gff(x) = g[f{f(x)}]
= g[f(3x+1)] = g[3(3x + 1) + 1] = g(9x + 4)
g(9x + 4) = [(9x + 4) + 3] = 9x + 7
fgg(x) = f[g{g(x)}]
= f[g(x + 3)] = f[(x + 3) + 3] = f(x + 6)
f(x + 6) = [3(x + 6) + 1] = 3x + 19
gff(x) = fgg(x) எனவே, 9x + 7 = 3x + 19. இந்தச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க x = 2

f(x) = 2x + 3, g(x) = 1 - 2x, h(x) = 3x
இப்பொழுது, (f o g)(x) = f(g(x)) = f(1 - 2x) = 2(1 - 2x) + 3 = 5 - 4x
மேலும், (f o g) o h(x) = (f o g)(h(x)) = (f o g)(3x) = 5 - 4(3x) = 5 - 12x  .....(1)
(g o h)(x) = g(h(x)) = g(3x) = 1 - 2(3x) = 1 - 6x
மேலும், f o(g o h)(x) = f(1 - 6x) = 2(1 - 6x) + 3 = 5 - 12x   ....(2)
(1) மற்றும் (2) -லிருந்து  (f o g) o h = f o (g o h)

f(x) = 3x - 2, g(x) = 2x + k
f o g(x) = f(g(x)) = f(2x + k) = 3(2x + k) - 2 = 6x + 3k - 2
எனவே, f o g(x) = 6x + 3k - 2
g o f(x) = g(3x - 2) = 2(3x - 2) + k
எனவே, g o f(x) = 6x - 4 + k
f o g = g o f எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
6x + 3k - 2 = 6x - 4 + k
\(6 x-6 x+3 k-k=-4+2 \Rightarrow 2 k=-2 \Rightarrow k=-1\)

f(x) = 3x - 5, f = {(x, 3x - 5) |x ∈ R} என எழுதலாம்.
(a, 4) எனில், a-யின் நிழல் உரு 4. அதாவது, f(a) = 4
3a - 5 = 4 லிருந்து a = 3
(1, b) எனில், 1 -யின் நிழல் உரு b. அதாவது, f(1) = b 
3(1) – 5 = b எனவே, b = –2

f(x) = 2x - 3
(i) \(\frac{f(0)+f(1)}{2} =\frac{[2(0)-3]+[2(1)-3]}{2} \)
\(=\frac{0-3+2-3}{2} \)
\(=\frac{2-6}{2} \)
\(=\frac{-4}{2}=-2\)
(ii) கொடுக்கப்பட்டது:
f (x) = 0
\(\therefore\) 2x - 3 = 0
2x = 3 \(\Rightarrow\) x = 3/2
(iii) கொடுக்கப்பட்டது:
f (x) = x
2x - 3 = x
2x -.x = 3 \(\Rightarrow\) x = 3
(iv) கொடுக்கப்பட்டது:
f(x) = f(1 - x)
2x - 3 = 2(1 - x) - 3
2x - 3 = 2 - 2x - 3
2x + 2x = 2 - 3 + 3
4x = 2 \(\Rightarrow\) x = 2/4 = 1/2

A x B = {(3,2), (3,4), (5,2), (5,4)}
A = {A x B-யின் முதல் ஆயத்தொலைவு உறுப்புகளின் கணம்}. எனவே A = {3,5}
B = {A x B-யின் இரண்டாம் ஆயத்தொலைவு உறுப்புகளின் கணம்}. எனவே B = {2,4} எனவே A = {3,5} மற்றும் B = {2,4}.

\(f(x)=\sqrt{1+\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}}} \)
\(\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{1+t} \)
இங்கு \(\mathrm{t} =\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}} \)
\(1-t \geq 0 \)   \(\Rightarrow\) \(t \leq 1 \)
\(\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}} \leq 1 \)
வர்க்கப்படுத்த \(1-\sqrt{1-x^2} \leq 1 \)
\(-\sqrt{1-x^2} \leq 0 \)
\(\sqrt{1-x^2} \geq 0 \)
\(1-x^2 \geq 0 \) \(\Rightarrow\) \(x^2 \leq 1 \)
\(\Rightarrow x \in[-1,1]\)

அருகில் காட்டியுள்ளபடி சார்பு f ஆனது I, II, III என்ற மூன்று இடைவெளிகளில் வரையறுக்கப்படுகிறது.
x = a, என்ற கொடுக்கப்பட்ட மதிப்பிற்கு a-இருக்கும் இடைவெளியைக் கண்டுபிடித்து, அந்த இடைவெளியில் f(a) -ஐக் காண வேண்டும்.
(i) x = 4 ஆனது மூன்றாவது இடைவெளியில் உள்ளதை நாம் காணலாம்.
இங்கு, f(x) = 3x - 2; f(4) = 3(4) - 2 = 10
(ii) x =−2 ஆனது இரண்டாவது இடைவெளியில் உள்ளது.
எனவே, f(x) = x² - 2; f(-2) = (-2)²- 2 = 2
(iii) (i) -லிருந்து, f(4) = 10
f(1), -ன் மதிப்பைக் காண, x = 1 ஆனது இரண்டாவது இடைவெளியில் உள்ளது.
ஆகையினால், f(x) = x² - 2 லிருந்து, f(1) = 1² - 2 = -1
எனவே, f(4) + 2f(1) = 10 + 2(-1) = 8
(iv) f(1) = -1, f(4) = 10 எனக் கண்டோம். f(-3)-யைக் காண x = -3 ஆனது ஒன்றாவது இடைவெளியில் உள்ளதைக் காணலாம்.
ஆகையினால், f(x) = 2x + 7; எனவே, f(-3) = 2(-3) + 7 = 1
எனவே, \(\frac { f(1)-3f(4) }{ f(-3) } =\frac { -1-3(10) }{ 1 } \) = -31

துகள் கடந்த தூரமானது  S(t)=\(\frac { { t }^{ 2 }+t }{ 2 } \)  எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
(i) t = 3.5 மணி. அப்படியானால் S(3.5)=\(\frac { (3.5)^{ 2 }+3.5 }{ 2 } =\frac { 15.75 }{ 2 } \)=7.875
மூன்றரை மணி நேரத்தில் கடந்த தூரம் 7.875 கி.மீ ஆகும்.
(ii) t = 8.25 மணி (0.25 மணி = 15 நிமிடங்கள்).
அப்படியானால், S(8.25)=\(\frac { (8.25)^{ 2 }+8.25 }{ 2 } =\frac { 76.3125 }{ 2 } \)=38.15625
8.25 மணி நேரத்தில் தோராயமாகக் கடந்த தூரம் 38.16 கி.மீ ஆகும்.

A = {1,2,3,4}; B = {2,5,8,11,14}; f(x) = 3x - 1
f(1) = 3(1) – 1 = 3 – 1 = 2; f(2) = 3(2) - 1 = 6 - 1 = 5
f(3) = 3(3) – 1 = 9 – 1 = 8; f(4) = 4(3) - 1 = 12 – 1 = 11
(i) அம்புக்குறி படம்
சார்பு f :A ⟶B - ஐ ஒரு அம்புக்குறி படத்தால் குறிப்போம். (படம்.1.19).

(ii) அட்டவணை அமைப்பு
சார்பு f-ஐ கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள அட்டவணையால் குறிப்போம்.

(iii) வரிசைச் சோடிகளின் கணம்
சார்பு f-ஐ வரிசை சோடிகளின் கணமாக எழுதலாம்.
f = {(1,2),(2,5),(3,8),(4,11)}
(iv) வரைபடம்
படம் 1.20 உள்ள XY-தளத்தில் ஒரே நேர்கோட்டில் (1,2), (2,5), (3,8), (4,11) ஆகிய புள்ளிகள் குறிக்கப்பட்டுள்ளன.

(i) R₁ = {(–5,a), (1,a), (3,b)}
R₁-க்கான உறவை அம்புக்குறி படத்தில் குறிக்கலாம் (படம் -(i)).
R₁ சார்பாகாது. காரணம் 4 ∈ X-க்கு Y-ல் நிழல் உரு இல்லை.

(ii) R₂ = {(–5,b), (1,b), (3,a),(4,c)}
R₂-க்கான உறவை அம்புக்குறி படத்தில் குறிக்கலாம் (படம் -(ii)).
R₂ ஒரு சார்பாகும். காரணம் X-யின் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ஒரே ஒரு நிழல் உரு Y-ல் உள்ளது.

(iii) R₃ = {(–5,a), (1,a), (3,b), (4,c), (1,b)}
R₃-க்கான உறவை அம்புக்குறி படத்தில் குறிக்கலாம் (படம்-(iii)).
R₃ ஒரு சார்பாகாது. காரணம் 1∈X-க்கு இரண்டு நிழல் உருக்கள் a ∈ Y மற்றும் b ∈ Y என உள்ளன.

இவற்றின் மூலம், ஓர் உறுப்பிற்கு, ஒரே ஒரு நிழல் உரு இருந்தால் மட்டுமே அந்த உறவு சார்பாகும் என அறியலாம்.

 உறவு R என்பது x R y என வரையறுக்கப்படுகிறது. x என்பது y என்ற பணியாளருக்கு கொடுக்கப்பட்ட ஊதியம். 
வரிசைச் சோடி:
உறவு R = {(10000, A₁), (10000, A₂), (10000, A₃), (10000, A₄), (10000, A₅), (25000, C₁), (25000, C₂), (25000, C₃), (25000, C₄), (50000, M₁), (50000, M₂), (50000, M₃), (100000, E₁), (100000, E₂)}
அம்புக்குறி படம்:
 

(i) R யின் கணகட்டமைப்பு முறை {(x,y) | y = x-2, x ∈ P, y ∈ Q}
(ii) R யின் பட்டியல் முறை = {(5,3),(6,4),(7,5)}
(iii) R யின் மதிப்பகம் = {5,6,7}; R யின் வீச்சகம் = {3,4,5}

A = {5, 6}, B = {4, 5, 6}, C = {5, 6, 7}
LHS: A x A = {5, 6} x {5, 6}
= {(5, 5), (5, 6), (6, 5),(6, 6)}
RHS:
B x B = {4, 5, 6} x {4, 5, 6}
= {(4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5) (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
C x C = {5, 6, 7} x {5, 6, 7}
= {(5, 5), (5, 6), (5, 7), (6, 5), (6, 6), (6,7), (7, 5), (7, 6), (7, 7)}
\((B \times B) \cap(C \times C) =\{(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)\}\)
\(\therefore \text { LHS } =\text { RHS } \)
\(A \times A =(B \times B) \cap(C \times C) \) நிறுவப்பட்டது.

\(f(x)=(x+1)^3-(x-1)^3 \)
\(=\left(x^3+3 x^2+3 x+1\right)-\left(x^3-3 x^2+3 x-1\right) \)
\(= 6 x^2+2\), இது ஒரு இருபடிச் சார்பு

\(g=\{(1,1),(2,3),(3,5),(4,7)\} \)
\(g(x)=\alpha x+\beta\)
\(\alpha\) = 2 மற்றும் \(\beta\) =-1 எனும் போது, g(x) = 2x - 1 என்பது 'g' யை நிறைவு செய்கிறது.

\(\mathrm{f}: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}\) என்பது இருபுறச் சார்பு மற்றும் n(B) = 7.
f என்பது இருபுறச் சார்பு. அதாவது, ஒன்றுக்கு ஒன்றான மேல்சார்பு.
\(\therefore\) A மற்றும் B ஆகியவற்றில் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை சமமாக இருக்க வேண்டும். n(A) = 7

\(A=\{1,2\}, B=\{1,2,3,4\},\)
C = {5, 6}  மற்றும் D = {5,6,7,8}
\(\mathrm{A} \times \mathrm{C}=\{(1,5),(1,6),(2,5),(2,6)\} \)
\(\mathrm{B} \times \mathrm{D}=\{(1,5),(1,6),(1,7),(1,8), \)
\((2,5),(2,6),(2,7),(2,8), \)
\((3,5),(3,6),(3,7),(3,8), \)
\((4,5),(4,6),(4,7),(4,8)\} \)
எனவே, \((\mathrm{A} \times \mathrm{C}) \subset (\mathrm{B} \times \mathrm{D})\)