0.6%

\(L(x)=f\left( { x }_{ 0 } \right) +f'\left( { x }_{ 0 } \right) \left( x-{ x }_{ 0 } \right) \) என்ற நேரியல் தோராய மதிப்பை நாம் அறிவோம்.
\(f\left( x \right) ={ x }^{ 3 }-5x+12\) 
\(f'\left( x \right) ={ 3x }^{ 2 }-5\) 
\(f'\left( { x }_{ 0 } \right) =f'\left( 2 \right) =12-5=7\) 
\(f\left( { x }_{ 0 } \right) =f\left( 2 \right) =8-10+12=10\) 
\(L\left( x \right) =7(x-2)\) 
= \(10+7x-14\) 
= 7x - 4

கொடுக்கப்பட்ட நீள்வட்டத்தின் \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\) என்க.
கொடுக்கப்பட்ட \(e=\cfrac { 2 }{ 3 } \) மற்றும் \(\cfrac { { 2b }^{ 2 } }{ a } =5\) 
\(\Rightarrow { 2b }^{ 2 }=5a\) 
\(\therefore { b }^{ 2 }={ a }^{ 2 }(1-{ e }^{ 2 })\) 
= \({ a }^{ 2 }\left( 1-\cfrac { 4 }{ 9 } \right) ={ a }^{ 2 }\left( \cfrac { 5 }{ 9 } \right) \) 
\(\therefore { 2b }^{ 2 }=\cfrac { { 10a }^{ 2 } }{ 9 } \) 
(1) மற்றும் (2)லிருந்து 
\(\cfrac { { 10a }^{ 2 } }{ 9 } =5a\Rightarrow { 10a }^{ 2 }=45a\) 
\({ 10a }^{ 2 }-45a=0\Rightarrow 5a(2-9a)=0\) 
\(\Rightarrow a=0\) (அல்லது) \(a=\cfrac { 9 }{ 2 } \) 
[ \(\therefore\) a=0 சாத்தியமில்லை ]
\(\therefore { a }^{ 2 }=\cfrac { 81 }{ 4 } \) 
\(\therefore { 2b }^{ 2 }=\cfrac { 5\times 9 }{ 2 } =\cfrac { 45 }{ 2 } \Rightarrow { b }^{ 2 }=\cfrac { 45 }{ 4 } \) 
\(\therefore\) நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ \frac { 81 }{ 4 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ \frac { 45 }{ 4 } } =1\) 
\(\Rightarrow \cfrac { 4x^{ 2 } }{ 81 } +\cfrac { { 4y }^{ 2 } }{ 45 } =1\)

பிரதியிடு \(y=\frac { x-1+x-5 }{ 2 } =x-3\)
⇒ x = y + 3
∴ (x-1)⁴+(x-5)⁴ = 82
⇒ (y+3-1)⁴+(y+3-5)⁴ = 82
⇒ (y+2)⁴+ (y-2)⁴ = 82
⇒ 2(y⁴+ 24y²+16) = 82
⇒ y⁴+ 24y²+16 = 41
⇒ y⁴+ 24y²-25 = 0
⇒ (y²+ 25)(y²-1) = 0
⇒ y = 土5i, y = 土1
∴ x = 3土5i, 4, 2.

A=\(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 0 & 8 \end{matrix} \right] \)என்க 
காஸ்-ஜோர்டன் முறையை பயன்படுத்த கிடைப்பது.
\([A|{ I }_{ 3 }]=\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 8 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 2 }-2{ R }_{ 1 }\\ R_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -3 \\ 5 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 1 }+{ R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} 8 \\ -3 \\ 5 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ -2 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+2{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 8 \\ -3 \\ -1 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ -2 \\ -5 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-3{ R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{matrix}|\begin{matrix} -40 \\ 13 \\ -5 \end{matrix}\begin{matrix} 16 \\ -5 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 9 \\ -3 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(\\ \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }\times (-1) }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}|\begin{matrix} -40 \\ 13 \\ 5 \end{matrix}\begin{matrix} 16 \\ -5 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} 9 \\ -3 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
ஆகையால், A^-1\(\left[ \begin{matrix} -40 & 16 & 9 \\ 13 & -5 & -3 \\ 5 & -2 & -1 \end{matrix} \right] \)என அறிவோம்.

இங்கு \(\vec { u } =\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } ,\vec { n } =\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } ,P=38\) ஆகும். \(\overset \rightarrow{ u } \) \(=\hat { i } +\hat { 2j } +\hat { 3k } \) என்ற புள்ளியின் பிம்பப் புள்ளி \(\overset \rightarrow{ v } \)-ன் நிலைவெக்டர் 
\(\vec { v } =\vec { u } +\frac { 2[p-(\vec { u } .\vec { n } )] }{ { \left| \vec { n } \right| }^{ 2 } } \vec { n } \) ஆகும்.
\(\vec { v } =(\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } )+\frac { 2[38-(\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } ).(\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } ))] }{ (\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } ).(\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } ) } (\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } )\)
அதாவது \(\vec { v } =(\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } )+2(\frac { 38-17}{ 21 }) (\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } )= (\hat {3 i } +6\hat { j } +11\hat { k } )\)
எனவே, \(\hat { i } +\hat { 2j } +\hat { 3k } \) என்ற நிலை வெக்டர் கொண்ட புள்ளியின் பிம்பப் புள்ளியின் நிலைவெக்டர் \((\hat {3 i } +6\hat { j } +11\hat { k } )\)ஆகும்.

\({ \sin }^{ -1 }\left( \frac { x }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \right) ={ \cos }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \right) \).என அறிவோம்
எனவே, \(\cos\left( { \sin }^{ -1 }\left( \frac { x }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \right) \right) +\frac { 1 }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } )\)     ...(1)
\({ \cot }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) =\theta \). என்க. பின்னர் \(\cot\theta =\frac { 3 }{ 4 } \)மற்றும் \(\theta \) குறுங்கோணம்.
படத்திலிருந்து, நமக்கு கிடைக்கப்பெறுவது 
\(\sin\left\{ { \cot }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) \right\} =\sin\theta =\frac { 4 }{ 5 } \)        ...(2)
(1) மற்றும் (2)-ஐ கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் பயன்படுத்தும்போது 
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } =\frac { 4 }{ 5 } \), என்பதிலிருந்து \(\sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } =\frac { 5 }{ 4 } \) எனவே, \(x=\pm \frac { 3 }{ 4 } \).

\(A=\left[ \begin{matrix} 8 & -4 \\ -5 & 3 \end{matrix} \right] \)
|A| = 24 - 20 = 4 ≠ 0.
A^-1 ஐக் காண இயலும்.
\(\operatorname{adj} A=\left[\begin{array}{ll} 3 & 4 \\ 5 & 8 \end{array}\right]\)
\(\begin{aligned} \mathrm{A}(\operatorname{adj} \mathrm{~A}) & =\left[\begin{array}{cc} 8 & -4 \\ -5 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 3 & 4 \\ 5 & 8 \end{array}\right] \\ & =\left[\begin{array}{cc} 24-20 & 32-32 \\ -15+15 & -20+24 \end{array}\right] \\ & =\left[\begin{array}{cc} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{array}\right] ....(1) \end{aligned}\)
\((\operatorname{adj} A) A=\left[\begin{array}{ll} 3 & 4 \\ 5 & 8 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 8 & -4 \\ -5 & 3 \end{array}\right]\)
             \(\begin{aligned} & =\left[\begin{array}{cc} 24-20 & -12+12 \\ 40-40 & -20+24 \end{array}\right] \\ & =\left[\begin{array}{ll} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{array}\right] ....(2) \end{aligned}\)
\(|\mathrm{A}| \mathrm{I}_2=4\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{array}\right]\) ...(3)
(1), (2) மற்றும் (3) லிருந்து,
A(adj A) = (adj A) A = |A| I₂.

(i) (i)⁷ = (i)⁴⁺³ = (i)³ = -i
(ii) i¹⁷²⁹ = i¹⁷²⁸ i¹ = i
(iii) (i)^-1924 + (i)²⁰¹⁸ = (i)^-1924+0 + (i)²⁰¹⁶⁺² = (i)⁰ + (i)² = 1 - 1 = 0
(iv) \(\sum _{ n=1 }^{ 102 }{ { i }^{ n } } \) = (i¹ + i² + i³ + i⁴) + (i⁵ + i⁶ + i⁷ + i⁸)+ ..........+ (i⁹⁷ + i⁹⁸ + i⁹⁹ + i¹⁰⁰) + i¹⁰¹ + i¹⁰²
= (i¹ + i² + i³ + i⁴) + (i¹ + i² + i³ + i⁴) + ............(i¹ + i² + i³ + i⁴) + i¹ + i²
= {i + (-1) + (-i) + 1} + {i + (-1) + (-i) + 1} + .........+ {i + (-1) + (-i) + 1} + i + (-1)
= 0 + 0 + .........0 + i −1
= −1 + i (இது என்ன எண்?)
(v) i i²i³ ..... i⁴⁰ = i ^{1+2+3+....+40} = i^{\(\frac { 40\times 41 }{ 2 } \)} = i⁸²⁰ = i⁰ = 1
i- ன் நான்கு தொடர்ச்சியான அடுக்குகளின் கூடுதல் பூச்சியமாகும். iⁿ+ iⁿ⁺¹ + iⁿ⁺² + iⁿ⁺³ = 0

19 ஒரு பகா எண் மற்றும் ஒரு முக்கோணத்தின் அனைத்து கோணங்களும் சமம் \(\Rightarrow p\wedge q\) .

x,y என்பன இரண்டு மிகை எண்கள் என்க 
கொடுக்கப்பட்ட பெருக்குத்தொகை \(20\Rightarrow xy=20\) 
\(\Rightarrow y=\cfrac { 20 }{ x } \) 
கூடுதல் \(S=x+y\) 
\(S=x+\cfrac { 20 }{ x } \) 
\(\cfrac { ds }{ dx } =1-\cfrac { 20 }{ { x }^{ 2 } } \) 
பெருமம் அல்லது சிறுமத்திற்கு \(\cfrac { dS }{ dx } =0\) 
\({ x }^{ 2 }-20=0\) 
\({ x }^{ 2 }=20\) 
\(x=\pm 2\sqrt { 5 } \) 
\(x=-2\sqrt { 5 } \) என்பது சாத்தியமல்ல 
\(\cfrac { { d }^{ 2 }S }{ { dx }^{ 2 } } =\cfrac { 40 }{ { x }^{ 3 } } \) 
\(x=2\sqrt { 5 } \quad \cfrac { { d }^{ 2 }S }{ { dx }^{ 2 } } >0\) 
\(\therefore x=2\sqrt { 5 } \) எனும்போது கூடுதல் "S" என்பது சிறுமயமாகிறது.
\(y=\cfrac { 20 }{ 2\sqrt { 5 } } =2\sqrt { 5 } \) 
குறைந்தபட்ச கூடுதல் = \(2\sqrt { 5 } +2\sqrt { 5 } =4\sqrt { 5 } \)

\(\sqrt { \frac { { d }y }{ { d }x } } -4\frac { { d }y }{ { d }x } -7x=0\) 
\(\sqrt { \cfrac { dy }{ dx } } =4\cfrac { dy }{ dx } +7x\) 
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த 
\(\cfrac { dy }{ dx } =16\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }+49{ x }^{ 2 }+56x\cfrac { dy }{ dx } \) 
இது வரிசை 1 மற்றும் படி 2 உடைய வகைக்கெழுச் சமன்பாடு என்பது தெளிவு.

x =1 என நேரடியாக பிரதியிடும் போது நாம் \(\frac{0}{0}\) என்ற தேரப்பெறா வடிவத்தைப் பெறுகிறோம்.
தொகுதி மற்றும் பகுதி ஆகியவை வரிசை 2 உள்ள பல்லுறுப்புக் கோவை. ஆகவே எனவே வகையிடத்தக்கவை . ஆகவே ,லோபிதாலின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த,
\(\underset{x\rightarrow 1}{\lim}(\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-4x+3})=\underset{x\rightarrow 1}{\lim}(\frac{2x-3}{2x-4})\) =\(\frac{1}{2}\)
எல்லை மதிப்பை \(\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-4x+3}=\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-3)}\)  என காரணிப்படுத்தல் முறையிலும் காணலாம்.

கொடுக்கப்பட்ட (x₁,y₁,z₁), (2, -1, 3) (x₂, y₂, z₂) (4, 2, 1) இரண்டு புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் கோட்டின் கார்டீசியன் சமன்பாடு \(\frac { x-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } } =\frac { z-{ z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 }-{ z }_{ 1 } } \)
\(\Rightarrow \frac { x-2 }{ 2 } =\frac { y+1 }{ 3 } =\frac { z-3 }{ -2 } \)

∝, β என்பது சமன்பாட்டின் மூலங்கள் எனில் 
மூலங்களின் பெருக்கற் பலன் \(=\alpha +\beta =\frac { -b }{ a } \)
\(=\frac { [-(a-2)] }{ 1 } =a-2\)
மூலங்களின் பெருக்கல் \(=\alpha \beta =\frac { c }{ a } \)
\(=\frac { -(a+1) }{ 1 } =(a+1)\)
நம்மிடம் ∝²β² = -2∝β
= (a-2)²+2(a+1)
= a² -4a+4+2a+2
= (a-1)²+5
ஆகையால் ∝²+β² குறைந்த மதிப்புடைய எனில் a = 1

\({ cos }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) =\theta \Rightarrow cos\theta =\frac { 1 }{ 2 } \) என்க.
\(\Rightarrow sin\theta =\sqrt { 1-{ cos }^{ 2 }\theta } =\sqrt { 1-\frac { 1 }{ 4 } } =\sqrt { \frac { 3 }{ 4 } } =\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \)
\(\therefore sin\left( { cos }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \right) =\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \)

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி 
\([A|B]\left[ \begin{matrix} 2 & 5 \\ 6 & 15 \end{matrix}|\begin{matrix} 7 \\ 13 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }{ \rightarrow R }_{ 2 }-{ 3R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 2 & 5 \\ 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} 7 \\ -5 \end{matrix} \right] \)
இங்கு ρ(A)=2 மற்றும் ρ([A|B])=3
∴ ρ(a) ≠ρ([A|B])
எனவே தொகுப்பு ஒருங்கிமைவற்றது.

வட்டத்தின் சமன்பாடு x²+(y+2)² = 0
(x-h)²+(y-k)² = r²
h = 0, k = -2, r² = 0
மையம்(0, -2) மற்றும் ஆரம் 0

\(\overline { (5+9i)+(2-4i) } \)
= \(\overline { (5+2)+(9i-4i) } =\overline { 7+5i } =7-5i\)
\([\because \) 7 + 5i - ன் இணை கலப்பெண் 7 - 5i]

a ஆனது குறைமதிப்பாகவும் b ஆனது பின்னமதிப்பாகவும் .: இருக்கும் பொழுது, \(\mathrm{a}^{\mathrm{b}} \notin \mathbb{R}\)
எ.கா: \((-2)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-2} \notin \mathbb{R},\) இங்கு \(-2, \frac{1}{2} \in \mathbb{R}\)
\((-5)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-5} \notin \mathbb{R}\), இங்கு \(-5, \frac{1}{2} \in \mathbb{R}\)
\(\therefore \mathrm{a} * \mathrm{~b}=\mathrm{a}^{\mathrm{b}}\) ஆனது ஈருறுப்புச் செயலி அல்ல.

\(\mathrm{f}(x)  =x^2 \mathrm{e}^{-2 x}, x>0\) என்க.
\(f^{\prime}(x)  =-2 x^2 \mathrm{e}^{-2 x}+\mathrm{e}^{-2 x}(2 x) \)
\(\mathrm{f}^{\prime}(x)  =2 \mathrm{e}^{-2 x}\left(x-x^2\right)\)
f பெருமத்திற்கு, \(\mathrm{f}^{\prime}(x)=0\)
\(\Rightarrow \mathrm{e}^{-2 x} \neq 0, x-x^2=0 \Rightarrow x(1-x)=0 \Rightarrow x=0,1\)
x > 0 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே x = 1
\( \mathrm{f}^{\prime \prime}(x)=2\left[\mathrm{e}^{-2 x}(1-2 x)+\left(x-x^2\right)\left(-2 \mathrm{e}^{-2 x}\right)\right. \)
\(=2 \mathrm{e}^{-2 x}\left[1-2 x-2 x+2 x^2\right] \)
\( \mathrm{f}^{\prime \prime}(x)=2 \mathrm{e}^{-2 x}\left[2 x^2-4 x+1\right] \)
\( \mathrm{f}^{\prime \prime}(1)=2 \times \mathrm{e}^{-2}[2-4+1]=\frac{-2}{e^2}<0\)
x = 1 ல், பெரும மதிப்பை அடையும் 
எனவே f(x) ன் பெரும மதிப்பு = \(\mathrm{f}(1)=1^2 \times \mathrm{e}^{-2} \)
\(=\frac{1}{e^2}\)

கொடுக்கப்பட்டது \(\frac{d V}{d t}=3 \pi\) செ.மீ/வி ;
\(\mathrm{r}=\frac{1}{2}\) செ.மீ 
கன அளவு \(\mathrm{V}=\frac{4}{3} \pi r^3\)
' 't' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்து,
\(\frac{d V}{d t}  =\frac{4}{3} 3 \pi r^2 \frac{d r}{d t} \)
\(3 \pi  =\frac{4}{3} 3 \pi\left(\frac{1}{4}\right) \frac{d r}{d t} \)
\(\frac{d r}{d t}  =3\)
ஆரத்தின் மாறுவீதம் 3 செ.மீ/வினாடி.

ஒரு கன சதுரத்தின் பக்க அளவு 4 செமீ
கன அளவு V = x³
dV = 3x² dx 
= 3 x 16 x 0.1 = 4.8 கன செ.மீ 

\( \vec {a}\) மற்றும் \(\vec{b}\) என்பன இணையாதலால், \(\vec{a}=\lambda \vec{b}\)
\([\vec{a}, \vec{c}, \vec{b}]=[\lambda \vec{b}, \vec{c}, \vec{b}]=\lambda[\vec{b}, \vec{c}, \vec{b}]=\lambda(0)=0\)

\(\omega=\operatorname{cis} \frac{2 \pi}{3}=\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\) மற்றும் 
\(\left|\begin{array}{ccc} z+1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & z+\omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & z+\omega \end{array}\right|=0\)
\((z+1)\left[\left(z+\omega^2\right)(z+\omega)-1\right]-\omega\left[\omega(z+\omega)-\omega^2\right]+ \omega^2\left[\omega-\omega^2\left(z+\omega^2\right) 1=0\right.\)
\(z^3+\left(\omega^2+\omega+1\right) z^2+\left(\omega^3+\omega-1-\omega^4\right) z+ (2\omega^2-\omega^ 6-1) = 0\)
கொடுக்கப்பட்டது \(ω=\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\)
\(\omega^2=e^{\frac{i 2 \pi}{3}}=-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\(\omega^2=e^{\frac{i 4 \pi}{3}}=-\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\(\omega^3=e^{i 2 \pi}=1 \)
\(\omega^4=e^{\frac{i 8 \pi}{3}}=-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}=\omega \)
\(\omega^6=\omega^3 \cdot \omega^3=1\)
சமன்பாடு (1) ஆனது \(z^3+(0) z^2+(0) z+0=0\)
\(\Rightarrow z^3=0\)

விகிதமுறு மூலத் தேற்றத்தின்படி, p/q என்பது பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாட்டின் மூலம். இங்கு a₀ = -5, a_n = 4 மற்றும் (4, -5) = 1. எனவே p என்பது 5 ஐயும், q என்பது 4 ஐயும் வகுக்க வேண்டும்.
p ன் சாத்தியமுறு மதிப்புகள் +1, -1, +5,-5
q ன் சாத்தியமுறு மதிப்புகள் +1, - 1, 4, -4
4/5 என்பது சாத்தியமற்ற விகிதமுறு பூச்சியமாகும்.

\( 16 x^2+25 y^2 =400 \\ \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16} =1 \\ a^2 =25 \Rightarrow a= \pm 5 \\ P F_1+P F_2 = 2 a \\ =2 \times 5=10 \)

\(|\operatorname{adj} \mathrm{A}| =|\mathrm{A}|^{\mathrm{n}-1} \)
\(1(-6+0)-x(-2) =4^2 \)
\(-6+2 x =16 \)
\(2 x=16+6 =22 \Rightarrow x=11\)

\(\sin ^{-1}(\cos x)=\sin ^{-1}\left(\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)=\frac{\pi}{2}-x\)

மெய்மை அட்டவணையில் கடைசி நிரலில் T மட்டுமே உள்ளதால்,கொடுக்கப்பட்டது ஒரு மெய்மம் ஆகும்.

நியூட்டனின் குளிர்ச்சியடையும் விதிப்படி,ஒரு பொருளின் வெப்பநிலை மாறும் வீதமானது பொருளின் வெப்பநிலைக்கும்,சுற்றுப்புற ஊடகத்தின் வெப்பநிலைக்கு உள்ள வேறுபாட்டிற்கு நேர் விகிதமாக அமையும்.
\(\cfrac { dT }{ dt } =-k\left( T-{ T }_{ 0 } \right) \) 
இங்கு T என்பது அறையின் வெப்பநிலை ,மற்றும் T₀ என்பது ஊடகத்தின் மாறாத வெப்பநிலை 
எனவே,\(\cfrac { dT }{ dt } =-k\left( T-25 \right) \) (அல்லது)
\(\cfrac { dT }{ T-25 } =-kdt\) 
சமன்பாடு (1) ஐ தொகையிடக் கிடைப்பது
\(\int { \cfrac { dT }{ T-25 } } =\int { -kdt } \) 
\(log\left( T-25 \right) =-kt+{ c }_{ 1 }\) 
இப்போது \(T=100,t=0\) 
\(log\left( 100-25 \right) =-k\left( 0 \right) +{ c }_{ 1 }\) 
\(\therefore log75={ c }_{ 1 }\) 
c₁ மதிப்பை சமன்பாடு (1)ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது 
\(log\left( T-25 \right) =-kt+log75\left[ \because logm-logn=logm/n \right] \) 
\(log\cfrac { T-25 }{ 75 } =-kt\) ...(2) 
மேலும் t=10 நிமிடங்கள் எனும்போது T=80
\(log\left( \cfrac { 80-25 }{ 75 } \right) =-k(10)\) 
\(log\left( \cfrac { 55 }{ 75 } \right) =-10k\) 
\(k=-\cfrac { 1 }{ 10 } log\left( \cfrac { 55 }{ 75 } \right) \) 
\(k=\cfrac { 1 }{ 10 } log\left( \cfrac { 75 }{ 55 } \right) \) 
\(k=\cfrac { 1 }{ 10 } log\cfrac { 15 }{ 11 } \) 
k ன் மதிப்பை சமன்பாடு (2)ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது   
\(log\left( \cfrac { T-25 }{ 75 } \right) =-\left( \cfrac { 1 }{ 10 } log\cfrac { 15 }{ 11 } \right) t\) 
t=20 என சமன்பாடு (3) ல் பிரதியிட 
\(log\left( \cfrac { T-25 }{ 75 } \right) =-\cfrac { 20 }{ 10 } log\cfrac { 15 }{ 11 } \) 
= \(-2log\cfrac { 15 }{ 11 } \) 
= \(2log\cfrac { 11 }{ 15 } \) 
\(log\cfrac { T-25 }{ 75 } =log\left( \cfrac { 11 }{ 15 } \right) ^{ 2 }\) 
\(\cfrac { T-25 }{ 75 } =\left( \cfrac { 11 }{ 15 } \right) ^{ 2 }\) 
\(T=75\left( \cfrac { 11 }{ 75 } \right) ^{ 2 }+25\) 
\(T=75\left( 0.5378 \right) +25\) 
\(\\ T=40.33+25\) 
\(T=65.33^{ 0 }C\)

\(\frac { \partial f }{ \partial x } \) (x,y) -ஐ முதலில் கணக்கிடுவோம். f என்பது இரு சார்புகளின் கூட்டல் எனவே
\(\frac { \partial f }{ \partial x } =\frac { \partial }{ \partial x } \sin({ xy }^{ 2 })+\frac { \partial }{ \partial x } \left( { e }^{ { x }^{ 3 }+5y } \right) \)
\(=\cos(x{ y }^{ 2 })\frac { \partial }{ \partial x } (x{ y }^{ 2 })+{ e }^{ { x }^{ 3 }+5y }\frac { \partial }{ \partial x } \left( { x }^{ 3 }+5y \right) \)
=cos(xy² ) y² + \({ e }^{ { x }^{ 3 }+5y }\) 3x²
இதுபோல்,
\(\frac { { \partial }^{ }f }{ { \partial y\ } } =\frac { \partial }{ \partial y } \sin(x{ y }^{ 2 })+\frac { \partial }{ \partial y } \left( { e }^{ { x }^{ 3 }+5y } \right) \)
\(=\cos(x{ y }^{ 2 })\frac { \partial }{ \partial y } (x{ y }^{ 2 })+{ e }^{ { x }^{ 3 }+5y }\frac { \partial }{ \partial y } \left( { x }^{ 3 }+5y \right) \)
=cos(xy²)2xy+5\({ e }^{ { x }^{ 3 }+5y }\)
அடுத்து,
\(\frac { { \partial }^{ 2 }f }{ { \partial y\partial x } } =\frac { \partial }{ \partial y } \left( \frac { \partial f }{ \partial x } \right) =\frac { \partial }{ \partial y } ({ y }^{ 2 }cos(x{ y }^{ 2 })+3{ x }^{ 2 }{ e }^{ { x }^{ 3 }+5y })\)
\(=\frac { \partial }{ \partial y } ({ y }^{ 2 }cos(x{ y }^{ 2 }))+\frac { \partial }{ \partial y } ({ 3x }^{ 2 }{ e }^{ { x }^{ 3 }+5y })\)
=2y cos(xy²)+y²(-sin(xy²)2xy) + 3x² \({ e }^{ { x }^{ 3 }+5y }\) 5
=2y cos(xy²)+2xy³ sin(xy²)+15 x² \({ e }^{ { x }^{ 3 }+5y }\)
இறுதியாக ,
\(\frac { { \partial }^{ 2 }f }{ { \partial x\partial y } } =\frac { \partial }{ \partial y } \left( \frac { \partial f }{ \partial x } \right) =\frac { \partial }{ \partial y } (cos(x{ y }^{ 2 })2xy+5{ e }^{ { x }^{ 3 }+5y })\)
=-sin(xy²)y²2xy+cos(xy²)2y+5\({ e }^{ { x }^{ 3 }+5y }\) 3x²
=2y cos(xy²)- 2xy³ sin(xy²)+15x²\({ e }^{ { x }^{ 3 }+5y }\)

\(sin\cfrac { dy }{ dx } =a\) 
\(\cfrac { dy }{ dx } ={ sin }^{ -1 }(a)\) 
சமன்பாட்டை \(\\ { dy }={ sin }^{ -1 }(a)dx\) எனுமாறு எழுதலாம்.
இருபுறமும் தொகையிடக் கிடைப்பது 
\(\int { dy } =\int { { sin }^{ -1 }(a) } dx\) 
 \(y={ sin }^{ -1 }a\int { dx } \)
\(\\ y={ sin }^{ -1 }\left( a \right) x+C\)    ...(1) 
\(y(0)=1\) என்பதால்,நாம் பெறுவது 
\(y={ sin }^{ -1 }(a)x+C\) 
\(1={ sin }^{ -1 }\left( a \right) \left( 0 \right) +C\) 
\(0+C=1\Rightarrow C=1\) 
ஃ சமன்பாடு  \((1)\Rightarrow y={ sin }^{ -1 }\left( a \right) x+1\) 
\(y-1={ sin }^{ -1 }\left( a \right) x\) 
\(\cfrac { y-1 }{ x } ={ sin }^{ -1 }(a)\) 
\(sin\left( \cfrac { y-1 }{ x } \right) =a\)

கொடுக்கப்பட்ட வளைவரை 
\(2+x-{ x }^{ 2 }+y=0\) 
\(y={ x }^{ 2 }-x-2\) 
\(y=\left( x-2 \right) \left( x+1 \right) \) 

தேவையான பரப்பு 
= \(\int _{ -3 }^{ -1 }{ \left( { x }^{ 2 }-x-2 \right) dx+\left| \int _{ -1 }^{ 2 }{ \left( { x }^{ 2 }x-2 \right) dx } \right| } +\int _{ 2 }^{ 3 }{ \left( { x }^{ 2 }-x-2 \right) } dx\) 
= \(\left[ \cfrac { { x }^{ 3 } }{ 3 } -\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } -2x \right] _{ -3 }^{ -1 }+\left| \left[ \cfrac { { x }^{ 3 } }{ 3 } -\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } -2x \right] _{ -1 }^{ 2 } \right| +\left[ \cfrac { { x }^{ 3 } }{ 3 } -\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } -2x \right] _{ 2 }^{ 3 }\)
= \(\left[ -\cfrac { 1 }{ 3 } -\cfrac { 1 }{ 2 } +2+9+\cfrac { 9 }{ 2 } -6 \right] \) 
= \(\left| \left[ \cfrac { 8 }{ 3 } -\cfrac { 4 }{ 2 } -4+\cfrac { 1 }{ 3 } +\cfrac { 1 }{ 2 } -2 \right] \right| +\left[ \cfrac { 27 }{ 3 } -\cfrac { 9 }{ 2 } -6-\cfrac { 8 }{ 3 } +\cfrac { 4 }{ 2 } +4 \right] \) 
= \(\cfrac { 26 }{ 3 } +\cfrac { 9 }{ 2 } +\cfrac { 11 }{ 6 } \) 
= \(\cfrac { 52+27+11 }{ 6 } \) 
= \(\cfrac { 90 }{ 6 } =15\)

(i) (a*b) = a^b ∈ℕ,∀a,b∈ℕ என்பது உண்மை. எனவே ℕ ஆனது ∗ –ன் கீழ் அடைவு பெற்றுள்ளது.
(ii) a = 2 , b = 3 ஆகிய மதிப்புகளை a*b=a^b மற்றும் b*a=b^a ஆகியவைகளில் பிரிதியிட,
a*b=2³ = 8 ஆனால் b*a=3²=9 ⇒ a*b≠b*a
எனவே ∗ ஆனது பரிமாற்றுப் பண்பை நிறைவு செய்யாது.
(iii) a*(b*c) = a*(b^c) \({ a }^{ ({ b }^{ c }) }\)  எனக் கொள்க.
இதில் a=2,b=3 மற்றும் c = 4 எனப் பிரதியிடக் கிடைப்பது
a*(b*c)=2*(3*4)=\({ 2 }^{ ({3 }^{ 4 }) }\)=2⁸¹
ஆனால் (a*b)*c=(a^b)*c=(a^b)^c=c=a^(bc)=a^bc=2¹²
a*(b*c)≠(a*b)*c
எனவே, ∗ ஆனது சேர்ப்புப் பண்பை நிறைவு செய்யாது.
குறிப்பு
இந்த ஈருறுப்பு செயலிக்கு சமனியும் எதிர்மறையும் இல்லை. (காரணத்துடன் விளக்குக)

\({ y }^{ 2 }-4xy={ x }^{ 2 }+5\)                        ...(1) 
'x' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த, 
\(2y\cfrac { dy }{ dx } -4\left( x\cfrac { dy }{ dx } +y.1 \right) =2x\) 
\(2y\cfrac { dy }{ dx } -4x\cfrac { dy }{ dx } -4y=2x\) 
\(\cfrac { dy }{ dx } \left( 2y-4x \right) =2x+4y\) 
\(\therefore \cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { 2(x+2y) }{ 2(y-2x) } =\cfrac { x+2y }{ y-2y } \) 
தொடுகோடு கிடைமட்டமாக இருக்கிறது எனில் (X-அச்சுக்கு இணை) தொடுகோட்டின் சாய்வு பூச்சியம் ஆகும்.
\(\cfrac { dx }{ dy } =0\Rightarrow \cfrac { x+2y }{ y-2x } =0\) 
\(\Rightarrow x+2y=0\) 
\(x=-2y\) 
(1)ல் பிரதியிட 
\({ y }^{ 2 }-4(-2y)y=\left( -2y \right) ^{ 2 }+5\) 
\({ y }^{ 2 }+8{ y }^{ 2 }={ 4y }^{ 2 }+5\) 
\(5{ y }^{ 2 }=5\Rightarrow { y }^{ 2 }=1\) 
\(y=\pm 1\) 
y=1 எனும்போது x=-2
y=-1 எனும்போது x=2
\(\therefore\) வளைவரையின் மீதுள்ள புள்ளிகள் (-2, 1) மற்றும் (2, -1). 

அச்சு AX ஐ அச்சாகவும் மற்றும் Aன் AY ஐ அச்சு காண்க.
பரவளையத்தின் சமன்பாடு y² = 4ax
CA = 15, FG = 120
CF = CG = 60
F என்பது (15,160)
F ஆனது (1)-ன் மீது அமைந்துள்ளதால் 
\({ 60 }^{ 2 }=4a(15)\Rightarrow a=60\) 
y² = 240x
y = 24எனில், 24² = 240(x)
\(\Rightarrow x=\cfrac { 24\times 24 }{ 240 } \) 
படத்திலிருந்து
BD = BE - ED = 15 - 2.4 = 12.6மீ
ஆகையால் தேவையான உயரம் என்பது 12.6மீ

தளங்களுக்கு செங்குத்து வெக்டர் 
x + 2y +3z - 7 = 0, 2x - 3y + 4z = 0
\(\overset { \rightarrow }{ b } =\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ c } =2\overset { \wedge }{ i } -3\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \)
∴ தேவையான தளம் \(\overset { \rightarrow }{ a } =\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \) என்ற புள்ளி வழி செல்கிறது மற்றும் இரண்டு வெக்டர்கள் \(\overset { \rightarrow }{ b } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ c } \) க்கு இணை 
∴ தளத்திற்கான துணையலகு வெக்டர் சமன்பாடு.
\(\overset { \rightarrow }{ r } =\overset { \rightarrow }{ a } +s\overset { \rightarrow }{ b } +t\overset { \rightarrow }{ c } s,t\epsilon R\)
\(\overset { \rightarrow }{ r } =\left( \overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) +s\left( \overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \right) +t\left( 2\overset { \wedge }{ i } -3\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \right) \)
கார்டீசியன் சமன்பாடு \(\left| \begin{matrix} x-{ x }_{ 1 } \\ { b }_{ 1 } \\ { c }_{ 1 } \end{matrix}\begin{matrix} y-{ y }_{ 1 } \\ { b }_{ 2 } \\ { c }_{ 2 } \end{matrix}\begin{matrix} z-{ z }_{ 1 } \\ { b }_{ 3 } \\ { c }_{ 3 } \end{matrix} \right| =0\)
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} x-1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} y-1 \\ 2 \\ -3 \end{matrix}\begin{matrix} z+1 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} \right| =0\)
⇒ (x - 1) (8 + 9) - (y - 1) (4 - 6) + (z +1) (-3 - 4) = 0
⇒ 17 (x - 1) + 2 (y - 1) - 7 (z + 1) = 0
⇒ 17x - 17 + 2y - 2 - 7z - 7 = 0
⇒ 17x + 2y - 7z - 26 = 0

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு 
(2x²-3x+1)(2x²+5x+1)=9x²    ....(1)
x=0(1) ஐ நிறைவு செய்யவில்லை 
∴ (1) ஐ பின்வருமாறு மாற்றி எழுதலாம்.
\(\left( 2x+\frac { 1 }{ x } -3 \right) \left( 2x+\frac { 1 }{ x } +5 \right) =9\quad \quad \quad \quad ...(2)\)
பிரதியிடு  \(2x+\frac { 1 }{ x } =y\)
∴ (2) ⇒(y-3)(y+5)=9
⇒ y²+2y-15=9
அல்லது  y²+2y-24=0
⇒ (y+6)(y-4)=0
⇒ y=-6, -4
நிலை (i)
y=-6, 2x+\(\frac{1}{x}\)=-6
எனில் 2x²+6x+1=0 
⇒\(x = {-6 \pm \sqrt{36-8} \over 4}\)
\(x=-3\pm \frac { \sqrt { 7 } }{ 2 } \)
நிலை (ii)
y=4 எனில்,
\(2x+\frac { 1 }{ x } =4\)
⇒ 2x²-4x+1=0
⇒ x=\(x = {4 \pm \sqrt{16-8} \over 4}\)
\(x=\frac { 2\pm \sqrt { 2 } }{ 2 } \)
மூலங்கள் 
\(\frac { -3+\sqrt { 7 } }{ 2 } ,\frac { -3-\sqrt { 7 } }{ 2 } ,\frac { 2+\sqrt { 2 } }{ 2 } ,\frac { 2-\sqrt { 2 } }{ 2 } \)

x = a cos θ
f(x) = tan^-1 \(\sqrt { \frac { a-acos\theta }{ a+acos\theta } } ={ tan }^{ -1 }\sqrt { \frac { 1-cos\theta }{ 1+cos\theta } } \)
\(={ tan }^{ -1 }\sqrt { \frac { 2{ sin }^{ 2 }\frac { \theta }{ 2 } }{ 2{ cos }^{ 2 }\frac { \theta }{ 2 } } } =tan\left| tan\frac { \theta }{ 2 } \right| ={ tan }^{ -1 }\left( tan\frac { \theta }{ 2 } \right) \)
\(=\frac { \theta }{ 2 } \)
[∵ -a < x < a ⇒ 0 < θ < π ⇒ \(0<\frac { \theta }{ 2 } <\frac { \pi }{ 2 } \therefore \left| tan\frac { \theta }{ 2 } \right| =tan\frac { \theta }{ 2 } \)]
\(=\frac { 1 }{ 2 } .{ cos }^{ -1 }\left( \frac { x }{ a } \right) \)
[∵ x = a cosθ ⇒ cos θ = \(\frac { x }{ a } \) ⇒ θ = cos^-1 \(\left( \frac { x }{ a } \right) \) ]

\({ \sin }^{ -1 }(-1)+{ \cos }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) +{ \cot }^{ -1 }(2)\)
sin^-1 (-1) = x என்க.
⇒ -1 = sin x
⇒ sin x = -1 = -sin \(\frac { \pi }{ 2 } \) = sin \(\left( \frac { -\pi }{ 2 } \right) \)
[∵ sin (-θ) = -sin θ]
⇒ x = \(\frac { -\pi }{ 2 } \)
cos^-1 \(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \) = y  என்க.
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 } \) = cos y ⇒ cos y = cos \(\frac { \pi }{ 3 } \)
⇒ y = \(\frac { \pi }{ 3 } \)
∴ sin^-1 (-1) + cos^-1 \(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \) + cot^-1(2)
= \(\frac { -\pi }{ 2 } +\frac { \pi }{ 3 } +{ \cot }^{ -1 }(2)\)
= \({ \cot }^{ -1 }(2)+\frac { -3\pi +2\pi }{ 6 } ={ \cot }^{ -1 }(2)-\frac { \pi }{ 6 } \)

கூம்பு வளைவின் வரையறைப்படி \(\frac{SP}{PM}=e \) அல்லது SP² = e²PM².
இதனால், (x-2)² + (y-3)² = \(\frac {1}{4}\)(x-7)²
\(\Rightarrow \) 3x² + 4y² − 2x − 24y + 3 = 0, இதை பின்வருமாறு எழுதலாம்
\(\Rightarrow 3{ \left( x-\frac { 1 }{ 3 } \right) }^{ 2 }+4{ (y-3) }^{ 2 }=3\left( \frac { 1 }{ 9 } \right) +4\times 9-3=\frac { 100 }{ 3 } \)
\(\Rightarrow \frac { { \left( x-\frac { 1 }{ 3 } \right) }^{ 2 } }{ \frac { 100 }{ 9 } } +\frac { { (y-3) }^{ 2 } }{ \frac { 100 }{ 12 } } =1\) இது திட்ட வடிவம் ஆகும்.
எனவே நெட்டச்சின் நீளம் = 2a = 2\(\\ \sqrt { \frac { 100 }{ 9 } } =\frac { 20 }{ 3 } \) மற்றும் 
குற்றச்சின் நீளம் = 2b = 2\(\\ \sqrt { \frac { 100 }{ 12 } } =\frac { 10 }{ \sqrt { 3 } } \)

தளம் ஆய அச்சுகளுடன் ஏற்படுத்தும் வெட்டுத்துண்டுகள் முறையே a,b,c என்க.
\(\therefore\) தளத்தின் வெட்டுத்துண்டு வடிவச் சமன்பாடு
\(\cfrac { x }{ a } +\cfrac { y }{ b } +\cfrac { z }{ c } =1\) 

கொடுக்கப்பட்ட மையக்கோட்டுச் சந்தி (u,v,w)
\(\therefore \left( u,v,w \right) =\left( \cfrac { a+0+0 }{ 3 } ,\cfrac { 0+b+0 }{ 3 } ,\cfrac { 0+0+c }{ 3 } \right) \) 
\(\Rightarrow \left( u,v,w \right) =\left( \cfrac { a }{ 3 } ,\cfrac { b }{ 3 } ,\cfrac { c }{ 3 } \right) \) 
ஒத்த ஆயத் தொலைவுகளை சமப்படுத்த கிடைப்பது 
\(\Rightarrow u=\cfrac { a }{ 3 } \Rightarrow a=3u\) 
\(v=\cfrac { b }{ 3 } \Rightarrow b=3v\) 
\(w=\cfrac { c }{ 3 } \Rightarrow c=3w\) 
\(\therefore\) (1) லிருந்து 
\(\cfrac { x }{ 3u } +\cfrac { y }{ 3v } +\cfrac { z }{ 3w } =1\Rightarrow \cfrac { x }{ u } +\cfrac { y }{ v } +\cfrac { z }{ w } =3\)
என்பது தேவையான தளத்தின் சமன்பாடாகும்.

கொடுக்கப்பட்டது \(\left| { z }_{ 1 } \right| =1,\left| { z }_{ 2 } \right| =2,\left| z_{ 3 } \right| =3\),
\(\left| { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } \right| =1\)
\({ \left| { z }_{ 1 } \right| }^{ 2 }={ 1 }^{ 2 }\Rightarrow { z }_{ 1 }\overline { { z }_{ 1 } } \Rightarrow { z }_{ 1 }=\frac { 1 }{ { z }_{ 1 } } \)
\({ \left| { z }_{ 2 } \right| }^{ 2 }=4\Rightarrow { z }_{ 2 }\overline { { z }_{ 2 } } =4\Rightarrow { z }_{ 2 }=\frac { 4 }{ { z }_{ 2 } } \)
\({ \left| { z }_{ 3 } \right| }^{ 2 }=9\Rightarrow { z }_{ 3 }\overline { { z }_{ 3 } } =9\Rightarrow { z }_{ 3 }=\frac { 9 }{ { z }_{ 3 } } \)
\(\therefore \left| 9{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 }+4{ z }_{ 1 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 2 }{ z }_{ 3 } \right| \)
\(=\left| 9.\frac { 1 }{ { z }_{ 1 } } .\frac { 4 }{ { z }_{ 2 } } +4.\frac { 1 }{ { z }_{ 1 } } .\frac { 9 }{ { z }_{ 3 } } +\frac { 4 }{ { z }_{ 2 } } .\frac { 9 }{ { z }_{ 3 } } \right| \)
\(\left| \frac { 36 }{ \overline { { z }_{ 1 } } \overline { { z }_{ 2 } } } +\frac { 36 }{ \overline { { z }_{ 1 } } \overline { { z }_{ 3 } } } +\frac { 36 }{ \overline { { z }_{ 2 } } \overline { { z }_{ 3 } } } \right| =\left| \left( \frac { \overline { { z }_{ 3 } } +\overline { { z }_{ 2 } } +\overline { { z }_{ 1 } } }{ \overline { { z }_{ 1 } } \overline { { z }_{ 2 } } \overline { { z }_{ 3 } } } \right) \right| \)
\([\therefore \left| \overline { { z }_{ 1 } } +\overline { { z }_{ 2 } } +\overline { { z }_{ 3 } } = \right| =\overline { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } } ]\)
\(\frac { 36\left| \overline { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } } \right| }{ \left| \overline { { z }_{ 1 } } \right| \left| \overline { { z }_{ 2 } } \right| \left| \overline { { z }_{ 3 } } \right| } =36\frac { 36\left| \overline { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } } \right| }{ \left| \overline { { z }_{ 1 } } \right| \left| \overline { { z }_{ 2 } } \right| \left| \overline { { z }_{ 3 } } \right| } \)

\([\because \left| { \overline { z } }_{ 1 } \right| =\left| { z }_{ 1 } \right| ,\left| { \overline { z } }_{ 2 } \right| =\left| { z }_{ 2 } \right| ,\left| { \overline { z } }_{ 3 } \right| \left| { z }_{ 3 } \right| ]\)