அச்சு AX ஐ அச்சாகவும் மற்றும் Aன் AY ஐ அச்சு காண்க.
பரவளையத்தின் சமன்பாடு y² = 4ax
CA = 15, FG = 120
CF = CG = 60
F என்பது (15,160)
F ஆனது (1)-ன் மீது அமைந்துள்ளதால் 
\({ 60 }^{ 2 }=4a(15)\Rightarrow a=60\) 
y² = 240x
y = 24எனில், 24² = 240(x)
\(\Rightarrow x=\cfrac { 24\times 24 }{ 240 } \) 
படத்திலிருந்து
BD = BE - ED = 15 - 2.4 = 12.6மீ
ஆகையால் தேவையான உயரம் என்பது 12.6மீ

தளங்களுக்கு செங்குத்து வெக்டர் 
x + 2y +3z - 7 = 0, 2x - 3y + 4z = 0
\(\overset { \rightarrow }{ b } =\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ c } =2\overset { \wedge }{ i } -3\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \)
∴ தேவையான தளம் \(\overset { \rightarrow }{ a } =\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \) என்ற புள்ளி வழி செல்கிறது மற்றும் இரண்டு வெக்டர்கள் \(\overset { \rightarrow }{ b } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ c } \) க்கு இணை 
∴ தளத்திற்கான துணையலகு வெக்டர் சமன்பாடு.
\(\overset { \rightarrow }{ r } =\overset { \rightarrow }{ a } +s\overset { \rightarrow }{ b } +t\overset { \rightarrow }{ c } s,t\epsilon R\)
\(\overset { \rightarrow }{ r } =\left( \overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) +s\left( \overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \right) +t\left( 2\overset { \wedge }{ i } -3\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \right) \)
கார்டீசியன் சமன்பாடு \(\left| \begin{matrix} x-{ x }_{ 1 } \\ { b }_{ 1 } \\ { c }_{ 1 } \end{matrix}\begin{matrix} y-{ y }_{ 1 } \\ { b }_{ 2 } \\ { c }_{ 2 } \end{matrix}\begin{matrix} z-{ z }_{ 1 } \\ { b }_{ 3 } \\ { c }_{ 3 } \end{matrix} \right| =0\)
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} x-1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} y-1 \\ 2 \\ -3 \end{matrix}\begin{matrix} z+1 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} \right| =0\)
⇒ (x - 1) (8 + 9) - (y - 1) (4 - 6) + (z +1) (-3 - 4) = 0
⇒ 17 (x - 1) + 2 (y - 1) - 7 (z + 1) = 0
⇒ 17x - 17 + 2y - 2 - 7z - 7 = 0
⇒ 17x + 2y - 7z - 26 = 0

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு 
(2x²-3x+1)(2x²+5x+1)=9x²    ....(1)
x=0(1) ஐ நிறைவு செய்யவில்லை 
∴ (1) ஐ பின்வருமாறு மாற்றி எழுதலாம்.
\(\left( 2x+\frac { 1 }{ x } -3 \right) \left( 2x+\frac { 1 }{ x } +5 \right) =9\quad \quad \quad \quad ...(2)\)
பிரதியிடு  \(2x+\frac { 1 }{ x } =y\)
∴ (2) ⇒(y-3)(y+5)=9
⇒ y²+2y-15=9
அல்லது  y²+2y-24=0
⇒ (y+6)(y-4)=0
⇒ y=-6, -4
நிலை (i)
y=-6, 2x+\(\frac{1}{x}\)=-6
எனில் 2x²+6x+1=0 
⇒\(x = {-6 \pm \sqrt{36-8} \over 4}\)
\(x=-3\pm \frac { \sqrt { 7 } }{ 2 } \)
நிலை (ii)
y=4 எனில்,
\(2x+\frac { 1 }{ x } =4\)
⇒ 2x²-4x+1=0
⇒ x=\(x = {4 \pm \sqrt{16-8} \over 4}\)
\(x=\frac { 2\pm \sqrt { 2 } }{ 2 } \)
மூலங்கள் 
\(\frac { -3+\sqrt { 7 } }{ 2 } ,\frac { -3-\sqrt { 7 } }{ 2 } ,\frac { 2+\sqrt { 2 } }{ 2 } ,\frac { 2-\sqrt { 2 } }{ 2 } \)

LHS = \({ tan }^{ -1 }\left( \frac { 1-x }{ 1+x } \right) -{ tan }^{ -1 }\left( \frac { 1-y }{ 1+y } \right) \) = tan^-1 (1) - tan^-1 (x) - (tan^-1 (1) - tan^-1 (y))
\(\left[ \because { tan }^{ -1 }\left( \frac { x-y }{ 1+xy } \right) ={ tan }^{ -1 }x-{ tan }^{ -1 }y \right] \)
= tan^-1 (1) - tan^-1 (x) - (tan^-1 (1) - tan^-1 (y))
= tan^-1 (y) - tan^-1 (x)
\(={ tan }^{ -1 }\left( \frac { y-x }{ 1+xy } \right) \)
\(={ sin }^{ -1 }\left( \frac { y-x }{ \sqrt { 1+{ (yx) }^{ 2 }+{ (y-x) }^{ 2 } } } \right) \)
\(={ sin }^{ -1 }\left( \frac { y-x }{ \sqrt { \left( 1+{ x }^{ 2 } \right) \left( 1+{ x }^{ 2 } \right) } } \right) \)
= RHS

LHS = (1+ 5ω² + ω⁴) (1 + 5ω + ω²) (1 + 5ω + ω²) (5 + ω + ω⁵)
= (1+ 5ω² + ω⁴) (1 + 5ω + ω²) (1 + 5ω + ω²) (5 + ω + ω⁵) [∵  ω⁴ = ω³ . ω¹ = ω]
= (1 + ω + 5ω²) (1 + ω² + 5ω) (5 + ω + ω²)
= (-ω² + 5ω²) (-ω + 5ω) (5 - 1)
= (4ω²) (4ω)(4) = 64(1) = 64 [∵ ω³ = 1]
= RHS எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது

கொடுக்கப்பட்ட f(x)=ax²+bx+c
f(1)=0
⇒ a(1)2+b(1)+c=0
⇒ a+b+c=0    ...(1)
f(2)=-2
⇒ a(2²)+b(2)+c=-2
⇒ 4a+2b+c=-2 ...(2)
f(3)=-6
⇒a(3²)+b(3+c=-6
⇒ 9a+3b+c=-6     ...(3)
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \end{matrix} \right| =1\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 9 & 1 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 9 & 3 \end{vmatrix}\)
=1(2-3)-1(4-9)+1(12-18)
=-1+5-6=-2≠0
\({ \Delta }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ -2 & 2 & 1 \\ -6 & 3 & 1 \end{matrix} \right| =0-1\left| \begin{matrix} -2 & 1 \\ -6 & 1 \end{matrix} \right| +1\begin{vmatrix} -2 & 2 \\ -6 & 3 \end{vmatrix}\)
=-1(-2+6)+1(-6+12)=-1(4)+1(6)=2
\({ \Delta }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 4 & -2 & 1 \\ 9 & -6 & 1 \end{matrix} \right| =1\left| \begin{matrix} -2 & 1 \\ -6 & 1 \end{matrix} \right| +0+1\left| \begin{matrix} 4 & -2 \\ 9 & -6 \end{matrix} \right| \)
-1(-2+6)+1(-24+18)=4-6=-2
\({ \Delta }_{ 3 }=\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & -2 \\ 9 & 3 & -6 \end{matrix} \right| =1\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 3 & -6 \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 9 & -6 \end{vmatrix}\)
=1(-12+6)-1(-24+18)=-6+6=0
∴ கிராமரின் விதியை பயன்படுத்தி, 
\(a=\frac { { \Delta }_{ 1 } }{ \Delta } =\frac { 2 }{ -2 } =-1\)
\(b=\frac { { \Delta }_{ 2 } }{ \Delta } =\frac { -2 }{ -2 } =1\)
\(c=\frac { { \Delta }_{ 3 } }{ \Delta } =\frac { 0 }{ -2 } =0\)
\(\therefore f(x)=(-1){ x }^{ 2 }+1x+0\)
\(\Rightarrow f(x)={ x }^{ 2 }+x\)

இங்கு a = 9, b = -36, c = 44, d= -16
மூலங்கள் கூட்டுத் தொடரில் அமைந்தவை ஆதலால், மூலங்கள் a - d, a மற்றும் a + d என்க.
மூலங்களின் கூடுதல் =\(\frac { -b }{ a } \)
⇒ (a-d)+(a)+(a+d)=\(\frac { -(-36) }{ 9 } \)=4
⇒ 3a=4 ⇒ a=\(\frac { 4 }{ 3 } \) மற்றும் மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் =\(\frac { -d }{ a } \)
=\(\frac { -(-16) }{ 9 } =\frac { 16 }{ 9 } \)
⇒ (a-d)(a)(a+d)=\(\frac { 16 }{ 9 } \)
(a²-d²)(a)=\(\frac { 16 }{ 9 } \)
\(\left( \frac { 16 }{ 9 } -{ d }^{ 2 } \right) \left( \frac { 4 }{ 3 } \right) =\frac { 16 }{ 9 } \)  [∵ a=\(\frac { 4 }{ 3 } \)]
\(\frac { 16 }{ 9 } -d^{ 2 }=\frac { 16 }{ 9 } \times \frac { 3 }{ 4 } =\frac { 4 }{ 3 } \)
\(\frac { 16 }{ 9 } -\frac { 4 }{ 3 } \)=d²
⇒ d²=\(\frac { 16-12 }{ 9 } =\frac { 4 }{ 9 } \)
⇒ d=\(\pm \sqrt { \frac { 4 }{ 9 } } =\frac { 2 }{ 3 } \)
∴ மூலங்களாவன a-d, a, a+d
⇒\(\frac { 4 }{ 3 } -\frac { 2 }{ 3 } ,\frac { 4 }{ 3 } ,\frac { 4 }{ 3 } +\frac { 2 }{ 3 } \Rightarrow \frac { 2 }{ 3 } ,\frac { 4 }{ 3 } ,2\).

\(\vec { a } =3\hat { i } +6\hat { j } -2\hat { k } \) 
\(\vec { b } =-\hat { i } -2\hat { j } +6\hat { k } \) மற்றும்
\(\vec { c } =6\hat { i } +4\hat { j } -2\hat { k } \) 
என்ற மூன்று புள்ளிகள் வழி தளம் செல்கிறது. இங்கு 
\(\vec { b } -\vec { a } =\left( 1-3 \right) \hat { i } +\left( -2-6 \right) \hat { j } +\left( 6+2 \right) \hat { k } \) 
= \(-4\hat { i } -8\hat { j } +8\hat { k } \) 
\(\vec { c } -\vec { a } =\left( 6-3 \right) \hat { i } +\left( 4-6 \right) \hat { j } +\left( -2+2 \right) \hat { k } \)
= \(3\hat { i } -2\hat { j } \)
மூன்று புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் தளத்தின் வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு வடிவம் 
\(\vec { r } =\vec { a } +s\left( \vec { b } -\vec { a } \right) +t\left( \vec { c } -\vec { a } \right) ,s,t\epsilon R\) 
\(\Rightarrow \vec { r } =\left( 3\hat { i } +6\hat { j } -2\hat { k } \right) +s\left( -4\hat { i } -8\hat { j } +8\hat { k } \right) +t\left( 3\hat { i } -2\hat { j } \right) ,st\epsilon R\)
3 புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் தளத்தின் வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு இல்லாத வடிவம் 
\(\left[ \vec { r } -\vec { a } ,\vec { b } -\vec { a } ,\vec { c } -\vec { a } \right] =0\) 
\(\Rightarrow \vec { r } -\left( 3i+6j--2k \right) .\left[ \left( -4\hat { i } -8\hat { j } +8\hat { k } \right) \times \left( 3\hat { i } -2\hat { j } \right) \right] =0\) 
கார்டீசியன் சமன்பாடு 
\( \Rightarrow \vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) =16 \\ \Rightarrow 2 x+3 y+4 z-16 =0 \)

\(\Delta ABC\) -ல், G என்பது நடுக்கோட்டு மையம்.
GA, GB, GC ஐ இணைக்க.
AG ஆனது BC ஐ சந்திக்கும் புள்ளி D.
\(\Rightarrow\) AD என்பது நடுக்கோடு மற்றும் D என்பது BC-ன் நடுப்புள்ளி.
G ஐ மையமாகக் கருதுக.
\(\overrightarrow{G A}, \overrightarrow{G B}, \overrightarrow{G C}, \overrightarrow{G D}\) என்பன A, B, C, D ஆகிய புள்ளிகளின் நிலைவெக்டர்களாகும்.
\(\overrightarrow{G A}=\vec{a} ; \overrightarrow{G B}=\vec{b} ; \overrightarrow{G C}=\vec{c}\) என்க.
\(\overrightarrow{G D}=\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})\)                                            ........(1)
(\(\because\) D என்பது BC -ன் நடுப்புள்ளி)
நடுக்கோட்டு மையம் G ஆனது AD என்ற நடுக்கோட்டை 2:1 விகிதத்தில் பிரிக்கிறது.
\( |\overrightarrow{G A}|=2|\overrightarrow{G D}| \\ \overrightarrow{G A}=-2 \overrightarrow{G D} \)
(\(\because \overrightarrow{G A} \& \overrightarrow{G D}\)ஆகியவை எதிரெதிர் திசையைக் கொண்டவை)
\(\vec{a}=-2 \overrightarrow{G D} \Rightarrow \overrightarrow{G D}=-\frac{1}{2} \vec{a}\)                     .......(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\(-\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})=-\frac{1}{2} \vec{a}\)
\(ie)  \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0} \)                                  .......(3)
\(\vec{a} \times \vec{b}   =\vec{a} \times(-\vec{a}-\vec{c}) \)      ((3) லிருந்து)
 \(=-\vec{a} \times \vec{a}-\vec{a} \times \vec{c}=0+\vec{c} \times \vec{a} \)
\(\vec{a} \times \vec{b}  =\vec{c} \times \vec{a}\)                                               .......(4)
\(\vec{b} \times \vec{c}  =\vec{b} \times(-\vec{a}-\vec{b}) \)
\( =-\vec{b} \times \vec{a}-\vec{b} \times \vec{b}=\vec{a} \times \vec{b}-0=\vec{a} \times \vec{b}\).......(5)
(4) மற்றும் (5) லிருந்து
\( \vec{a} \times \vec{b}=\vec{b} \times \vec{c}=\vec{c} \times \vec{a}\)                          .......(6) 
\(\Delta GAB\) ன் பரப்பு = வெக்டர் பரப்பு \(\frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|\)
\(\Delta GBC\) ன் பரப்பு = வெக்டர் பரப்பு \(\frac{1}{2}|\vec{b} \times \vec{c}|\)
\(\Delta GCA\) ன் பரப்பு = வெக்டர் பரப்பு \(\frac{1}{2}|\vec{c} \times \vec{a}|\)
(6) ஐ பயன்படுத்த கிடைப்பது,
\(\Delta GAB\) ன் பரப்பு = \(\Delta GBC\) ன் பரப்பு
= \(\Delta GCA\) ன் பரப்பு
மேலும்,
\(\Delta ABC\) ன் பரப்பு = \(\Delta GAB\) ன் பரப்பு +\(\Delta GBC\) ன் பரப்பு + \(\Delta GCA\) ன் பரப்பு
\(\therefore\) நமக்கு கிடைப்பது,
\(\Delta GAB\) ன் பரப்பு = \(\Delta GBC\) ன் பரப்பு
 \(\Delta GCA\) ன் பரப்பு = \(\cfrac { 1 }{ 3 } \Delta ABC\) ன் பரப்பு

கொடுக்கப்பட்ட வட்டம் x² + y² - 8x + 12 = 0
தொடுகோட்டின் நீளம் = \(\sqrt { { 2 }^{ 2 }+(-3)^{ 2 }-8(2)-9(-3)+12 } \) 
= \(\sqrt { 4+9-16+27+12 } \) 
= \(\sqrt { 36 } =6\) அலகுகள்

கொடுக்கப்பட்ட (x₁,y₁,z₁), (2, -1, 3) (x₂, y₂, z₂) (4, 2, 1) இரண்டு புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் கோட்டின் கார்டீசியன் சமன்பாடு \(\frac { x-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } } =\frac { z-{ z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 }-{ z }_{ 1 } } \)
\(\Rightarrow \frac { x-2 }{ 2 } =\frac { y+1 }{ 3 } =\frac { z-3 }{ -2 } \)

நம்மிடம் x = \(\sqrt{2+x}\)
⇒ x² = 2+x  ⇒ x²-x-2 = 0
\(\Rightarrow x=\frac { 1\pm \sqrt { 1+8 } }{ 2 } \Rightarrow x=\frac { 1\pm 3 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow x=\frac { 1+3 }{ 2 } ,\frac { 1-3 }{ 2 } \Rightarrow x=2,-1\)
மேலும் x > 0, நமக்கு கிடைப்பது x = 2

⇒ 3x + (2x - 3y)i = 6 + 3i⁹
⇒ 3x + (2x - 3y)i = 6 + 3.i⁴.i⁴.i¹
⇒ 3x + (2x - 2y)i = 6 + 3i
மெய் மற்றும் கற்பனை பகுதிகளை சமப்படுத்த கிடைப்பது.
3x = 6 ⇒ x = 2
2x - 3y = 3 ⇒ 2(2) - 3y = 3
⇒ 4 - 3y = 3
⇒ 4 - 3 = 3y
⇒ 3y = 1 ⇒ y = \(\frac13\)
∴ x = 2, y = \(\frac13\)

\({ cos }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) =\theta \Rightarrow \frac { 3 }{ 5 } =cos\theta \) என்க.
∴ \(\therefore sin\theta =\sqrt { 1-{ cos }^{ 2 }\theta } =\sqrt { 1-\frac { 9 }{ 25 } } =\sqrt { \frac { 25-9 }{ 25 } } \)
\(=\sqrt { \frac { 16 }{ 25 } } =\frac { 4 }{ 5 } \)
\(\therefore sin\left( { cos }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) \right) =\frac { 4 }{ 5 } \)

\(\Delta =\left| \begin{matrix} 6 & -7 \\ 9 & -5 \end{matrix} \right| =-30+63=33\)
\({ \Delta }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 16 & -7 \\ 35 & -5 \end{matrix} \right| =80+245=165\)
\({ \Delta }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} 6 & 16 \\ 9 & 35 \end{matrix} \right| =210-144=66\)
\(\therefore x=\frac { { \Delta }_{ 1 } }{ \Delta } =\frac { 165 }{ 33 } =5\)
\(y=\frac { { \Delta }_{ 2 } }{ \Delta } =\frac { 66 }{ 33 } =2\)
∴ தீர்வு கணம் {6,2}

x² = 24y
கொடுக்கப்பட்ட பரவளையம் மேல்புறம் திறப்புடையது மற்றும் \(4a=24\Rightarrow a=6\)
(a) முனை = (0, 0)
\(\Rightarrow h=0,k=0\)
(b) குவியம் = (0, 6)
\(\Rightarrow (0+0,6+0)=(0,6)\)
(c) இயக்குவரையின் சமன்பாடு y = k - a
\(\Rightarrow y=0-6\Rightarrow y=-6\)
(d) இயக்குவரையின் நீளம் 4a = 24

மூன்று வெக்டர்களின் திசையிலி முப்பெருக்கலின் வரையறைப்படி,
\(\vec { a } .(\vec { b } \times \vec { c } )=\left| \begin{matrix} -3 & -1 & 5 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 4 & -5 \end{matrix} \right| =-3\)

இங்கு A = 3, C = 3, D = -4, E = 3 மற்றும் F = 10
இங்கு A = C மற்றும் xy உறுப்பு இல்லை ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு வட்டத்தை குறிக்கிறது.

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியின் மீது காஸ்-ஜோர்டான் முறையினைப் பயன்படுத்த,
[A|I₂]  =\(\left[ \begin{matrix} 0 & 5 \\ -1 & 6 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} -1 & 6 \\ 0 & 5 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow (-1){ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -6 \\ 0 & 5 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow \frac { 1 }{ 5 } { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -6 \\ 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 & -1 \\ (1/5) & 0 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 1 }+6{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} (6/5) & -1 \\ (1/5) & 0 \end{matrix} \right] \)
எனவே A^-1=\(\left[ \begin{matrix} (6/5) & -1 \\ (1/5) & 0 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 5 } \left[ \begin{matrix} 6 & -5 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] \).

tan^-1(\(\sqrt3\)) = y  என்க.
எனவே tan y =\(\sqrt3\).
ஆகையால், y = \(\frac{\pi}{3}\).
ஏனெனில் \(\frac{\pi}{3}\) \(\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)
எனவே, tan^-1(\(\sqrt3\)) ன் முதன்மை மதிப்பு \(\frac{\pi}{3}\)ஆகும்.

cos⁻¹\(\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \) = y என்க. எனவே, cos y = \( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \) ஆகும்.
y = cos^-1 x-ன் முதன்மை மதிப்பு வீச்சகம் [0, \(\pi\)]என நாம் அறிவோம். எனவே, cos y = \( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \) எனும்படி y மதிப்பு [0, \(\pi\)]-ல் காண வேண்டும். ஆனால், cos \(\frac{\pi}{6}\) = \(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 }\) மற்றும் \( \frac{\pi}{6}\in[0,\pi]\) என்பதால் y = \(\frac{\pi}{6}\) ஆகும். எனவே cos⁻¹\(\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \)-ன் முதன்மை மதிப்பு \(\frac{\pi}{6}\)ஆகும்.

sin^-1: [-1, 1] \(\rightarrow \left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \) என்பது  sin^-1: x = y என கொடுக்கப்படத் தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதுமான நிபந்தனை x = sin y ஆகும். இங்கு −1 ≤ x ≤ 1 மற்றும் - \(\frac { \pi }{ 2 } \le y \le \frac { \pi }{ 2 } \). எனவே
(i) \(\frac{\pi}{4}\) \(\in \left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)மற்றும் sin \(\frac { \pi }{ 4 } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) என்பதால் \({ \sin }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) \)\(-\frac{\pi}{4}\)
(ii) \( -\frac{\pi}{3}\)\(\in \left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)என்பதால் \({ \sin }^{ -1 }\left( \sin\left( -\frac { \pi }{ 3 } \right) \right) \)= -\(\frac{\pi}{3}\) ஆகும்.
(iii) \(\frac{\pi}{6}\) \(\in \left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)என்பதால் \(\sin ^{-1}\left(\sin \left(\frac{5 \pi}{6}\right)\right)=\sin ^{-1}\left(\sin \left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)\right)=\sin ^{-1}\left(\sin \frac{\pi}{6}\right)=\frac{\pi}{6}\)

A என்பது 2m+1 வரிசையுடைய பூச்சியமற்றக் கோவை அணி என்க. இங்கு m = 0,1,2, .... எனவே |A| ≠ 0 மற்றும் தேற்றம் |adj A| = |A|^{n - 1}இன் படி கிடைப்பது |adj A| = |A|^(2m+1)-1 = |A|^2m
|A|^2m என்பது எப்பொழுதும் மிகை, எனவே |adj A| ஆனது மிகை.

குவியங்கள் y -அச்சில் அமைவதால் நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(^{ }\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } =1\left( a<b \right) \)
\(\therefore { b }^{ 2 }={ a }^{ 2 }\left( 1-{ e }^{ 2 } \right) ={ a }^{ 2 }\left( 1-\cfrac { 9 }{ 16 } \right) ={ a }^{ 2 }\left( \cfrac { 7 }{ 16 } \right) \) 
\(\Rightarrow b=\cfrac { a\sqrt { 7 } }{ 4 } \) 
\(\therefore\) நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ \frac { { 7a }^{ 2 } }{ 16 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } =1\) 
\(\cfrac { { 16x }^{ 2 } }{ 7{ a }^{ 2 } } +\cfrac { 16 }{ { a }^{ 2 } } =1\) 
(6,4)வழிச் செல்கிறது 
\(\cfrac { 16(36) }{ 7{ a }^{ 2 } } +\cfrac { 16 }{ { a }^{ 2 } } =1\) 
\(\Rightarrow \cfrac { 16 }{ { a }^{ 2 } } \left( \cfrac { 36 }{ 7 } +1 \right) =1\Rightarrow \cfrac { 36+7 }{ 7 } =\cfrac { { a }^{ 2 } }{ 16 } \) 
\(\Rightarrow \cfrac { 43 }{ 7 } \times 16={ a }^{ 2 }\Rightarrow { a }^{ 2 }=\cfrac { 43\times 16 }{ 7 } \) 
\({ a }^{ 2 }=\cfrac { 43\times 16 }{ 7 } \) என(1) ல் பிரதியிட கிடைப்பது 
\(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 7\left( \frac { 43\times 16 }{ 7 } \right) } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ \left( \frac { 43\times 16 }{ 7 } \right) } =1\) 
\(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 688 } +\cfrac { { 7y }^{ 2 } }{ 688 } =1\)

கொடுக்கப்பட்ட \(\vec { OA } =6\hat { i } -7\hat { j } \), \(\vec { OB } =16\hat { i } -29\hat { j } -4\hat { k } \), \(\vec { OC } =3\hat { i } -6\hat { j } \) மற்றும் \(\vec { OD } =2\hat { i } +5\hat { j } +10\hat { k } \)
\(\vec { AB } =\vec { OB } -\vec { OA } =10\hat { i } -22\hat { j } -4\hat { k } \)
\(\vec { AC } =\vec { OC } -\vec { OA } =-6\hat { i } +10\hat { j } -6\hat { k } \)
\(\vec { AD } =\vec { OD } -\vec { OA } =-4\hat { i } +12\hat { j } +10\hat { k } \)
∴ \([\vec { AB } \vec { AC } \vec { AD } ]=\left| \begin{matrix} 10 & -22 & -4 \\ -6 & -10 & -6 \\ -4 & 12 & 10 \end{matrix} \right| \)
= 10(100 + 75) + 22(-60 -24) -4(-72 + 40)
= 1720 - 1848 + 128 = 0
எனவே கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரு தளம் அமைவன

பிரதியிடு \(y=\frac { x-1+x-5 }{ 2 } =x-3\)
⇒ x = y + 3
∴ (x-1)⁴+(x-5)⁴ = 82
⇒ (y+3-1)⁴+(y+3-5)⁴ = 82
⇒ (y+2)⁴+ (y-2)⁴ = 82
⇒ 2(y⁴+ 24y²+16) = 82
⇒ y⁴+ 24y²+16 = 41
⇒ y⁴+ 24y²-25 = 0
⇒ (y²+ 25)(y²-1) = 0
⇒ y = 土5i, y = 土1
∴ x = 3土5i, 4, 2.

\({ cos }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) =\theta \Rightarrow cos\theta =\frac { 4 }{ 5 } \) என்க. 
\(\therefore tan\theta =\frac { opp }{ adj } =\frac { 3 }{ 4 } \)
\(\Rightarrow \theta ={ tan }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) \)
\(LHS={ cos }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) +{ tan }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) \)
\(={ tan }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) +{ tan }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) \)
\(\left[ \because { tan }^{ -1 }x+{ tan }^{ -1 }y={ tan }^{ -1 }\left( \frac { x+y }{ 1-xy } \right) \right] \)
\(={ tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { 3 }{ 4 } +\frac { 3 }{ 5 } }{ 1-\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) } \right) \)
\(={ tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { 15+12 }{ 20 } }{ \frac { 20-9 }{ 20 } } \right) ={ tan }^{ -1 }\left( \frac { 27 }{ 20 } \times \frac { 20 }{ 11 } \right) \)
\(={ tan }^{ -1 }\left( \frac { 27 }{ 11 } \right) \)

z = -2i = 2(-i) என்க
= \(2\left[ cos\left( -\frac { \pi }{ 2 } \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 2 } \right) \right] \)
[∵ cos (-θ) = cos θ and sin(-θ) = - sinθ]
-2i ன் முதன்மை மதிப்பு -\(\frac { \pi }{ 2 } \)

\(\Delta =\left| \begin{matrix} 3 & a \\ 2 & a \end{matrix} \right| =3a-2a=a\)
\({ \Delta }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 4 & a \\ 2 & a \end{matrix} \right| =4a-2a=2a\)
\({ \Delta }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} 3 & 4 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right| =6-8=-2\\ \)

∴ தீர்வு கணம் \(\left\{ 2,\frac { -2 }{ a } \right\} \)

LHS = (z₁ z₂) z₃
= [(1 - 3i) (- 4i)] + 5
= [- 4i + 12i²] 5
= (-4i-12)5= -20i - 60
RHS = z₁ (z₂ z₃)
= (1-3i) [(-4i) 5]
= (1- 3i)(- 20i)
= - 20i + 60i²
= - 20i - 60
LHS=RHS
∴ (z₁ z₂) z₃= z₁(z₂ z₃)

p(x) = 9x⁹ − 4x⁸ + 4x⁷ − 3x⁶ + 2x⁵ + x³ + 7x² + 7x + 2 = 0 என்க.
p(x) ன் குறிகளை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

p(x) க்கு 4 முறை மாற்றம் நிகழ்ந்துள்ளது மற்றும் p(x) -ன் மிகை பூச்சியமாக்கிகளின் எண்ணிக்கை 4-க்கு மிகாது.
மேலும் p(-x)= 9(-x)⁹-4(-x)⁸+4(-x)⁷-3(-x)⁶+2(-x)⁵+(-x)³+7(-x)²+7(-x)+2
p(-x)= -9x⁹-4x⁸-4x⁷-3x⁶-2x⁵-x3+7x2-7x+2
p(-x)- ன் குறிகள்

p(-x)
எனவே p(-x) க்கு இரண்டு முறை குறி மாற்றம் நிகழ்ந்துள்ளது.
p(x) க்கு அதிகபட்சம் இரண்டு குறை.

கொடுக்கப்பட்ட முப்படிச் சமன்பாடு
2x³ − 6x² + 3x + k = 0
இங்கு a = 2, b = -6, c = 3, d= k
α,β,\(\gamma\) என்பது மூலங்கள் என்க.
கொடுக்கப்பட்ட α=2(\(\beta +\gamma \)) =\(\frac { \alpha }{ 2 } =\beta +\gamma \)       .....(1)
இங்கு  α+β+\(\gamma\)=\(\frac { -b }{ a } =-\frac { (-6) }{ 2 } \)=3
\(\frac { \alpha }{ 2 } +\alpha =3\Rightarrow \frac { \alpha +2\alpha }{ 2 } =3\Rightarrow \frac { 3\alpha }{ 2 } \)=3
⇒ α=2
\(\alpha \beta \gamma =\frac { -d }{ a } =\frac { -k }{ 2 } \Rightarrow 2.\beta \gamma =\frac { -k }{ 2 } \)
\(\beta \gamma =\frac { -k }{ 4 } \)           .......(2)
மேலும், \(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =\frac { c }{ a } \)
\(2\beta +\beta \gamma +2\gamma =\frac { 3 }{ 2 } \)
\(2(\beta +\gamma )+\beta \gamma =\frac { 3 }{ 2 } \)
\(\alpha \frac { -k }{ 4 } =\frac { 3 }{ 2 } \) [(1) மற்றும் (2) லிருந்து]
\(2-\frac { k }{ 4 } =\frac { 3 }{ 2 } \)    [∵ α=2]
\(2-\frac { 3 }{ 2 } =\frac { k }{ 4 } \Rightarrow \frac { 1 }{ 2 } =\frac { k }{ 4 } \)
k=\(\frac { 4 }{ 2 } \) ⇒ k=2
(2)லிருந்து, \(\beta \gamma =\frac { -k }{ 4 } =\frac { -2 }{ 4 } =\frac { -1 }{ 2 } \Rightarrow =\frac { -1 }{ 2\beta } \)
(1) லிருந்து, \(\beta +\gamma =\frac { \alpha }{ 2 } =\frac { 2 }{ 2 } \)=1
\(\gamma =\frac { -1 }{ 2\beta } \) என பிரதியிட கிடைப்பது
\(\beta -\frac { 1 }{ 2\beta } \)=1 ⇒ 2β²-1=2β ⇒ 2β-2β-1=0
β=\(\frac { 2\pm \sqrt { 4-4(2)(-1) } }{ 4 } =\frac { 2\pm \sqrt { 4+8 } }{ 4 } \)
=\(\frac { 2\pm \sqrt { 12 } }{ 4 } =\frac { 2\pm 2\sqrt { 3 } }{ 4 } \)
β =\(\frac { 1\pm \sqrt { 3 } }{ 2 } \)
எனவே மூலங்கள் 2,\(\frac { 1+\sqrt { 3 } }{ 2 } ,\frac { 1-\sqrt { 3 } }{ 2 } \)  மற்றும் k = 2

படத்திலிருந்து முனை (0, 0) மற்றும் பரவளையம் கீழ்நோக்கித் திறப்புடையது எனலாம்.
பரவளையத்தின் சமன்பாடு x² = -4ay 
(-20, -15) மற்றும் (20, -15) என்ற புள்ளிகள் பரவளையத்தின் மீதுள்ளன.
20² = -4a(-15)
\(4a=\frac { 400 }{ 15 } \)
x² = \(\frac { -80 }{ 3 } \) x y
எனவே சமன்பாடு 3x² = -80y

\(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } =r(cos\theta +isin\theta )\)
\(r=\sqrt { { \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 2 } } =\sqrt { \frac { 3 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 4 } } =\sqrt { \frac { 4 }{ 4 } } =1\)
\(\alpha ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { y }{ x } \right| ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { \frac { 1 }{ 2 } }{ \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } } \right| ={ tan }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \right) =\frac { \pi }{ 6 } \)
\(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } \) முதலாம் கால்பகுதியில் அமைவதால், θ = α
\(\therefore \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } =1\left( cos\frac { \pi }{ 6 } +isin\frac { \pi }{ 6 } \right) \)
\(\therefore { \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } \right) }^{ 5 }={ 1 }^{ 2 }{ \left( cos\frac { \pi }{ 6 } +isin\frac { \pi }{ 6 } \right) }^{ 5 }\)
\(=cos\frac { 5\pi }{ 6 } +isin\frac { 5\pi }{ 6 } \) ...(1) [டி மாய்வரின் தேற்றம்]
அதைப் போல \(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { i }{ 2 } =1\left( cos\frac { \pi }{ 6 } -isin\frac { \pi }{ 6 } \right) \)
\(\therefore { \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { i }{ 2 } \right) }^{ 5 }={ 1 }^{ 2 }{ \left( cos\frac { \pi }{ 6 } -isin\frac { \pi }{ 6 } \right) }^{ 5 }\)
\(=cos\frac { 5\pi }{ 6 } +isin\frac { 5\pi }{ 6 } \) ...(2)
(1) மற்றும் (2) ஐ கூட்ட கிடைப்பது,
\({ \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } \right) }^{ 5 }{ +\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { i }{ 2 } \right) }^{ 5 }\)

\(=2cos\frac { 5\pi }{ 6 } =2cos\left( \pi -\frac { \pi }{ 6 } \right) \)
\(=-2cos\frac { \pi }{ 6 } \)[\(\therefore \frac { 5\pi }{ 6 } \) இரண்டாம் காலப்பகுதியில் அமைவதால்]
\({ -2\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) }=\sqrt { 3 } \)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது

A =\(\left[ \begin{matrix} 3 & 1 & 4 \\ 2 & 0 & -1 \\ 5 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \) என்க. |A| = 3(0+2)-1(2+5)+4(4-0) = 6-7+16 = 15 ≠ 0. எனவே, A ஆனது பூச்சியமற்ற அணிக்கோவை அணியாகும்.
\(\left[ \begin{matrix} 3 & 1 & 4 \\ 2 & 0 & -1 \\ 5 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow \frac { 1 }{ 3 } { R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & \frac { 1 }{ 3 } & \frac { 4 }{ 3 } \\ 2 & 0 & -1 \\ 5 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-2{ R }_{ 1 },{ R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-5{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & \frac { 1 }{ 3 } & \frac { 4 }{ 3 } \\ 0 & -\frac { 2 }{ 3 } & -\frac { 11 }{ 3 } \\ 0 & \frac { 1 }{ 3 } & -\frac { 17 }{ 3 } \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow \left( -\frac { 3 }{ 2 } \right) { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & \frac { 1 }{ 3 } & \frac { 4 }{ 3 } \\ 0 & 1 & \frac { 11 }{ 2 } \\ 0 & \frac { 1 }{ 3 } & -\frac { 17 }{ 3 } \end{matrix} \right] \\ \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 1 }-\frac { 1 }{ 3 } { R }_{ 2 },{ R }_{ 3 }\rightarrow \frac { 1 }{ 3 } { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -\frac { 1 }{ 2 } \\ 0 & 1 & \frac { 11 }{ 2 } \\ 0 & 0 & -\frac { 15 }{ 2 } \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow \left( -\frac { 2 }{ 15 } \right) { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -\frac { 1 }{ 2 } \\ 0 & 1 & \frac { 11 }{ 2 } \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \\ \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 1 }+\frac { 1 }{ 2 } { R }_{ 3 },{ R }_{ 2 }\rightarrow- \frac { 11 }{ 2 } { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)

 (1 + i) (1 + 2i) (1 + 3i) .... (1 + ni) = x + iy இருபுறமும் மட்டு மதிப்பை கண்டு வர்க்கப்படுத்த 
2.5.10 .... (1 + n²) = x² + y²

\(\Delta \geq 0 \)
\(\mathbf{k}^2-4(1)(9) \geq 0 \)
\(\mathbf{k}^2 \geq 36 \Rightarrow|k| \geq 6\)

x = 0 என்ற கோட்டிற்கும் மையம் (- g, - f) -க்கும் உள்ள தூரம் வட்டத்தின் ஆரம் ஆகும்.
\(\pm\left(\frac{-g}{1^2}\right)=\sqrt{g^2+f^2-c} \Rightarrow f^2=c\) ............ (1)
கொடுக்கப்பட்ட வட்டத்தின் சமன்பாட்டிலிருந்து,
\( 2 f =-6+3 \lambda, c=9-19 \lambda \\ \left(\frac{-6+3 \lambda}{2}\right)^2 =9-19 \lambda \Rightarrow \lambda=0, \frac{-40}{9} \)

ρ(A) = ρ(A |B) = 2
λ - 7 = 0 மற்றும் μ + 5 = 0
λ = 7 மற்றும் μ = -5

\(\sin ^{-1}(\cos x)=\sin ^{-1}\left(\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)=\frac{\pi}{2}-x\)

\((acos\theta ,bsin\theta )\) ;1,2,3 வட்டத்தின் துணையலகு வடிவம் 

(2) \(\left| \overset { \rightarrow }{ a } \right| \left| \overset { \rightarrow }{ b } \right| sin\theta \)
குறிப்பு: 1, 3, 4 குறுக்கும் பெருக்கலுக்கான வரையறைகள்.

4) \(\frac{24}{7}\)

3 ஆக இருக்கலாம் 
குறிப்பு: ρ(A)≤(3,4)-ன் மீச்சிறு 
⇒ ρ(A)≤3 மேலும் 4 ஆக இருக்க முடியாது 

(4) -8

(1) cot (cot^-1 (+600)) = - 600
குறிப்பு: x ∈ R எனில் cot (cot^-1 x) = x என்ற பண்பை 2, 3, 4 பின்பற்றுகிறது.