முதல் பெண்ணிடம் உள்ள முட்டைகள் =x என்க.
இரண்டாம் பெண்ணிடம் உள்ள முட்டைகள் =y என்க.
x + y =100
முதல் பெண் விற்கும் முட்டையின் விலை =ரூ.'a'
இரண்டாம் பெண் விற்கும் முட்டையின் விலை =ரூ.'b'.
முதல் வகை:
இருவரும் சமதொகைக்கு முட்டைகளை விற்றார்கள் எனில்
∴ ax = by
இரண்டாம் வகை:
ay =15 மற்றும் bx =\(\frac { 20 }{ 3 } \)=100
ax x by =100
(அவை சமம் என்பதால்)
∴ ax=by =10
∴  x=\(\frac { 10 }{ a } \)
\(bx=\frac { 20 }{ 3 } ,x=\frac { 10 }{ a } \)
∴ \(b\times \frac { 10 }{ a } =\frac { 20 }{ 3 } \)
b=\(\frac { 2 }{ 3 } a\)

x=\(\frac { 2 }{ 3 } y\)
\(\frac { 2 }{ 3 } y\)+y=100
\(\frac { 5y }{ 3 } \)=100
∴ y=60, x=40
முதல் பெண்ணிடம் 40 முட்டைகளும் இரண்டாம் பெண்ணிடம் 60 முட்டைகளும் இருந்தன.

மந்தையில் மொத்தம் x² அன்னங்கள் உள்ளன. 
கொடுக்கப்பட்ட தகவல்களின்படி,
\({ x }^{ 2 }-10x-\cfrac { 1 }{ 8 } { x }^{ 2 }=6\) ⇒ 7x² - 80x - 48 = 0
\(x=\cfrac { -b\pm \sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } }{ 2a } =\cfrac { 80\pm \sqrt { 6400-4(7)(-48) } }{ 14 } =\cfrac { 80\pm 88 }{ 14 } \)
எனவே, \(x=12,-\cfrac { 4 }{ 7 } \)
அன்னங்களின் எண்ணிக்கை \(x=-\cfrac { 4 }{ 7 } \) ஆக இருக்க முடியாது.
ஆகையால், x = 12. மொத்த அன்னங்களின் எண்ணிக்கை x² = 144 ஆகும்

ஆப்பிள்களின் எடை 'x' கி.கி என்க.
வாழைப்பழங்களின் எடை 'y' கி.கி என்க.
கொடுக்கப்பட்டது : x + y = 50  ....(1)
\(\frac{1800}{x} =2\left(\frac{600}{y}\right) \Rightarrow \frac{3}{x}=\frac{2}{y} \)
3y = 2x 
\(\Rightarrow x =\frac{3}{2} y\)   ....(2)
(1) -ல் பிரதியிட,
\(\frac{3}{2} y+y =50 \)
5y = 100 
\(y =\frac{100}{5}=20\)
(2) -ல் பிரதியிட,
\(x=\frac{3}{2}(20)=30\)
∴  இனியா, 30 கி.கி ஆப்பிள்களையும், 20 கி.கி வாழைப்பழங்களையும் வாங்கியுள்ளார்

(i) \(\cfrac { x+4 }{ 3x+4y } \times \cfrac { { 9x }^{ 2 }-{ 16y }^{ 2 } }{ { 2x }^{ 2 }+3x-20 } \)
\(=\frac{x+4}{3 x+4 y} \times \frac{(3 x)^2-(4 y)^2}{2 x^2+8 x-5 x-20} \)
\(=\frac{x+4}{3 x+4 y} \times \frac{(3 x+4 y)(3 x-4 y)}{(2 x-5)(x+4)}\)
=\(\cfrac { 3x-4y }{ 2x-5 } \).
(ii) \(\frac{x^3-y^3}{3 x^2+9 x y+6 y^2} \times \frac{x^2+2 x y+y^2}{x^2-y^2} \)
\(=\frac{(x-y)\left(x^2+x y+y^2\right)}{(3 x+6 y)(x+y)} \times \frac{(x+y)^2}{(x+y)(x-y)}  \)
\(=\frac{x^2+x y+y^2}{3 x+6 y}  =\frac{x^2+x y+y^2}{3(x+2 y)}\)

முதலிடம் பெறுபவர்களின் எண்ணிக்கை x, இரண்டாமிடம் பெறுபவர்களின் எண்ணிக்கை y, மூன்றாமிடம் பெறுபவர்களின் எண்ணிக்கை z என்க.
மொத்த பரிசுகள் = 24; மொத்த புள்ளிகள் = 56.
எனவே, மூன்று மாறிகளில் அமைந்த நேரிய சமன்பாடு
x + y + z = 24  ...(1)
5x + 3y + z = 56 ...(2)
x + y = z   ...(3)
(3) ஐ (1) -யில் பிரதியிட, நாம் பெறுவது, z + z = 24 ⇐, z = 12

x = 4, z = 12 என (3) –யில் பிரதியிட நாம் பெறுவது, y = 12 - 4 = 8
எனவே, முதலிடம் பெற்றவர்களின் எண்ணிக்கை 4 ஆகும்;
இரண்டாமிடம் பெற்றவர்களின் எண்ணிக்கை 8 ஆகும்.
மூன்றாமிடம் பெற்றவர்களின் எண்ணிக்கை 12 ஆகும்;

x = 1 என (4) –யில் பிரதியிட, 5 + y = 7 ⇐ y = 2
x = 1, y = 2 என (3) –யில் பிரதியிட, 1 + 2 + z = 6 ⇐ z = 3
எனவே, x = 1, y = 2, z = 3

\(3{ p }^{ 2 }+2\sqrt { 5 } p-5\)-ஐ  ax² + bx + c = 0 உடன் ஒப்பிட,
a = 3, b = \(2\sqrt { 5 } \), c = -5.
p = \({-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
a, b மற்றும் c யின் மதிப்புகளைச் சூத்திரத்தில் பிரதியிட,
\(p =\frac { -2\sqrt { 5 } \pm \sqrt { { \left( 2\sqrt { 5 } \right) }^{ 2 }-4\left( 3 \right) \left( -5 \right) } }{ 2\left( 3 \right) } =\frac { -2\sqrt { 5 } \pm \sqrt { 80 } }{ 6 } =\frac { -\sqrt { 5 } \pm 2\sqrt { 5 } }{ 3 } \)
எனவே, x = \(\frac { \sqrt { 5 } }{ 3 } ,-\sqrt { 5 } \)

\(\cfrac { 1 }{ 2 } A-\cfrac { 3 }{ 2 } B=\cfrac { 1 }{ 2 } (A-3B)\)
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \left( \left( \begin{matrix} 1 & 8 & 3 \\ 3 & 5 & 0 \\ 8 & 7 & 6 \end{matrix} \right) -3\left( \begin{matrix} 8 & -6 & -4 \\ 2 & 11 & -3 \\ 0 & 1 & 5 \end{matrix} \right) \right) \)
= \(\frac { 1 }{ 2 } \left[ \left[ \begin{matrix} 1 & 8 & 3 \\ 3 & 5 & 0 \\ 8 & 7 & 6 \end{matrix} \right] +\left[ \begin{matrix} -24 & 18 & 12 \\ -6 & -33 & 9 \\ 0 & -3 & -15 \end{matrix} \right] \right] =\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} -23 & 26 & 15 \\ -3 & -28 & 9 \\ 8 & 4 & -9 \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} -\frac { 23 }{ 2 } & 13 & \frac { 15 }{ 2 } \\ -\frac { 3 }{ 2 } & -14 & \frac { 9 }{ 2 } \\ 4 & 2 & -\frac { 9 }{ 2 } \end{matrix} \right] \)

\({ x }^{ 2 }-\left( -\cfrac { 3 }{ 5 } \right) x+\left( -\cfrac { 1 }{ 2 } \right) =0\Rightarrow \cfrac { { 10x }^{ 2 }+6x-5 }{ 10 } =0\)
⇒ 10x² + 6x - 5 = 0

A என்ற அணியின் வரிசை 2 x 3 மற்றும் B என்ற அணியின் வரிசை 3 × 3 என்பதால் AB என்ற அணி வரையறுக்கப்படுகிறது. மேலும் AB யின் வரிசை 2 × 3 ஆகும்.
கொடுக்கப்பட்டுள்ள அணிகள் \(A=\left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix} \right) _{ 2\times 3 },B=\left( \begin{matrix} 8 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \\ 5 & 3 & 1 \end{matrix} \right) _{ 3 \times 3 }\)
\(AB=\left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 8 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \\ 5 & 3 & 1 \end{matrix} \right) \)
= \(\left( \begin{matrix} 8+4+0 \\ 24+2+25 \end{matrix}\begin{matrix} 3+8+0 \\ 9+4+15 \end{matrix}\begin{matrix} 1+2+0 \\ 3+1+5 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 12 \\ 51 \end{matrix}\begin{matrix} 11 \\ 28 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 9 \end{matrix} \right) \)

\(9 x^2-12 x+4=0\)
\(9 x^2-12 x=-4\) ['9' ஆல் வகுக்க]
\(x^2-\frac{4}{3} x=-\frac{4}{9} \)
\(x^2-\frac{4}{3} x+\frac{4}{9}=-\frac{4}{9}+\frac{4}{9}\)
\(\left(\left(\frac{x}{2}\right)^2\right)\) ன் கெழுவை இருபுறமும் கூட்ட]
\(\left(x-\frac{2}{3}\right)^2=0\)
\(x=\frac{2}{3}\) (இருமுறை) 
தீர்வு : \(x=\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\)

p(x) = x² + 8x + 12 = (x + 2)(x + 6) என்க.
p(-2) = 4 - 16 + 12 = 0
p(-6) = 36 - 48 + 12 = 0
எனவே, p(x) = x² + 8x + 12 -யின் பூச்சியங்கள் –2 மற்றும் –6 ஆகும்.

(i) \(\cfrac { x+10 }{ 8x } \)  என்ற கோவையானது 8x = 0  (அ) x = 0 எனும்போது வரையறுக்க இயலாததாகிறது. ஆகவே விலக்கப்பட்ட மதிப்பு 0 ஆகும்.
(ii) \(\cfrac { 7p+2 }{ { 8p }^{ 2 }+13p+5 } \)
\(\cfrac { 7p+2 }{ { 8p }^{ 2 }+13p+5 } \) என்ற கோவையானது 8p² + 13p + 5 = 0 அதாவது (8p + 5)(p + 1) = 0 \(\Leftarrow \)  \(p=\cfrac { -5 }{ 8 } ,p\) = -1,எனும்போது கோவை வரையறுக்க இயலாததாகிறது. எனவே, விலக்கப்பட்ட மதிப்புகள் \(\cfrac { -5 }{ 8 } \) மற்றும் -1.
(iii) \(\cfrac { x }{ { x }^{ 2 }+1 } \)
இங்கு அனைத்து x மதிப்புகளும் \({ x }^{ 2 }\ge 0\) எனவே \({ x }^{ 2 }+1\ge 0+1=1\). ஆகவே எந்தவொரு x மதிப்புகளும் x² + 1 \(\neq \) 0. எனவே \(\cfrac { x }{ { x }^{ 2 }+1 } \) என்ற விகிதமுறு கோவைக்கு விலக்கப்பட்ட மெய் மதிப்புகள் ஏதுமில்லை.

x² - kx - 6 மற்றும் x² - 2x - 24 மீ.பொ.வ (x - 6)
∴ x² - kx - 6 என்பது (x - 6) ஆல் வகுபடும்.
\((6)^2-\mathrm{k}(6)-6 =0  \)
\(\Rightarrow \quad 36-6 \mathrm{k}-6 =0\)
6k = 30
\(\Rightarrow k=\frac{30}{6}=5\)

\(\sqrt{\frac{256 x^8 y^4 z^{10}}{25 x^6 y^6 z^6}}=\frac{16}{5}\left|\frac{x^4 y^2 z^5}{x^3 y^3 z^3}\right|=\frac{16}{5}\left|\frac{x z^2}{y}\right|\)