கொடுக்கப்பட்ட கோடு x + y + 1 = 0
\(\therefore\) y = -x - 1
m = -1, c = -1
அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 16 } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 15 } =1\) 
a² = 16, b² = 15
y = mx + c அதிபரவளையம் c² = a²m² - b² க்கு தொடுகோடாக இருக்க நிபந்தனை 
\(\therefore\) (-1)² = 16(-1)² - 15
1 = 16 - 15
1 = 1
கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது. x + y + 1 = 0 அதிபரவளையம் \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 16 } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 15 } =1\) ஐ தொட்டு செல்கிறது.
தொடுபுள்ளி \(\left( \cfrac { { -a }^{ 2 }m }{ c } ,\cfrac { { -b }^{ 2 } }{ c } \right) \) 
= \(\left( \cfrac { -16(-1) }{ -1 } ,\cfrac { -15 }{ -1 } \right) =\left( -16,-15 \right) \)
எனவே தொடுபுள்ளி என்பது (-16, 15)

\(\overset { \rightarrow }{ a } =3\overset { \wedge }{ i } -5\overset { \wedge }{ k } ,\overset { \rightarrow }{ b } =2\overset { \wedge }{ i } +7\overset { \wedge }{ j } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ c } =\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \) என்க. தேவையான வெக்டர் \(\overset { \rightarrow }{ r } =x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j } +z\overset { \wedge }{ k } \) என்க.
கொடுக்கப்பட்ட \(\overset { \rightarrow }{ r } .\overset { \rightarrow }{ a } =-1\)
\(\Rightarrow \left( x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j } +z\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( 3\overset { \wedge }{ i } -5\overset { \wedge }{ k } \right) =-1\)
⇒ 3x - 5z = -1      ......(1)
\(\overset { \rightarrow }{ r } .\overset { \rightarrow }{ b } =6\)
\(\Rightarrow \left( x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j }+z\overset { \wedge }{ k } \right) .\left(2\overset {\wedge }{ i } +7\overset { \wedge }{ j } \right)\) = 2x + 7y = 6  ....(2)
\(\overset { \rightarrow }{ r } .\overset { \rightarrow }{ i } =5\)
\(\Rightarrow \left( x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j } +z\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( \overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) \) = x + y + z = 5   ...(3)
தீர்க்க (1), (2) மற்றும் (3) ல் கிடைப்பது 
x = 3, y = 0 மற்றும் z = 2.
\(\therefore \overset { \rightarrow }{ r } =3\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ k } \)

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை பின்வருமாறு எழுதலாம்.
\({ 2 }^{ x }\left( 1+\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 4 } \right) ={ 7 }^{ x }\left( 1+\frac { 1 }{ 7 } +\frac { 1 }{ 49 } \right) \)
\(\Rightarrow { 2 }^{ x }\left( \frac { 8+4+2 }{ 8 } \right) ={ 7 }^{ x }\left( \frac { 49+7+1 }{ 49 } \right) \)
\(\Rightarrow { 2 }^{ x }\left( \frac { 7 }{ 4 } \right) ={ 7 }^{ x }\left( \frac { 57 }{ 49 } \right) \Rightarrow \frac { 7 }{ 4 } \times \frac { 49 }{ 57 } =\frac { { 7 }^{ x } }{ { 2 }^{ x } } \)
\(\Rightarrow \frac { 7 }{ 4 } \times \frac { 49 }{ 57 } ={ \left( \frac { 7 }{ 2 } \right) }^{ x }\Rightarrow \frac { { 7 }^{ 3 } }{ 4\times 57 } ={ \left( \frac { 7 }{ 2 } \right) }^{ x }\)
\(\Rightarrow xlog\left( \frac { 7 }{ 2 } \right) =3log7-log4-log57\)
\(\Rightarrow \quad x=\frac { 3log7-log4-log57 }{ log\left( \frac { 7 }{ 2 } \right) } \)

\({ sin }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) =A\Rightarrow \frac { 3 }{ 5 } =sinA\) என்க.
\(cosA=\frac { adj }{ hyp } =\frac { 4 }{ 5 } \)
\({ sin }^{ -1 }\left( \frac { 5 }{ 13 } \right) =B\Rightarrow sinB=\frac { 5 }{ 13 } \) என்க.
\(\Rightarrow cosB=\frac { 12 }{ 13 } \)
\(\therefore cos\left[ { sin }^{ -1 }\frac { 3 }{ 5 } +{ sin }^{ -1 }\frac { 5 }{ 13 } \right] =cos(A+B)\)
= cos A cos B  - sin A sin B
\(=\frac { 4 }{ 5 } .\frac { 12 }{ 13 } -\frac { 3 }{ 5 } .\frac { 5 }{ 13 } =\frac { 48 }{ 65 } -\frac { 15 }{ 65 } =\frac { 33 }{ 65 } \)

-1 = i² = i x i = \(\sqrt { -1 } \times \sqrt { -1 } =\sqrt { (-1) } \times \sqrt { (-1) } \)
= \(\sqrt { 1 } \)
⇒ -1 = i
மேற்கூறிய நிரூபனத்தில் \(\sqrt { -1 } \times \sqrt { -1 } \) = \(\sqrt { (-1)(-1) } \) என பயன்படுத்தியது தவறு ஏனெனில் \(\sqrt { ab } =\sqrt { a } .\sqrt { b } \) என்பது a, b மட்டுமே உண்மை ஆகும்.

\(AB=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 8+3 & 10+4 \\ 20+9 & 25+12 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} 11 & 14 \\ 29 & 37 \end{bmatrix}\)
\(|AB|=\begin{bmatrix} 11 & 14 \\ 29 & 37 \end{bmatrix}\)
\(=407-406=1\neq 0\)
\({ (AB) }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |AB| } adj(AB)\)
\(=\frac { 1 }{ 1 } \begin{bmatrix} 11 & 14 \\ 29 & 37 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} 37 & -14 \\ -29 & 11 \end{bmatrix}..(1)\)
\(|A|=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}=6-5=1\)
\(|B|=\begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}=16-15=1\)
\({ B }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |B| } adj\quad B=\left[ \begin{matrix} 4 & -5 \\ -3 & 4 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\quad A=\left[ \begin{matrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore { B }^{ -1 }{ A }^{ -1 }=\left[ \begin{matrix} 4 & -5 \\ -3 & 4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 12+25 & -4-10 \\ -9-20 & 3+8 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 37 & -14 \\ -29 & 11 \end{matrix} \right] ...(2)\)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, (AB)^-1 =B^-1A^-1

⇒ 3|z - 2 + 4i| = 8
⇒ |z - (2 + 4i)| = \(\frac 83\)
இது |z - z₀| = r என்ற வடிவம். உள்ளது ஆகவே இது வட்டத்தை குறிக்கின்றது.
இதன் மையம் (2 - 4i) மற்றும் ஆரம் \(\frac 83\) ஆகும்.

A = \(\left[ \begin{matrix} 4 \\ -3 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -1 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix} \right] \) என்க. A ஆனது 3 x 4 வரிசையுடைய அணி.
எனவே \(\rho \)(A) ≤ min{3, 4} = 3
உச்ச சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 3. அவை
\(\left| \begin{matrix} 4 & 3 & 1 \\ -3 & -1 & -2 \\ 6 & 7 & -1 \end{matrix} \right| =0;\left| \begin{matrix} 4 & 3 & -2 \\ -3 & -1 & 4 \\ 6 & 7 & 2 \end{matrix} \right| =0;\left| \begin{matrix} 4 & 1 & -2 \\ -3 & -2 & 4 \\ 6 & -1 & 2 \end{matrix} \right| =0;\left| \begin{matrix} 3 & 1 & -2 \\ -1 & -2 & 4 \\ 7 & -1 & 2 \end{matrix} \right| =0\)
எனவே, \(\rho \)(A) < 3 அடுத்து 2-ஆம் வரிசையின் பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவை ஏதேனும் ஒன்று A உள்ளதா எனப்பார்ப்போம். இது சாத்தியமாகும்.
ஏனெனில் \(\left| \begin{matrix} 4 & 3 \\ -3 & -1 \end{matrix} \right| \)= -4 + 9 = 5 ≠ 0
எனவே, \(\rho \)(A) = 2.

தேவையான தளம் \(\vec { b } =2\hat { i } +3\hat { j } +6\hat { k } ,\hat { c } =\hat { i } +\hat { j } -\hat { k } \) என்ற வெக்டர்களுக்கு இணையாகவும், \(\vec { a } \) ஐ நிலை வெக்டராகக் கொண்ட (0, 1, −5) என்ற புள்ளி வழியாகவும்  செல்வதைக் காண்கிறோம். மேலும், \(\vec { b } \) மற்றும் \(\vec { c } \) என்பன இணை வெக்டர்கள் அல்ல எனவும் காண்கிறோம்.
தேவையான தளத்தின் துணையலகு அல்லாத வெக்டர் சமன்பாடு \(\left( \vec { r } -\vec { a } \right) .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) =0\)...(1)
இப்பொழுது \(\vec { a } =\hat { j } -5\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { b } \times \vec { c } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & 6 \\ 1 & 1 & -1 \end{matrix} \right| =-9\hat { i } +8\hat { j } -\hat { k } \) என சமன்பாடு (1)-ல் பிரதியிட, நாம் பெறுவது
\(\left( \vec { r } -\left( \hat { j } -5\hat { k } \right) \right) .\left( -9\hat { i } +8\hat { j } -\hat { k } \right) =0\)
\(\Rightarrow \vec { r }.\left( -9\hat { i } +8\hat { j } -\hat { k } \right) =13\)
\(\vec { r } =x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } \) என்பது தளத்தின் மீதுள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளியின் நிலைவெக்டர் எனில், மேற்கண்ட சமன்பாட்டிலிருந்து தளத்தின் கார்டீசியன் சமன்பாட்டை −9x + 8y − z =13 அல்லது 9x −8y + z +13 = 0 எனப் பெறுகிறோம்.

பரவளையத்தின் சமன்பாடு y = \(\frac { 1 }{ 32 } \)x²
அதாவது x² = 32y; முனை (0,0)
= 4(8)y 
⇒ a = 8
வெப்பமூட்டும் குழாய் குவியம் (a, 0)-இல் பொருத்தப்பட வேண்டும். எனவே வெப்பமூட்டும் குழாய் பரவளையத்தின் முனையிலிருந்து 8 அலகுகள் உயரத்தில் பொருத்தப்பட வேண்டும்.

\(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } =r(cos\theta +isin\theta )\)
\(r=\sqrt { { \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 2 } } =\sqrt { \frac { 3 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 4 } } =\sqrt { \frac { 4 }{ 4 } } =1\)
\(\alpha ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { y }{ x } \right| ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { \frac { 1 }{ 2 } }{ \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } } \right| ={ tan }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \right) =\frac { \pi }{ 6 } \)
\(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } \) முதலாம் கால்பகுதியில் அமைவதால், θ = α
\(\therefore \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } =1\left( cos\frac { \pi }{ 6 } +isin\frac { \pi }{ 6 } \right) \)
\(\therefore { \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } \right) }^{ 5 }={ 1 }^{ 2 }{ \left( cos\frac { \pi }{ 6 } +isin\frac { \pi }{ 6 } \right) }^{ 5 }\)
\(=cos\frac { 5\pi }{ 6 } +isin\frac { 5\pi }{ 6 } \) ...(1) [டி மாய்வரின் தேற்றம்]
அதைப் போல \(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { i }{ 2 } =1\left( cos\frac { \pi }{ 6 } -isin\frac { \pi }{ 6 } \right) \)
\(\therefore { \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { i }{ 2 } \right) }^{ 5 }={ 1 }^{ 2 }{ \left( cos\frac { \pi }{ 6 } -isin\frac { \pi }{ 6 } \right) }^{ 5 }\)
\(=cos\frac { 5\pi }{ 6 } +isin\frac { 5\pi }{ 6 } \) ...(2)
(1) மற்றும் (2) ஐ கூட்ட கிடைப்பது,
\({ \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } \right) }^{ 5 }{ +\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { i }{ 2 } \right) }^{ 5 }\)

\(=2cos\frac { 5\pi }{ 6 } =2cos\left( \pi -\frac { \pi }{ 6 } \right) \)
\(=-2cos\frac { \pi }{ 6 } \)[\(\therefore \frac { 5\pi }{ 6 } \) இரண்டாம் காலப்பகுதியில் அமைவதால்]
\({ -2\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) }=\sqrt { 3 } \)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது

17x²+43x-73=0 எனும் இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள், α மற்றும் β என்பதால், α+β=-\(\frac { 43 }{ 17 } \) மற்றும் αβ=-\(\frac { 73 }{ 17 } \) ஆகும்.
தேவையான இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் α+2 மற்றும் β+2 ஆகும். எனவே
மூலங்களின் கூடுதல் =α+β+4=\(\frac { -43 }{ 17 } +4=\frac { 25 }{ 17 } \)
மூலங்களின் பெருக்கல் =αβ+2(α+β)+4=\(\frac { -73 }{ 17 } +2\left( \frac { -43 }{ 17 } \right) +4=\frac { -91 }{ 17 } \)
எனவே, தேவையான இருபடிச் சமன்பாடு \({ x }^{ 2 }-\frac { 25 }{ 17 } x-\frac { 91 }{ 17 } \)=0 ஆகும். இச்சமன்பாட்டை 17-ஆல் பெருக்க,  α+2 மற்றும் β+2 ஆகியவற்றை மூலங்களாகக் கொண்ட 17x² - 25x - 91 = 0 எனும் இருபடிச் சமன்பாடு கிடைக்கிறது

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியில் தொடக்கநிலை நிரை செயலிகள் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது.
[A|B]=\(\left[ \begin{matrix} 3 & 2 & 7 \\ 4 & -3 & -2 \\ 5 & 9 & 23 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-\frac { 4 }{ 4 } { R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 3 & 2 & 7 \\ 0 & -\frac { 17 }{ 3 } & \frac { -34 }{ 3 } \\ 5 & 9 & 23 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-\frac { 5 }{ 3 } { R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 3 & 2 & 7 \\ 0 & -\frac { 17 }{ 3 } & \frac { -34 }{ 3 } \\ 5 & \frac { 17 }{ 3 } & \frac { 34 }{ 3 } \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 3 & 2 & 7 \\ 0 & - { 17 } & { -34 } \\ 5 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
இங்கு ρ(A)=2 மற்றும் ρ[A|B] = 2
ஆகையால், ρ(A) = ρ([A|B]) = 2 இங்கு, தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடன் ஒரு சாராமாறிக் குடும்பமாக தீர்வுகளை கொண்டிருக்கும்.
ஆகையால் =t என பிரதியிடு இங்கு t∈R.
ஏறுபடி வடிவத்திலிருந்து சமன்பாடுகளை எழுத கிடைப்பது 
3x + 2y + 7z = 0            ...(1)
y + 2z = 0                      ...(2)
z = t, என பிரதியிடு (2) லிருந்து 
y + 2t = 0
⇒ y = 2t
\(\therefore\) (1) லிருந்து, 3x + 2(-2t) + 7t = 0
⇒ 3x - 4t + 7t = 0
⇒ 3x + 3t = 0
⇒ 3x = -3t
⇒   x = -t
\(\therefore\) தீர்வு கணம் {-t, -2t, t} இங்கு t ∈ R 

\(\left| z+3+4i \right| \le \left| z|+|3+4i \right| \) = 2 + 5 =7
\(\left| z+3+4i \right| \le 7\)     (1)
\(\left| z+3+4i \right| \ge \left| z \right| -\left| 3+4i \right| \) = \(\left| 2-5 \right| \) = 3
\(\left| z+3+4i \right| \ge 3\)   (2)
(1) மற்றும் (2)-லிருந்து \(3\le \left| z+3+4i \right| \le 7\)

sin^-1(x)-ன் சார்பகம் [-1, 1] ஆகும்.
எனவே −1\(\le\)2 - 3x²\(\le\)1, ஆகையால் -3 \(\le\) -3x² \(\le\) -1
-3 \(\le\) -3x², எனும்போது  x² \(\le\) 1    ....(1)  
-3x² \(\le\) -1, எனும்போது x² \(\le\) \(\frac{1}{2}\)   ...(2)
சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) ஆகியவற்றிலிருந்து \(\frac{1}{3}\le x^2\le 1\) எனக் கிடைக்கிறது.
எனவே, \(\frac{1}{\sqrt3}\le |x|\le1\)
\(a\le|x|\le b\) என்பதிலிருந்து x \(\in[-b,-a]\cup[a,b]\) என கிடைக்கும் என்பதால், 
எனவே \(x\in[-1,-\frac{1}{\sqrt3}]\cup[\frac{1}{\sqrt3},1]\) 

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு x² + 3y² = a²
\(\div { a }^{ 2 }\) கிடைப்பது, \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ \frac { { a }^{ 2 } }{ 3 } } =1\) 
இங்கு a² = a² மற்றும் \({ b }^{ 2 }=\cfrac { { a }^{ 2 } }{ 3 } \Rightarrow b=\cfrac { a }{ \sqrt { 3 } } \) 
நெட்டச்சின் நீளம் 2a மற்றும் 
குற்றச்சின் நீளம் \(2b=\cfrac { 2a }{ \sqrt { 3 } } \times \cfrac { \sqrt { 3 } }{ \sqrt { 3 } } =\cfrac { 2a\sqrt { 3 } }{ 3 } \)

கொடுக்கப்பட்ட \(\vec { a } .\vec { b } =\vec { a } .\vec { c } =0\) ⇒ \(\vec { a } \pm \vec { c } \)
⇒ \(\vec { a } \pm \vec { c } \) மற்றும் \(\vec { c } \) யை கொண்டிருந்த தளம்
மேலும், \(\vec { b } \) x \(\vec { c } \) = |\(\vec { b } ||\vec { c } |sin\hat { n } \) [இங்கு θ என்பது \(\vec { b } \) மற்றும்  \(\vec { c } \) க்கு இடையேயான கோணம்]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \vec { a } \)
\(\vec { b } \times \vec { c } =\frac { 1 }{ 2 } \vec { a } \Rightarrow \vec { a } =\pm 2(\vec { b } \times \vec { c } )\)

மூலங்களின் பெருக்கற் பலன் 
= sin ∝ + cos ∝ = \(\frac{-b}{a}\)
மூலங்களின் கூடுதல் = sin ∝ + cos ∝ = \(\frac{c}{a}\)
இங்கு 1 = cos² ∝ + sin² ∝
= (sin ∝+cos ∝)² - 2sin ∝ cos ∝
\(1=\frac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\frac { 2c }{ a } \Rightarrow 1=\frac { { b }^{ 2 }-2ac }{ { a }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow \quad { a }^{ 2 }={ b }^{ 2 }-2ac\Rightarrow { a }^{ 2 }+2ac={ b }^{ 2 }\)
இருபுறமும் C² ஐ கூட்ட, a²+2ac+c² = b²+c²
⇒ (a+c)² = b² + c²

கொடுக்கப்பட்ட tan^-1 x = sin^-1 \(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \) = sin^-1 \(\left( sin\frac { \pi }{ 6 } \right) \)
\(\Rightarrow { tan }^{ -1 }x=\frac { \pi }{ 6 } \)
\(\Rightarrow x=tan\frac { \pi }{ 6 } =\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)
\(\therefore x=\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)

LHS = (1 + ω²)³ - (1 + ω)³ 
= (-ω)³ - (-ω²)³ [∵ 1 + ω + ω² = 0]
= -ω³ + ω⁶
= -1 + 1 = 0

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு தொகுப்பிற்கான அணி வடிவம் 
\(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & -3 & -3 \\ 2 & 1 & k \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
AX=B இங்கு \(A=\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & -3 & -3 \\ 2 & 1 & k \end{matrix} \right] \)
சமப்படித்தான் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்கு வெளிப்படையான தீர்வுகள் மட்டுமே உண்டெனில் |A|≠0
\(\therefore \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & -3 & -3 \\ 2 & 1 & k \end{matrix} \right] \neq 0\)
R₁ மூலம் விரிவுபடுத்த 
\(\Rightarrow 1\left| \begin{matrix} -3 & -3 \\ 1 & k \end{matrix} \right| -2\left| \begin{matrix} 1 & -3 \\ 2 & k \end{matrix} \right| +2\left| \begin{matrix} 1 & -3 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right| \neq 0\)
⇒ 1(-3k+3)-2(k+6)+2(1+6)≠0
⇒ -3k+3-2k-12+14≠0
⇒-5k+5≠0
⇒-5k≠-5⇒k≠\(\frac{-5}{-5}=1\)
⇒ k≠1

y = -sin \((\frac{1}{3}x)\) sin x-ன் வீச்சு 1
⇒ -sin \((\frac{1}{3}x)\) ன் வீச்சும் மேலும் 1.
-sin \((\frac{1}{3}x)\) ன் காலம் \(\frac { 1 }{ 3 } \)x = 2π ⇒ x = 6π

கொடுக்கப்பட்ட (2, -1) மையம் மற்றும்(3,6) புள்ளி வழிச் செல்கிறது.
\(\therefore\) r = இடைப்பட்ட தோற்றம் (2, -1) மற்றும் (3, 6) புள்ளி வழிச் செல்கிறது
= \(\sqrt { \left( 2-3 \right) ^{ 2 }+\left( -1-6 \right) ^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { \left( -1 \right) ^{ 2 }+\left( -7 \right) ^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { 1+49 } =\sqrt { 50 } \)
\(\therefore\) வட்டத்தின் சமன்பாடு
(x - h)² + (y - k)² = r²
\(\left( x-2 \right) ^{ 2 }+\left( y+1 \right) ^{ 2 }=\left( \sqrt { 50 } \right) ^{ 2 }\)
\(\Rightarrow\) (x - 2)² + (y + 1)² = 50

Now, \({ \tan }^{ -1 }\left( \frac { x-1 }{ x-2 } \right) +{ \tan }^{ -1 }\left( \frac { x+1 }{ x+2 } \right) ={ \tan }^{ -1 }\left[ \frac { \frac { x-1 }{ x-2 } +\frac { x+1 }{ x+2 } }{ 1-\frac { x-1 }{ x-2 } \left( \frac { x+1 }{ x+2 } \right) } \right] =\frac { \pi }{ 4 } \)
எனவே, \(\frac { \frac { x-1 }{ x-2 } +\frac { x+1 }{ x+2 } }{ 1-\frac { x-1 }{ x-2 } \left( \frac { x+1 }{ x+2 } \right) } =1\), என்பதை சுருக்கினால் 2x²- 4 = -3 எனக்கிடைக்கிறது.
எனவே, \({ x }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } \) என்பதிலிருந்து \(x=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) எனப் பெறுகிறோம்.

\(\vec{r}=(\hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k})+t(6 \hat{j}-\hat{k})\\ \vec{r}=\vec{a}+t(\vec{b}-\vec{a})\ i.e\ \vec{a}, \vec{b}\\ \vec{a}  =\hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k} \\ \vec{b}-\vec{a}  =6 \hat{j}-\hat{k} \Rightarrow \vec{b}=6 \hat{j}-\hat{k}+\vec{a} \\ \vec{b}  =6 \hat{j}-\hat{k}+\hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k}=\hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k}\)
புள்ளிகள் (1,-2,-1) மற்றும் (1,4,-2)

\(\left(\frac{1+\sqrt{3} i}{1-\sqrt{3} i}\right)^{10} =\left[\frac{\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}}{\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)}\right] ^{10}\)
\( =\left[\cos \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)\right] ^{10}\)
\( =\left(\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\right)^{10}=\cos \frac{20 \pi}{3}+i \sin \frac{20 \pi}{3} \)
\( =\cos \left(6 \pi+\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(6 \pi+\frac{2 \pi}{3}\right) \)
\( =\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\operatorname{cis} \frac{2 \pi}{3} \)

\( C A =C B \Rightarrow C A^2=C B^2 \\ (1-1)^2+(0-h)^2 =(2-1)^2+(3-h)^2 \\ h^2 =1+h^2+9-6 h \\ 6 h =10 \Rightarrow h=\frac{10}{6}=\frac{5}{3} \\ =2 h =2\left(\frac{5}{3}\right)=\frac{10}{3} \)

|adj(adj A)| = |A|⁹
\(|A|^{(n-1)^2}=|\mathrm{A}|^9\)
(n - 1)² = 9 = 3²
n - 1 = 3 \(\Rightarrow\) n = 4

\(\therefore \cos 2 u=\cos 2\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos \pi=-1\)

அச்சு AX ஐ அச்சாகவும் மற்றும் Aன் AY ஐ அச்சு காண்க.
பரவளையத்தின் சமன்பாடு y² = 4ax
CA = 15, FG = 120
CF = CG = 60
F என்பது (15,160)
F ஆனது (1)-ன் மீது அமைந்துள்ளதால் 
\({ 60 }^{ 2 }=4a(15)\Rightarrow a=60\) 
y² = 240x
y = 24எனில், 24² = 240(x)
\(\Rightarrow x=\cfrac { 24\times 24 }{ 240 } \) 
படத்திலிருந்து
BD = BE - ED = 15 - 2.4 = 12.6மீ
ஆகையால் தேவையான உயரம் என்பது 12.6மீ

\(\frac { x-3 }{ 3 } =\frac { y-8 }{ -1 } =\frac { z-3 }{ 1 } \) என்ற கோட்டிலிருந்து கிடைப்பது 
\(\overset { \rightarrow }{ a } =3\overset { \wedge }{ i } +8\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } ,\overset { \rightarrow }{ b } =3\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \)
\(\frac { x+3 }{ -3 } =\frac { y+7 }{ 2 } =\frac { z-6 }{ 4 } \) என்ற கோட்டிலிருந்து கிடைப்பது 
\(\overset { \rightarrow }{ c } =-3\overset { \wedge }{ i } -7\overset { \wedge }{ j } +6\overset { \wedge }{ k } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ d } =-3\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \)
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் இணையில்லாததால் கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட குறைந்தபட்ச தூரம் 
\(d=\left| \frac { \left( \overset { \rightarrow }{ c } -\overset { \rightarrow }{ a } \right) .\left( \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ d } \right) }{ \left| \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ d } \right| } \right| \)
\(\overset { \rightarrow }{ c } -\overset { \rightarrow }{ a } =-6\overset { \wedge }{ i } -15\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \)
\(\overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ d } =\left| \begin{matrix} \overset { \wedge }{ i } \\ 3 \\ -3 \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ j } \\ -1 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ k } \\ 1 \\ 4 \end{matrix} \right| \)
\(=\overset { \wedge }{ i } (-4-2)-\overset { \wedge }{ j } (12+3)+\overset { \wedge }{ k } (6-3)\)
\(=-6\overset { \wedge }{ i } -15\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \)
\(\therefore \left| \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ d } \right| =\sqrt { 36+225+9 } =\sqrt { 270 } \)
\(\therefore \left( \overset { \rightarrow }{ c } -\overset { \rightarrow }{ a } \right) .\left( \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ d } \right) =\left( -6\overset { \wedge }{ i } -15\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( -6\overset { \wedge }{ i } -15\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \right) \)
= -6 (-6) + 15 (15) + 3 (3)
= 270 ≠ 0
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் வெட்டுவதுமில்லை இணையுமில்லை ஆதலால் அவைகள் ஒரு தளம் அமைய கோடுகள்  எனப்படும்.
\(\therefore d=\frac { 270 }{ \sqrt { 270 } } =\sqrt { 270 } \) அலகுகள்.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு 
(2x²-3x+1)(2x²+5x+1)=9x²    ....(1)
x=0(1) ஐ நிறைவு செய்யவில்லை 
∴ (1) ஐ பின்வருமாறு மாற்றி எழுதலாம்.
\(\left( 2x+\frac { 1 }{ x } -3 \right) \left( 2x+\frac { 1 }{ x } +5 \right) =9\quad \quad \quad \quad ...(2)\)
பிரதியிடு  \(2x+\frac { 1 }{ x } =y\)
∴ (2) ⇒(y-3)(y+5)=9
⇒ y²+2y-15=9
அல்லது  y²+2y-24=0
⇒ (y+6)(y-4)=0
⇒ y=-6, -4
நிலை (i)
y=-6, 2x+\(\frac{1}{x}\)=-6
எனில் 2x²+6x+1=0 
⇒\(x = {-6 \pm \sqrt{36-8} \over 4}\)
\(x=-3\pm \frac { \sqrt { 7 } }{ 2 } \)
நிலை (ii)
y=4 எனில்,
\(2x+\frac { 1 }{ x } =4\)
⇒ 2x²-4x+1=0
⇒ x=\(x = {4 \pm \sqrt{16-8} \over 4}\)
\(x=\frac { 2\pm \sqrt { 2 } }{ 2 } \)
மூலங்கள் 
\(\frac { -3+\sqrt { 7 } }{ 2 } ,\frac { -3-\sqrt { 7 } }{ 2 } ,\frac { 2+\sqrt { 2 } }{ 2 } ,\frac { 2-\sqrt { 2 } }{ 2 } \)

LHS = arg (1 + i) + arg (1 + i)
\(1+i=\sqrt { 2 } \left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +\frac { i }{ \sqrt { 2 } } \right) \)
\(=\sqrt { 2 } \left( cos\frac { \pi }{ 4 } +isin\frac { \pi }{ 4 } \right) \)
\(\therefore arg(1+i)=\frac { \pi }{ 4 } \)
\(-1+i=\sqrt { 2 } \left( \frac { -1 }{ \sqrt { 2 } } +\frac { i }{ \sqrt { 2 } } \right) \)
\(=\sqrt { 2 } \left( cos3\frac { \pi }{ 4 } +isin3\frac { \pi }{ 4 } \right) \)
\(\therefore arg(-1+i)=3\frac { \pi }{ 4 } \)
∴ LHS = \(\frac { \pi }{ 4 } +\frac { 3\pi }{ 4 } =\frac { 4\pi }{ 4 } =\pi \)
RHS = arg[(1 + i) (-1 + i)]
= arg [-1 -i + i + i²]
= (-1 -i + i -1) = arg (-2)
= arg (2) - (1) = 2 arg (-1)
= 2 (cos ㅠ + i sin ㅠ) = ㅠ
∴ LHS = RHS

LHS = \({ tan }^{ -1 }\left( \frac { 1-x }{ 1+x } \right) -{ tan }^{ -1 }\left( \frac { 1-y }{ 1+y } \right) \) = tan^-1 (1) - tan^-1 (x) - (tan^-1 (1) - tan^-1 (y))
\(\left[ \because { tan }^{ -1 }\left( \frac { x-y }{ 1+xy } \right) ={ tan }^{ -1 }x-{ tan }^{ -1 }y \right] \)
= tan^-1 (1) - tan^-1 (x) - (tan^-1 (1) - tan^-1 (y))
= tan^-1 (y) - tan^-1 (x)
\(={ tan }^{ -1 }\left( \frac { y-x }{ 1+xy } \right) \)
\(={ sin }^{ -1 }\left( \frac { y-x }{ \sqrt { 1+{ (yx) }^{ 2 }+{ (y-x) }^{ 2 } } } \right) \)
\(={ sin }^{ -1 }\left( \frac { y-x }{ \sqrt { \left( 1+{ x }^{ 2 } \right) \left( 1+{ x }^{ 2 } \right) } } \right) \)
= RHS

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி \([A/B]=\left[ \begin{matrix} 2 & -3 & 5 \\ 3 & 1 & \lambda \\ 1 & -7 & 8 \end{matrix}|\begin{matrix} 12 \\ \mu \\ 17 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -7 & 8 \\ 3 & 1 & \lambda \\ 2 & -3 & 5 \end{matrix}|\begin{matrix} 17 \\ \mu \\ 12 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-3{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-2{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -7 & 8 \\ 0 & 22 & \lambda -51 \\ 0 & 11 & -11 \end{matrix}|\begin{matrix} 17 \\ \mu -51 \\ -22 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-2{ R }_{ 3 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }\div 11 }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -7 & 8 \\ 0 & 0 & \lambda -2 \\ 0 & 1 & -1 \end{matrix}|\begin{matrix} 17 \\ \mu -7 \\ -2 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\leftrightarrow { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -7 & 8 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & \lambda -2 \end{matrix}|\begin{matrix} 17 \\ -2 \\ \mu -7 \end{matrix} \right] \)
நிலை (i) λ≠2 எனில்,
ρ([A|B])=3 மற்றும் ρ(A)=3
∴ ρ([A|B])=ρ(A)=3=மாறிகளின் எண்ணிக்கை 
∴ ஒரே ஒரு தீர்வை கொண்டிருக்கும் 
நிலை (ii) λ=2 எனில் μ=7,
\([A|B]=\left[ \begin{matrix} 1 & -7 & 8 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} 17 \\ -2 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
இங்கு ρ(A)=2 மற்றும் ρ([A|B])=2
∴ ρ(A)=ρ([A|N])=2 <மாறிகளின் எண்ணிக்கை  தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடன் எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகளை கொண்டிருக்கும்.
நிலை (iii) λ=2 மற்றும் μ≠7 எனில் மட்டும் 
ρ(A)=2 மற்றும் ρ([A|B])=3
∴ ρ(A) ≠ ρ([A|B])
ஆகையால், கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளின் தொகுப்பு ஒருங்கமைவற்றது.

9x²-y²-36x-6y+18 = 0
\(\Rightarrow\) 9x²-36x(y²-6y) = -18
\(\Rightarrow\) 9(x²-4x)(y²+6y) = -18
\(\Rightarrow\) 9(x²-4x+4-4)-(y²+6y+9-9) = -18
\(\Rightarrow\) 9(x-2)²-36-(y+3)²+9 = -18
\(\Rightarrow\) 9(x-2)²-(y+3)² = -18+36-9
\(\Rightarrow\) 9(x-2)²-(y+3)² = 9
9 ஆல் வகுக்க கிடைப்பது 
துணை அச்சு x-அச்சுக்கு இணையான அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு  
a² = 1, b² = 9
\(\therefore { c }^{ 2 }={ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }=1+9=10\Rightarrow c=\sqrt { 10 } \)
\(e=\sqrt { 1+\cfrac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } } =\sqrt { 1+\cfrac { 9 }{ 1 } } =\sqrt { 10 } \)
(a) மையம் (2, -3)
\(\Rightarrow h=2,k=-3\)
(b) குவியங்கள் (h+c, k), (h-c, k)
\(\Rightarrow \left( 2+\sqrt { 10 } ,-3 \right) ,\left( 2-\sqrt { 10 } ,-3 \right) \)
(c) முனைகள் (h+a, k) (h-a, k)
\(\Rightarrow \left( 2+1,-3 \right) ,\left( 2-1,3 \right) \)
\(\Rightarrow \left( 3,3 \right) \left( 1,-3 \right) \)
(d) இயக்குவரையின் சமன்பாடுகள் \(x-2=\pm \cfrac { a }{ e } \)
\(\Rightarrow x-2=\pm \cfrac { 1 }{ \sqrt { 10 } } \)
\(x=2\pm \cfrac { 1 }{ \sqrt { 10 } } \)
\(\Rightarrow x=2+\cfrac { 1 }{ \sqrt { 10 } } \)
\(x=2-{ \cfrac { 1 }{ \sqrt { 10 } } }\)

கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளானது 2x=3y=-z மற்றும் 6x=-y-4z
\(2x=3y=-z\Rightarrow \frac { x-0 }{ \frac { 1 }{ 2 } } =\cfrac { y-0 }{ -1 } =\cfrac { z-0 }{ -1 } \)
\(\Rightarrow \vec { b } =\cfrac { 1 }{ 2 } \hat { i } +\cfrac { 1 }{ 3 } \hat { j } -\hat { k } \) 
\(6x=-y=-4z\Rightarrow \frac { x-0 }{ \frac { 1 }{ 6 } } =\frac { y-0 }{ \frac { 1 }{ -1 } } =\frac { z-0 }{ \frac { 1 }{ -4 } } \)
\(\Rightarrow \vec { d } =\cfrac { 1 }{ 6 } \hat { i } -\hat { j } -\cfrac { 1 }{ 4 } \hat { k } \) 
 \(\vec { b } .\vec { d } =\left( \cfrac { 1 }{ 2 } \hat { i } +\cfrac { 1 }{ 3 } \hat { j } -\hat { k } \right) .\left( { \cfrac { 1 }{ 6 } \hat { i } -\hat { j } -\cfrac { 1 }{ 4 } \hat { k } } \right) \) 
= \(\cfrac { 1 }{ 12 } -\cfrac { 1 }{ 3 } +\cfrac { 1 }{ 4 } =\cfrac { 1-4+3 }{ 12 } =\cfrac { 0 }{ 12 } =0\) 
\(\therefore \vec { b } \bot \vec { b } \)
\(\therefore \vec { b } \) மற்றும் \(\vec { d } \) க்கு இடையேயான  கோணம்.

முக்கோணம் ABC-ல், \(\vec { AD } ,\vec { BE } \) என்ற செங்குத்துக் கோடுகள் வெட்டும் புள்ளி O என்க. AB-ஐ F-ல் சந்திக்குமாறு COவை நீட்டுக. ஆதிப்புள்ளி O என்க. \(\vec { OA } =\vec { a } \), \(\vec { OB } =\vec { b} \)  மற்றும் \(\vec { OC } =\vec { c } \) என்க.
\(\vec { AD } \) என்பது \(\vec { BC } \) க்குச் செங்குத்து என்பதால், \(\vec { OA } \) என்பது \(\vec { BC } \)-க்குச் செங்குத்தாகும். எனவே, \(\vec { OA } \).\(\vec { BC } \) = 0
அதாவது, \(\vec { a } .(\vec { c } -\vec { b } )=0\)
\(\Rightarrow \vec { a } .\vec { c } -\vec { a } .\vec { b } =0\) .....(1)
இதேபோன்று, \(\vec { BE } \) என்பது \(\vec { CA } \)-க்குச் செங்குத்து என்பதால், \(\vec { OB } \) என்பது \(\vec { CA } \) க்குச் செங்குத்தாகும். எனவே, \(\vec { OB } .\vec { CA } \) = 0.
அதாவது \(\vec { b } .(\vec { a } -\vec { c } )=0\), 
\(\Rightarrow \vec { a } .\vec { b } -\vec { b } \vec {​​c } =0\) ....(2)
சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) ஆகியவற்றின் கூடுதல் காண, நாம் பெறுவது 
\( \vec { a } .\vec { c } -\vec { b } .\vec {​​c } =0\)
\(\Rightarrow \vec { c } .(\vec { a } -\vec { b } )=0\)
அதாவது, \(\vec { OC } .\vec { BA } =0\). ஆகவே, \(\vec { OC } \) என்பது \(\vec { BA } \)-க்குச் செங்குத்து என்பதால், \(\vec { CF } \) என்பது \(\vec { AB } \) க்குச் செங்குத்தாகும். அதாவது, C-யிலிருந்து பக்கம் AB-க்கு வரையப்பட்ட செங்குத்துக் கோடு O வழியாகச் செல்கிறது. எனவே, ஒரு முக்கோணத்தின் குத்துக்கோடுகள் ஒரு புள்ளி வழிச் செல்லும் கோடுகளாகும். 

இந்நாற்படி சமன்பாட்டை பொருத்தமாக மாற்றி எழுதி பிரதியிடல் முறையைக் கடைபிடிப்பதன் மூலம் இதனைத் தீர்க்கலாம்.
(x − 2) (x − 3) (x − 7) (x + 2) +19 = 0 .
எனச் சமன்பாட்டை மாற்றி எழுதலாம். எனவே கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு,
(x² - 5x + 6)(x² - 5x - 14) + 19 = 0 என்றாகிறது.
x² - 5x-ஐ y எனப் பிரதியிட, சமன்பாடு (y+6)(y-14)+19=0 என மாறுகிறது. அதாவது,
y²-8y-65=0
இச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்க y =13மற்றும் y=−5எனக் கிடைக்கும். இவற்றைப் பிரதியிட நமக்கு x²-5x-13=0 மற்றும் x²-5x+5=0 என இரு இருபடி சமன்பாடுகள் கிடைக்கின்றன. அவற்றை வழக்கமான முறைகளில் தீர்க்க இயலும். இவ்விரு சமன்பாடுகளிலிருந்து பெறப்பட்ட தீர்வுகள் அனைத்தையும் ஒன்று சேர்த்து \(\frac { 5\pm \sqrt { 77 } }{ 2 } ,\frac { 5\pm \sqrt { 5 } }{ 2 } \) என எழுதலாம்.

x²=y என பிரதியிடு (அ)
⇒ y²-14y+45=0
⇒ (y-9)(y-5)=0
⇒ y=9 (அ) y=5
⇒ x2=9 (அ) x2=5
⇒ x=±3 (அ) x=±\(\sqrt{5}\)
எனவே, மூலங்கள் 3, -3, \(\sqrt{5}\) மற்றும் -\(\sqrt{5}\). 

c²=a²+b²

(2) \(\left( \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ a } \right) .\overset { \rightarrow }{ c } \)
குறிப்பு: 1, 3, மற்றும் 4 ஆனது \(\left( \overset { \rightarrow }{ a } \times \overset { \rightarrow }{ b } \right) .\overset { \rightarrow }{ c } \) யை குறிக்கிறது. 

1) a,b,c பெருக்கு தொடர் முறையில் உள்ளது 

(A²)^-1=(A^-1)²

(4) மூலங்களின் பெருகற்பலன் 0 மற்றும் கூடுதல் 土 1

(4) நேர்மாறு தொடுக்கோட்டுச் சார்பு அதிகரிக்கிறது.
குறிப்பு: இது திடமாக ஏறும் சார்பு