|z - 4| = 16
கொடுக்கப்பட்டது z = x + iy
|z - 4| = 16
\(\Rightarrow \left| x+iy-4 \right| =16\)
\(\Rightarrow \left| (x-4)+iy \right| =16\)
\(\Rightarrow \sqrt { { (x-4) }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } =16\)
\(\Rightarrow { (x-4) }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }={ 16 }^{ 2 }\) [இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த]
⇒ x² - 8x + 16 + y² = 256
⇒ x² - 8x + y²+ 16 - 256 = 0
⇒ x² - 8x + y² - 240 = 0 என்பது தேவையான கார்டீசியன் சமன்பாடு ஆகும்.

\(\left| 6-8i \right| =\sqrt { { 6 }^{ 2 }+({ -8) }^{ 2 } } =10\) மற்றும் வர்க்கமூலம் காண சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த
\(\sqrt { 6-8i } =\pm \left( \sqrt { \frac { 10+6 }{ 2 } } -i\sqrt { \frac { 10-6 }{ 2 } } \right) \) \((\because \) b குறை, \(\frac { b }{ \left| b \right| } =-1\))
 \(=\pm (\sqrt { 8 } -i\sqrt { 2 } )\)
\(=\pm (2\sqrt { 2 } -i\sqrt { 2 } )\).

i¹⁺⁵⁰ + i²⁺⁵⁰ + ... + i¹⁰⁺⁵⁰
= i⁵¹ + i⁵² + ..... + i⁶⁰
i⁵⁰ ஐ பொதுவாக எடுக்க கிடைப்பது.
i⁵⁰[(i + i² + i³ + i⁴) + (i⁵ + i⁶ + i + i⁸) + i⁹ + i¹⁰]
= i⁵⁰ [0 + (i⁴⁺¹ + i⁴⁺² + i⁴⁺³ + i⁴⁺⁴) + (i⁸⁺¹ + i⁸⁺²)]
= i⁵⁰ [0 + 0 + i + i²] [∵ i + i² + i³ + i⁴ = 0]
= i⁵⁰ [i - 1] = i⁴⁸⁺²(i-1)
= i²(i-1) [∵ i⁴⁸ = 1]
= -1 (i-1) = -i + 1 = 1 - i

\({ \left( -\sqrt { 3 } +3i \right) }^{ 31 }\)
\(-\sqrt { 3 } +3i\) = r(cos θ + isin θ) என்க.
r = \(\sqrt { { (-\sqrt { 3 } ) }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } =\sqrt { 12 } =2\sqrt { 3 } \)
\(\alpha ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { 3 }{ -\sqrt { 3 } } \right| ={ tan }^{ -1 }\sqrt { 3 } =\frac { \pi }{ 3 } \)
θ = π - a = π - \(\frac { \pi }{ 3 } =\frac { 2\pi }{ 3 } \) (∵ \(-\sqrt { 3 } +3i \) ஆனது II-ஆம் கால் பகுதியில் உள்ளதால்)
ஆகவே, \(-\sqrt { 3 } +3i \) = \(2\sqrt { 3 } \) \(\left( cos\frac {2 \pi }{ 3 } +isin\frac { 2\pi }{ 3 } \right) \)
இருபுறமும் 31-ன் அடுக்கிற்கு உயர்த்த,
\({ (-\sqrt { 3 } +3i) }^{ 31 }={ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\) \(\left( cos\frac {2 \pi }{ 3 } +isin\frac { 2\pi }{ 3 } \right) ^{31}\)
=\({ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\) \(\left( cos\left( 20\pi +\frac {2 \pi }{ 3 } \right) +isin\left( 20\pi +\frac { \pi }{ 3 } \right) \right) \)
= \({ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\) \(\left( cos\frac {2 \pi }{ 3 } +isin\frac {2 \pi }{ 3 } \right) \)
= \({ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\)\(\left( cos\left( \pi +\frac { \pi }{ 3 } \right) +isin\left( \pi +\frac { \pi }{ 3 } \right) \right) \)
= \({ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\)\(\left( -cos\frac { \pi }{ 3 } +isin\frac { \pi }{ 3 } \right) \) = \({ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\)\(\left( -\frac { 1 }{ 2 } +i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \)

கொடுக்கப்பட்டது : கலப்பெண்கள் சமம். எனவே  (3 -i) x - (2 - i) y + 2i + 5
= 2x + (-1 + 2i) y + 3 + 2i
⇒ 3x - ix - 2y + iy + 2i + 5 = 2x - y + 2iy + 3 + 2i
மெய் மற்றும் கற்பனை பகுதிகளை தேர்ந்தெடுக்க
(3x-2y + 5) + i (-x + y + 2) = 2x - y + 3 + i (2y+ 2)
இருபுறமும் மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளை ஒப்பிட கிடைப்பது.
3x- 2y+ 5 = 2x-y+3
⇒ 3x - 2y + 5 - 2x + y - 3 = 0
⇒ x-y = -2  ...(1)
⇒ -x + y + 2 = 2y + 2
⇒ -x + y + 2 - 2y - 2 = 0
⇒ -x - y = 0 = x + y = 0 ... (2)
(1) - (2) கிடைப்பது,
x - y =   -2
(-) x+y = 0
_____________
-2y + 2 = 0
⇒ y = 1 என (2) ல் பிரதியிட கிடைப்பது.
x + 1 = 0 ⇒ 0 - x = -1
∴ x = - 1 மற்றும் y = 1

இப்பொழுது, \(\frac { z-1 }{ z+1 } =\frac { x+iy-1 }{ x+iy+1 } =\frac { [(x-1)+iy][(x+1)-iy] }{ [(x+1)iy][(x+1)-iy] } \)
⇒ \(\frac { z-1 }{ z+1 } =\frac { ({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-1)+i(2y) }{ ({ x+1) }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \)
கொள்கை arg\(\left( \frac { z-1 }{ z+1 } \right) =\frac { \pi }{ 2 } \Rightarrow { \tan }^{ -1 }\left( \frac { 2y }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-1 } \right) =\frac { \pi }{ 2 } \)
⇒ \(\frac { 2y }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+1 } =\tan\frac { \pi }{ 2 } \)
⇒ x² + y² = 1.

கொடுக்கப்பட்டது z³ + 2\(\bar { z } \) = 0
\(\Rightarrow { z }^{ 3 }=-2\bar { z } \)
இருபுறமும் மட்டுப்படுத்த, \(\left| { z }^{ 3 } \right| =\left| -2\bar { z } \right| \)
\(\Rightarrow { \left| z \right| }^{ 3 }=2\left| z \right| \)
\(\Rightarrow \left| z \right| \left[ { \left| z \right| }^{ 2 }-2 \right] =0\)
\(\left| z \right| =0\) அல்லது \({ \left| z \right| }^{ 2 }-2=0\)
\(\Rightarrow z =0\) ஒரு தீர்வு ...(1)
\(\left| { z }^{ 2 } \right| =2\)
\(\Rightarrow { \left| z \right| }^{ 2 }=2\Rightarrow (z{ \bar { z } ) }^{ 2 }=2\)
\(\Rightarrow z\bar { z } =\sqrt { 2 } \Rightarrow \bar { z } =\frac { \sqrt { 2 } }{ z } \)
கொடுக்கப்பட்ட z³ + 2\(\bar { z } \) = 0
\(\Rightarrow { z }^{ 3 }+2.\frac { \sqrt { 2 } }{ z } =0\)
\(\Rightarrow { z }^{ 4 }+2\sqrt { 2 } =0\) ...(2)
z⁴ = -4
இது 4 பூஜ்யமற்ற தீர்வுகளை கொண்டிருக்கும்.
எனவே (1) மற்றும் (2) லிருந்து, z³ + 2\(\bar { z } \) க்கு 5 தீர்வுகள்.

கொடுக்கப்பட்டது  v =3 - 4i
w = 4 + 3i மற்றும் w = 3i + 4 = i (3 - 4i) = iv 
கொடுக்கப்பட்டது \(\frac { 1 }{ u } +\frac { 1 }{ v } +\frac { 1 }{ w } \)
∴ \(\frac { 1 }{ u } =\frac { 1 }{ 3-4i } +\frac { 1 }{ 4+3i } \)
\(=\frac { 3+4i }{ (3-4i)(3+4i) } +\frac { 4-3i }{ (4+3i)(4-3i) } \)
\(=\frac { 3+4i }{ 9-({ 4i })^{ 2 } } +\frac { 4-3i }{ 16-{ (3i) }^{ 2 } } \)
\(=\frac { 3+4i }{ 9+16 } +\frac { 4-3i }{ 16+9 } \)
\(=\frac { 3+4i }{ 25 } +\frac { 4-3i }{ 25 } =\frac { 3+4i+4-3i }{ 25 } \)
\(\frac { 1 }{ u } =\frac { 7+i }{ 25 } \)
\(\therefore u=\frac { 25 }{ 7+i } \times \frac { 7-i }{ 7-i } =\frac { 25(7-i) }{ { 7 }^{ 2 }-{ (i) }^{ 2 } } \)
\(=\frac { 25(7-i) }{ 49+1 } =\frac { 25(7-i) }{ 50 } =\frac { 1 }{ 2 } (7-i)\)
\(\therefore u=\frac { 1 }{ 2 } (7-i)\)

\( \left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)^{\frac{3}{4}}=\left[\cos \left(\frac{\pi}{3} \times 3\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{3} \times 3\right)\right]^{3/4}\)
\( =\cos \frac{(2 k \pi+\pi)}{4}+i \sin \frac{(2 k \pi+\pi)}{4}, k=0,1,2,3 \)
\(\mathrm{k}=0 \) எனில் \(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4} \)
k = 1 எனில்  \(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4} \)
k = 2 எனில்  \(\cos \frac{5 \pi}{4}+i \sin \frac{5 \pi}{4}\)
k = 3 எனில் \(\cos \frac{7 \pi}{4}+i \sin \frac{7 \pi}{4} \)
எல்லா மதிப்புகளின் பெருக்குத் தொகை 
\(=\cos \left(\frac{\pi}{4}+\frac{3 \pi}{4}+\frac{5 \pi}{4}+\frac{7 \pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{3 \pi}{4}+\frac{5 \pi}{4}+\frac{7 \pi}{4}\right) \)
\(=\cos 4 \pi+i \sin 4 \pi=1+0=1\)

\((1+\omega)^7  =A+B \omega \Rightarrow\left(-\omega^2\right)^7=A+B \omega \)
\(-\omega^{14}  =A+B \omega \Rightarrow-\omega^2=A+B \omega \)
\(1+\omega  =A+B \omega\)
ஒப்பிடக் கிடைப்பது \(\mathrm{A}=1, \mathrm{~B}=1\).

\(\frac{3}{-1+i}=\frac{3}{-1+i} \times \frac{-1-i}{-1-i}=\frac{3}{2}(-1-i) \)
\(\theta=\tan ^{-1}\left(\frac{-1}{-1}\right)=\frac{\pi}{4}\)
மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகள் குறை மதிப்புகள் என்பதால் 'θ' ஆனது 3 ஆம் கால் வட்டப் பகுதியில் அமைகிறது.
முதன்மை வீச்சு \(=-\frac{3 \pi}{4} \quad\left[\because \frac{\pi}{4}-\pi\right]\)

கொடுக்கப்பட்டது : \(\left|z_1\right|=1,\left|z_2\right|=2,\left|z_3\right|  =3 \)
மற்றும் \(\left|9 z_1 z_2+4 z_1 z_3+z_2 z_3\right|  =12 \)
\(\left|z_1\right|\left|z_2\right|\left|z_3\right|\left|\frac{9}{z_3}+\frac{4}{z_2}+\frac{1}{z_1}\right| =12 \)
\(\text { (1) (2) (3) }\left|\frac{9 \bar{z}_3}{\left|z_3\right|^2}+\frac{4 \bar{z}_2}{\left|z_2\right|^2}+\frac{\overline{z_1}}{\left|z_1\right|^2}\right|  =12\left[\because|z|^2=z \bar{z}\right] \)
\(6\left|\frac{9 \bar{z}_3}{(3)^2}+\frac{4 \bar{z}_2}{(2)^2}+\frac{\overline{z_1}}{(1)^2}\right|  =12 \)
\(\left|\bar{z}_3+\bar{z}_2+\bar{z}_1\right|  =\frac{12}{6}=2 \)
\(\left|\overline{z_3+z_2+z_1 \mid}\right|  =2 \)
\(\therefore\left|z_1+z_2+z_3\right|  =2\)

\(2 \mathrm{i} z^2=\bar{z} \text {. } \)
\(\therefore \quad\left|2 i z^2\right|=|\bar{z}| \)
\(ie \ |2| \cdot|i| \cdot|z|^2=|z| \Rightarrow 2 \times 1 \times|z|^2=|z|\)
\(\frac{|z|^2}{|z|}=\frac{1}{2} \Rightarrow|z|=\frac{1}{2}\)