OA.OB = OC.OD (கொடுக்கப்பட்டுள்ளது)

ஆகையால், \(\frac { OA }{ OC } =\frac { OD }{ OB } \) ...(1)
மேலும் ∠AOD = ∠COB (குத்தெதிர் கோணங்கள்) ....(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
∴ ΔAOD~ΔCOB (SAS விதிமுறைப்படி)
ஆகையால் ∠A = ∠C மற்றும் ∠B = ∠D
(வடிவொத்த முக்கோணங்களின் ஒத்த கோணங்கள்)

 
\(\angle A E D=90^{\circ}[\because A E \perp B C]\)
\(\mathrm{BC}=\mathrm{a}, \mathrm{AC}=\mathrm{b}, \mathrm{AB}=\mathrm{c}, \mathrm{ED}=\mathrm{x}, \mathrm{AD}=\mathrm{p}\) மற்றும் AE = h என தரப்பட்டுள்ளது.
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
\(\mathrm{AC}^2+\mathrm{AB}^2 =\mathrm{AD}^2+\mathrm{BC} \cdot \mathrm{DE}+\frac{1}{4} \mathrm{BC}^2+\mathrm{AD}^2- \)
\(\mathrm{BC} \cdot \mathrm{DE}+\frac{\mathrm{BC}^2}{4}  \)
\(=2 \mathrm{AD}^2+2\left(\frac{B C^2}{4}\right)  \)
\(\mathrm{AC}^2+\mathrm{AB}^2 =2 \mathrm{AD}^2+\frac{B C^2}{2}  \)
\( { b}^2+\mathrm{c}^2 =2 \mathrm{p}^2+\frac{a^2}{2}\)

(ii) \(\Delta PST\) மற்றும் \(\Delta PQR\) -யில்,
\(\cfrac { PS }{ PQ } =\cfrac { 2 }{ 2+3 } =\cfrac { 2 }{ 5 } ,\cfrac { PT }{ PR } =\cfrac { 2 }{ 2+3 } =\cfrac { 2 }{ 5 } \)
இதிலிருந்து,\(\cfrac { PS }{ PQ } =\cfrac { PT }{ PR } \) மற்றும்
\(\angle P\)  ஆனது பொதுக் கோணம். எனவே, SAS விதிமுறைப்படி, \(\Delta PST\sim \Delta PQR\)

கொடுக்கப்பட்டது OP = 5 செ.மீ, ஆரம் r = 3 செ.மீ
தொடுகோட்டின் நீளம் PT ஐ காண செங்கோண முக்கோணம் OTP -யில்
OP² = OT² + PT² (பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)
5² + 3² + PT² ⇒ PT² = 5² = 3² + PT²
தொடுகோட்டின் நீளம் PT = 4 செ.மீ

AB = 5 செ.மீ
AC = 10 செ.மீ
BD = 1.5 செ.மீ
CD = 3.5  செ.மீ
\(\frac{A B}{A C}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2} \)
\(\frac{B D}{D C}=\frac{1.5}{3.5}=\frac{3}{7} \)
\(\frac{A B}{A C} \neq \frac{B D}{D C}\)
∴ கோணஇருசமவெட்டித் தேற்றத்தின் மறுதலைப்படி, AD என்பது ∠A இன் இருசமவெட்டி ஆகாது.

வடிவொத்த முக்கோணங்களின் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் அவற்றின் ஒத்த சுற்றளவுகளின் விகிதத்திற்குச் சமம்.
\(\Delta ABC\sim \Delta PQR\) ஆகையினால்,
\(\cfrac { AB }{ PQ } =\cfrac { BC }{ QR } =\cfrac { AC }{ PR } =\cfrac { 36 }{ 24 } \)
\(\cfrac { AB }{ PQ } =\cfrac { 36 }{ 24 } \)  ⇒ \(\cfrac { AB }{ 10 } =\cfrac { 36 }{ 24 } \)
\(AB=\cfrac { 36\times 10 }{ 24 } \) = 15 செ.மீ

\(\Delta ABC\) மற்றும் \(\Delta PQR\) -யில்,
\(\cfrac { PQ }{ AB } =\cfrac { 3 }{ 6 } =\cfrac { 1 }{ 2 } ;\cfrac { QR }{ BC } =\cfrac { 4 }{ 10 } =\cfrac { 2 }{ 5 } \)
\(\cfrac { 1 }{ 2 }\neq\cfrac { 2 }{ 5 } \) என்பதால் \(\cfrac { PQ }{ AB } \neq \cfrac { QR }{ BC } \)
ஒத்த பக்கங்கள் விகிதச் சமமாக இல்லை.
எனவே, \(\Delta ABC\) ஆனது \(\Delta PQR\) -க்கு வடிவொத்ததாக அமையாது.

நிரூபணம்:

ΔABC ஒரு செங்கோண முக்கோணம்
∠B செங்கோணம்
நிரூபிக்க வேண்டியது: AC² = AB² + BC²
அமைப்பு: BC 丄 AC
ΔABC = ΔABC
\(\frac { AD }{ AB } =\frac { AB }{ AC } \)
(பக்கங்களின் விகிதம்)
AD · AC = AB² ...(1)
மேலும், ΔBDC ~ ΔABC
\(\frac { CD }{ BC } =\frac { BC }{ AC } \)
CD · AC =BC² ...(2)
(1) மற்றும் (2) ஐக் கூட்ட
AD.AC+CD.AC = AB²+ BC²
AC(AD+CD) = AB² + BC²
AC.AC = AB²+ BC²
AC² = AB² + BC²

ΔADC யில்
AC² = AD² + CD²  ...(1)
(பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)
ΔADB யில்,
AB² = AD² + BD² ...(2)
(பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)
(1) ஐ (2) லிருந்து கழிக்க
AB² - AC² = BD² - CD²
AB² + CD² = BD² + AC²

ABC என்பது ஒரு முக்கோணம். D, E மற்றும் F ஆகியன முறையே பக்கங்கள் CA,AB மற்றும் BC –யில் அமைந்துள்ள புள்ளிகள் ஆகும். D, E மற்றும் F ஆகிய புள்ளிகள் ஒரு கோட்டில் அமைவன எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
எனவே, மெனிலாஸ் தேற்றத்தின்படி,\(\cfrac { AE }{ EB } \times \cfrac { BF }{ FC } \times \cfrac { CD }{ DA } =1\)...(1)
AE = EB = 2, DA = 1 ஆகும்
மேலும் FC = FB + BC = BF + 3
பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி, AC² = AB² + BC² = 16 + 9 = 25 எனவே, AC = 5
மேலும் CD = AC - AD = 5 - 1 = 4
FC, AE, EB, DA, CD யின் மதிப்புகளை (1) –ல் பிரதியிட,
\(\cfrac { 2 }{ 2 } \times \cfrac { BF }{ BF+3 } \times \cfrac { 4 }{ 1 } =1\)
4BF - BF = 3 எனவே, BF = 1

\(\Delta ABC\) யில் DE || BC,
தேல்ஸ் தேற்றத்தின் மூலம் நாம் பெறுவது,\(\cfrac { AD }{ DB } =\cfrac { AE }{ EC } \) 
\(\cfrac { x }{ x-2 } =\cfrac { x+2 }{ x-1 } \) ⇒ x(x - 1) = (x - 2)(x + 2)
ஆகவே, x² - x = x² - 4 ⇒ x = 4
x = 4 எனில், AD = 4, DB = x - 2 = 2, AE = x + 2 = 6, EC = x - 1 = 3.
எனவே, AB = AD + DB = 4 + 2 = 6, AC = AE + EC = 6 + 3 = 9.
ஆகவே, AB = 6, AC = 9.

கணக்கின்படி, \(\angle Q S R=\angle Q P R=90^{\circ}\)
PR மற்றும் SQ வெட்டும் புள்ளி T.
ΔQPT மற்றும் ΔRST இல்
\(\angle Q S R=\angle Q P R=90^{\circ} \)
\(\angle P T Q=\angle S T R\)
[∵ குத்தெதிா்க் கோணங்கள்]
AA விதிமுறைப்படி,
\(\triangle PQT \sim \triangle S R T\)
∴ வடிவொத்த முக்கோணங்களில் ஒத்த பக்கங்கள் விகிதசமம்.
\(\therefore \frac{P T}{S T}=\frac{T Q}{T R} \)
\(\mathrm{PT} \times \mathrm{TR}=\mathrm{ST} \times \mathrm{TQ}\)
நிரூபிக்கப்பட்டது.

PQR ஆனது கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் ஆகும். PQR என்ற முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கு \(\frac { 3 }{ 5 } \)அளவுடைய ஒத்த பக்கங்களின் மற்றொரு முக்கோணத்தை அமைப்போம்.
வரைதலின் படிகள் 
1. ஏதேனும் ஓர் அளவைக் கொண்டு \(\Delta PQR\) வரைக.
2. QR என்ற கோட்டுத்துண்டில் குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு, QX என்ற கதிரை P என்ற முனைப்புள்ளிக்கு எதிர் திசையில் வரைக.
3. QX யின் மீது Q₁, Q₂, Q₃, Q₄ மற்றும் Q₅ என்ற 5 புள்ளிகளை \(\frac { 3 }{ 5 } \) யில் 3 மற்றும் 5 ஆகியவற்றில் பெரியது 5 என்பதால்)
QQ₁ = Q₁Q₂ = Q₂Q₃ = Q₃Q₄ = Q₄Q₅ என்றவாறு குறிக்கவும்.
4. Q₅R-ஐ இணைத்து Q₃-யிலிருந்து (3-வது புள்ளி, அதாவது \(\frac { 3 }{ 5 } \) -யில்3 மற்றும் 5 ஆகியவற்றில் சிறியது) Q₅R–க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. இது QR –ஐ R'–யில் சந்திக்கிறது.
5. R'-லிருந்து RP–க்கு இணையாக வரையப்படும் கோடு QP–ஐ P'–யில் சந்திக்கிறது.\(\Delta P'QR'\) –யின் பக்கங்கள் \(\Delta PQR\)  –ன் ஒத்த பக்கங்களின் அளவில் 5–ல் 3 பங்கு ஆகும்.
6. \(\Delta P'QR'\) ஆனது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும்.

60 x 2 = 120^o

CP = 11 செ.மீ;  BC = 7 செ.மீ 
∴ CQ  = 11 செ.மீ BQ = 11 - 7 = 4 செ.மீ = BR = 4 செ.மீ

AC = 11 - 6 = 5 மீ 
செங்கோண ΔABC இல்
\(\mathrm{AB}^2 =\mathrm{BC}^2+\mathrm{AC}^2=12^2+5^2 \)
= 144 + 25 = 169 
AB = 13 மீ 

O வழியே, PQ || BC வரைக.

PQ 丄 AB மற்றும் PQ 丄 DC (∵ ㄥB = 90° மற்றும் ㄥC = 90°)
ㄥBPQ = 90° மற்றும் ㄥCQP = 90°
∴ BPQC மற்றும் APQD செவ்வகங்கள்
ΔOPB லிருந்து
OB² = BP² + OP²  ...(1)
இதைப்போலவே ΔOQD லிருந்து
OD² = OQ²+DQ² ...(2)
ΔOQC லிருந்து 
OC² = OQ²+CQ² ...(3)
ΔOAP, we have
OA² = AP²+OP² ...(4)
(1) மற்றும் (2) ஐக் கூட்ட
OB² + OD² = BP² + OP² + OQ² + DQ²
(∵ BP = CQ மற்றும் DQ = AP)
= CQ² + OP² + OQ² + AP²
= CQ² + OQ² + OP² + AP²
= OC² + OA² [(3) மற்றும் (4) லிருந்து]