y = x

x	1	2
y	1	2

 

பரப்பு  \(=\int _{ 1 }^{ 2 }{ y\quad dx } \)
\( ={ \left( \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right) }_{ 1 }^{ 2 }\)
 \(=\frac{1}{2}[4-1]\) \(\frac{3}{2}\) ச.அலகுகள்

x-2y-12=0
x=2y+12


தேவைப்படும் பரப்பு
=\(\int _{ 2 }^{ 5 }{ xdy } \)
=\(\int _{ 2 }^{ 5 }{ \left[ 2y+12 \right] } dy=\left[ y^{ 2 }+12y \right] _{ 2 }^{ 5 }\)
=(25+60)-(4+24)=57 சதுர அலகுகள்.

பரப்பு =\(\int _{ 1 }^{ 4 }{ ydx } \)
=\(\int _{ 1 }^{ 4 }{ (4x+3)dx } \)
=\(\left[ 2x^{ 2 }+3x \right] _{ 1 }^{ 4 }\)
= 32 + 12 - 2 - 3
= 39 சதுர அலகுகள்.

x தொழிலாளர்களைக் கொண்டு அதிகபடியாக உற்பத்தி செய்யும் பொருள்கள் p என்க.
\(\frac { dp }{ dx } \)=300-5x2/3
p=\(\int _{ 0 }^{ 64 }{ \left( 300-5x^{ \frac { 2 }{ 3 } } \right) } dx\)
=\(\left[ 300x-3x^{ \frac { 5 }{ 3 } } \right] _{ 0 }^{ 64 }\)
=300 x 64-3(64)^5/3
=16128
∴ கூடுதலாக உற்பத்தி செய்யப்படும் அலகுகளின் எண்ணிக்கை 16,128 ஆகும்
⇒ 264 தொழிலாளர்களால் உற்பத்தி செய்யப்படும் மொத்த அலகுகளின் எண்ணிக்கை
= 50000+16128=66,128 அலகுகள்

மொத்த விற்பனை=\(\int _{ 0 }^{ 4 }{ (100-90{ e }^{ -x }) } dx\)
=\((100-90{ e }^{ -x })_{ 0 }^{ 4 }\)
=400+90e^-4-(0+90)
=400+90(0.018)-90
=311.62 அலகுகள்

y=x² என்பது மேல் நோக்கித் திறந்த பரவளையம். இது y - அச்சைப் பொறுத்து சமச்சீரானது.
பரப்பு \(=2 \int_c^4 x d y \)
\(x^2=\mathrm{y} \Rightarrow x=\sqrt{y} \)
பரப்பு \(=2 \int_0^4 y^{1 / 2} d y\)
\(=2\left[\frac{y^{3 / 2}}{3 / 2}\right]_0^4 \)
\( =\frac{4}{3}\left[4^{3 / 2}-0\right] \)
\(=\frac{4}{3}(8)=\frac{32}{3}\)
\(=\frac { 32 }{ 3 } \) ச.அலகுகள்

y=4x² என்பது மேல்நோக்கித் திறந்த பரவளையம் பரப்பு \(=\int^ b _c x d y \)
\(x^2 =\frac{y}{4} \Rightarrow x=\frac{1}{2} \sqrt{y} \)
பரப்பு \( =\frac{1}{2} \int_0^4 y^{1 / 2} d y \)
\(=\frac{1}{2}\left[\frac{y^{3 / 2}}{3 / 2}\right]_0^4=\frac{1}{3}\left[4^{3 / 2}-0\right]\)
\(=\frac{1}{3}\left[\left(4^{1 / 2}\right)^3\right]=\frac{2^3}{3}=\frac{8}{3} \)
\(=\frac { 8 }{ 3 } \) ச.அலகுகள்

y-1 = x

x	0	-1
y	1	0

y - 1 = x ⇒ y = x + 1
பரப்பு \(=\int _{ b }^{ a }{ ydx }\)
\(=\int _{ -1 }^{ -2 }{ ydx } +\int _{ -1 }^{ 3 }{ ydx } \left[ \because \int _{ a }^{ b }{ f(x)dx=-\int _{ b }^{ a }{ f(x)dx } } \right] \)
\(=\int _{ -1 }^{ -2 }{ (x+1)dx+\int _{ -1 }^{ 3 }{ (x+1)dx } } \)
\(={ \left( \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +x \right) }_{ -1 }^{ -2 }+{ \left( \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +x \right) }_{ -1 }^{ 3 }\)
\(=-\left( +\frac { 1 }{ 2 } -1 \right) -\left( 2 -2 \right) +\left( \frac { 9 }{ 2 } +3 \right) -\left( \frac { 1 }{ 2 } -1 \right) \)
\(=- +\frac { 1 }{ 2 } -1 + \frac { 9 }{ 2 } +3 - \frac { 1 }{ 2 } -1 = \frac { 7 }{ 2 } +5\) \(=\frac { 17 }{ 2 } \) ச.அலகுகள்

y² = 4 என்பது வலப்புறம் திறந்த பரவளையத்தைக் குறிக்கிறது.இது x - அச்சைப் பொறுத்து சமச்சீரானது.

⇒ y = \(2\sqrt { a } \sqrt { x } \) .
∴ பரப்பு  \(=2\int _{ 0 }^{ a }{ ydx } \)
\(=2\int _{ 0 }^{ a }{ 2\sqrt { a } \sqrt { x } dx } \)
\(=4\sqrt { a } \int _{ 0 }^{ a }{ \sqrt { x } dx } =4\sqrt { a } \int _{ 0 }^{ a }{ { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } }dx } \)
\(=4\sqrt { 3 } { \left[ \frac { { x }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ \frac { 3 }{ 2 } } \right] }_{ 0 }^{ a }=4\sqrt { a } \times \frac { 2 }{ 3 } { \left( { x }^{ \frac { 3 }{ 2 } } \right) }_{ 0 }^{ a }\)
\(=8\frac { \sqrt { a } }{ 3 } \left( { a }^{ \frac { 2 }{ 3 } }-0 \right) \)
\(=\frac { 8 }{ 3 } { a }^{ 2 }\) 
\(=\frac { 8{ a }^{ 2 } }{ 3 } \) ச.அலகுகள்

வட்டத்தின் சமன்பாடு, x²+y²=a²    .....(1)
y=0 என (1) -ல் பிரதியிட x²=a²
⇒ x=±a
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரை ஆனது இரு அச்சுகளைப் பொறுத்து சமச்சீர் ஆகும். எனவே தேவைப்படும் பரப்பு = 4 [முதல் கால்பகுதியில் x = 0, x = a எனும் எல்லைக்குள் வரையறுக்கப்படும் அரங்கத்தின் பரப்பு]
=\(4\int _{ 0 }^{ a }{ y } dx\\ \)
=\(4\int _{ 0 }^{ a }{ \sqrt { a^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } } dx=4\left[ \frac { x }{ 2 } \sqrt { a^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } +\frac { { a }^{ 2 } }{ 2 } \sin^{ -1 }\frac { x }{ a } \right] _{ 0 }^{ a }\)
=\(\left[ 0+\frac { { a }^{ 2 } }{ 2 } \sin^{ -1 }\left( \frac { a }{ a } \right) \right] =4\left( \frac { { a }^{ 2 } }{ 2 } \sin^{ -1 }(1) \right) =4\frac { { a }^{ 2 } }{ 2 } \frac { \pi }{ 2 } \)
= πa²

y=|x+3| =\(\begin{cases} x+3, & x\ge -3 \\ -(x+3), & x<-3 \end{cases}\)
தேவைப்படும் பரப்பு =\(\int _{ -6 }^{ 0 }{ y } dx\)
=\(\int _{ -6 }^{ -3 }{ y } dx+\int _{ -3 }^{ 0 }{ y } dx\)
=\(\int _{ -6 }^{ -3 }{ -(x+3)dx } +\int _{ -3 }^{ 0 }{ (x+3) } dx\)
=\(\left[ \frac { (x+3)^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ -6 }^{ -3 }+\left[ \frac { (x+3)^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ -3 }^{ 0 }\)
\(=\left[ 0-\frac { 9 }{ 2 } \right] +\left[ \frac { 9 }{ 2 } -0 \right] \)=9 சதுர அலகுகள்

y²=8x           ....(1)
திட்ட வடிவம் y²=4ax, உடன் ஒப்பிட
4a=8
a=2
செவ்வகலத்தின் சமன்பாடு : x = 2

சமன்பாடு (1) ஆனது x -அச்சை பொறுத்து சமச்சீர் ஆதலால்,
தேவையான பரப்பு = 2 [முதல் கால்பகுதியில் சமன்பாடு 1 ஆனது x = 0 மற்றும் x = 2 எனும் எல்லைகளுக்குள் ஏற்படுத்தும் பரப்பு]
= \(2\int _{ 0 }^{ 2 }{ y } dx\)
=\(2\int _{ 0 }^{ 2 }{ \sqrt { 8x } dx } =2(2\sqrt { 2 } )\int _{ 0 }^{ 2 }{ x^{ 1/2 } } dx\)
=\(4\sqrt { 2 } \left[ \frac { 2x^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ 3 } \right] _{ 0 }^{ 2 }=4\sqrt { 2 } \times 2\times \frac { 2^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ 3 } \)
=\(\frac { 32 }{ 3 } \) சதுர அலகுகள்.

தேவைப்படும் பரப்பு=\(\\ \int _{ -1 }^{ 0 }{ -xdx } +\int _{ 0 }^{ 2 }{ xdx } \)
=\(-\left[ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ -1 }^{ 0 }+-\left[ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 0 }^{ 2 }=-\left[ 0-\frac { 1 }{ 2 } \right] +\left[ \frac { 4 }{ 2 } -0 \right] \)
=\(\frac { 5 }{ 2 } \) சதுர அலகுகள்.

y²=27x³ என்பது ஓர் அரை முப்படிப் பரவளையம் 
பரப்பு \(=\int_c^d x d y \)
\(x^3  =\frac{y^2}{27} \Rightarrow x=\frac{y^{2 / 3}}{3}\)
பரப்பு \(=\frac{1}{3} \int_1^2 y^{2 / 3} d y=\frac{1}{3}\left[\frac{y^{5 / 3}}{5 / 3}\right]_1^2\)
\(=\frac{1}{5}\left[2^{5 / 3}-1\right] \)
\(\frac { 1 }{ 5 } \left[ (2)^{ \frac { 5 }{ 3 } }-1 \right] \) ச.அலகுகள்

t மாதங்களுக்குப் பிறகு நிறுவனத்தின் மொத்த விற்பனை F(t) எனில் நிறுவனத்தின் விற்பனை விகிதச் சார்பு \(\frac { d }{ dt } \)F(t)=f(t)
∴ F(t)=\(\int _{ 0 }^{ t }{ f(t) } dt\)
4 மாதங்களுக்குப் பிறகு ஒட்டுமொத்த விற்பனை
F(4)=\(\int _{ 0 }^{ 4 }{ f(t) } dt\)
=\(\int _{ 0 }^{ 4 }{ 3000e^{ -0.3t } } dt\)
=\(3000\left[ \frac { { e }^{ -0.3t } }{ -0.3 } \right] _{ 0 }^{ 4 }\)
=-10000[e^-1.2-e⁰]
=-10000[0.3012-1]
=6988
(ii) ஐந்தாவது மாதத்தின் விற்பனை =\(\int _{ 4 }^{ 5 }{ 3000{ e }^{ -0.3t } } dt\)
=3000\(\left[ \frac { { e }^{ -0.3t } }{ -0.3 } \right] _{ 4 }^{ 5 }\)
=-10000[e^-1.5-e^-1.2]
=-10000[0.2231-0.3012]
=781 அலகுகள்
விளம்பரத்திற்கு பிறகு நிறுவனத்தின்  மொத்த விற்பனை
=\(\int _{ 0 }^{ \infty }{ 3000e^{ -0.3t } } dt=\frac { 3000 }{ -0.3 } \left[ e^{ -0.3t } \right] _{ 0 }^{ \infty }\)
=-10000[0-1]
=10000 அலகுகள்.

\(\mathrm{D}(x) =\mathrm{S}(x) \)
\(20-5 x =4 x+8 \)
\(12 =9 x \Rightarrow x=\frac{4}{3} \)
\(\mathrm{D} =20-\frac{20}{3}=\frac{40}{3} \)

இலாபச் சார்பு \(\mathrm{P} =\int(M R-M C) d \)
\(=\int(54-9 x) d x \)
\( =\left[54 x-\frac{9 x^2}{2}\right]+k \)

\(\mathrm{D}(x) =\mathrm{S}(x) \)
\(16-x^2 =2 x^2+4 \)
\(12 =3 x^2 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=2 \)

பரப்பு \( =\int_0^{\infty} e^{-2 x} d x=\left[\frac{e^{-2 x}}{-2}\right]_0^x \)
\( =\frac{-1}{2}\left[e^{-\infty}-e^0\right]=\frac{1}{2} \)  ச.அலகு

பரப்பு \(=\int_0^4\left(4 x-x^2\right) d x=\left[\frac{4 x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^4 \)
\(=32-\frac{64}{3}=\frac{32}{3} \)ச.அலகுகள்