A (1, -1), B(-4, 6), மற்றும் C(-3, -5) சூத்திரத்தை பயன்படுத்தி 
Δ = \(\frac { 1 }{ 2 } \) {x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)} சதுர அலகுகள்
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [1 (6 + 5 ) + (-4) (-5 + 1) + (-3) (- 1 - 6)]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [11 + 16 + 21] = 24 சதுர அலகுகள்
∴ முக்கோணத்தின் பரப்பு = 24 சதுர அலகுகள்

P, Q என்ற புள்ளிகள் AB கோட்டினை 
AP = PQ = QB எனப் பிரிப்பதாகக் கொள்வோம்.

எனவே P ஆனது AB ஐ உட்புறமாக 1:2 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கிறது. எனவே, P பிரிவு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி
\(P(x,y)=\left[ \frac { 1(-7)+2(2) }{ 1+2 } ,\frac { 1(7)+2(-2) }{ 1+2 } \right] \)  i.e., (-1, 0)
மேலும் Q ஆனது AB இன் உட்புறமாக 2:1 என்ற விகிதத்தில் Q பிரிக்கிறது.
\(\therefore Q(x,y)=\left[ \frac { 2(-7)+1(2) }{ 2+1 } ,\frac { 2(4)+(-2) }{ 2+1 } \right] \) i.e., (-4, 2)
∴ AB கோட்டினை P(-1, 0) மற்றும் (-4, 2) புள்ளிகள் மூன்றும் பிரிவுகளாகப் பிரிக்கின்றன. 

AB என்ற கோட்டின் சமன்பாடு x + y − 5 = 0 இந்த நேர்கோட்டிற்குச் செங்குத்தான கோட்டின் சமன்பாடு  x − y + k = 0 ஆகும்.
இக்கோடானது மையம் (4,4) என்ற புள்ளி வழிச் செல்வதால்,
4 – 4 + k = 0 எனவே, k = 0
C வழியாக AB -க்கு செங்குத்தாக அமையும்  நேர்கோட்டின் சமன்பாடு  x − y = 0

(i) குறுக்குச் சாலை மற்றும் வடக்குத் தெரு சந்திக்கும் புள்ளியைக் காணுதல்.
D(0, k) என்பது குறுக்குச் சாலையின் மேல் உள்ள புள்ளி ஆகும்.
எனவே, x = 0, y = k என குறுக்கு சாலையின் சமன்பாட்டில் பிரதியிட, நாம் பெறுவது
0 - 3k + 18 = 0
k = 6
எனவே, D ஆனது (0,6) ஆகும்
(ii) குறுக்குச் சாலை மற்றும் கிழக்கு நிழற்சாலை சந்திக்கும் புள்ளியைக் காணுதல்.
E-யின் ஆயப் புள்ளி (q, 2) என்க.
x = q, y = 2 எனக் குறுக்குச் சாலை சமன்பாட்டில் பிரதியிட
4q - 6 + 18 = 0
4q = -12 எனவே q = –3
ஆகவே, E என்ற புள்ளி (-3, 2)ஆகும்.
ஆதலால், குறுக்கு சாலையானது வடக்கு தெருவை D(0, 6) என்ற புள்ளியிலும், கிழக்கு நிழற்சாலையை E (-3, 2) என்ற புள்ளியிலும் சந்திக்கிறது.

a, b என்பன வெட்டுத்துண்டுகள் எனில் a + b = 7 அல்லது b = 7 − a
வெட்டுத்துண்டு வடிவம் \(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\)
ஆகவே, \(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ 7-a } =1\)
இக்கோடானது (-3, 8), என்ற புள்ளி வழிச் செல்வதால்
\(\frac { -3 }{ a } +\frac { 8 }{ 7-a } =1\) ⇒ –3(7 – a) + 8a = a(7 – a)
−21 + 3a + 8a = 7a − a²
ஆகவே a² + 4a − 21 = 0
இதனை தீர்ப்பதன் மூலம் (a − 3)(a + 7) = 0
a = 3 அல்லது a = −7
a என்பது மிகை எண் என்பதால் a = 3 மற்றும் b = 7 – a = 7 – 3 = 4.
எனவே, \(\frac { x }{ 3 } +\frac { y }{ 4 } =1\)
ஆகவே, தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு 4x + 3y - 12 = 0.

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி A(1, 4), B(2, 5) மற்றும் C(4, 7)
BC - யின் சாய்வு = \(\frac { 7-5 }{ 4-2 } =\frac { 2 }{ 2 } \) = 1
தேவையான நேர்க்கோட்டின் சாய்வு m என்க.
இந்த நேர்க்கோடு BC-க்கு செங்குத்தாக உள்ளது.
எனவே, m x 1 = −1
m = −1
இக்கோடானது A(1,4) வழி செல்வதால்,
தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு y − y₁ = m(x − x₁)
y - 4 = − 1(x − 1)
y - 4 = −x + 1
எனவே, x + y − 5 = 0

P(-1, -4), Q(b, c) மற்றும் R(5, -1) என்ற புள்ளிகள் ஒரே நேர்கோட்டில் அமைவதால்
ΔPQR -யின் பரப்பு = 0
\(\frac 12\){(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁) − (x₂y₁ + x₃y₂ + x₁y₃)} = 0
\(\frac 12\){(−c − b − 20) − (−4b + 5c + 1)} = 0
− c − b − 20 + 4b − 5c − 1 = 0
b - 2c = 7 …(1)
மேலும் 2b + c = 4 …(2) (கொடுக்கப்பட்டது)
(1) மற்றும் (2) –ஐ தீர்ப்பதன் மூலம்  b = 3 , c = −2

\(7 x-\frac{3}{17}=0\)
ax + by + c = 0  உடன் ஒப்பிட்டு
a = 7; b = 0
சாய்வு \(=-\frac{a}{b}\)
\(=-\frac{7}{0}= \) வரையறுக்கப்படாதது

கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டின் சமன்பாடு 2x - 3y + 8 = 0
சாய்வு m = \(\frac {-2}{-3}\) = \(\frac 23\)
ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தான நேர்கோட்டு சாய்வுகளின் பெருக்கற்பலன் -1 என்பதால் 2x - 3y + 8 = 0 என்ற நேர்கோட்டிற்கு செங்குத்தான கோட்டின் சாய்வு = \(\frac { -1 }{ \frac { 2 }{ 3 } } =\frac { -3 }{ 2 } \)

மின்கலச் சக்தி 40% எனில், நேரத்தைக் கணக்கிட, y = 0.40 என எடுத்துக் கொள்க.
0.40 = −0.25x + 1 ⇒ 0.25x = 0.60
x = \(\frac {0.60}{0.25}\)  = 2.4 மணி

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் (-3, -4),(7, 2) மற்றும் (12, 5)
புள்ளிகளை A(-3, -4), B(7, 2) மற்றும் C (12, 5) என்க.
கோட்டின் சாய்வு \(=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} \)
AB-ன் சாய்வு \(=\frac{-4-2}{-3-7}=\frac{-6}{-10}=\frac{3}{5}\)
BC-ன் சாய்வு \(=\frac{2-5}{7-12}=\frac{-3}{-5}=\frac{3}{5}\)
AB-ன் சாய்வு = BC-ன் சாய்வு
∴ கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் A, B மற்றும் C ஒரே கோட்டமைப் புள்ளிகள் ஆகும்.

(i) (-6, 1) மற்றும் (-3, 2)
சாய்வு = \(\frac { { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\frac { 2-1 }{ -3+6 } =\frac { 1 }{ 3 } \)
(ii)  \(\left( -\frac { 1 }{ 3 } ,\frac { 1 }{ 2 } \right) \) மற்றும் \(\left( \frac { 2 }{ 7 } ,\frac { 3 }{ 7 } \right) \)
சாய்வு = \(\frac { \frac { 3 }{ 7 } -\frac { 1 }{ 2 } }{ \frac { 2 }{ 7 } +\frac { 1 }{ 3 } } =\frac { \frac { 6-7 }{ 14 } }{ \frac { 6+7 }{ 21 } } \)
= \(-\frac { 1 }{ 14 } \times \frac { 21 }{ 13 } =-\frac { 3 }{ 26 } \)
(iii) (14, 10) மற்றும் (14, -6)
சாய்வு \(=\frac{-6-10}{14-14}=\frac{-16}{0}. \quad \therefore\) சாய்வை வரையறுக்க இயலாது 

(2,1) என்பதை சமன்பாடுகள் (2) ல் பிரதியிட, x + y = 3 மற்றும் 3 x +y = 7
இரண்டு சமன்பாடுகளும் (2,1) என்ற புள்ளியால் நிறைவு செய்யப்படுகிறது.

கொடுக்கப்பட்ட கோடு 8y = 4x + 21
\(y=\frac{x}{2}+\frac{21}{8}\)
\(\mathrm{y}=\frac{x}{2}+2.625\)\(\mathrm{y}=\mathrm{mx}+\mathrm{c}\) என்ற வடிவில்
இங்கு, \(\mathrm{m}=\frac{1}{2}=0.5, \mathrm{c}=2.625\)
\(\therefore \) சாய்வு \(\mathrm{m} =\frac{1}{2}=0.5 \)
y வெட்டுத்துண்டு = 2.6

PQ-ன் சாய்வு \(=\frac{1}{\sqrt{3}}=\mathrm{m}\)
செங்குத்துகோட்டின் சாய்வு \(=\frac{-1}{m}=-\sqrt{3}\)

(12,3) மற்றும் (4, a) புள்ளிகளைச் சேர்க்கும் கோட்டின் சாய்வு 1 / 8
\(\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} =\frac{3-a}{12-4}=\frac{1}{8} \)
\(\frac{3-a}{8} =\frac{1}{8} \)
\(3-a =1 \Rightarrow a=2\)

Δ-ன் பரப்பு
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [1.5 (- 2 - 4) + 6(4 - 3) + (-3)(3 + 2)]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [9 + 6 - 15] = 0
∴ Δ-ன் பரப்பு '0' எனில் முக்கோணம் அமைக்க இயலாது, ஏனெனில் மூன்று புள்ளிகளும் ஒரே கோட்டில் அமைவன.

இணைகரத்தில் மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றையொன்று இருசமக்கூறிடும். ∴ AC-ன் நடுப்புள்ளி = BD-ன் நடுப்புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள்
\(\left( \frac { -2+4 }{ 2 } ,\frac { -1+b }{ 2 } \right) =\left( \frac { a+1 }{ 2 } ,\frac { 0+2 }{ 2 } \right) \)
\(\Rightarrow \left( 1,\frac { b-1 }{ 2 } \right) =\left( \frac { a+1 }{ 2 } ,1 \right) \)
\(\Rightarrow \frac { a+1 }{ 2 } \) = 1 ⇒ a + 1 = 2 ⇒ a = 1
\(\Rightarrow \frac { b-1 }{ 2 } \) = 1 ⇒ b - 1 = 2 ⇒ b = 3