\(y=a x^4+b x^2, a b>0\)
ab >0 \(\Rightarrow \mathrm{a}>0\) மற்றும் b >0  (அல்லது) a < 0 மற்றும் b < 0   ...(1)
(i) கிடைமட்டத் தொடுகோட்டிற்கு, \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{d} x}=0\)
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{d} x}=4 \mathrm{a} x^3+2 \mathrm{~b} x=2 x\left(2 \mathrm{a} x^2+\mathrm{b}\right) \)
\( \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{d} x}=0 \Rightarrow x=0, \pm \sqrt{\frac{-\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}}}\)
(1) லிருந்து, \(\frac{b}{a}>0\). எனவே \(\sqrt{\frac{-b}{2 a}}\) ஆனது மெய்மதிப்பாக இருக்க முடியாது.
x = 0 ல், \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{d} x}=0\)
x = 0 ல், கிடைமட்டத் தொடுகோடு உண்டு.
(ii) வளைவு மாற்றப் புள்ளிக்கு, f''(x) ஆனது குறி மாற்றம் அடையும்.
\( f^{\prime \prime}(x)=12 a x^2+2 b=2\left(6 a x^2+b\right) \)
\( f^{\prime \prime}(x)=0 \Rightarrow 6 a x^2+b=0 \Rightarrow x= \pm \sqrt{\frac{-b}{6 a}}\)
(1) லிருந்து, \(\frac{b}{a}>0\) எனவே \(\sqrt{\frac{-b}{2 a}}\) ஆனது மெய்மதிப்பாக இருக்க முடியாது.
\(\therefore\) f''(x) ஆனது குறிமாற்றம் அடையவில்லை. எனவே f(x) ஆனது வளைவு மாற்றப் புள்ளியை பெறவில்லை.

x² - y² = 4 என்ற வளைவரை மீதுள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி \(\left(x, \pm \sqrt{x^2-4}\right)\).
A (6,0) மற்றும் \(\mathrm{P}\left(x, \pm \sqrt{x^2-4}\right)\) ஆகிய புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள தொலைவு 
\(\mathrm{S}=\sqrt{(6-x)^2+(0-y)^2}=\sqrt{(6-x)^2+y^2}\)
\(=\sqrt{36-12 x+x^2+\left(x^2-4\right)} \)
\(S  =\sqrt{2 x^2-12 x+32}\)
\(\mathrm{S}^2=\mathrm{F}\) என்க.
F சிறுமம் எனில்,S ஆனது சிறுமமாகும் 
\(\mathrm{F}  =\mathrm{S}^2=2 x^2-12 x+32 \)
\(\frac{d F}{d x} =4 x-12\)
பெருமம் மற்றும் சிறுமத்திற்கு,
\(\frac{d F}{d x} =0 \Rightarrow 4 x-12=0 \Rightarrow x=3 \)
\(y =\sqrt{x^2-4}=\sqrt{9-4}= \pm \sqrt{5}\)
\(\frac{d^2 F}{d x^2}=4>0 \Rightarrow \mathrm{F}\) என்பது சிறுமம் அல்லது S என்பது சிறுமம்.
\(\therefore (3,-\sqrt{5})\) மற்றும் \((3,+\sqrt{5})\) ஆகியவை குறைந்தபட்ச தொலைவில் உள்ள புள்ளிகளாகும்.

\(f(x) =\frac{1}{x} ; f^{\prime}(x)=\frac{-1}{x^2} \)
\(f^{\prime}(c) =\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \)
\(-\frac{1}{x^2} =\frac{1 / 9-1}{9-1}=\frac{-8 / 9}{8} \)
\(x^2 =9 \Rightarrow x= \pm 3 \)
\(\therefore x =3 \in(1,9)\)

\(f(x)=\sin ^4 x+\cos ^4 x \)
\( f^{\prime}(x)=4 \sin ^3 x \cos x-4 \cos ^3 x \sin x \)
\( f^{\prime}(x)=0 \Rightarrow 4 \sin x \cos x\left(\sin ^2 x-\cos ^2 x\right)=0 \)
\( \sin x=0 \quad \cos x=0 \quad \sin ^2-\cos ^2 x=0 \)
\( x=0 \quad x=\frac{\pi}{2} \quad \sin ^2 x=\cos ^2 x \)
\( x=\frac{\pi}{4} \)
\({\left[0, \frac{\pi}{4}\right], f^{\prime}(x)<0 \Rightarrow \mathrm{f}(x)}\) என்பது குறையும் சார்பு 
\({\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right], f^{\prime}(x)>0 \Rightarrow \mathrm{f}(x) }\) என்பது கூடும் சார்பு.

s(t) = 3t² -2t -8
திசைவேகம் V = ds/dt = 6t - 2
துகள் ஓய்வு நிலைக்கு வரும்போது, திசைவேகம் V = 0
6t - 2 = 0
t = 1/3