\(y={ tan }^{ -1 }\frac { 3x+2x }{ 1-3x2x } \)
= \({ tan }^{ -1 }3x+{ tan }^{ -1 }2x\)
\(\Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { 3 }{ 1+9{ x }^{ 3 } } +\frac { 2 }{ 1+4{ x }^{ 2 } } \)

On differentiating e^y (x+1) = 1
e^y+(x+1)e^ydy/dx = 0
\(\Rightarrow { e }^{ y }+\frac { dy }{ dx } =0\)
\(\Rightarrow \frac { dy }{ dx } ={ -e }^{ y }\)

We have, y = \(log\left( tanx\frac { x }{ 2 } \right) \)
\(\frac { dy }{ dx } =\frac { 1 }{ \frac { tanx }{ 2 } } \times { sec }^{ 2 }\frac { x }{ 2 } \times \frac { 1 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { \frac { cosx }{ 2 } }{ \frac { sinx }{ 2 } } \times \frac { 1 }{ { cos }^{ 2 }\frac { x }{ 2 } } \times \frac { 1 }{ 2 } \)
\(=\frac { 1 }{ 2sin\frac { x }{ 2 } cos\frac { x }{ 2 } } =\frac { 1 }{ sinx } \)
\(\Rightarrow \frac { dy }{ dx } =cosecx\)

We have, x = \(\frac { at }{ 1+{ t }^{ 2 } } ,y=\frac { { at }^{ 2 } }{ 1+{ t }^{ 2 } } \)
\(\frac { dx }{ dt } =\frac { { (1+t) }^{ 2 }a-at(2t) }{ { (1+{ t }^{ 2 }) }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow\)  \(\frac { dx }{ dt } =\)\(\frac { a+a{ t }^{ 2 }-2a{ t }^{ 2 } }{ { (1+{ t }^{ 2 }) }^{ 2 } } \)
=\(\frac { a-a{ t }^{ 2 } }{ { (1+{ t }^{ 2 }) }^{ 2 } } \)
and \(\frac { dy }{ dt } =\frac { { (1+{ t }^{ 2 } })^{ 2 }2at-a{ t }^{ 2 }(2t) }{ { (1+{ t }^{ 2 } })^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow\)\(\frac { dy }{ dt } =\frac { 2at+2a{ t }^{ 3 }-2a{ t }^{ 3 } }{ { (1+{ t }^{ 2 }) }^{ 2 } } =\frac { 2at }{ { (1+{ t }^{ 2 }) }^{ 2 } } \)
\(\therefore\) \(\frac { dy }{ dx } =\frac { 2at }{ { (1+{ t }^{ 2 } })^{ 2 } } \times \frac { { (1+{ t }^{ 2 } })^{ 2 } }{ a-a{ t }^{ 2 } } \)
\(=\frac { 2at }{ a-a{ t }^{ 2 } } =\frac { 2t }{ 1-{ t }^{ 2 } } \)
\({ (\frac { dy }{ dx } ) }_{ att=2 }\) = \(\frac { 2(2) }{ 1-4 } \)
= -4/3

We have, y = a^x +x^a+x^x+a^a
Let v = x^x
log v = x log x
\(\frac { 1 }{ v } \frac { dv }{ dx } =x+\frac { 1 }{ x } +logx\)
\(\frac { dv }{ dx } =v\left| 1+logx \right| \)
= x^x(1+lodx)
\(\frac { dy }{ dx } ={ a }^{ x }loga+a{ x }^{ a-1 }+\frac { dv }{ dx } +0\)
\(\Rightarrow \frac { dy }{ dx } ={ a }^{ x }loga+a{ x }^{ a-1 }+{ x }^{ x }(1+logx)\)

Given, y = tan^-1\(\sqrt { \frac { sinx }{ 1+cosx } } \)
y = tan^-1\(\sqrt { \frac { 2sin\frac { x }{ 2 } cos\frac { x }{ 2 } }{ 2{ cos }^{ 2 }\frac { x }{ 2 } } } \)
y = tan^-1\(\left( \sqrt { tan\frac { x }{ 2 } } \right) \)
y = tan^-1

We have, y = tan^-1\(\sqrt { \frac { 1-x }{ 1+x } } \)
Put x = cos2\(\theta\)
\(\Rightarrow\)2\(\theta\) = cos^-1x
\(\Rightarrow\)\(\theta\) = 1/2cos^-1x
y = tan^-1\(\sqrt { \frac { 1-cos2\theta }{ 1+cos2\theta } } \)
y = \({ tan }^{ -1 }\sqrt { \frac { 2{ sin }^{ 2 }\theta }{ 2{ cos }^{ 2 }\theta } } \)
(\(\because\)cos2\(\theta\) = 2cos²\(\theta\)-1 = 1-2sin²\(\theta\)
y = tan^-1(tan \(\theta\))
y = \(\theta\) = 1/2cos^-1x
\(\frac { dy }{ dx } =\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { -1 }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } \right) =\frac { -1 }{ 2\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } \)​​​​​​​

\(\frac { dx }{ d\theta } =\theta cos\theta +sin\theta \)
\(\frac { dy }{ d\theta } =-\theta sin\theta +cos\theta \)
\(\frac { dy }{ dx } =\frac { cos\theta -\theta sin\theta }{ \theta cos\theta +sin\theta } \)
dy/dx at \(\theta\)= \(\pi/4\)
\(=\frac { cos\frac { \pi }{ 4 } -\frac { \pi }{ 4 } sin\frac { \pi }{ 4 } }{ \frac { \pi }{ 4 } cos\frac { \pi }{ 4 } +sin\frac { \pi }{ 4 } } \)
\(=\frac { \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } -\frac { \pi }{ 4 } \times \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } }{ \frac { \pi }{ 4 } \times \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } } \)
=\(\frac { 1-\frac { \pi }{ 4 } }{ \frac { \pi }{ 4 } +1 } \)
\(\Rightarrow\)\(\frac { dy }{ dx } =\frac { 4-\pi }{ 4+\pi } \)

We have y = log(sin x)
dy/dx = d/dx \(\left| log(sinx) \right| \)
= \(\frac { 1 }{ sinx } \times cosx\)
\(\Rightarrow\) dy/dx = cot x
\(\therefore\)  \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } =-{ cosec }^{ 2 }x\)

We have y = \(f({ e }^{ { { sin }^{ -1 } } }2x)\)
dy/dx = f^'\(({ e }^{ { { sin }^{ -1 } } }2x)\) x d/dx \(({ e }^{ { { sin }^{ -1 } } }2x)\)
= f^'\(({ e }^{ { { sin }^{ -1 } } }2x)\)x\(({ e }^{ { { sin }^{ -1 } } }2x)\)xd/dx(sin^-12x)
= f^'\(({ e }^{ { { sin }^{ -1 } } }2x)\)x\(({ e }^{ { { sin }^{ -1 } } }2x)\)x\(\frac { 1 }{ \sqrt { 1-4{ x }^{ 2 } } } \times 2\)
= \(\frac { 2{ e }^{ sin-1 }2x }{ \sqrt { 1-4{ x }^{ 2 } } } { f }^{ ' }({ e }^{ sin-1 }2x)\)