \pi }{ 3 } +isin\frac { \pi }{ 3 } =-\frac { 1 }{ 2 } +i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \)
k=2, z \(=cos\frac { 4\pi }{ 3 } +isin\frac { 4\pi }{ 3 } =cos\left( \pi +\frac { \pi }{ 3 } \right) +isin\left( \pi +\frac { \pi }{ 3 } \right) \)
\(=-cos\frac { \pi }{ 3 } +isin\frac { \pi }{ 3 } =-\frac { 1 }{ 2 } -i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \)
ஆகவே, ஒன்றின் மூன்றாம் படிமூலங்கள்
1, \(\frac { -i+i\sqrt { 3 } }{ 2 } ,\frac { -1-i\sqrt { 3 } }{ 2 } \Rightarrow 1,\omega \), மற்றும் \({ \omega }^{ 2 }\), இங்கு \(\omega ={ e }^{ i\frac { 2\pi }{ 3 } }\)=\(\frac { -i+i\sqrt { 3 } }{ 2 } \)

இங்கு a = 9, b = -36, c = 44, d= -16
மூலங்கள் கூட்டுத் தொடரில் அமைந்தவை ஆதலால், மூலங்கள் a - d, a மற்றும் a + d என்க.
மூலங்களின் கூடுதல் =\(\frac { -b }{ a } \)
⇒ (a-d)+(a)+(a+d)=\(\frac { -(-36) }{ 9 } \)=4
⇒ 3a=4 ⇒ a=\(\frac { 4 }{ 3 } \) மற்றும் மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் =\(\frac { -d }{ a } \)
=\(\frac { -(-16) }{ 9 } =\frac { 16 }{ 9 } \)
⇒ (a-d)(a)(a+d)=\(\frac { 16 }{ 9 } \)
(a²-d²)(a)=\(\frac { 16 }{ 9 } \)
\(\left( \frac { 16 }{ 9 } -{ d }^{ 2 } \right) \left( \frac { 4 }{ 3 } \right) =\frac { 16 }{ 9 } \)  [∵ a=\(\frac { 4 }{ 3 } \)]
\(\frac { 16 }{ 9 } -d^{ 2 }=\frac { 16 }{ 9 } \times \frac { 3 }{ 4 } =\frac { 4 }{ 3 } \)
\(\frac { 16 }{ 9 } -\frac { 4 }{ 3 } \)=d²
⇒ d²=\(\frac { 16-12 }{ 9 } =\frac { 4 }{ 9 } \)
⇒ d=\(\pm \sqrt { \frac { 4 }{ 9 } } =\frac { 2 }{ 3 } \)
∴ மூலங்களாவன a-d, a, a+d
⇒\(\frac { 4 }{ 3 } -\frac { 2 }{ 3 } ,\frac { 4 }{ 3 } ,\frac { 4 }{ 3 } +\frac { 2 }{ 3 } \Rightarrow \frac { 2 }{ 3 } ,\frac { 4 }{ 3 } ,2\).

\({ \tan }^{ -1 }\frac { x }{ y } -{ \tan }^{ -1 }\frac { x-y }{ x+y } \)
= tan^-1 \(\left( \frac { \frac { x }{ y } -\frac { x-y }{ x+y } }{ 1+\frac { x }{ y } \left( \frac { x-y }{ x+y } \right) } \right) \)
[∵ tan^-1 x - tan^-1 y = tan^-1 \(\left( \frac { x-y }{ 1+xy } \right) \)]
= tan^-1 \(\left( \frac { \frac { x(x+y)-y(x-y) }{ y(x+y) } }{ \frac { y(x+y)+x(x-y) }{ y(x+y) } } \right) \)

= tan^-1 (1) = \(\frac { \pi }{ 4 } \)

LHS = tan^-1 x + tan^-1 \(\frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \)
= tan^-1 \(\left( \frac { x+\frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } }{ 1-x\left( \frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) } \right) \)
= tan^-1 \(\left( \frac { \frac { x(1-{ x }^{ 2 })+2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } }{ \frac { 1-{ x }^{ 2 }-{ 2x }^{ 2 } }{ 1-{ x }^{ 2 } } } \right) \)
= tan^-1 \(\left( \frac { \frac { x-{ x }^{ 3 }+2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } }{ \frac { 1-{ 3x }^{ 2 } }{ 1-{ x }^{ 2 } } } \right) \)
\(\left[ \because \left| x \right| <\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \right] \)
= tan^-1 \(\left( \frac { 3x-{ x }^{ 3 } }{ 1-{ x }^{ 2 } } \times \frac { 1-{ x }^{ 2 } }{ 1-{ 3x }^{ 2 } } \right) \)
\(\left[ \because \left| x \right| <\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } { x }^{ 2 }<\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow { 3x }^{ 2 }<1 \right] \)
= tan^-1 \(\left( \frac { 3x-{ x }^{ 3 } }{ 1-{ 3x }^{ 2 } } \right) \)

tan⁻¹(−1) = y என்க. எனவே tan y = -1 = -tan\(\frac{\pi}{4}=\tan(-\frac{\pi}{4})\)
இங்கு \(−\frac{\pi}{4}\in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}),\) என்பது குறிப்பிடத்தக்கது. எனவே, \(\tan^{-1}(-1)=-\frac{\pi}{ 4}\)
இனி, cos^-1\((\frac{1}{2})\) = y எனில் cos y = \(\frac{1}{2}\) = cos\(\frac{\pi}{3}\)
\(\frac{\pi}{3}\)\(\in\)[0, \(\pi\)] என்பதால் cos^-1 \((\frac{1}{2})=\frac{\pi}{3}\)
மேலும், sin^-1\((-\frac{1}{2})\) = y எனில் sin y = -\(\frac{1}{2}\) = sin(-\(\frac{\pi}{6}\))
-\(\frac{\pi}{6}\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}], \) என்பதால் \(\sin^{-1}(-\frac{1}{2})=-\frac{\pi}{6}\)
எனவே tan⁻¹(−1) + cos^-1\((\frac{1}{2})+\sin^{-1}(-\frac{1}{2})=-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{12}\)

கொடுக்கப்பட்ட \(A=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(|A|=0-1\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right| +1\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}\)
= -1( 0-1) +1(1-0) =1+1 = 2
\(adjA{ =\left[ \begin{matrix} +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \end{matrix}\begin{matrix} -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \end{matrix}\begin{matrix} +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} \left( 0-1 \right) \\ -\left( 0-1 \right) \\ +\left( 1-0 \right) \end{matrix}\begin{matrix} -\left( 0-1 \right) \\ +\left( 0-1 \right) \\ -\left( 0-1 \right) \end{matrix}\begin{matrix} +\left( { 1-0 } \right) \\ -\left( 0-1 \right) \\ +\left( 0-1 \right) \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(=\left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] ....(1)\)
இங்கு \( { A }^{ 2 }=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} +1 \\ +0 \\ +1 \end{matrix}\begin{matrix} +1 \\ +1 \\ +0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} +0 \\ +0 \\ +0 \end{matrix}\begin{matrix} +1 \\ +1 \\ +0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} +1 \\ +0 \\ +1 \end{matrix}\begin{matrix} +0 \\ +0 \\ +0 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ 2 }-3I=\left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right] -3\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} -3 \\ -0 \\ -0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} -0 \\ -3 \\ -0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} -0 \\ -0 \\ -3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ { A }^{ 2 }-3I \right] \)

கொடுக்கப்பட்ட \(A=\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\) மற்றும் \(C=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}\)மேலும்,  AXB = C
A^-1 ஆல் முன்புறம் பெருக்க கிடைப்பது.
\(\Rightarrow B={ A }^{ -1 }C.\ \quad \left[ \therefore \ { A }^{ -1 }A=1 \right] \)
B^-1 ஆல் பின்புறம் பெருக்க கிடைப்பது.
\(\left( XB \right) { B }^{ -1 }=\left( { A }^{ -1 }C \right) { B }^{ -1 }\)
\(\Rightarrow X=\left( { A }^{ -1 }C \right) { B }^{ -1 }\)
\(\left| A \right| =\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix}=0+2\neq 0\)
\(\therefore { A }^{ -1 }\frac { 1 }{ |A| } adjA=\frac { 1 }{ 2 } \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}\)
\(|B|=\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=3+2=5\neq 0\)
\(\therefore { B }^{ -1 }=\frac { 1 }{ \left| B \right| } adj\quad B=\frac { 1 }{ 5 } \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}\)
\({ A }^{ -1 }C=\frac { 1 }{ 2 } \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} 0 & +2 \\ -2 & +2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 & +2 \\ -2 & +2 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=\frac { 1 }{ 2 } \left( 2 \right) \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)
\(\therefore X=Z\left( { A }^{ -1 }C \right) .{ B }^{ -1 }\)
\(=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\frac { 1 }{ 5 } \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}=\frac { 1 }{ 5 } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 \\ 0 & +0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 & +3 \\ 0 & +0 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 5 } \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=\frac { 1 }{ 5 } \left( 5 \right) \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)
\(\therefore X=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)

x³ + 2x² + 3x + 4 = 0 மூலங்கள் α, β, \(\gamma \)
∴ α + β + \(\gamma \) = -x² -ன் கெழு = -2  ......(1)
αβ + β\(\gamma \) + \(\gamma \)α = x-ன் கெழு = 3   ......(2)
-α β \(\gamma \) =+4 ⇒ α β \(\gamma \)= -4                 ......(3)
\(\frac { 1 }{ \alpha } ,\frac { 1 }{ \beta } ,\frac { 1 }{ \gamma } \)  வை மூலங்களாக உடைய முப்படி சமன்பாட்டை உருவாக்குக.
\(\frac { 1 }{ \alpha } +\frac { 1 }{ \beta } +\frac { 1 }{ \gamma } =\frac { \beta \gamma +\gamma \alpha +\alpha \beta }{ \beta \gamma } =\frac { 3 }{ -4 } =\frac { -3 }{ 4 } \)
\(\frac { 1 }{ \alpha \beta } +\frac { 1 }{ \beta \gamma } +\frac { 1 }{ \gamma \alpha } =\frac { \gamma +\alpha +\beta }{ \alpha \beta \gamma } =\frac { -2 }{ -4 } =\frac { 1 }{ 2 } \)
\(\left( \frac { 1 }{ \alpha } \right) \left( \frac { 1 }{ \beta } \right) \left( \frac { 1 }{ \gamma } \right) =\frac { 1 }{ \alpha \beta \gamma } =\frac { 1 }{ -4 } =-\frac { 1 }{ 4 } \)
∴ தேவையான முப்படி சமன்பாடு
x³-\(\left( \frac { 1 }{ \alpha } +\frac { 1 }{ \beta } +\frac { 1 }{ \gamma } \right) { x }^{ 2 }+\left( \frac { 1 }{ \alpha \beta } +\frac { 1 }{ \beta \gamma } +\frac { 1 }{ \gamma \alpha } \right) x-\left( \frac { 1 }{ \alpha } .\frac { 1 }{ \beta } .\frac { 1 }{ \gamma } \right) \)=0
⇒ x³+\(\frac { 3 }{ 4 } x^{ 2 }+\frac { 1 }{ 2 } x+\frac { 1 }{ 4 } \)=0
4ஆல் பெருக்க கிடைப்பது
4x³+3x²+2x+1=0

|2z−3−i|=3
|2(x+iy)−3−i|=3
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த,
|(2x−3)+(2y−1)i|²|= 9
⇒ (2x−3)2+(2y−1)² = 9
⇒ 4x² + 4y² - 12x - 4y + 1 = 0, என்பது கார்ட்டீசியன் வடிவில் z-ன் நியமப்பாதை ஆகும்

= (5 - 2i)² + 2 (5 - 2i) ( -1 + 3i) + (-1 + 3i)²
= 25 + 4i² -20i + 2[-5 + 15i + 2i -6i²] + 1+ 9i²-6i
= 25 -4 -20i + 2 (-5 + 17i + 6) + 1 -9-6i [∵ 2=-1]
= 21 -20i + 2 (1 + 17i) -8-6i
= 21 -20i + 2 + 34i -8 -6i = 15 + 8i

\(\left| { z }_{ 1 } \right| =\left| { z }_{ 2 } \right| =\left| { z }_{ 3 } \right|\) = 1 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
எனவே, \({ \left| { z }_{ 1 } \right| }^{ 2 }=1\Rightarrow { z }_{ 1 }\bar { { z }_{ 1 } } =1,{ \left| { z }_{ 2 } \right| }^{ 2 }=1\Rightarrow { z }_{ 2 }\bar { { z }_{ 2 } } =1\),  மற்றும் \({ \left| { z }_{ 3 } \right| }^{ 3 }=1\Rightarrow { z }_{ 3 }\bar { { z }_{ 3 } } =1\)
 ஆகவே, \(\bar { { z }_{ 1 } } =\frac { 1 }{ { z }_{ 1 } } ,\bar { { z }_{ 2 } } =\frac { 1 }{ { z }_{ 2 } } \), மற்றும் \(\bar { { z }_{ 3 } } =\frac { 1 }{ { z }_{ 3 } } \)
மேலும், \(\left| \frac { 1 }{ { z }_{ 1 } } +\frac { 1 }{ { z }_{ 2 } } +\frac { 1 }{ { z }_{ 3 } } \right| =\left| \bar { { z }_{ 1 } } +\bar { { z }_{ 2 } } +\bar { { z }_{ 3 } } \right| \) 
\(=\left| \overline { { { z }_{ 1 } } +{ { z }_{ 2 } } + { { z }_{ 3 } } }\right| =\left| { { z }_{ 1 } } + { { z }_{ 2 } } + { { z }_{ 3 } } \right| \) = 1

கொடுக்கப்பட்ட adj \(A=\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
இங்கு \(adj(adj\quad A)={ \left[ \begin{matrix} +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} \end{matrix}\begin{matrix} -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} +(2-0) \\ -(0) \\ +(0-2) \end{matrix}\begin{matrix} -(0) \\ +(1+1) \\ -(0) \end{matrix}\begin{matrix} +(0+2) \\ -(0) \\ +(2-0) \end{matrix} \right] }^{ T }={ \left[ \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} \right] }^{ T }\)
adj(adj) A \(=\left[ \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} \right] \)

தொகுப்பின் அணி வடிவம் AX =  B, இங்கு A =\(\left[ \begin{matrix} 5 & 2 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix} \right] \)
|A| = \(\left| \begin{matrix} 5 & 2 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| \) = 10-6 = 4 ≠ 0. எனவே A^-1 காண இயலும். மற்றும் A^-1 = \(\frac { 1 }{ 4 } \left[ \begin{matrix} 2 & -2 \\ -3 & 5 \end{matrix} \right] \)
X = A^-1B என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது
\(\left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 4 } \left[ \begin{matrix} 2 & -2 \\ -3 & 5 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 4 } \left[ \begin{matrix} 6-10 \\ -9+25 \end{matrix} \right] =\frac {1}{4}\left[ \begin{matrix} -4 \\ 16 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac { -4 }{ 4 } \\ \frac { 16 }{ 4 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix} \right] \)
எனவே தீர்வானது (x = -1, y = 4)