5, 25, 50, 75,...
\(\frac { { t }_{ 2 } }{ t_{ 1 } } =\frac { 25 }{ 5 } =5;\frac { { t }_{ 3 } }{ { t }_{ 2 } } =\frac { 50 }{ 25 } =2;\frac { { t }_{ 4 } }{ { t }_{ 3 } } =\frac { 75 }{ 50 } =\frac { 3 }{ 2 } \)
அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் விகிதங்கள் சமமாக இல்லாததால் 5, 25, 50, 75,.... என்ற தொடர்வரிசை ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையல்ல.

5, -25, 125, ....
இங்குத் தொடர்வரிசையின் அடுத்தடுத்த உறுப்புகளில் + மற்றும் – எனக் குறிகள் மாறி மாறி வந்துள்ளன. மேலும் உறுப்புகள் 5-ன் அடுக்குகளாகவும் அமைந்துள்ளன. எனவே பொது உறுப்பு a_n = (-1)ⁿ⁺¹5ⁿ, n \(\in \) N.

0.6666... என்ற எண்ணைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்.
0.6666... = 0.6 + 0.06 + 0.006 + 0.0006+....
0.6,0.06,0.006 என்ற எண்கள் ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையை அமைக்கின்றன.
முதல் உறுப்பு a = 0.6 பொது விகிதம் r = \(\frac { 0.06 }{ 0.6 } \)= 0.1 மேலும் -1 < r = 0.1 < 1
பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் முடிவுறா உறுப்புகள் வரை கூடுதல் காணும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த நாம் பெறுவது,
0.6666... = 0.6 + 0.06 + 0.006 + 0.0006+... = \(\frac { 0.6 }{ 1-0.1 } =\frac { 0.6 }{ 0.9 } =\frac { 2 }{ 3 } \)
ஆகவே 0.6666 ... என்ற எண்ணின் விகிதமுறு வடிவம் \(\frac { 2 }{ 3 } \) ஆகும்.

கூடுதல் 1365 கிடைக்க கூட்ட வேண்டிய உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை n என்க.
a = 1, r = \(\frac { 4 }{ 1 } \) = 4 > 1
S_n = 1365 ⇒ \(\frac { a({ r }^{ n }-1) }{ r-1 } \)= 1365
\(\frac { 1({ 4 }^{ n }-1) }{ 4-1 } \)= 1365 எனவே, (4ⁿ-1) = 4095
4ⁿ = 4095 ⇒ 4ⁿ = 4⁶
n = 6

-11, -15, -19,.... என்பது தரப்பட்ட கூட்டுத்தொடர் வரிசை
இங்கு முதல் உறுப்பு a = -11
பொது வித்தியாசம் \(\mathrm{d}=\mathrm{t}_2-\mathrm{t}_1=-15-(-11)\)
= -15 + 11 = -4
∴ n-ஆவது உறுப்பு \(\mathrm{t}_{\mathrm{n}} =\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1) \mathrm{d} \)
∴ 19- ஆவது உறுப்பு \(\left(\mathrm{t}_{19}\right) =-11+(19-1)(-4) \)
= -11 +18(-4) 
= -11 + (-72) = -83
∴ -11,-15,-19,......-இன் 19 ஆவது உறுப்பு - 83.

3x ≡ 1 (மட்டு 15) என்பதை
3x - 1 = 15k, k என்பது ஏதேனும் ஒரு முழு என எழுதலாம்.
3x = 15k + 1
x = \(\frac { 15k+1 }{ 3 } \)
x = \(5k+\frac { 1 }{ 3 } \)
5k என்பது ஒரு முழு எண் என்பதால், \(5k+\frac { 1 }{ 3 } \) என்பது ஒரு முழு எண் அல்ல. எனவே இச்சமன்பாட்டிற்கு முழு எண் தீர்வே இல்லை.

15 ≡ 3 (மட்டு d) என்பதன் பொருள் 15 - 3 = kd, இங்கு k என்பது ஏதேனும் ஒரு முழு.
12 = kd
d ஆனது 12 ஐ வகுக்கும்.
12 -யின் வகுத்திகளாவன 1,2,3,4,6,12
d ஆனது 3 ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும், ஏனெனில் மீதி 3 வந்துள்ளது. எனவே, d- க்கு சாதகமான மதிப்புகள் 4,6,12 ஆகும்.

n மற்றும் n + 1 என்பன இரு அடுத்தடுத்த மிகை முழுக்கள் என்க. இங்கு n + 1 > n யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறைப்படி n + 1 = n \(\times\) q + 1, q ஒரு முழு.
மீதி = 1 .
\(\therefore\) யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறைப்படி n =1 x (n) + 0 
இங்கு மீதி = 0
\(\therefore\) மீ.பொ.வ = 1
\(\therefore\) n, n + 1 இன் மீ.பொ.வ = 1
இரு அடுத்தடுத்த மிகை முழுக்களின் மீ.பொ.வ = 1
\(\therefore\) இரு அடுத்தடுத்த மிகை முழுக்கள் சார்பகா எண்களாகும்.

x என்பது ஓர் ஒற்றை முழுக்கள் என்க. எந்தவொரு ஒற்றை முழுக்களுக்கும் ஏதேனும் ஓர் இரட்டை முழுக்களை விட ஒன்று அதிகமாக இருக்கும் என்பதால், x = 2k + 1, இங்கு k என்பது ஏதேனும் ஒரு முழுக்கள்.
x² = (2k + 1)²
= 4k² + 4k + 1
= 4k(k + 1) + 1
= 4q + 1. இங்கு, q = k(k + 1) என்பது ஒரு முழுக்கள்.

5 + 55 + 555+.... என்பது ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையும் அல்ல, பெருக்குத் தொடர்வரிசையும் அல்ல. எனவே, இந்தத் தொடரை இரு தொடர்களாகப் பிரித்துக் கூடுதல் காண்போம்.
5 + 55 + 555+... n உறுப்புகள் வரை = 5[1 + 11 + 111+.... n உறுப்புகள் வரை]
= \(\frac { 5 }{ 9 } \)[9 + 99 + 999+...n உறுப்புகள் வரை]
=\(\frac { 5 }{ 9 } \)[(10-1) + (100-1) + (1000-1) + ... n உறுப்புகள் வரை]
= \(\frac { 5 }{ 9 } \)[(10 + 100 + 1000+... n உறுப்புகள் வரை) - n]
= \(\frac { 5 }{ 9 } \left[ \frac { 10(10^{ n }-1) }{ (10-1) } -n \right] =\frac { 50(10^{ n }-1) }{ 81 } -\frac { 5n }{ 9 } \)

S₁, S₂ மற்றும் S₃ என்பன முறையே ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் முதல் n, 2n மற்றும் 3n உறுப்புகளின் கூட்டல் எனில்,
\(S_1=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d], \ S_2=\frac{2 n}{2}[2 a+(2 n-1) d], S_3=\frac{3 n}{2}[2 a+(3 n-1) d]\)
தற்போது, S₂ - S₁ =\(\frac { 2n }{ 2 } \) [2a + (2n - 1)d] -\(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n - 1)d
=\(\frac { n }{ 2 } \)[4a + 2(2n - 1)d - [2a + (n - 1)d]]
S₂ - S₁ = \(\frac { n }{ 2 } \) x [2a + (3n - 1)d]
3(S₂ - S₁)  = \(\frac { 3n }{ 2 } \)[2a + (3n - 1)d]
3(S₂ - S₁) = S₃

விமானம் சென்னையிலிருந்து புறப்பட்ட நேரம் = 23.30 ஞாயிற்றுக்கிழமை
இலண்டன் செல்ல பயண நேரம் = 11 மணி
இங்கு நாம் மட்டு 24 ஐப் பயன்படுத்துவோம்.
\(\therefore\) இலண்டன் சேரும் நேரம்
☰ 23.30 + 11 (மட்டு 24) 
☰ 34.30 (மட்டு 24) 
☰ 10.30  (மட்டு 24) 
\(10.30 = 0  \times 24  \quad + 10.30 \\ \downarrow  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\downarrow \)
ஞாயிறு           , திங்கள்
விமானம் திங்கட்கிழமை 10.30 மணிக்கு இலண்டன் சென்றடையும்.
சென்னையின் திட்ட நேரம் = 4.30 மணி + இலண்டன் திட்ட நேரம் இலண்டன் திட்ட நேரம் = சென்னை திட்ட நேரம் - 4.30 மணி
= 10.30 - 4.30 = 6 மணி
\(\therefore\) விமானம் இலண்டன் விமான நிலையத்தில் திங்கட்கிழமை 6 மணிக்குத் தரையிறங்கும்.

கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் அமைந்த அடுத்தடுத்த நான்கு எண்களை (a - 3d), (a - d), (a + d) மற்றும் (a + 3d) என எடுத்துக்கொள்வோம்.
நான்கு உறுப்புகளின் கூடுதல் 28 என்பதால்
a - 3d + a - d + a + d + a + 3d =28
4a = 28 ⇒ a = 7
இதுபோலவே, அவற்றின் வர்க்கங்களின் கூடுதல் 276 என்பதால்,
(a - 3d)² + (a - d)² + (a + d)² + (a + 3d)² = 276
a² - 6ad + 9d² + a² - 2ad + d² + a² + 2ad + d² + a² + 6ad + 9d² = 276
4a² + 20d² = 276 ⇒ 4(7)² + 20d² = 276
d² = 4 ⇒ \(d=\pm \sqrt{4}\) எனில் d = ±2
a = 7, d = 2 எனில், தேவையான நான்கு எண்கள் 7 - 3(2), 7 - 2, 7 + 2 மற்றும் 7 + 3(2) அதாவது, 1,5,9 மற்றும் 13.
a = 7, d = -2 எனில், தேவையான நான்கு எண்கள் 13, 9, 5 மற்றும் 1.
எனவே, கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் அமைந்த நான்கு எண்கள் 1, 5, 9 மற்றும் 13.

மொத்த படிக்கட்டுகளின் எண்ணிக்கை n = 30.
கீழ்ப்படிக்கட்டு அமைக்க தேவைப்படும் செங்கற்கள் a = 100
ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த படிக்கட்டிற்கும் 2 கற்கள் குறைவாகத் தேவைப்படும். ஒவ்வொரு படிக்கட்டிற்கும் தேவைப்படும் கற்கள் ஒரு கூட்டுத் தொடரை அமைக்கும்.
100, 98, 96,.... 30 உறுப்புகள் வரை
a = 100, d = -2, n = 30
(i) உச்சி படிக்கட்டை அமைக்க தேவையான கற்கள் l என்க.
\(l =\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1) \mathrm{d} \)
= 100 + (30 - 1)(-2) 
= 100 + 29(-2) 
= 100 - 58 = 42
∴ உச்சி படிக்கட்டை அமைக்க 42 செங்கற்கள் தேவை.
(ii) முழு படிக்கட்டிற்கும் தேவைப்படும் கற்களின் எண்ணிக்கை
\(\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\frac{n}{2}(l+a)=\frac{30}{2}(100+42) \)
= 15 x 142 = 2130
மொத்தம் தேவைப்படும் செங்கற்கள் = 2130

\( \mathrm{n}=31, \mathrm{t}_{16}=\mathrm{m} \) \(\Rightarrow\) \(\mathrm{a} +15 \mathrm{~d}=\mathrm{m}  \)
\(\mathrm{s}_{31} =\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]  \) \(=\frac{31}{2}[2a+30 d]\)
\( =\frac{31}{2}[2(a+15d)] \) \(=\frac{31}{2}[2 m]=31 \mathrm{~m}\)

\(A=2^{65} \)
\(B=2^{64}+2^{63}+2^{62}+\ldots+2^0\)
இங்கு \(a=2^{64} ; r=\frac{2^{63}}{2^{64}}=\frac{1}{2} ; n=65\)
\(\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1} \)
\(\mathrm{B}=\frac{2^{64}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{65}-1\right)}{-\frac{1}{2}}=2^{65}\left(\frac{1}{2^{65}}-1\right)(-1) \)
\(=\left(1-2^{65}\right)(-1) \) \(=2^{65}-1\)
\(\therefore B=\mathrm{A}-\mathrm{I} \)                  (\(\because\) \(\mathrm{A}=2^{65}\))
\(\mathrm{A}=\mathrm{B}+1\)