அலைவு நேரம் \(\mathrm{T}=\frac{2 \pi}{\sqrt{G M_c}}\left(R_E+h\right)^{3 / 2}\)
இது நிறையைச் சார்ந்ததல்ல.

தொடக்கத்தில் திசைவேகம் பெரும மதிப்பு பெற்றிருக்கும், பெரும உயரத்தில் திசைவேகம் சுழியாகும். அதன்பிறகு திசைவேகம் எதிர் மதிப்பை பெறும்.

உட்புகுதிறனின் பரிமாணம்
\(\varepsilon=\left[\mathrm{A}^2 C^2 N^{-1} m^2\right]\)
போல்ட்ஸ்மேன் மாறிலியின் பரிமாணம்
\(k_B=\left[\mathrm{ML}^2 \mathrm{~T}^{-2} \mathrm{~K}^{-1}\right]\)
வெப்பநிலை பரிமாணம் = T
ஒரலகு பருமனில் உள்ள மின்னூட்டங்களின் எண்ணிக்கை = பரிமாணம் இல்லை
மின்னூட்டத்தின் பரிமாணம் = AT
நீளத்தின் பரிமாணம் = L
\(\sqrt{\frac{\varepsilon k_B T}{n g^2}}\) இன் பரிமாணம்
\(=\sqrt{\frac{\left[A^2 L^2 N^{-1} m^{-2}\right]\left[M L^2 T^{-2} K^{-1}\right][T]}{[A T]^2}}  \)
\(=\sqrt{L^2}=L\)
= நீளத்தின் பரிமாணம்
\(\therefore l=\sqrt{\frac{\varepsilon k_B T}{n q^2}}\)

\(v_0=r w \quad \therefore v_0 \propto r\)
சீரான சக்கரத்தில் பரியில் (rim) உள்ள புள்ளிக்கும் மையத்திற்கும் உள்ள தொலைவு (ஆரம்) \(=\sqrt{2} r\)
∴ அதன் வேகம் \(=\sqrt{2} \mathrm{v}_0\)

மாறாத வீச்சு மற்றும் அதிர்வெண் உடைய சீரிசை அலைவுகளை தனிச்சீரிஸை இயக்கம் எனலாம். சைன் அல்லது கொசைன் போன்ற தனிச்சீரிசைச் சார்பைக் கொண்டு அலைவுகளைக் குறிப்பிடலாம்.

நிறை m = 100 kg
முடுக்கம் a = 50 cm s^-1 = 0.5 m s^-2
நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியைப் பயன்படுத்துக,
F = ma
F = 100 kg \(\times\) 0.5 ms^-2 = 50 N

ஒழுங்கான வடிவம் மற்றும் சீரான நிறையைப் பெற்றிருக்கும் பொருட்களில் நிறைமையானது பொருளின் வடிவில் மையத்தில் அமைந்திருக்கும் (உ.ம்) வட்டம், கோளம்

(i) தனித்தனியான அளவீடுகளில் உள்ள பிழைகள்
(ii) கணித செயலிகளின் செயற்பாட்டின் இயல்பைச் சார்ந்து இறுதி முடிவு பெறப்படும். எனவே, பிழைகளை ஒன்று சேர்க்கத் தேவையான விதிகளை அறிந்திருக்க வேண்டும்.

குளிர்பொருளிலிருந்து பெறப்பட்ட வெப்பத்திற்கு (வெப்ப ஏற்பி) அழுக்கியினால் செய்யப்பட்ட புற வேலைக்கும் (W) உள்ள தகவு செயல்திறன் குணகம் என்று வரையறுக்கப்படுகிறது.
COP=\(\beta =\frac { { Q }_{ L } }{ W } \).

ஓர் ஊடகத்தில் ஒலியின் வேகம் V = 900 ms^-1
அலையின் அதிர்வெண் = ஒரு செகண்டில் கடக்கும் அலைகளின் எண்ணிக்கை
= 3000 waves/2 min = \(\frac { 3000 }{ 2\times 60 } \) = 25 s
அலைநீளம் = \(\lambda \) = ?
V = n \(\lambda \) \(\lambda =\frac { v }{ n } \)
\(\lambda =\frac { 900 }{ 25 } \) = 36m

ஒரு பொருளின் ஈர்ப்பு நிலை ஆற்றல் என்பது புவிஈர்ப்பு புலத்தில் மற்றொரு பொருளின் நிலைக்கான ஆற்றலுடன் தொடர்புடையது. மேலும் ஈர்ப்புப் புலத்தில் மற்றொரு பொருளை முடிவிலாத் தொலைவிலிருந்து (infinity) ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளிக்கு எட்டாம் பெயரச் செய்யப்படும் வேலையின் அளவு ஆகும்.
W =\(\frac { G{ m }_{ 1 }{ m }_{ 2 } }{ r } +\frac { G{ m }_{ 1 }{ m }_{ 2 } }{ r' } \)
W =U(r)-U(r')
U(r)=\(\frac { -G{ m }_{ 1 }{ m }_{ 2 } }{ r } \) (அலகு ஜூல்)  

1.செய்யப்பட்ட மொத்த வேலைக்கும் எடுத்துக்கொண்ட மொத்த நேரத்திற்கும் இடையே உள்ள விகிதம் சராசரித்திறன் (P _{சராசரி} )என வரையறுக்கப்படுகிறது.

\(\vec{A} =4 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}  \)
\(\vec{B} =5 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k} \)
\(\vec{A} \times \vec{B}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & -2 & 1 \\ 5 & 3 & -4 \end{array}\right|\)
\(=\hat{i}(8-3)+\hat{j}[5-(-16)]+\hat{k}(12+10)=5 \hat{i}+21 \hat{j}+22 \hat{k}\)

ஒரே நேர்கோட்டில் அமையாத,செங்குத்து தொலைவில் பிரிக்கப்பட்டுள்ள இரு சமமான எதிரெதிர் விசைகள் ஏற்படுத்தும் திருப்பு விளைவு இரட்டையின் திருப்புத்திறன் எனப்படும்.

(i) உயரத்துடன் தொடர்புடைய gன் மாறுபடும் மதிப்புகள்.
\(\left( \frac { 1 }{ \left( R+h \right) ^{ 2 } } \right) \) or  g a \(\frac { 1 }{ { r }^{ 2 } } \)
gக்கும்  Uக்கும் இடையேயான வரைபடம்
ஒரு பர வளையம் 

(ii) ஆழத்தைப் பொறுத்து மாறுபடும் gன் மதிப்பு 
g = g   \(\left( 1-\frac { d }{ R } \right) \) ie  g a  (R  - d ) 
எனவே , gக்கும் dக்கும்  இடையேயான வரைபடம் நேர்க்கோடு AC.   

ஆம் வெப்பமற்றீடற்ற அமுக்கத்தால் வெப்பநிலை உயர்ந்து, வெப்பமானது வெளியாகாது.
இந்நிலையில் dQ = 0
\(\therefore \) வெப்ப இயக்கவியற் கொள்கையின் முதல்விதிப்படி 
 dU = dQ - dW
dU = - dW
\(\therefore \)dU =- dW
வாயுவின் மீது செய்யப்படும் அமுக்க வேலையானது எதிர்க்குறி உடையது,
dU = நேரக்குறி 
ஆகையால், வாயுவின் அக ஆற்றல் உயரும் போது வெப்பநிலையும் உயரும்.

ஒரு நிலையான கிடைமட்ட ஏட்டின்  மீது திரவம் சீராகப் பாய்வதாகக்  கொள்க, ஒரு நிலையான  ஏட்டில் இருந்து  தொலைவாக சென்றால் ஏடுகளின் வேகங்கள்  சீராக அதிகரிக்கிறது. A  மற்றும் B  என்ற  இரு இணையான ஏடுகளை கருதுக. நிலையான ஏட்டிலிருந்து  x மற்றும்  x  + dx  தொலைவில் அருகாமையில் உள்ள ஏடுகளின்  திசைவேகங்கள் முறையே v மற்றும்  v  + dv எனக்  கொள்க.                   

மனிதனின் வயது = 100 வருடங்கள்
100 வருடத்தில் 76 சாதாரண ஆண்டுகளும் 24 லீப் ஆண்டுகளும் உள்ளன.
மொத்த நாட்கள் = (76 \(\times\)365) + (24\(\times\)366)
= 36524 நாட்கள்
வினாடிகளின் எண்ணிக்கை
= 36524 \(\times\) 24 \(\times\) 3600
= 3.155 \(\times\) 10⁹ நொடிகள்
துடிப்புகளின் எண்ணிக்கை
\(=\frac { 3.155\times 10^{ 9 } }{ 0.8 } =3.94\times { 10 }^{ 9 }\)

மிக அதிக விசை, மிகக்குறுகிய நேரத்திற்கு ஒரு பொருளின் மீது செயல்பட்டால் அவ்விசையை கணத்தாக்கு விசை அல்லது கணத்தாக்கு என்று அழைக்கலாம்.
F என்ற விசை, மிகக்குறுகிய நேர இடைவெளியில் (Δt) ஒரு பொருளின் மீது செயல்பட்டால் நியூட்டன் இரண்டாம் விதியின் எண் மதிப்பு வடிவில் இந்நிகழ்வினை பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம்.
Fdt = dp
தொடக்க நேரம் t₁ மற்றும் இறுதி நேரம் t_f என்ற கால இடைவெளியில் இச்சமன்பாட்டை தொகையிட
\(\int_i^f d p=\int_{t_i}^{t_f} F d t  \)
\(p_f-p_i=\int_{i_i}^{t_t} F d t\)
p_i என்ப்து t_i என்று நேரத்தில் பொருளின் ஆரம்ப உந்தம்
p_f என்பது t_f என்ற நேரத்தில் பொருளின் இறுதி உந்தம்
p_f - p_i = Δp என்பது \(t_f-t_i=\Delta t\) என்ற நேர இடைவெளியில் பொருளில் ஏற்பட உந்த மாற்றமாகும்.
தொகையீடு \(\int_{t_i}^{t_r} F d t=J\) என்பது கணத்தாக்கு எனப்படும். மேலும், இக்கணத்தாக்கு
பொருளின் உந்த மாற்றத்திற்கு சமமாகும்.
கொடுக்கப்பட்ட நேர இடைவெளியில் விசை ஒரு மாறா மதிப்பைப் பெற்றிருப்பின்
\(\int_{t_i}^{t_f} F d t=F \int_{t_i}^{t_f} d t=F\left(t_f-t_i\right)=F \Delta t \)
\(F \Delta t=\Delta p\)   ...(1)
சமன்பாடு (1)க்கு "கணத்தாக்கு - உந்தச் சமன்பாடு என்று பெயர்
விசை ஒரு மாறா மதிப்பைப் பெற்றுள்ளபோது, கணத்தாக்கு J = FΔt எனக் குறிப்பிடப்படுகிறது. மேலும், இது Δt என்ற நேர இடைவெளியில் பொருளில் ஏற்படும் உந்த மாற்றத்திற்கு (Δp) சமம் ஆகும். கணத்தாக்கு
ஒரு வெக்டா் அளவாகும். இென் அலகு Ns.
ஒரு சிறிய நேர இடைவெளியில் பொருளின்மீது செயல்படும் சராசரி விசையைப் பின்வருமாறு வரையறை செய்யலாம்.
\(F_{\text {avg }}=\frac{\Delta p}{\Delta t}\)   ....(2)
சமன்பாடு (2)லிருந்து, நேர இடைவெளி மிகக்குறுகியதாக இருப்பின், பொருளின் மீது செயல்படும் சராசரி விசை மிக அதிகமாக இருக்கும். பொருளின் உந்தம் எப்பொழுதெல்லாம் மிகவேகமாக மாற்றமடைகிறதோ, அப்பொழுதெல்லாம் சராசரி விசை மிக அதிகமாக இருக்கும்.

இரயில் வண்டி B ஐப் பொருத்து, இரயில்வண்டி A இன் சார்புத் திசைவேகம்,
V_AB = 80 km h^-1 கிழக்கு நோக்கி, அதாவது இரயில் வண்டி B இல் உள்ள பயணிக்கு, இரயில்வண்டி A கிழக்கு நோக்கி 80 km h^-1 திசைவேகத்தில் செல்வது போன்று தோன்றும்.
இரயில் வண்டி A ஐப் பொருத்து, இரயில்வண்டி B இன் சார்புத் திசைவேகம்,
V_BA = 80 km h^-1 மேற்கு நோக்கி, அதாவது இரயில் வண்டி A இல் உள்ள பயணிக்கு, இரயில்வண்டி B மேற்கு நோக்கி 80 km h^-1 திசைவேகத்தில் செல்வது போன்று தோன்றும்.

சுருள்வில் மாறிலி K = 0.1 N m^-1
இடப்பெயர்ச்சி x = 25 cm = 0.25 m
(a) சுருள்வில்லில் சேமிக்கப்பட்ட நிலை ஆற்றல்
\(U=\frac { 1 }{ 2 } { kx }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } \times 0.1\times ({ 0.25 })^{ 2 }=0.0031J\)
b) சுருள்வில் விசை  \(\vec { F } \) ஆல் செய்யப்பட்ட வேலை W_s மதிப்பு
\(\mathrm{W}_{\mathrm{s}}=\int_{\mathrm{n}}^x \overrightarrow{\mathrm{F}}_{\mathrm{s}} \cdot \mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{r}}=\int_n^x(-\mathrm{k} x \hat{\mathrm{i}}) \cdot(\mathrm{d} x \hat{\mathrm{i}})\)
சுருள்வில்விசை \(\vec { F } _s\) எதிர்க்குறி x அச்சின் திசையில் செயல்படுகிறது. அதேசமயம் நீட்சியானது நேர்க்குறி x அச்சின் திசையில் செயல்படுகிறது
\(\mathrm{W}_{\mathrm{s}}=\int_0^x(-\mathrm{k} x) \mathrm{d} x=-\frac{1}{2} \mathrm{k} x^2 \)
\(\mathrm{~W}_{\mathrm{s}}=-\frac{1}{2} \times 0.1 \times(0.25)^2=-0.0031 \mathrm{~J}\)
வெளிப்புற அமைப்பால் செய்யப்பட்ட வேலையின் மூலம் நிலை ஆற்றலை வரையறுக்கலாம். நிலை ஆற்றலில் உள்ள நேர்க்குறி, ஆற்றலானது அமைப்பிலிருந்து பொருளுக்கு மாற்றப்படுவதைக் குறிக்கிறது. ஆனால் இந்நேர்வில் மீள் விசையால் செய்யப்பட்ட வேலை எதிர்க்குறி மதிப்புடையது. ஏனென்றால் மீள்விசையானது இடப்பெயர்ச்சியின் திசைக்கு எதிர்த்திசையில் செயல்படுகிறது
(c) அமுக்கத்தின் போதும் பொருளில்  அதே அளவு நிலை ஆற்றல் சேமிக்கப்படுகிறது.
\(U=\frac { 1 }{ 2 } { kx }^{ 2 }=0.0031J\)
அமுக்கப்படும் போதும் சுருள்வில் மீள் விசையால் செய்யப்பட்ட வேலை
\(W_s=\int_o^x \vec{F}_s \cdot \vec{d} r=\int_o^x(k x \hat{i}) \cdot(-d x \hat{i})\)
அமுக்கப்படும் நேர்வில் சுருள்வில் மீள்விசை நேர்க்குறி x அச்சை நோக்கி செயல்படுகிறது. மற்றும் இடப்பெயர்ச்சியானது எதிர்க்குறி x அச்சின் திசையில் உள்ளது.
\({ W }_{ s }=\int _{ 0 }^{ x }{ (-kx)dx=-\frac { 1 }{ 2 } { kx }^{ 2 }=-0. 0031 J} \)

(i) தனி ஊசல் என்பது சீரலைவு இயக்கத்தை மேற்கொள்ளும் ஒரு இயந்திரவியல் அமைப்பாகும். நீளமான கயிற்றில் (நிறையற்ற மீட்சித் தன்மையற்றதாக கருதுக.) m நிறை கொண்ட ஊசல்குண்டு ஒரு முனையில் தொங்கவிடப்பட்ட நிலையில் மாரு முனையானது தொங்கியில் பொருத்தப்பட்டுள்ளது.

(ii) சமநிலையில், தனி ஊசல் அலைவு றாமல் செங்குத்தாக கீழ்நோக்கி தொங்கிக் கொண்டிருக்கும். இந்நிலை சமநிலைப்புள்ளி அல்லது நாடுநிலைப்புள்ளி எனப்படும். தனி ஊசலானது சமநிலைப் புள்ளியிலிருந்து சிறிய இடப்பெயர்ச்சிக்கு உட்படுத்தப்பட்டு விடப்படும் போது, ஊசல் குண்டானது முன்னும் பின்னும் இயக்கத்தை மேற்கொள்ளும்.
(iii) தனி ஊசலின் நீளம் l என்பது தொங்கிவிடப்பட்ட புள்ளிக்கு ஊசல் குண்டின் ஈர்ப்பு மையத்திற்கு இடைப்பட்ட தொலைவு ஆகும். ஊசல் குண்டின் மீது எந்த ஒரு இடம் பெயர்ந்த நிலையிலும் இரு விசைகள் செயல்படுகின்றன.
(a) ஈர்ப்பியல் விசை \(\vec { F } =m\vec { g } \) செங்குத்தாக கீழ்நோக்கி செயல்படுகிறது.
(b) தொங்கிவிடப்பட்ட புள்ளியை நோக்கி கயிற்றின் வழியாக செயல்படும் இழுவிசை \(\vec { T } \).
ஈர்ப்பியல் விசையின் இருகூறுகளாவன
(a) செங்குத்துகூறு: கயிற்றின் வழியாக இழுவிசைக்கு எதிர்திசையில் செயல்படும் கூறு. F_as=mgcosθ
(b) தொடுவியல் கூறு: கயிற்றிற்கு செங்குத்தாக உள்ள கூறு அதாவது வில்லின் தொடுகோட்டு திசையில் உள்ள கூறு F_ps=mgsinθ
எனவே, கயிற்றின் வழியே விசையின் செங்குத்துக்கூறு
T-W_as=\(m\frac { { v }^{ 2 } }{ l } \)
இங்கு v என்பது ஊசல் குண்டின் வேகம்
T-mgcosθ=\(m\frac { { v }^{ 2 } }{ l } \)
(iv) ஈர்ப்பியல் விசையின் தொடுகோட்டு கூறானது எப்பொழுதும் சமநிலை நோக்கியே அமையும். அதாவது ஈர்ப்பியல் விசையானது, ஊசல் குண்டின் சமநிலைப்புள்ளியிலிருந்து அடைந்த இடப்பெயர்ச்சியின் எதிர்திசையில் அமையும். இந்தொடுவியல் விசையே மீள் விசையாகும். தொடுவியல் விசையை நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியின் மூலம் நாம் பெறலாம்.

தகைவு -திரிபு விவரப்படம் என்பது ஒவ்வொரு பளு மதிப்பிற்கும் தகைவு மற்றும் திரிபு அளவிடப்பட்டு திரிபை X -அச்சிலும் , தகைவை y - அச்சிலும்  கொண்டு வரையப்பட்ட ஒரு வரைபடம் ஆகும். பொருள்களின் மீட்சிப்பண்புகளை தகைவு -திரிபு  விவரப்படத்திலுருந்து பகுப்பாய்வு செய்யலாம். 

(i) பகுதி OA : இந்த பகுதியில் தகைவானது  திரிபுக்கு நேர்த்தகவில் இருக்கும் வகையில் தகைவானது மிகவும் குறைவாக உள்ளது.அதாவது ஹீக்  விதிக்கு  உட்படுகிறது..புள்ளி A ஆனது  விகித எல்லை எனப்படும், ஏனென்றால்  இந்த புள்ளிக்கு மேல் ஹீக் விதி பொருந்தாது. OA கோட்டின் சாய்வு கம்பியின் யங் குணகம் ஆகும்.
(ii) பகுதி AB தகைவானது மிக குறைவான அளவு அதகர்க்கப்பட்டால் இந்தப் பகுதி  அடையப்படுகிறது. இந்த பகுதியில் தகைவானது திரிபுக்கு நேர்த்தகவில்  இல்லை.ஆனால் நீட்சி  விசை நீக்கப்பட்டால் கம்பியானது அதன் தொடக்க நீளத்திர்ற்கு திரும்பும் . இந்த பண்பு B புள்ளியில் முடிவடைகிறது. எனவே பி புள்ளி விளைவுபுள்ளி (மிட்சீ எல்லை )எனப்படும் . தகைவு -திரிபு  வரைபடத்தில் OAB ஆனது பொருளின் (இங்கு கம்பி )மீட்சிப்பணப்பை குறிக்கிறது.
(iii) பகுதிBC : கம்பியானது புள்ள (B)க்கு  (மிட்சீ எல்லை) மேல் நீட்டப்படுமானால் , தகைவு அதிகரிக்கிறது மற்றும் கம்பியானது நீட்சி விசை நீக்கப்படும் போது  தனது ஆரம்ப நீளத்தை மீண்டும் பெறாது.
(iv) பகுதி CD: தகைவானது C-க்கு அப்பால்  அதிகரிக்கப்பட்டால் திரிபு  மிக விரைவாக அதிகரித்து புள்ளி D ஐ அடையும். Dக்கு அப்பால் கம்பியானது எந்த பளுவும் சேர்க்கப்படாமலேயே நீண்டு கொண்டே சென்று புள்ளி E இல் முறிகிறது.எந்த பெருமத்தகைவிற்கு (இங்கு D) அப்பால் கம்பி முறிவடைகிறதோ அங்கு தகைவு முறிவுத்தகைவு  அல்லது நீட்சி வலிமை (tensile  strength) எனப்படும். அதற்குரிய புள்ளி (D ) முறிவுப்புள்ளி  எனப்படும். BCDE பகுதிகம்பிப் பொருளின் மீட்சியற்றத் தன்மையைக்  குறிக்கிறது.                                                                                         

தளத்தில் பொருள் இயங்கும் போது  அப் பொருள் பின்வரும் மூன்று விசைகளை உணரும். 
அ) கீழ் நோக்கிக் செயல்படும் ஈர்ப்பு விசை (mg)
ஆ) மேல் நோக்கிச் செயல்படும் செங்குத்துவிசை(N)
இ) இயக்கத்திசைக்கு எதிர்த்திசையில் செயல்படும் உராய்வு விசை 
இங்கு செங்குத்துத் திசையில் எவ்வித இயக்கமும் இல்லை. எனவே செங்குத்து விசையின் எண் மதிப்பு ஈர்ப்பு விசையின் எண்மதிப்புக்கு சமமாகும்.
N=mg
x அச்சுத் திசையில் நியூட்டன் இரண்டாம் விதியைப் பயன்படுத்தினால்
\(m\vec { a } =-{ \mu }_{ k }mg\hat { i } \)
\(\vec { a } =-{ \mu }_{ k }g\hat { i } \)
(இங்கு முடுக்கம் x அச்சுத்திசையில் செயல் படுவதால் உராய்வு விசை எதிர்குறி x அச்சுத் திசையில் செயல்படும் என்பதை நினைவில் வைக்கவும்) 
அல்லது  a=-\(\mu\)_kg
இங்கு இயக்கம் முழுமைக்கும் முடுக்கம் மாறா மதிப்பைப் பெற்றுள்ளதால், இயக்கச் சமன்பாடுகளை இங்கு பயன்படுத்தலாம். 
v²=u²+2as
இங்கு v என்பது இறுதித் திசைவேகம் மற்றும் s தொலைவு செல்வதற்காக பொருளுக்கு அளிக்கப்பட்ட தொடக்கத் திசைவேகம் u ஆகும்.
இக்கணக்கில் s=10m 
பொருள் இறுதியில் ஓய்வு நிலைக்கு வருவதால் திசைவேகம் =0
\(0={ u }^{ 2 }-2{ \mu }_{ k }gs\)
\(u=\sqrt { 2{ \mu }_{ k }gs } \)
\(u=\sqrt { 2\times 0.6\times 9.8\times 10 } =10.8{ ms }^{ -1 }\)

மின் தடைகள் பக்க இணைப்பில் உள்ள போது தொகுபயனுக்கு இணையான சமன்பாடு
lel combination
\(R=\frac { R_{ 1 }R_{ 2 } }{ R_{ 1 }+R_{ 2 } } =\frac { 150\times 220 }{ 150+220 } =\frac { 33000 }{ 370 } =89.1\Omega \)
நாம் அறிந்தபடி, \(\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\)
வகையிட
\(\frac { \triangle { R }^{ ' } }{ \left( { R }^{ ' } \right) ^{ 2 } } =\frac { \triangle { R }_{ 1 } }{ { R }_{ 1 }^{ 2 } } +\frac { \triangle { R }_{ 2 } }{ { R }_{ 2 }^{ 2 } } \)
\(\triangle { R }^{ ' }=\left( { R }^{ ' } \right) ^{ 2 }\frac { \triangle { R }_{ 1 } }{ { R }_{ 1 }^{ 2 } } +\left( { R }^{ ' } \right) ^{ 2 }\frac { \triangle { R }_{ 2 } }{ { R }_{ 2 }^{ 2 } } =\left( \frac { { R }^{ ' } }{ { R }_{ 1 } } \right) ^{ 2 }\triangle { R }_{ 1 }+\left( \frac { { R }^{ ' } }{ { R }_{ 2 } } \right) ^{ 2 }\triangle { R }_{ 2 }\)
மதிப்புகளைப்பிரதியிட,
\(\triangle { R }^{ ' }=\left[ \frac { 89.1 }{ 150 } \right] ^{ 2 }\times 2+\left[ \frac { 89.1 }{ 220 } \right] ^{ 2 }\times 6=0.070+0.098=0.168\)
R' = (89.1 ± 0.168) \(\Omega\)

நிறை m₁ = 2 kg
நிறை m₂ = 2 kg
திசைவேகம் v₁ = (2\(\hat { i } -3\hat { j } \))m/s
திசைவேகம் v₂ = (3\(\hat { j } +6\hat { k } )\)m/s
இரு துகள்கள் முழு மீட்சி மோதலை உணரும்போது.
\(V=\frac { { m }_{ 1 }{ v }_{ 1 }+{ m }_{ 2 }{ v }_{ 2 } }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } =\frac { 2(2\hat { i } -3\hat { j } )+3(3\hat { j } +6\hat { k } ) }{ 2+2 } \)
\(=\frac { 4\hat { i } -6\hat { j } +9\hat { j } +18\hat { k } }{ 4 } =\frac { 4\hat { i } +3\hat { j } +18k }{ 4 } \)
இரு துகள்கள் சேர்ந்து வேகம்
\(v=\sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ \left( \frac { 3 }{ 4 } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { 9 }{ 2 } \right) }^{ 2 } } \)
\(v=\sqrt { 1+\frac { 9 }{ 16 } +\frac { 81 }{ 4 } } \)
திசைவேகம், v = \(\sqrt { 21.81 } \) m/s 

தொடுகோட்டு முடுக்கம் 
(i) பொருளொன்று r ஆரமுடைய வட்டப்பாதையில் இயங்குகிறது என்க. \(\Delta \)t என்ற கால இடைவெளியில் பொருள் \(\Delta \)s என்ற வட்டவில் தொலைவைக் கடக்கிறது. படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது அது ஏற்படுத்தும் கோணம் \(\Delta \)\(\theta \)ஆகும்.
(ii) \(\Delta \)\(\theta \)வைப் பயன்படுத்தி \(\Delta \)s ஐ பின்வருமாறு எழுதலாம். \(\Delta \)s =r\(\Delta \)\(\theta \)
\(\Delta \)t என்ற கால இடைவெளியில் \(\frac { \Delta s }{ \Delta t } =r\frac { \Delta \theta }{ \Delta t } \)
\(\Delta t\rightarrow 0\)என்ற எல்லையில் மேற்கண்ட சமன்பாட்டினை 
\(\frac { ds }{ dt } =r\omega \)
என எழுதலாம். இங்கு \(\frac{ds}{dt}\)என்பது நேர்கோட்டு வேகமாகும் (v) இது வட்டத்தின் தொடுகோட்டின் வழியே செயல்படும் மேலும் \(\omega \)என்பது கோண வேகமாகும்.

(iii) எனவே சமன்பாடு ஐ v=r \(\omega \)      (1)
என எழுதலாம். இச்சமன்பாடு நேர்கோட்டு வேகத்திற்கும்,கோண வேகத்திற்கும் உள்ள தொடர்பைக் காட்டுகிறது. இச்சமன்பாடு வட்ட இயக்கத்திற்கு மட்டுமே பொருந்தும், பொதுவாக நேர்கோட்டு திசை வேகத்திற்கும் உள்ள தொடர்பு 
\(\overrightarrow { v } =\overrightarrow { \omega } \times \overrightarrow { r } \) ...(2)
(iv) வட்டப்பாதை இயக்கத்தில் சமன்பாடு (2) சமன்பாடு v=r\(\omega \) ஆக மாறும், ஏனெனில் \(\overrightarrow { \omega } \)மற்றும் \(\overrightarrow { r } \) ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாகும். 
நேரத்தைப்பொறுத்து சமன்பாடு (1) ஐ வகைப்படுத்தினால் (இங்கு r என்பது மாறிலி) 
\(\frac { dv }{ dt } =\frac { rd\omega }{ dt } =r\alpha \)  (3)
(v) இங்கு \(\frac { dv }{ dt } \) என்பது தொடுகோட்டு முடுக்கமாகும் இதனை a₁ எனவும் \(\frac { d\omega }{ dt } \) என்பது கோண முடுக்கம் இதனை (\(\alpha \)) எனவும் எழுதலாம் எனவே \({ a }_{ t }=r\alpha \)
இங்கு a_t என்பது பொருள் பெரும் தொடுகோட்டு முடுக்கமாகும் 

தொடுகோட்டு முடுக்கம், நேர்கோட்டுத்திசை வேகத்தின் திசையில் செயல்படுவதை காணலாம்.

ஒரு பேபால் நல்லியல்பு வாயு ஒன்றின் மோலார் தன்வெப்ப ஏற்புத்திறன்களுக்கிடையே உள்ள தொடர்பை, மேயர் தொடர்பு CP - CV = R கொடுக்கிறது.
ஆற்றல் சமபங்கீட்டு விதியைப் பயன்படுத்தி CP - CV மதிப்பையும் மேலும் அவற்றிற்கிடையேயான விகிதம் = γ = CP - CV யையும் கணக்கிடலாம்.
(γ -வெப்பப்பரிமாற்றமில்லா அடுக்குக்குறியீடு 
1. ஓரணு மூலக்கூறு: 
மூலக்கூறு ஒன்றின் சராசரி இயக்க ஆற்றல் = 3/2  kT
ஒருமோல் வாயுவின் மொத்த ஆற்றல் = 3/2 kT × NA = 3/2 RT
ஒருமோல் வாயுவின் பருமன் மாறா மோலார் தன்வெப்ப ஏற்புத்திறன் =
 

 

•மோலார் தன்வெப்ப ஏற்புத்திறன்களின் தகவு γ = CP / CV
 

 

2. ஈரணு மூலக்கூறு: 
தாழ்வெப்பநிலையில் உள்ள ஈரணு மூலக்கூறு ஒன்றின் சராசரி இயக்க ஆற்றல் = 5/2  kT
ஒரு மோல் வாயுவின் மொத்த ஆற்றல்   
= 5/2 kT × NA = 5/2 RT
ஒரு மோல் வாயுவின் பருமன் மாறா மோலார் தன்வெப்ப ஏற்புத்திறன்  
CV = dU / dT = [5/2RT ] ; CV = 5/2 R
 

 

உயர் வெப்பநிலையிலுள்ள ஈரணு மூலக்கூறு ஒன்றின் அகஆற்றல் = 7/2  RT
 

 

CV மற்றும் CP இன் மதிப்பானது ஓரணு மூலக்கூறுகளை விட, ஈரணு மூலக்கூறுகளுக்கு அதிகமாக உள்ளது. 
ஓரணு வாயு மூலக்கூறுகளின் வெப்பநிலையை 1°C உயர்த்துவதற்குத் தேவைப்படும் வெப்பத்தை விட ஈரணு வாயு மூலக்கூறுகளுக்கு அதிக வெப்பம் தேவைப்படும்.
 

 

III மூவணு மூலக்கூறுகள்: 

1. நேர்க்கோட்டிலமைந்த மூவணு மூலக்கூறு :
ஒரு மோல் மூலக்கூறின் அக ஆற்றல் 
 

 

2. நேர்க்கோட்டில் அமையாத மூவணு மூலக்கூறு :
ஒரு மோல் மூவணு மூலக்கூறின் அக ஆற்றல் = 
 

வாயுக்களின் இயக்கவியல் கொள்கையின் அடிப்படையில், பருமன் மற்றும் அழுத்தம் மாறா தன்வெப்ப ஏற்புத்திறன்கள் வெப்பநிலையில் சார்ந்ததல்ல. 

3 நிமிடங்களில் சூடான நீரின் வெப்பநிலை 8°C குறைந்துள்ளது. 92°C மற்றும் 84°C இன் சராசரி வெப்பநிலை 88°C. இது அறை வெப்பநிலையைவிட 61°C அதிகமாக உள்ளது. சமன்பாடு (8.8)ஐப் பயன்படுத்தினால் 
\(\frac { dT }{ T-{ T }_{ s } } =-\frac { a }{ ms } dt\) அல்லது =\(\frac { dT }{ dt } =-\frac { a }{ ms } (T-{ T }_{ s })\)
\(\frac { { 8 }^{ o }C }{ 3\quad min } =-\frac { a }{ ms } \)(61^oC)
இதேபோன்று 65°C மற்றும் 60°C இன் சராசரி வெப்பநிலை 62.5°C ஆகும். இது அறை வெப்பநிலையைவிட 35.5°C அதிகமாக உள்ளது. 
\(\frac { { 5 }^{ o }C }{ dt } =-\frac { a }{ ms } \)(35.5^oC)
இவ்விரண்டு சமன்பாடுகளையும் வகுக்கும்போது.
\( \frac { \frac { { 8 }^{ o }C }{ 3\quad min } }{ \frac { { 5 }^{ o }C }{ dt } } =\frac { -\frac { a }{ ms } \left( { 61 }^{ 0 }C \right) }{ -\frac { a }{ ms } \left( 35.5^{ 0 }C \right) } \)
\(\frac { 8\times dt }{ 3\times 5 } =\frac { 61 }{ 35.5 } \)
\(dt=\frac { 61\times 15 }{ 35.5\times 8 } =\frac { 915 }{ 284 } =3.22\)நிமிடம்.

ஒத்ததிர்வு காற்று தம்பக் கருவி ஒரு மீட்டர் நீளம் உடைய கண்ணாடி அல்லது உலோகக் குழாயால் ஆனது. காற்று தம்பதில் ஏற்படும் ஒத்ததிர்வைக் கணக்கிட்டு அதன் மூலம் சாதாரண வெப்பநிலையில் காற்றில் ஒலியின் திசைவேகம் காண பயன்படுகிறது. மேலும் காற்றுத் தம்ப நீளத்தை மாற்றுவதன் மூலம் ஒத்ததிர்வு அதிர்வெண் கணு நீரின் மேற்பரப்பில் எதிர்க்கணு திறந்த முனையிலும் ஏற்படும். திறந்த முனையில் இசைக்கலவை ஒன்றை அதிர வைத்து பிடித்தால் நெட்டலைகளை உருவாக்கி படத்தில் காட்டியபடி கீழ்நோக்கி நகரும். நீரின் பரப்பை அடைந்தவுடன் இந்த அலை எதிரொளிக்கப்படும் அலையுடன் மேற்பொருந்துவதால் நிலையான அலைகள் ஏற்படும்.அதன் நீளத்தை மாற்றி, காற்றுத்தம்பதின் அதிர்வெண், இசைக்களைவையின் அதிர்வெண்ணுடன் (இசைக்கலவையின் அதிர்வெண்) ஒத்ததிர்வடையச் செய்யும்போது, அதிக உரப்பு உள்ள ஒலி ஏற்படும். இதன் பொருள் காற்றுத்தம்பதின் அதிர்வெண், இசைக்கலவையின் அதிர்வெண்ணுக்குச் சமமாகி, ஒத்ததிர்வுக்கான நிபந்தனையைப் பெறும். இந்த நிலையானது காற்றுத் தாம்பத்தின் நீளம், ஒலி அலையின் அலைநீளத்தின் \(\left( \frac { 1 }{ 4 } \right) \) ங்கு மடங்காக அமையும் போது ஏற்படும். முதல் ஒத்ததிர்வானது L₁ நீளத்தில் ஏற்படுவதாக கருதுவோம்.
\(\frac { 1 }{ 4 } \) λ = L₁   ..(1)
ஆனால், எதிர்க்கணு துல்லியமாக திறந்த முனையில் ஏற்படுவதில்லை. எனவே, நாம் ஒரு திருத்தத்தை செய்ய வேண்டும். இதுவே முனை திருத்தும் திருத்தம் (e), எனப்படுகிறது. எதிர்க்கணுவானது திறந்த முனையில் ஒரு சிறிய தூரத்தில் ஏற்படுகிறது என்க. எனவே, முதல் அதிர்வு நிலை, முனைத்திருத்தத்துடன்
\(\frac { 3 }{ 4 } \) λ = L₁ + e     ...(2)
முனைத்திருத்தத்தை புறக்கணிக்க, சமன்பாடு (2) மற்றும் (1) ன் வேறுபாட்டை கண்டால்,
\(\frac { 3 }{ 4 } \lambda -\frac { 1 }{ 4 } =\lambda ({ L }_{ 2 }+e)-({ L }_{ 1 }+e)\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ 4 } \lambda ={ L }_{ 2 }-{ L }_{ 1 }=\triangle L\)
\(\Rightarrow \lambda =2\triangle L\)
அரை வெப்பநிலையில் ஒலியின் திசைவேகத்தை கீழ்கண்டவாறு கணக்கிடலாம்.
\(v=f\lambda =2f\triangle L\)
முனைத்திருத்தத்தை சமன்பாடு (2), (1) யைப் பயன்படுத்தி காண \(e=\frac { { L }_{ 2 }-3{ L }_{ 1 } }{ 2 } \)

புவியின் ஆரத்தை காணும் எரட்டோஸ்தனிஸ் முறை:
(i) கி.மு. 225 ல் அலெக்ஸ்சாண்ட்ரியா (Alexandria) வில் வாழ்ந்த கிரெக்க நூலகர் எரட்டோஸ்தனிஸ்(Eratosthenes) புவியின் ஆரத்தை முதன் முதலில் அளந்தார். தபோது நவீன முறையில் கண்டறியப்பட்ட மதிப்புடன் ஒப்பிட இம்மதிப்பு கிட்டத்தட்ட துல்லியமாக அமைந்துள்ளது.
(ii) கோட்டை சூரிய திருப்பு முக நிலையில் (சூரியன் தன இயக்க திசையை மாற்றும் நாள்)(Solstice) நண்பகலில் சைன் (Syene) நகரில் சூரிய ஒளி நிழல் ஏற்படுத்தாததைக் கண்டார். அதே நேரத்தில் சையேன் நகரிலிருந்து 500 மெயில் தொலைவில் உள்ள அலெக்சாண்டிரியா நகரில் செங்குத்துத் திசைக்கு 7.2^o சாய்வாக சூரிய ஒளி நிழல் விழுகிறது எனக் கண்டார்.
(iii) 7.2 டிகிரி வேறுபாடு ஏற்படக் காரணம் புவியின் மேற்பரப்பு வளைந்து காணப்படுவதே என உணர்ந்தார்.
இந்த கோணம் 7.2^o =\(\frac {1}{8}\) ரேடியன் 
(iv) சைன் மற்றும் அலெக்சாண்டிரியா நகருக்கு இடையேயான வட்டவில்லின் நீளம் S  என்க.
மேலும் புவியின் ஆரம் R எனில்
S=R\(\theta\) =500 மைல்
புவியின் ஆரம் R =\(\frac {500}{\theta}\) மைல் 
R =500 
R=400 மைல் 
(v) 1 மைல் =1.609 km. எனவே அவர் புவியின் ஆரம் R=6436 km எனக் கண்டறிந்தார். வியப்பளிக்கும் வண்ணம் இம்மதிப்பு தற்போது கண்டறியப்பட்ட மதிப்பான 6378 km க்கு மிக அருகே உள்ளது. 3 ஆம் நூற்றாண்டில் கிரேக்க நாட்டு வானியல் அறிஞர் ஹிப்பார்க்கஸ் புவிக்கும் நிலவுக்கும் உள்ள தொலைவினை கண்டறிந்தார். 

வெட்டப்படாத வட்டத்தட்டின் நிறையானது M என எடுத்துக் கொள்க. இதனுடைய நிறை மையமானது வட்டத்தட்டின் வடிவியல் மையத்தில் அமையும். இப்புள்ளியிலேயே ஆதிப்புள்ளியும் ஒருங்கமைகிறது
வெட்டி எடுக்கப்பட்ட சிறு வட்டத்தட்டின் நிறை m என்க. (அதன் நிறை மையம் ஆதிப்புள்ளிக்கு) வலது புறத்தில் \(\frac { R }{ 2 } \) என்ற தொலைவில் படத்தில் காட்டியுள்ளவாறு அமைந்திருக்கும்.
எனவே வட்டத்தட்டின் மீதமுள்ள பகுதியின் நிறை மையம் ஆதிப்புள்ளிக்கு இடது புறத்தில் X தொலைவில் உள்ளதாக எடுத்துக் கொள்வோம். திருப்புத்திறன்களின் தத்துவத்திலிருந்து, கீழ்கண்டவாறு எழுத முடியும்.

(M - m)x = (m)\(\frac { R }{ 2 } \)
x =\(\left( \frac { m }{ M-m } \right) \frac { R }{ 2 } \)
பரப்பு நிறை அடர்த்தி \(\sigma =\frac { M }{ \pi { R }^{ 2 } } \) (\(\sigma \) என்பது ஓரலகு பரப்பின் நிறை) எனில், சிறிய வட்டத் தட்டின் நிறை (m) என்பது
m = பரப்பு நிறை அடர்த்தி x பரப்பு
m = \(\sigma \times \pi \left( \frac { R }{ 2 } \right) ^{ 2 }\)
m =\(\left( \frac { M }{ \pi { R }^{ 2 } } \right) \pi \left( \frac { R }{ 2 } \right) ^{ 2 }=\frac { M }{ \pi R^{ 2 } } \pi \frac { { R }^{ 2 } }{ 4 } =\frac { M }{ 4 } \)
x-ன் சமன்பாட்டில் m-ன் மதிப்பைப் பிரதியிட
x =\(\frac { \frac { M }{ 4 } }{ \left( M-\frac { M }{ 4 } \right) } \times \frac { R }{ 2 } =\frac { \frac { M }{ 4 } }{ \left( \frac { 3M }{ 4 } \right) } \times \frac { R }{ 2 } \)
x = \(\frac { R }{ 6 } \)
மீதமுள்ள வட்டத் தட்டின் நிறைமையமானது வட்டத் தட்டின் மையத்திற்கு இடப்புறம் \(\frac { R }{ 6 } \) தொலைவில் இருக்கும்.