⇒ 3x + (2x - 3y)i = 6 + 3i⁹
⇒ 3x + (2x - 3y)i = 6 + 3.i⁴.i⁴.i¹
⇒ 3x + (2x - 2y)i = 6 + 3i
மெய் மற்றும் கற்பனை பகுதிகளை சமப்படுத்த கிடைப்பது.
3x = 6 ⇒ x = 2
2x - 3y = 3 ⇒ 2(2) - 3y = 3
⇒ 4 - 3y = 3
⇒ 4 - 3 = 3y
⇒ 3y = 1 ⇒ y = \(\frac13\)
∴ x = 2, y = \(\frac13\)

|(1 + 3i)³ | = |1 + 3i|³ = \({ [\sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } ] }^{ 3 }\) 
= \({ (\sqrt { 10 } ) }^{ 3 }\) = \(\sqrt { 10 } \times \sqrt { 10 } \times \sqrt { 10 } =10\sqrt { 10 } \)

z = -2 என்க
z = 2(-1) = 2 (cosπ + isinπ)
ஃ arg(z) =  π

LHS = (1 + ω²)³ - (1 + ω)³ 
= (-ω)³ - (-ω²)³ [∵ 1 + ω + ω² = 0]
= -ω³ + ω⁶
= -1 + 1 = 0

i²⁵ = (i⁴)⁶ x i¹ = 1⁶ x i = i
∴ |i²⁵| = | i | = 1

கொடுக்கப்பட்ட p + iq = \(\frac { { (a+i) }^{ 2 } }{ 2a-i } \)  ...(1)
இருபுறமும் இணை எடுக்க கிடைப்பது
  p + iq = \(\frac { { (a+i) }^{ 2 } }{ 2a-i } \)   ...(2)
(1) மற்றும் (2) ஐ பெருக்க கிடைப்பது,
\((p+iq)(p-iq)=\frac { { (a+i) }^{ 2 } }{ 2a-i } \times \frac { { (a+i) }^{ 2 } }{ { 2a }-i } \)
\({ p }^{ 2 }+{ q }^{ 2 }=\frac { { [(a+i) }^{ 2 }{ (a+i) }^{ 2 }] }{ { 4a }^{ 2 }-i } =\frac { { (a+i) }^{ 2 } }{ { 4a }^{ 2 }-i } \)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

∴ \(\frac { \bar { z } +1 }{ \bar { z } -1 } =\frac { x+iy+1 }{ x+iy-i } =\frac { (x+1)+iy }{ x+i(y-i) } \)
\(=\frac { (x+1)+iy }{ x+i(y-1) } \times \frac { x-i(y-1) }{ x-i(y-1) } \)
மெய் பகுதியை மட்டும் தேர்ந்தெடுக்க கிடைப்பது.
\(\frac { (x+1)x-{ i }^{ 2 }y(y-1) }{ { x }^{ 2 }+({ y-1) }^{ 2 } } =0\)
⇒ x (x + 1) +y (y - 1) = 0
⇒ x²+ x + y² - y = 0 என்பது z - ன் நியமப்பாதை.

கொடுக்கப்பட்ட |3z - 5| = 3 lz + 1|
⇒ |3(x + iy) - 51 = 3 |x+ iy + 1|
⇒ |(3x- 5) + 3y| = 3 |(x + 1) + iy|
⇒ \(\sqrt { { (3x-5) }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } =3[\sqrt { { (x+1) }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது,
(3x - 5)² + 9 = 9 [(x + 1)² + y²]
⇒ 9x² - 30x + 25 + 9 = 9 [x²+ 2x + 1 +y²]
⇒ 48x-16 = 0
⇒ 3x-1 = 0

\(\frac { z+1 }{ z-1 } =\frac { x+iy+1 }{ x+iy-i } =\frac { (x+1)+iy }{ x+i(y-i) } \)
\(=\frac { (x+1)+iy }{ x+i(y-1) } \times \frac { x-i(y-1) }{ x-i(y-1) } \)
மெய்பகுதியை மட்டும் தேர்ந்தெடுக்க கிடைப்பது.
\(\frac { (x+1)x-{ i }^{ 2 }y(y-1) }{ { x }^{ 2 }+({ y-1) }^{ 2 } } =0\)
⇒ x (x + 1) +y (y - 1) = 0
x²+ x + y² - y = 0 என்பது z - ன் நியமப்பாதை.

P (x, y), A(2, 1), மற்றும் B(1, -2) என்பன கொடுக்கப்பட்ட கலப்பெண்கள் என்க.
∴ கொடுக்கப்பட்ட PA = PB ⇒ PA² = PB²
⇒(x - 2)² + (y - 1)² = (x - 1)² + (y + 2)²
 =
⇒ -4x - 2y + 5 = -2x + 4y + 5
⇒ -2x - 6y = 0
⇒ x + 3y = 0

\(\bar { z } =x-iy\) என்பது கொடுக்கப்பட்ட கலப்பெண் என்க
∴ z\(\bar { z } \) = (x + iy)(x - iy) = x² + y²
∴ z\(\bar { z } \) -(2+ 3i)z -(2 -3i) \(\bar { z } \) + 9
⇒ x² + y² - (2 + 3i) (x + iy) - (2 - 3i)(x - iy) + 9 = 0
⇒ x² + y² - [ 2x + 2iy + 3ix + 3i²y] - [2x - 2iy - 3ix + 3i²y] + 9 = 0

⇒ x² + y² - 4x + 6y + 9 = 0
இங்கு 2u = -4 ⇒u = -2
2v = 6 ⇒ v = 3 மற்றும் d = 9
∴ வட்டத்தின் மையம் (-u, -v) = (2, -3)
ஆரம் = \(\sqrt { { u }^{ 2 }+{ v }^{ 2 }-d } =\sqrt { 4+9-9 } \)
= \(\sqrt { 4 } =2\) அலகுகள்
எனவே வட்டத்தின் மையம் (2, -3) மற்றும் ஆரம் 2 அலகுகள்.

\(2-2i=r(cos\theta +isin\theta )\) என்க
\(\\ r=\sqrt { { 2 }^{ 2 }+({ -2) }^{ 2 } } =\sqrt { 4+4 } =\sqrt { 8 } =2\sqrt { 2 } \)
முதன்மை மதிப்பு \(\alpha ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { y }{ x } \right| ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { -z }{ z } \right| \)
= \({ tan }^{ -1 }(1)=\frac { \pi }{ 4 } \)
2 - 2i என்ற கலப்பெண் கால்பகுதியில் அமைந்துள்ளதால், \(\theta =-\alpha =-\frac { \pi }{ 4 } \)
\(\therefore 2-2i=2\sqrt { 2 } { \left[ cos\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) \right] }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)
\(\therefore { (2-2i) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }={ \left( 2\sqrt { 2 } \right) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }{ \left[ cos\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) \right] }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)
\(={ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }\left[ cos\frac { 1 }{ 3 } \left( 2k\pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\frac { 1 }{ 3 } \left( 2k\pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) \right] \)
k  = 0,1,2 மூலங்கள்
∴ k = 0 எனில், \({ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( -\frac { \pi }{ 12 } \right) \)
k = 1 எனில், \({ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( \frac { 7\pi }{ 12 } \right) \)
k = 2 எனில், \({ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( \frac { 15\pi }{ 12 } \right) \)
∴ மூலங்களின் பெருக்கல் பலன்
\(={ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( -\frac { \pi }{ 12 } +\frac { 7\pi }{ 12 } +\frac { 15\pi }{ 12 } \right) \)
= \({ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( \frac { 21\pi }{ 12 } \right) \) = \({ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( \frac { 7\pi }{ 12 } \right) \)
= \({ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( 2\pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) ={ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) \)
= \({ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }\left[ cos\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) \right] \) 
\(={ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }\left[ cos\left( \frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\left( \frac { \pi }{ 4 } \right) \right] \)
\(={ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }\left[ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } -\frac { i }{ \sqrt { 2 } } \right] ={ 2 }^{ 2\times \frac { 1 }{ 6 } }\left( \frac { 1-i }{ \sqrt { 2 } } \right) ={ 2 }^{ 1/2 }\left( \frac { 1-i }{ \sqrt { 2 } } \right) \)
= 1 - i 

LHS = 2 arg (-1)
= 2 arg (cos π + i sin π) = 2π
RHS = arg(-1)² = arg (1)
= arg (cos θ + i sin θ) = 0
ஃ LHS ≠ RHS

LHS = \({ \left( \frac { \sqrt { 3 } +i }{ \sqrt { 3 } -i } \right) }^{ 2\omega }+{ \left( \frac { i-\sqrt { 3 } }{ i+\sqrt { 3 } } \right) }^{ 2\omega }\)
\(={ \left( \frac { \sqrt { 3 } +i }{ \sqrt { 3 } -i } \times \frac { \sqrt { 3 } +i }{ \sqrt { 3 } +i } \right) }^{ 2\omega }+{ \left( \frac { \sqrt { 3 } +i }{ \sqrt { 3 } -i } \times \frac { \sqrt { 3 } -i }{ \sqrt { 3 } -i } \right) }^{ 2\omega }\)
\(={ \left( \frac { 3-1+2\sqrt { 3i } }{ 3+1 } \right) }^{ 2\omega }+{ \left( \frac { -3+1+2\sqrt { 3i } }{ 3+1 } \right) }^{ 2\omega }\)
\(={ \left( \frac { 2+2\sqrt { 3 } i }{ 4 } \right) }^{ 2\omega }+{ \left( \frac { -2+2\sqrt { 3 } i }{ 4 } \right) }^{ 2\omega }\)
\(={ \left( \frac { 1+\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) }^{ 2\omega }+{ \left( \frac { -1+\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) }^{ 2\omega }\)
\(=\left[ -{ \left[ \frac { -1-\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right] }^{ 2\omega }+{ \left[ \frac { -1+\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right] }^{ 2\omega } \right] \)
= (-ω²)²ω + (ω)²ω [∵ ω = \(\frac { -1+\sqrt { 3 } i }{ 2 } \), ω² = \(\frac { -1-\sqrt { 3 } i }{ 2 } \)]
= ω⁴ω + (ω)²ω
= (ω³)¹³³.ω¹ + (ω³)⁶⁶.ω²
= 1.ω + 1.ω [∵ 1 + ω + ω² = 0 மற்றும் ω³ = 1]
= ω + ω² = -1 = RHS எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது