கொடுக்கப்பட்ட கோடு x + y + 1 = 0
\(\therefore\) y = -x - 1
m = -1, c = -1
அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 16 } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 15 } =1\) 
a² = 16, b² = 15
y = mx + c அதிபரவளையம் c² = a²m² - b² க்கு தொடுகோடாக இருக்க நிபந்தனை 
\(\therefore\) (-1)² = 16(-1)² - 15
1 = 16 - 15
1 = 1
கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது. x + y + 1 = 0 அதிபரவளையம் \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 16 } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 15 } =1\) ஐ தொட்டு செல்கிறது.
தொடுபுள்ளி \(\left( \cfrac { { -a }^{ 2 }m }{ c } ,\cfrac { { -b }^{ 2 } }{ c } \right) \) 
= \(\left( \cfrac { -16(-1) }{ -1 } ,\cfrac { -15 }{ -1 } \right) =\left( -16,-15 \right) \)
எனவே தொடுபுள்ளி என்பது (-16, 15)

கோடிற்கு \(\frac { x-1 }{ 3 } =\frac { y+1 }{ 2 } =\frac { z-1 }{ 5 } \)
(x₁, y₁, z₁), (1, -1, 1), (l₁, m₁, n₁), (3, 2, 5)
கோடு \(\frac { x+2 }{ 4 } =\frac { y-1 }{ 3 } =\frac { z+1 }{ -2 } \) கிடைப்பது (x₂, y₂, z₂), (-2, 1, -1)(l₂, m₂, n₂), 4, 3, -2
வெட்டுக் கோடுகளுக்கான நிபந்தனை
\(\left| \begin{matrix} { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } & { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } & { z }_{ 2 }-{ z }_{ 1 } \\ { l }_{ 1 } & { m }_{ 1 } & { n }_{ 1 } \\ { l }_{ 2 } & { m }_{ 2 } & { n }_{ 2 } \end{matrix} \right| =0\)
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} -2-1 & 1+1 & -1-1 \\ 3 & 2 & 5 \\ 4 & 3 & -2 \end{matrix} \right| \Rightarrow \left| \begin{matrix} -3 & 2 & -2 \\ 3 & 2 & 5 \\ 4 & 3 & -2 \end{matrix} \right| \)
= -3(-4 - 15) - 2(-6 -20) - 2(9 - 8)
= -3(-19) - 2(-26) - 2(1)
= 57 + 52 - 2 = 109 - 2 = 107 ≠ 0
எனவே கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் வெட்டுவதில்லை.

பிரதியிடு \(y=\frac { x-1+x-5 }{ 2 } =x-3\)
⇒ x = y + 3
∴ (x-1)⁴+(x-5)⁴ = 82
⇒ (y+3-1)⁴+(y+3-5)⁴ = 82
⇒ (y+2)⁴+ (y-2)⁴ = 82
⇒ 2(y⁴+ 24y²+16) = 82
⇒ y⁴+ 24y²+16 = 41
⇒ y⁴+ 24y²-25 = 0
⇒ (y²+ 25)(y²-1) = 0
⇒ y = 土5i, y = 土1
∴ x = 3土5i, 4, 2.

\({ sin }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) =A\Rightarrow \frac { 3 }{ 5 } =sinA\) என்க.
\(cosA=\frac { adj }{ hyp } =\frac { 4 }{ 5 } \)
\({ sin }^{ -1 }\left( \frac { 5 }{ 13 } \right) =B\Rightarrow sinB=\frac { 5 }{ 13 } \) என்க.
\(\Rightarrow cosB=\frac { 12 }{ 13 } \)
\(\therefore cos\left[ { sin }^{ -1 }\frac { 3 }{ 5 } +{ sin }^{ -1 }\frac { 5 }{ 13 } \right] =cos(A+B)\)
= cos A cos B  - sin A sin B
\(=\frac { 4 }{ 5 } .\frac { 12 }{ 13 } -\frac { 3 }{ 5 } .\frac { 5 }{ 13 } =\frac { 48 }{ 65 } -\frac { 15 }{ 65 } =\frac { 33 }{ 65 } \)

-1 = i² = i x i = \(\sqrt { -1 } \times \sqrt { -1 } =\sqrt { (-1) } \times \sqrt { (-1) } \)
= \(\sqrt { 1 } \)
⇒ -1 = i
மேற்கூறிய நிரூபனத்தில் \(\sqrt { -1 } \times \sqrt { -1 } \) = \(\sqrt { (-1)(-1) } \) என பயன்படுத்தியது தவறு ஏனெனில் \(\sqrt { ab } =\sqrt { a } .\sqrt { b } \) என்பது a, b மட்டுமே உண்மை ஆகும்.

A=\(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & h-2 & 2 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} h+2 \\ 3 \end{matrix} \end{matrix} \right] \) என்க Aன் தரம் 3விட குறைவாக இருக்க வேண்டுமெனில் ஒவ்வொரு 3 வரிசையுடைய சிற்றிணிக்கோவையும் பூச்சியமாக இருத்தல் வேண்டும்.
\(\therefore \left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & h-2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} \right| =0\)
\(\Rightarrow 1\left| \begin{matrix} h-2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right| +0+0=0\)
⇒ 3(h-2)=0
⇒ h-2=0⇒h=2

f(x) = 8x³ − 2x² − 7x + 3 = 0 என்க. இங்கு ஒற்றைப்படி உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல்
=8-7=1
மற்றும் இரட்டைப்படி உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல்
=-2+3=1
எனவே, x=-1 என்பது f(x) ன் ஒரு மூலமாகும்.
f(x) ஐ (x+1) ஆல் வகுக்க

∴ மற்ற காரணியானது 8x²-10x+3
⇒ x=\(\frac { 10\pm \sqrt { 100-4(8)(3) } }{ 2\times 8 } \)
⇒ x=\(\frac { 10\pm \sqrt { 100-96 } }{ 16 } \Rightarrow x=\frac { 10\pm 2 }{ 16 } \)
⇒ x=\(\frac { 12 }{ 16 } \) அல்லது
x=\(\frac { 8 }{ 16 } \Rightarrow x=\frac { 3 }{ 4 } ,\frac { 1 }{ 2 } \)
∴ மூலங்கள் -1,\(\frac { 1 }{ 2 } ,\frac { 3 }{ 4 } \).

|2z + 2 - 4i| = 2
2|z + 1 - 2i| = 2
⇒ |z -(- 1 - 2i)| = 1
இது |z -z₀| = r என்ற வடிவம் கொண்டது. ஆகவே இது வட்டத்தை குறிக்கின்றது.

\(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \)  என்ற வெக்டர்களை ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு \([\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } ]\) ஆகும். இங்கு \(\vec { a } =2\hat { i } -3\hat { j } +4\hat { k } ,\vec { b } =\hat { i } +2\hat { j } -\hat { k } ,\vec { c } =3\hat { i } -\hat { j } +2\hat { k } \)
\([\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } ]=\left| \begin{matrix} 2 & -3 & 4 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \end{matrix} \right| =-7\) என்பதால், இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு |-7| = 7 கன அலகுகளாகும்.

i)  கொடுக்கப்பட்டது: \(2cos\alpha =x+\frac { 1 }{ x } \)
\(\Rightarrow 2cos\alpha =\frac { { x }^{ 2 }+1 }{ x } \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+1=2xcos\alpha \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }-2xcos\alpha +1=0\)
\(\Rightarrow x=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { (-2cos{ \alpha ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { 4{ cos }^{ 2 }\alpha -4 } }{ 2 } \) \(\left[ \because x = {b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} \right] \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm isin\alpha }{ 2 } \left[ \because { sin }^{ 2 }\alpha +{ cos }^{ 2 }\alpha =1 \right] \)
⇒ x = cos α 土 sin α
மேலும் \(2cos\beta =y+\frac { 1 }{ y } \)
\(\Rightarrow 2cos\beta =\frac { { y }^{ 2 }+1 }{ y } \)
\(\Rightarrow { y }^{ 2 }-2ycos\beta +1=0\)
\(\Rightarrow y=\frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { (-2cos\beta ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(\Rightarrow \frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { 4cos }^{ 2 } } \beta -4 }{ 2 } =\frac { 2cos\beta \pm isin\beta }{ 2 } \)
⇒ x = cos α 土 sin α
\(\frac { x }{ y } =\frac { cos\alpha +isin\alpha }{ cos\beta +isin\beta } \)
\(=cos(\alpha -\beta )+isin(\alpha -\beta )\) ...(1)
மற்றும் \(\frac { y }{ x } =\frac { 1 }{ \frac { x }{ y } } =cos(\alpha -\beta )+isin(\alpha -\beta )\) ...(2)
\((1)+(2)\rightarrow =\frac { x }{ y } +\frac { y }{ x } \)
\(=cos(\alpha -\beta )+isin(\alpha -\beta )+cos(\alpha -\beta )-isin(\alpha -\beta )\)
\(=2cos(\alpha -\beta )\)
ii)  கொடுக்கப்பட்ட \(2cos\alpha =x+\frac { 1 }{ x } \)
\(\Rightarrow 2cos\alpha =\frac { { x }^{ 2 }+1 }{ x } \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+1=2xcos\alpha \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }-2xcos\alpha +1=0\)
\(\Rightarrow x=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { (-2cos{ \alpha ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { 4{ cos }^{ 2 }\alpha -4 } }{ 2 } \) \(\left[ \because x = {b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} \right] \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm isin\alpha }{ 2 } \left[ \because { sin }^{ 2 }\alpha +{ cos }^{ 2 }\alpha =1 \right] \)
⇒ x = cos α 土 sin α
மேலும் \(2cos\beta =y+\frac { 1 }{ y } \)
\(\Rightarrow 2cos\beta =\frac { { y }^{ 2 }+1 }{ y } \)
\(\Rightarrow { y }^{ 2 }-2ycos\beta +1=0\)
\(\Rightarrow y=\frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { (-2cos\beta ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(\Rightarrow \frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { 4cos }^{ 2 } } \beta -4 }{ 2 } =\frac { 2cos\beta \pm isin\beta }{ 2 } \)
⇒ x = cos α 土 sin α
\(xy-\frac { 1 }{ xy } =2isin(\alpha +\beta )\)
xy = (cos α + sin α)(cos β - sin β)
= cos(α + β) + i sin(α + β)
\(\frac { 1 }{ xy } =cos(\alpha +\beta )-isin(\alpha +\beta )\)

= 2i sin (α + β)
iii) கொடுக்கப்பட்ட \(2cos\alpha =x+\frac { 1 }{ x } \)
\(\Rightarrow 2cos\alpha =\frac { { x }^{ 2 }+1 }{ x } \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+1=2xcos\alpha \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }-2xcos\alpha +1=0\)
\(\Rightarrow x=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { (-2cos{ \alpha ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { 4{ cos }^{ 2 }\alpha -4 } }{ 2 } \) \(\left[ \because x = {b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} \right] \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm isin\alpha }{ 2 } \left[ \because { sin }^{ 2 }\alpha +{ cos }^{ 2 }\alpha =1 \right] \)
⇒ x = cos α 土 sin α
மேலும் \(2cos\beta =y+\frac { 1 }{ y } \)
\(\Rightarrow 2cos\beta =\frac { { y }^{ 2 }+1 }{ y } \)
\(\Rightarrow { y }^{ 2 }-2ycos\beta +1=0\)
\(\Rightarrow y=\frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { (-2cos\beta ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(\Rightarrow \frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { 4cos }^{ 2 } } \beta -4 }{ 2 } =\frac { 2cos\beta \pm isin\beta }{ 2 } \)
⇒ x = cos α 土 sin α
\(\frac { { x }^{ m } }{ { y }^{ n } } -\frac { { y }^{ n } }{ { x }^{ m } } =2isin(m\alpha -n\beta )\)
x^m =(cos α +sin α)^m=cos mα + i sin mα [டி மாய்வரின் தேற்றப்படி]
\(\therefore \frac { { x }^{ m } }{ { y }^{ n } } =\frac { cosm\alpha +isinm\alpha }{ cosn\beta +isinn\beta } \)
= cos(m α - n β) + i sin(mα - nβ)
மற்றும் \(\therefore \frac { { x }^{ m } }{ { y }^{ n } } =\frac { 1 }{ \frac { { x }^{ m } }{ { y }^{ n } } } \)
= cos(m α - n β) + i sin(m α - nβ)

iv) கொடுக்கப்பட்ட \(2cos\alpha =x+\frac { 1 }{ x } \)
\(\Rightarrow 2cos\alpha =\frac { { x }^{ 2 }+1 }{ x } \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+1=2xcos\alpha \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }-2xcos\alpha +1=0\)
\(\Rightarrow x=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { (-2cos{ \alpha ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { 4{ cos }^{ 2 }\alpha -4 } }{ 2 } \) \(\left[ \because x = {b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} \right] \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm isin\alpha }{ 2 } \left[ \because { sin }^{ 2 }\alpha +{ cos }^{ 2 }\alpha =1 \right] \)
⇒ x = cos α 土 sin α
மேலும் \(2cos\beta =y+\frac { 1 }{ y } \)
\(\Rightarrow 2cos\beta =\frac { { y }^{ 2 }+1 }{ y } \)
\(\Rightarrow { y }^{ 2 }-2ycos\beta +1=0\)
\(\Rightarrow y=\frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { (-2cos\beta ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(\Rightarrow \frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { 4cos }^{ 2 } } \beta -4 }{ 2 } =\frac { 2cos\beta \pm isin\beta }{ 2 } \)
⇒ x = cos α 土 sin α
\({ x }^{ m }{ y }^{ n }+\frac { 1 }{ { x }^{ m }y^{ n } } =2cos(m\alpha +n\beta )\)
\({ x }^{ m }{ y }^{ n }=(cos\alpha +isinm\alpha )(cosn\beta +isinn\beta )\)
\(=cos(m\alpha +n\beta )+isin(m\alpha +n\beta )\)
\(\frac { 1 }{ { x }^{ m }{ y }^{ n } } =cos(m\alpha +n\beta )+isin(m\alpha +n\beta )\)

\({ \sin }^{ -1 }\left( \frac { x }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \right) ={ \cos }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \right) \).என அறிவோம்
எனவே, \(\cos\left( { \sin }^{ -1 }\left( \frac { x }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \right) \right) +\frac { 1 }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } )\)     ...(1)
\({ \cot }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) =\theta \). என்க. பின்னர் \(\cot\theta =\frac { 3 }{ 4 } \)மற்றும் \(\theta \) குறுங்கோணம்.
படத்திலிருந்து, நமக்கு கிடைக்கப்பெறுவது 
\(\sin\left\{ { \cot }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) \right\} =\sin\theta =\frac { 4 }{ 5 } \)        ...(2)
(1) மற்றும் (2)-ஐ கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் பயன்படுத்தும்போது 
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } =\frac { 4 }{ 5 } \), என்பதிலிருந்து \(\sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } =\frac { 5 }{ 4 } \) எனவே, \(x=\pm \frac { 3 }{ 4 } \).

\(A=\left[ \begin{matrix} 8 & -4 \\ -5 & 3 \end{matrix} \right] \)
|A| = 24 - 20 = 4 ≠ 0.
A^-1 ஐக் காண இயலும்.
\(\operatorname{adj} A=\left[\begin{array}{ll} 3 & 4 \\ 5 & 8 \end{array}\right]\)
\(\begin{aligned} \mathrm{A}(\operatorname{adj} \mathrm{~A}) & =\left[\begin{array}{cc} 8 & -4 \\ -5 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 3 & 4 \\ 5 & 8 \end{array}\right] \\ & =\left[\begin{array}{cc} 24-20 & 32-32 \\ -15+15 & -20+24 \end{array}\right] \\ & =\left[\begin{array}{cc} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{array}\right] ....(1) \end{aligned}\)
\((\operatorname{adj} A) A=\left[\begin{array}{ll} 3 & 4 \\ 5 & 8 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 8 & -4 \\ -5 & 3 \end{array}\right]\)
             \(\begin{aligned} & =\left[\begin{array}{cc} 24-20 & -12+12 \\ 40-40 & -20+24 \end{array}\right] \\ & =\left[\begin{array}{ll} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{array}\right] ....(2) \end{aligned}\)
\(|\mathrm{A}| \mathrm{I}_2=4\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{array}\right]\) ...(3)
(1), (2) மற்றும் (3) லிருந்து,
A(adj A) = (adj A) A = |A| I₂.

\(\cos\left( { \cos }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) +{ \sin }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \right) \)
cos^-1 \(\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \) = θ ⇒ \(\frac { 4 }{ 5 } \) = cos θ என்க.    ...(1)
மேலும் sin^-1 \(\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \) = sin^-1 (cos θ)
= sin^-1\(\left( \sin\left( \frac { \pi }{ 2 } -\theta \right) \right) \)
[∵ cosθ = sin \(\sin\left( \frac { \pi }{ 2 } -\theta \right) \) ]
= \(\frac { \pi }{ 2 } -\theta \)    ...(2)
\(\therefore \cos\left( { \cos }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) +{ \sin }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \right) \)
= cos \(\left( \theta +\frac { \pi }{ 2 } -\theta \right) \) [(1) மற்றும் (2) ஐ பயன்படுத்தி]
= cos \(\frac { \pi }{ 2 } =0\)

அச்சு AX ஐ அச்சாகவும் மற்றும் Aன் AY ஐ அச்சு காண்க.
பரவளையத்தின் சமன்பாடு y² = 4ax
CA = 15, FG = 120
CF = CG = 60
F என்பது (15,160)
F ஆனது (1)-ன் மீது அமைந்துள்ளதால் 
\({ 60 }^{ 2 }=4a(15)\Rightarrow a=60\) 
y² = 240x
y = 24எனில், 24² = 240(x)
\(\Rightarrow x=\cfrac { 24\times 24 }{ 240 } \) 
படத்திலிருந்து
BD = BE - ED = 15 - 2.4 = 12.6மீ
ஆகையால் தேவையான உயரம் என்பது 12.6மீ

\(\overset { \rightarrow }{ B } =x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j } +z\overset { \wedge }{ k } \) என்க.
கொடுக்கப்பட்ட \(\overset { \rightarrow }{ A } \times \overset { \rightarrow }{ B } =\overset { \rightarrow }{ C } \left| \begin{matrix} \overset { \wedge }{ i } \\ 1 \\ x \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ j } \\ 1 \\ y \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ k } \\ 1 \\ z \end{matrix} \right| =\overset { \wedge }{ j } -\overset { \wedge }{ k } \)
\(\Rightarrow \overset { \wedge }{ i } (z-y)-\overset { \wedge }{ j } (z-x)+\overset { \wedge }{ k } (y-x)\overset { \wedge }{ j } -\overset { \wedge }{ k } \)
இருபுறமும் ஒத்த உறுப்புகளை சமப்படுத்த கிடைப்பது 
z - y = 0      ....(1)
x - z = 1     .....(2)
y - x = -1     .....(3)
மேலும் \(\overset { \rightarrow }{ A } .\overset { \rightarrow }{ B } =3\Rightarrow \left( \overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j } +z\overset { \wedge }{ k } \right) =3\)
⇒ x + y + z = 3  ....(4)
தீர்க்க (1), (2), (3) மற்றும் (4) கிடைப்பது \(x=\frac { 5 }{ 3 } ,y=\frac { 2 }{ 3 } \) மற்றும் \(z=\frac { 2 }{ 3 } \)
\(\therefore \overset { \rightarrow }{ B } =\frac { 5 }{ 3 } \overset { \wedge }{ i } +\frac { 2 }{ 3 } \overset { \wedge }{ j } +\frac { 2 }{ 3 } \overset { \wedge }{ k } \)

கொடுக்கப்பட்ட \(\frac { p }{ 2x } =\frac { a }{ x+c } +\frac { b }{ x-c } \)
\(\frac { p }{ 2x } =\frac { (a+b)x+c(b-a) }{ { x }^{ 2 }-{ c }^{ 2 } } \)
⇒ p(x²-c2)=2(a+b)x²-2c(a-b)x
⇒ (2a+2b-p)x²-2c(a-b)x+pc²=0
இந்த சமன்பாட்டிற்கு இரண்டு சமமான மூலங்கள் உள்ளன.
b²-4ac=0 எனில் 
⇒ c²(a-b)²-pc²(2a+2b-b)=0
⇒ (a-b)²-2p(a+b)+p²=0     [∵ c²≠0]
⇒ [p-(a+b)]²=(a+b)²-(a-b)²=4ab
⇒ p-(a+b)=土2√ab=(√a土√b)²

LHS = arg (1 + i) + arg (1 + i)
\(1+i=\sqrt { 2 } \left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +\frac { i }{ \sqrt { 2 } } \right) \)
\(=\sqrt { 2 } \left( cos\frac { \pi }{ 4 } +isin\frac { \pi }{ 4 } \right) \)
\(\therefore arg(1+i)=\frac { \pi }{ 4 } \)
\(-1+i=\sqrt { 2 } \left( \frac { -1 }{ \sqrt { 2 } } +\frac { i }{ \sqrt { 2 } } \right) \)
\(=\sqrt { 2 } \left( cos3\frac { \pi }{ 4 } +isin3\frac { \pi }{ 4 } \right) \)
\(\therefore arg(-1+i)=3\frac { \pi }{ 4 } \)
∴ LHS = \(\frac { \pi }{ 4 } +\frac { 3\pi }{ 4 } =\frac { 4\pi }{ 4 } =\pi \)
RHS = arg[(1 + i) (-1 + i)]
= arg [-1 -i + i + i²]
= (-1 -i + i -1) = arg (-2)
= arg (2) - (1) = 2 arg (-1)
= 2 (cos ㅠ + i sin ㅠ) = ㅠ
∴ LHS = RHS

x = a cos θ
f(x) = tan^-1 \(\sqrt { \frac { a-acos\theta }{ a+acos\theta } } ={ tan }^{ -1 }\sqrt { \frac { 1-cos\theta }{ 1+cos\theta } } \)
\(={ tan }^{ -1 }\sqrt { \frac { 2{ sin }^{ 2 }\frac { \theta }{ 2 } }{ 2{ cos }^{ 2 }\frac { \theta }{ 2 } } } =tan\left| tan\frac { \theta }{ 2 } \right| ={ tan }^{ -1 }\left( tan\frac { \theta }{ 2 } \right) \)
\(=\frac { \theta }{ 2 } \)
[∵ -a < x < a ⇒ 0 < θ < π ⇒ \(0<\frac { \theta }{ 2 } <\frac { \pi }{ 2 } \therefore \left| tan\frac { \theta }{ 2 } \right| =tan\frac { \theta }{ 2 } \)]
\(=\frac { 1 }{ 2 } .{ cos }^{ -1 }\left( \frac { x }{ a } \right) \)
[∵ x = a cosθ ⇒ cos θ = \(\frac { x }{ a } \) ⇒ θ = cos^-1 \(\left( \frac { x }{ a } \right) \) ]

கொடுக்கப்பட்ட f(x)=ax²+bx+c
f(1)=0
⇒ a(1)2+b(1)+c=0
⇒ a+b+c=0    ...(1)
f(2)=-2
⇒ a(2²)+b(2)+c=-2
⇒ 4a+2b+c=-2 ...(2)
f(3)=-6
⇒a(3²)+b(3+c=-6
⇒ 9a+3b+c=-6     ...(3)
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \end{matrix} \right| =1\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 9 & 1 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 9 & 3 \end{vmatrix}\)
=1(2-3)-1(4-9)+1(12-18)
=-1+5-6=-2≠0
\({ \Delta }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ -2 & 2 & 1 \\ -6 & 3 & 1 \end{matrix} \right| =0-1\left| \begin{matrix} -2 & 1 \\ -6 & 1 \end{matrix} \right| +1\begin{vmatrix} -2 & 2 \\ -6 & 3 \end{vmatrix}\)
=-1(-2+6)+1(-6+12)=-1(4)+1(6)=2
\({ \Delta }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 4 & -2 & 1 \\ 9 & -6 & 1 \end{matrix} \right| =1\left| \begin{matrix} -2 & 1 \\ -6 & 1 \end{matrix} \right| +0+1\left| \begin{matrix} 4 & -2 \\ 9 & -6 \end{matrix} \right| \)
-1(-2+6)+1(-24+18)=4-6=-2
\({ \Delta }_{ 3 }=\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & -2 \\ 9 & 3 & -6 \end{matrix} \right| =1\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 3 & -6 \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 9 & -6 \end{vmatrix}\)
=1(-12+6)-1(-24+18)=-6+6=0
∴ கிராமரின் விதியை பயன்படுத்தி, 
\(a=\frac { { \Delta }_{ 1 } }{ \Delta } =\frac { 2 }{ -2 } =-1\)
\(b=\frac { { \Delta }_{ 2 } }{ \Delta } =\frac { -2 }{ -2 } =1\)
\(c=\frac { { \Delta }_{ 3 } }{ \Delta } =\frac { 0 }{ -2 } =0\)
\(\therefore f(x)=(-1){ x }^{ 2 }+1x+0\)
\(\Rightarrow f(x)={ x }^{ 2 }+x\)

3x + 3y − z =11, 2x − y + 2z = 9, 4x + 3y + 2z = 25
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 3 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 4 & 3 & 2 \end{matrix} \right| \)
=3(-2 - 6) -3(4 - 8) -1 (6 + 4)
=3(-8) - 3(-4) - 1(10)
=-24 + 12 - 10 = - 22
\({ \Delta }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 11 & 3 & -1 \\ 9 & -1 & 2 \\ 25 & 3 & 2 \end{matrix} \right| \)
\(=11\left| \begin{matrix} -1 & 2 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 9 & 2 \\ 25 & 2 \end{matrix} \right| -1\left| \begin{matrix} 9 & -1 \\ 25 & 3 \end{matrix} \right| \)
= 11(-2 - 6) - 3(18 - 50) - 1(27 + 25)
= 11(-8) - 3(-32) - 1(52)
= -88 + 96 - 52 = - 44
\({ \Delta }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} 3 & 11 & -1 \\ 2 & 9 & 2 \\ 4 & 25 & 2 \end{matrix} \right| \)
\(=3\left| \begin{matrix} 9 & 2 \\ 25 & 2 \end{matrix} \right| -11\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 4 & 2 \end{matrix} \right| -1\left| \begin{matrix} 2 & 9 \\ 4 & 25 \end{matrix} \right| \)
=3(18 - 50) - 11(4 - 8) - (50 - 36)
=3(-32) - 11(-4) - 1(14)
=-96 + 44 - 14 = - 66
\({ \Delta }_{ 3 }=\left| \begin{matrix} 3 & 3 & 11 \\ 2 & -1 & 9 \\ 4 & 3 & 25 \end{matrix} \right| \)
\(=3\left| \begin{matrix} -1 & 9 \\ 3 & 25 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 2 & 9 \\ 4 & 25 \end{matrix} \right| +11\left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right| \)
=3(-25 - 27) - 3(50 - 36) + 11(6 + 4)
=3(-52) - 3(14) + 11(10)
=-156 - 42 + 110 = - 88
கிராமரின் விதிப்படி \(\therefore x=\frac { { \Delta }_{ 1 } }{ \Delta } =\frac { -44 }{ -22 } =2\)
\(y=\frac { { \Delta }_{ 2 } }{ \Delta } =\frac { -66 }{ -22 } =3\)
\(z=\frac { { \Delta }_{ 3 } }{ \Delta } =\frac { -88 }{ -22 } =4\)
​​​​​​∴ தீர்வுக் கணம் {2, 3, 4}

கொடுக்கப்பட்ட தளத்தின் சமன்பாடு x + 2y + 3z = 2
(4, 3, 2) லிருந்து தளத்துக்கான செங்குத்தின் நீளம் 
\(d=\cfrac { 4+2(3)+3(2) }{ \sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } } =\cfrac { 4+6+6 }{ \sqrt { 14 } } \) 
= \(\cfrac { 14 }{ \sqrt { 14 } } =\cfrac { \sqrt { 14 } .\sqrt { 14 } }{ \sqrt { 14 } } =\sqrt { 14 } \) 
தளம் x + 2y + 3z = 2 யில் (4, 3, 2) க்கான பிம்பம் காண்போம்.
இங்கு \(\vec { u } =4\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \), \(\vec { n } =\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \) மற்றும் p = 38 
பிறகு பிம்பம் \(\vec { v } =\vec { u } +\cfrac { 2\left[ p-\left( \vec { u } .\vec { n } \right) \right] }{ \left| \vec { n } \right| ^{ 2 } } \vec { n } \) 
\(\vec { v } =\left( 4\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \right) +\cfrac { 2\left[ 2-\left( 4+6+6 \right) \right] }{ \left( \sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } \right) } \left( \hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \right) \) 
= \(\left( 4\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \right) +\cfrac { 2(2-16) }{ 14 } \left( \hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \right) \) 
= \(\left( 4\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \right) +\cfrac { 2(-14) }{ 14 } \left( \hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \right) \) 
= \(\left( 4\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \right) -2\left( \hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \right) \) 
= \(4\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } -2\hat { i } -4\hat { j } -6\hat { k } =2\hat { i } -\hat { j } -4\hat { k } \)
\(\therefore\) (4, 3, 2) லிருந்து தளத்துக்கான செங்குத்தின் அடிப்பகுதி 
\(=\cfrac { \left( 4\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \right) +\left( 2\hat { i } -\hat { j } -4\hat { k } \right) }{ 2 } \) 
\(\Rightarrow \cfrac { 6\hat { i } +2\hat { j } -2\hat { k } }{ 2 } =3\hat { i } +\hat { j } -\hat { k } \)
எனவே செங்குத்தின் அடிப்பகுதியின் ஆயத்தொலைவு (3, 1, -1)

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளை \(\frac { x+2 }{ -4 } =\frac { y+3 }{ -2 } =\frac { z-3 }{ 3/2 } \)என எழுதி \(\frac { x-{ x }_{ 1 } }{ { b }_{ 1 } } =\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } =\frac { z-{ z }_{ 1 } }{ { b }_{ 3 } } \), உடன் ஒப்பிடக் கிடைப்பது \(\vec { b } ={ b }_{ 1 }\hat { i } +{ b }_{ 2 }\hat { j } +{ b }_{ 3 }\hat { k } =-4\hat { i } -2\hat { j } +\frac { 3 }{ 2 } \hat { k } =-\frac { 1 }{ 2 } (8\hat { i } +4\hat { j } -3\hat { k } )\). இதிலிருந்து \(\vec { b } \) ஆனது \(8\hat { i } +4\hat { j } -3\hat { k } \) என்ற வெக்டருக்கு இணையானது எனத் தெளிவாகக் காணலாம். 
எனவே, தேவையான நேர்க்கோடு (-4, 2, -3) என்ற புள்ளி வழிச் செல்வதுடன் \(8\hat { i } +4\hat { j } -3\hat { k } \) என்ற வெக்டருக்கு இணையாகவும் உள்ளது. ஆதலால், தேவையான கோட்டின் துணையலகு வெக்டர் சமன்பாடு
\(\vec { r } =(-4\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } )+t(8\hat { i } +4\hat { j } -3\hat { k } ),t\in R\)
மேலும், தேவையான கோட்டின் கார்டீசியன் சமன்பாடுகள்
\(\frac { x+4 }{ 8 } =\frac { y-2 }{ 4 } =\frac { z+3 }{ -3 } \) ஆகும்.

p(x) = x⁹ − 5x⁵ + 4x⁴ + 2x² +1 = 0 என்க
குறிகள் +,-,+,+,+
p(x)- ல் இரண்டு குறிமாற்றம் நிகழ்ந்துள்ளது.
மேலும் p(-x)=(-x)⁹-5(-x)⁵+4(-x)⁴+2(-x)²+1 =0
p(-x)=x⁹+5x⁵+4x⁴+2x²+1 =0
p(-x) க்கு ஒரே ஒரு மாற்றம்.
∴ p(x) க்கு அதிகபட்சம் இரண்டு மிகை மூலம் மற்றும் 1 குறை மூலம் உள்ளது.
 p(x) -ன் படி 9, ஆதலால் p(x) க்கு குறைந்தபட்சம் 6 கற்பனை தீர்வுகள் உள்ளன.

இரு கடலோர காவல்படைத் தளங்கள் குவியலங்களாதலால் அவற்றின் மையம் (0,300) அதிபரவளையத்தின் மையமாகும்.
எனவே சமன்பாடு \(\frac { { \left( y-300 \right) }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\frac { { \left( x-0 \right) }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\).... (1)
a மற்றும் b-ன் மதிப்பு காண அதிபரவளையத்தின் மீதுள்ள இருபுள்ளிகளை எடுத்துப் பிரதியிடலாம்.
A ஆனது B-ஐ விட 200 கி.மீ. அதிக தூரத்தில் உள்ளதால்  (0,400) அதிபரவளையத்தின் மீதுள்ள புள்ளி \(\frac { { \left( 400-300 \right) }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\frac { O }{ { b }^{ 2 } } =1\frac { { 100 }^{ 2 } }{ a^{ 2 } } =1,{ a }^{ 2 }=10000.\) 
மற்றொரு புள்ளி (x,600)-ம் அதிபரவளையத்தின் மீது 600² + x² = (x+200)²  எனுமாறு உள்ளது.
360000 + x² = x²+ 400x + 40000
x = 800
(1)-இல் பிரதியிட, \(\frac { { \left( 600-300 \right) }^{ 2 } }{ 10000 } -\frac { { \left( 800-0 \right) }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\)
\(9-\frac { 640000 }{ { b }^{ 2 } } =1\)
b² = 80000
தேவையான சமன்பாடு \(\frac { { \left( y-300 \right) }^{ 2 } }{ 10000 } -\frac { { x }^{ 2 } }{ 80000 } =1\)
இந்த அதிபரவளையத்தின் ஏதோ ஒரு புள்ளியில் தான் அந்த கப்பல் உள்ளது. மூன்றாவது ஒரு காவல்படைத் தளத்தைப் பயன்படுத்தி அதன் சரியான இருப்பிடத்தைக் காண முடியும்.

சமன்பாட்டின் கெழுக்கள் அனைத்தும் விகிதமுறு எண்கள் என்பதாலும் 2+i மற்றும் 3-\(\sqrt { 2 } \)  ஆகியவை மூலங்கள் என்பதாலும் கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டிற்கு 2-i மற்றும் 3+\(\sqrt { 2 } \) ஆகியவையும் மூலங்களாக அமையும். எனவே (x − (2 + i)) (x − (2 − i)) (x − (3− \(\sqrt { 2 } \))) மற்றும் (x − (3 + \(\sqrt { 2 } \))) ஆகியவையும் காரணிகளாகும். ஆகையால் இவற்றின் பெருக்கல்
((x − (2 + i)) (x − (2 − i)) (x − (3− \(\sqrt { 2 } \))) (x − (3 + \(\sqrt { 2 } \))) என்பதும் கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டிற்கு ஒரு காரணியாகும். அதாவது (x²-4x+5)(x²-6x+7)
என்பது ஒரு காரணி. கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டை இக்காரணியால் வகுக்க, மற்றொரு காரணியாக (x²-3x-4) பெறப்படுகிறது. இதிலிருந்து 4 மற்றும் −1ஆகியவை மற்ற இரு மூலங்களாகும். எனவே 2+i, 2-i, 3+\(\sqrt { 2 } \), 3-\(\sqrt { 2 } \), -1, மற்றும் 4 ஆகியவை கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டின் மூலங்களாகும்.

கொடுக்கப்பட்டது : கலப்பெண்கள் சமம். எனவே  (3 -i) x - (2 - i) y + 2i + 5
= 2x + (-1 + 2i) y + 3 + 2i
⇒ 3x - ix - 2y + iy + 2i + 5 = 2x - y + 2iy + 3 + 2i
மெய் மற்றும் கற்பனை பகுதிகளை தேர்ந்தெடுக்க
(3x-2y + 5) + i (-x + y + 2) = 2x - y + 3 + i (2y+ 2)
இருபுறமும் மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளை ஒப்பிட கிடைப்பது.
3x- 2y+ 5 = 2x-y+3
⇒ 3x - 2y + 5 - 2x + y - 3 = 0
⇒ x-y = -2  ...(1)
⇒ -x + y + 2 = 2y + 2
⇒ -x + y + 2 - 2y - 2 = 0
⇒ -x - y = 0 = x + y = 0 ... (2)
(1) - (2) கிடைப்பது,
x - y =   -2
(-) x+y = 0
_____________
-2y + 2 = 0
⇒ y = 1 என (2) ல் பிரதியிட கிடைப்பது.
x + 1 = 0 ⇒ 0 - x = -1
∴ x = - 1 மற்றும் y = 1

முதல் தளம் \(\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(2 \hat{\mathrm{i}}-\lambda \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})=3\)
இரண்டாவது தளத்தை மாற்றி எழுத,
\(\vec{r} \cdot\left(2 \hat{i}+\frac{1}{2} \hat{j}-\frac{\mu}{2} \hat{k}\right)=\frac{5}{2}\)
இரு தளங்களும் இணையானவை எனவே,
\(-\lambda=\frac{1}{2} \\ \frac{-\mu}{2}=1\\ \therefore \lambda=-\frac{1}{2} ; \mu=-2\)

\(\frac{z-1}{z+1}\) என்பது முற்றிலும் கற்பனை 
\(\mathrm{z}=x+\mathrm{iy}\) என்க.
\(\frac{z-1}{z+1}=\frac{x+i y-1}{x+i y+1}=\frac{x^2-1+y^2}{(x+1)^2+y^2}+i \frac{2 y}{(x+1)^2+y^2}\)
\(\frac{z-1}{z+1}\) என்பது முற்றிலும் கற்பனை என்பதால்,
\(\operatorname{Re}\left(\frac{z-1}{z+1}\right) =0 \)
\(\therefore \frac{x^2-1+y^2}{(x+1)^2+y^2} =0 \Rightarrow x^2+y^2=1\)
அதாவது \(|z|^2=1 \Rightarrow|z|=1\)

P(x) = x³ + 2x + 3, குறிமாற்றங்கள் இல்லை
மிகை மெய்யெண் மூலங்கள் இல்லை.
P(-x) = - x³ - 2x + 3, ஒரேயொரு குறிமாற்றம் 
ஒரு குறையெண் மூலம்
இதற்கு ஒரு குறையெண் மற்றும் இரண்டு கற்பனை மூலங்கள் உள்ளது.

\( L: 3 x-4 y =\mathrm{m} \\ C: x^2+y^2-4 x-8 y-5 =0 \\ (x-2)^2+(y-4) =25 \)
C(2, 4); r = 5
மையத்திலிருந்து தொலைவு < r
\( \left| \frac{ah+bk+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right|<r\)
\(\left|\frac{3\times 2-4\times 4-m}{\sqrt{9+16}} \right|<r\Rightarrow \left| \frac{-10-m}{5}\right|<5\)
\(-5<\frac{10+m}{5}<5\)
-25 < 10 + m < 25
-25 - 10 < m < 25 - 10
-35 < m < 15

\(\mathrm{AB} =\left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 1 & 4 \\ 2 & 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 2 & 8 \\ 11 & 4 \end{array}\right] \)
\(\operatorname{adj} \mathrm{AB} =\left[\begin{array}{cc} 4 & -8 \\ -11 & 2 \end{array}\right] \)
\(\therefore|\operatorname{adj} \mathrm{AB}| =8-88=-80\)

\( \sin ^{-1} \frac{x}{5}+\operatorname{cosec}^{-1} \frac{5}{4}=\frac{\pi}{2}\\   \Rightarrow \sin ^{-1} \frac{x}{5}+\sin ^{-1} \frac{4}{5}=\frac{\pi}{2} \ldots . . .(1) \\   \theta=\operatorname{cosec}^{-1} \frac{5}{4} \Rightarrow \operatorname{cosec} \theta=\frac{5}{4} \\  \Rightarrow \sin \theta=\frac{4}{5} \text { and } \cos \theta=\frac{3}{5}\\    \theta=\operatorname{cosec}^{-1} \frac{5}{4}  \Rightarrow \operatorname{cosec} \theta=\frac{5}{4} \\  \Rightarrow \sin \theta=\frac{4}{5} and\ \cos \theta=\frac{3}{5}\\ (1) \Rightarrow \sin ^{-1} \frac{x}{5}+\cos ^{-1} \frac{3}{5}=\frac{\pi}{2}\)
(2) மெய் இருக்க வேண்டுமெனில்,
\(\frac{x}{5}=\frac{3}{5} \Rightarrow x=3\)

பரவளையம் x - அச்சை சமச்சீராக கொண்டிருப்பதால், அது கீழ் அல்லது மேல் நோக்கி திறப்புடையது.
x² = 4ay என்பது சமன்பாடு என்க 
(2, -3) பரவளையத்தின் மேல் உள்ளதால்.
\({ 2 }^{ 2 }=4a(-3)\Rightarrow a=\cfrac { -1 }{ 3 } \) 
\(a=\cfrac { -1 }{ 3 } \) என (1)ல் பிரதியிட கிடைப்பது.
\({ x }^{ 2 }=4\left( \cfrac { -1 }{ 3 } \right) y\Rightarrow { 3 }x^{ 2 }=-4y\) என்பது தேவையான பரவளையத்தின் சமன்பாடாகும்.

புள்ளி \(\vec { r } =\hat { i } -\hat { j } +2\hat { k } \) வழிச் செல்கிற மற்றும் செங்குத்து \(\vec { n } =2\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \) உடைய தளத்தின் வெக்டர் சமன்பாடு \(\vec { r } .\vec { n } =\vec { a } .\vec { n } \)
⇒ \(\vec { r } .(2\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } )=(\hat { i } -\hat { j } +2\hat { k } ).(2\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } )\)
⇒ \(\vec { r } .(2\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } )\) = 2 - 3 + 4 = 3
∴ \(\vec { r } .(2\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } )\) = 3

நம்மிடம் x = \(\sqrt{2+x}\)
⇒ x² = 2+x  ⇒ x²-x-2 = 0
\(\Rightarrow x=\frac { 1\pm \sqrt { 1+8 } }{ 2 } \Rightarrow x=\frac { 1\pm 3 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow x=\frac { 1+3 }{ 2 } ,\frac { 1-3 }{ 2 } \Rightarrow x=2,-1\)
மேலும் x > 0, நமக்கு கிடைப்பது x = 2

L.H.S = tan^-1 \(\left( \frac { 1 }{ 7 } \right) \) + tan^-1 \(\left( \frac { 1 }{ 13 } \right) \)
= \({ tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { 1 }{ 7 } +\frac { 1 }{ 3 } }{ 1-\left( \frac { 1 }{ 7 } \right) \left( \frac { 1 }{ 13 } \right) } \right) ={ tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { 13+7 }{ 91 } }{ \frac { 91-1 }{ 91 } } \right) \)


எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

i²⁵ = (i⁴)⁶ x i¹ = 1⁶ x i = i
∴ |i²⁵| = | i | = 1

கொடுக்கப்பட்ட \(A(adj\quad A)=\left[ \begin{matrix} 10 & 0 \\ 0 & 10 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \quad ...(1)\)
A(adj A)=(adj A) A=|A|.I₂ என அறிவோம் ....(2)
(1) மற்றும் (2) ஐ ஒப்பிட கிடைப்பது |A|=10

tan (tan^-1 (1947)) = 1947

x₁² + y₁² + 2gx₁ + 2fy₁ + c = 2² + 3² − 6 × 2 − 8 × 3 + 12
= 4 + 9 −12 − 24 +12 = −11< 0.
எனவே புள்ளி (2, 3) தேற்றம் 5.3-ன் படி வட்டத்திற்கு உள்ளே அமையும்.

தேற்றம் படி lx + my + n = 0 என்ற நேர்கோடும் x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 என்ற வட்டமும் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளிகள் வழியே செல்லும் வட்டத்தின் சமன்பாடு x² + y² + 2gx + 2fy + c + λ(lx + my + n ) = 0 , λ ∈ R¹ என்ற வடிவில் இருக்கும்.
x² + y² = 16 என்ற வட்டமும் 3x+y+5=0 என்ற நேர்கோடும் வெட்டும் புள்ளிவழிச் செல்லும் வட்டத்தின் சமன்பாடு \(x^2+y^2-16+\lambda(3 x+y+5)=0\). இந்த வட்டத்தின் மையம் \(\left( \frac { -3\lambda }{ 2 } ,\frac { -\lambda }{ 2 } \right) \). இது 3x + y + 5 = 0 என்ற கோட்டின் மீதுள்ளதால் \(3\left( \frac { -3\lambda }{ 2 } \right) -\frac { \lambda }{ 2 } +5=0\)
\(\Rightarrow \frac { -9\lambda }{ 2 } -\frac { \lambda }{ 2 } +5=0,\)
\(\Rightarrow -5\lambda +5=0,\)
\(\Rightarrow \lambda =1.\)
எனவே, தேவையான வட்டத்தின் சமன்பாடு x² + y² + 3x + y - 11 = 0

துணையச்சு y அச்சுக்கு இணை 

(1) \(\vec { r } .\vec { d } =p\)
குறிப்பு: 2, 3 மற்றும் 4 வெவ்வேறு வடிவிலான தளத்தின் சமன்பாடுகள்

4) \({ ax }^{ 2 }+\frac { b }{ x } +c=q\)
குறிப்பு: 1,2,3 இருப்படிச் சமன்பாடுகள் 

A ன் வரிசை 2m +2
குறிப்பு: (2m+2) இரட்டை படை 

(4) -8

(4) காலமுறைச் சார்பு 
குறிப்பு: 1, 2, 3 நேர்மாறு கொசீகண்ட் சார்பின் பண்புகள் ஆனால் (4) அல்ல.